（福建专用）2013年高考数学总复习第二章第11课时变化率与导数、导数的计算课时闯关（含解析）一、选择题1．(2010·高考江西卷)若函数f(x)＝ax4＋bx2＋c满足f′(1)＝2，则f′(－1)＝( )A．－1B．－2C．2D．0解析：选B.由题意知f′(x)＝4ax3＋2bx，若f′(1)＝2，即f′(1)＝4a＋2b＝2，从题中可知f′(x)为奇函数，故f′(－1)＝－f′(1)＝－4a－2b＝－2，故选B.2．下列函数求导运算正确的个数为( )①(3x)′＝3xlog3e；②(log2x)′＝；③(cos5x)′＝－5sinx；④(sinx2)′＝2xcosx2；⑤(x·ex)′＝ex＋1.A．1B．2C．3D．4解析：选B.求导运算正确的有②④，2个，故选B.3．已知直线ax－by－2＝0与曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线互相垂直，则为( )A.B．－C.D．－解析：选D.曲线y＝x3在点P(1,1)处的切线斜率为3，所以＝－.4．曲线y＝e在点(4，e2)处的切线与坐标轴所围三角形的面积为( )A.e2B．4e2C．2e2D．e2解析：选D.y′＝，所以y＝e在点(4，e2)的导数为，所以y＝e在点(4，e2)的切线方程为y－e2＝e2(x－4)．切线与x轴、y轴的交点分别为(2,0)和(0，－e2)，所以S＝×2×e2＝e2.5．下图中，有一个是函数f(x)＝x3＋ax2＋(a2－1)x＋1(a∈R，a≠0)的导函数f′(x)的图象，则f(－1)＝( )6\nA.B．－C.D．－或解析：选B.∵f′(x)＝x2＋2ax＋(a2－1)，∴导函数f′(x)的图象开口向上．又∵a≠0，∴其图象必为图(3)．由图象特征知f′(0)＝0，且－a＞0，∴a＝－1.故f(－1)＝－－1＋1＝－.二、填空题6.如图，函数y＝f(x)的图象是折线段ABC，其中A，B，C的坐标分别为(0,4)，(2,0)，(6,4)，则f(f(0))＝________；函数f(x)在x＝1处的导数f′(1)＝________.解析：由题图知，f(f(0))＝f(4)＝2，根据导数的几何意义知f′(1)＝kAB＝－2.答案：2 －27．(2012·三明质检)一质点的运动方程为y＝，则它在x＝1时的速度为________．解析：因为y′＝′＝＝，所以y′|x＝1＝－.答案：－8．若点P在抛物线y＝3x2＋4x＋2上，A(0，－3)、B(－1，－1)，要使△ABP的面积最小，则P点的坐标是________．解析：欲使△ABP的面积最小，则必须使P点到直线AB的距离最近．因此作直线AB的平行直线，与抛物线相切时的切点即为所求的点P.因为y′＝kAB，即6x＋4＝－2，得x＝－1，故P点的坐标是(－1,1)．答案：(－1,1)三、解答题9．求下列函数的导数：(1)y＝(1－)(1＋)；(2)y＝；(3)y＝tanx；(4)y＝(1＋sinx)2.(2)y′＝()′＝＝＝.(3)y′＝()′＝＝＝.(4)y′＝[(1＋sinx)2]′＝2(1＋sinx)·(1＋sinx)′＝2(1＋sinx)·cosx＝2cosx＋sin2x.6\n10．已知函数f(x)＝x3＋x－16.(1)求曲线y＝f(x)在点(2，－6)处的切线的方程；(2)直线l为曲线y＝f(x)的切线，且经过原点，求直线l的方程及切点坐标；(3)如果曲线y＝f(x)的某一切线与直线y＝－x＋3垂直，求切点坐标与切线的方程．解：(1)可判定点(2，－6)在曲线y＝f(x)上．∵f′(x)＝(x3＋x－16)′＝3x2＋1，∴在点(2，－6)处的切线的斜率为k＝f′(2)＝13.∴切线的方程为y＝13(x－2)＋(－6)，即y＝13x－32.(2)法一：设切点为(x0，y0)，则直线l的斜率为f′(x0)＝3x＋1，∴直线l的方程为y＝(3x＋1)(x－x0)＋x＋x0－16，又∵直线l过点(0,0)，∴0＝(3x＋1)(－x0)＋x＋x0－16，整理得，x＝－8，∴x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．法二：设直线l的方程为y＝kx，切点为(x0，y0)，则k＝＝，又∵k＝f′(x0)＝3x＋1，∴＝3x＋1，解之得x0＝－2，∴y0＝(－2)3＋(－2)－16＝－26，k＝3×(－2)2＋1＝13.∴直线l的方程为y＝13x，切点坐标为(－2，－26)．(3)∵切线与直线y＝－＋3垂直，∴切线的斜率k＝4.设切点的坐标为(x0，y0)，则f′(x0)＝3x＋1＝4，∴x0＝±1，∴或切线方程为y＝4(x－1)－14或y＝4(x＋1)－18.即y＝4x－18或y＝4x－14.一、选择题1．设函数y＝xsinx＋cosx的图象上的点(x，y)处的切线斜率为k，若k＝g(x)，则函数k＝g(x)的图象大致为( )解析：选B.k＝g(x)＝y′＝sinx＋xcosx－sinx＝xcosx，故函数k＝g(x)为奇函数，排除A、C；又当x∈时，g(x)＞0，∴B正确．2．已知a为常数，若曲线y＝ax2＋3x－lnx存在与直线x＋y－1＝0互相垂直的切线，则实数a的取值范围是( )A.B.6\nC．[－1，＋∞)D．(－∞，－1]解析：选A.∵y＝ax2＋3x－lnx，∴y′＝2ax＋3－.(x>0)由2ax＋3－＝1，即2ax2＋2x－1＝0.得2a＝－＝2－1，∵x>0，∴2－1≥－1.∴2a≥－1，∴a≥－.故选A.二、填空题3．(2012·龙岩质检)已知二次函数f(x)＝ax2＋bx＋1的导函数为f′(x)，f′(0)＞0.若对任意实数x都有f(x)≥0，则的最小值为________．解析：由f′(x)＝2ax＋b，f′(0)>0，所以b>0.又因为对任意实数x，都有f(x)≥0，所以a>0且Δ＝b2－4a≤0，即b2≤4a.所以＝＝＋＋1≥2＋1≥2＋1＝2.当且仅当＝且b2＝4a，即a＝1，b＝2时，“＝”成立，即当a＝1，b＝2时，有最小值2.答案：24．设曲线y＝xn＋1(n∈N*)在点(1,1)处的切线与x轴的交点的横坐标为xn，令an＝lgxn，则a1＋a2＋…＋a99的值为____．解析：点(1,1)在曲线y＝xn＋1(n∈N*)上，点(1,1)为切点，y′＝(n＋1)xn，故切线的斜率为k＝n＋1，曲线在点(1,1)处的切线方程为y－1＝(n＋1)(x－1)，令y＝0得切点的横坐标为xn＝，故a1＋a2＋…＋a99＝lg(x1x2…x99)＝lg＝lg＝－2.答案：－2三、解答题5．已知函数f(x)＝ax3＋3x2－6ax－11，g(x)＝3x2＋6x＋12和直线m：y＝kx＋9，又f′(－1)＝0.(1)求a的值；(2)是否存在k的值，使直线m既是曲线y＝f(x)的切线，又是曲线y＝g(x)的切线？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．解：(1)f′(x)＝3ax2＋6x－6a，f′(－1)＝0，即3a－6－6a＝0，∴a＝－2.(2)∵直线m恒过定点(0,9)，先求直线m是曲线y＝g(x)的切线，设切点为(x0,3x＋6x0＋12)，∵g′(x0)＝6x0＋6，∴切线方程为y－(3x＋6x0＋12)＝(6x0＋6)(x－x0)，6\n将点(0,9)代入，得x0＝±1,当x0＝－1时，切线方程为y＝9；当x0＝1时，切线方程为y＝12x＋9.由f′(x)＝0得－6x2＋6x＋12＝0，即有x＝－1或x＝2，当x＝－1时，y＝f(x)的切线方程为y＝－18；当x＝2时，y＝f(x)的切线方程为y＝9.∴公切线是y＝9.又有f′(x)＝12得－6x2＋6x＋12＝12，∴x＝0或x＝1.当x＝0时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－11；当x＝1时，y＝f(x)的切线方程为y＝12x－10，∴公切线不是y＝12x＋9.综上所述公切线是y＝9，此时存在，k＝0.6．设函数f(x)＝ax－，曲线y＝f(x)在点(2，f(2))处的切线方程为7x－4y－12＝0.(1)求y＝f(x)的解析式；(2)求证：函数f(x)的图象是一个中心对称图形，并求其对称中心；(3)证明曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围三角形的面积为定值，并求出此定值．解：(1)方程7x－4y－12＝0可化为y＝x－3，当x＝2时，y＝.又f′(x)＝a＋.于是解得故f(x)＝x－.(2)证明：由上知f(x)＝x－，因为f(－x)＝－x＋＝－f(x)，所以是奇函数，所以函数f(x)的图象是一个中心对称图形，其对称中心为原点．(3)证明：设P(x0，y0)为曲线上任一点，由f′(x)＝1＋知曲线在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝(x－x0)，即y－＝(x－x0)．令x＝0，得y＝－，从而得切线与直线x＝0的交点坐标为.令y＝x，得y＝x＝2x0，从而得切线与直线y＝x的交点坐标为(2x0,2x0)．所以点P(x0，y0)处的切线与直线x＝0，y＝x所围成的三角形面积为|2x0|＝6.故曲线y＝f(x)上任一点处的切线与直线x＝0和直线y＝x所围成的三角形面积为定值，故定值为6.6\n6
