2013高考总复习江苏专用（理科）：第十一篇《第73讲 离散型随机变量的均值与方差》（基础达标演练+综合创新备选，含解析）A级 基础达标演练(时间：45分钟 满分：80分)一、填空题(每小题5分，共35分)4．已知某一随机变量X的概率分布如下，且E(X)＝6.3，则a的值为________.X4a9P0.50.1b解析 由分布列性质知：0.5＋0.1＋b＝1，∴b＝0.4.∴E(X)＝4×0.5＋a×0.1＋9×0.4＝6.3.∴a＝7.答案 72．(2011·合肥模拟)已知随机变量X服从二项分布，且E(X)＝2.4，V(X)＝1.44，则二项分布的参数n，p的值分别为________．解析 由题意得解得答案 6,0.43．已知随机变量X＋Y＝8，若X～B(10，0.6)，则E(Y)，V(Y)分别是________．解析 若两个随机变量Y，X满足一次关系式Y＝aX＋b(a，b为常数)，当已知E(X)、V(X)时，则有E(Y)＝aE(X)＋b，V(Y)＝a2V(X)．由已知随机变量X＋Y＝8，所以有Y＝8－X.因此，求得E(Y)＝8－E(X)＝8－10×0.6＝2，V(Y)＝(－1)2V(X)＝10×0.6×0.4＝2.4.答案 2 2.44．已知X的概率分布为X－101P则在下列式子中：①E(X)＝－；②V(X)＝；③P(X＝0)＝.正确的序号是________．解析 E(X)＝(－1)×＋1×＝－，故①正确．7\nV(X)＝2×＋2×＋2×＝，故②不正确．由分布列知③正确．答案 ①③5．一个篮球运动员投篮一次得3分的概率为a，得2分的概率为b，不得分的概率为c(a、b、c∈(0,1))，已知他投篮一次得分的均值为2，则＋的最小值为________．解析 由已知得，3a＋2b＋0×c＝2，即3a＋2b＝2，其中0<a<，0<b<1.又＋＝＝3＋＋＋≥＋2＝，当且仅当＝，即a＝2b时取“等号”又3a＋2b＝2，即当a＝，b＝时，＋的最小值为.答案 6．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中有放回地任取3件，若X表示取到次品的次数，则V(X)＝________.解析 ∵X～B，∴V(X)＝3××＝.答案 7．已知离散型随机变量X的概率分布如右表，若E(X)＝0，V(X)＝1，则a＝________，b＝________.解析 由题意知解得答案 二、解答题(每小题15分，共45分)8．(2011·盐城调研)有一种闯三关游戏的规则规定如下：用抛掷正四面体骰子(各面上分别有1,2,3,4点数的质地均匀的正四面体)决定是否过关，在闯第n(n＝1,2,3)关时，需要抛掷n次骰子，当n次骰子面朝下的点数之和大于n2时，则算闯此关成功，并且继续闯关，否则停止闯关．每次抛掷骰子相互独立．7\n(1)求仅闯过第一关的概率；(2)记成功闯过的关数为X，求X的概率分布和均值．解 (1)记“仅闯过第一关的概率”这一事件为A，则P(A)＝×＝.(2)由题意，得X的取值有0,1,2,3，且P(X＝0)＝，P(X＝1)＝，P(X＝2)＝××＝，P(X＝3)＝××＝，即随机变量的概率分布为X0123P所以E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.9．(2011·苏州调研)一个口袋装有5个红球，3个白球，这些球除颜色外完全相同，某人一次从中摸出3个球，其中白球的个数为X.(1)求摸出的三个球中既有红球又有白球的概率；(2)求X的分布列及X的数学期望．解 (1)记“摸出的三球中既有红球又有白球”为事件A，依题意知P(A)＝＝.所以摸出的三个球中既有红球又有白球的概率为.(2)X可取0,1,2,3，P(X＝0)＝＝，P(X＝1)＝＝，P(X＝2)＝＝，P(X＝3)＝＝.∴X的概率分布为X0123P所以X的数学期望为E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.10．(2010·苏州第一次综合测试)某公司为庆祝元旦举办了一个抽奖活动，现场准备的抽奖箱里放置了分别标有数字17\n000、800、600、0的四个球(球的大小相同)．参与者随机从抽奖箱里摸取一球(取后即放回)，公司即赠送与此球上所标数字等额的奖金(元)，并规定摸到标有数字0的球时可以再摸一次，但是所得奖金减半(若再摸到标有数字0的球，则没有第三次摸球机会)，求一个参与抽奖活动的人可得奖金的数学期望．解 设X表示摸球后所得的奖金数，由于参与者摸取的球上标有数字1000,800,600,0，当摸到球上标有数字0时，可以再摸一次，但奖金减半，即分别为500,400,300,0.则X的所有可能取值为1000,800,600,500,400,300,0.依题意得P(X＝1000)＝P(X＝800)＝P(X＝600)＝，P(X＝500)＝P(X＝400)＝P(X＝300)＝P(X＝0)＝，则X的概率分布为X10008006005004003000P所以所求的数学期望为E(X)＝×(1000＋800＋600)＋×(500＋400＋300＋0)＝675(元)．即一个参与抽奖活动的人可得奖金的数学期望是675元．B级 创新综合备选(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．(2010·新课标全国卷改编)某种种子每粒发芽的概率都为0.9，现播种了1000粒，对于没有发芽的种子，每粒需要再补种2粒，补种的种子数记为X，则X的数学期望为________．解析 种子发芽率为0.9，不发芽率为0.1，每粒种子发芽与否相互独立，故设没有发芽的种子数为Y，则Y～B(1000,0.1)，∴E(Y)＝1000×0.1＝100，故需补种的期望为E(X)＝2·E(Y)＝200.答案 2002．签盒中有编号为1、2、3、4、5、6的六支签，从中任意取3支，设X为这3支签的号码之中最大的一个，则X的数学期望为________．解析 由题意可知，X可以取3,4,5,6，P(X＝3)＝＝，P(X＝4)＝＝，P(X＝5)＝＝，P(X＝6)＝＝.7\n由数学期望的定义可求得E(X)＝5.25.答案 5.253．有一批产品，其中有12件正品和4件次品，从中任取3件，若X表示取到次品的个数，则E(X)＝________.解析 X的取值为0,1,2,3，则P(X＝0)＝＝；P(X＝1)＝＝；P(X＝2)＝＝；P(X＝3)＝＝.∴E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.答案 4．罐中有6个红球，4个白球，从中任取1球，记住颜色后再放回，连续摸取4次，设X为取得红球的次数，则X的均值E(X)＝________.解析 因为是有放回地摸球，所以每次摸球(试验)摸得红球(成功)的概率均为，连续摸4次(做4次试验)，X为取得红球(成功)的次数，则X～B，从而有E(X)＝np＝4×＝.答案 5．(2011·上海)马老师从课本上抄录一个随机变量X的概率分布列如下表：x123P(X＝x)？！？请小牛同学计算X的数学期望．尽管“！”处完全无法看清，且两个“？”处字迹模糊，但能断定这两个“？”处的数值相同．据此，小牛给出了正确答案E(X)＝________.解析 令“？”为a，“！”为b，则2a＋b＝1.又E(X)＝a＋2b＋3a＝2(2a＋b)＝2.答案 26．某毕业生参加人才招聘会，分别向甲、乙、丙三个公司投递了个人简历，假定该毕业生得到甲公司面试的概率为，得到乙、丙两公司面试的概率为p，且三个公司是否让其面试是相互独立的．记X为该毕业生得到面试的公司个数．若P(X＝0)＝，则随机变量X的数学期望E(X)＝________.7\n解析 ∵P(X＝0)＝，∴(1－p)2＝，∵p＝，∴P(X＝1)＝，∴P(X＝2)＝，P(X＝3)＝.∴E(X)＝1×＋2×＋3×＝.答案 二、解答题(每小题15分，共30分)7．(2011·南通调研)某车站每天上午发出两班客车，第一班客车在8：00,8：20,8：40这三个时刻随机发出，且在8：00发出的概率为，8：20发出的概率为，8：40发出的概率为；第二班客车在9：00,9：20,9：40这三个时刻随机发出，且在9：00发出的概率为，9：20发出的概率为，9：40发出的概率为.两班客车发出时刻是相互独立的，一位旅客预计8：10到站．(1)请预测旅客乘到第一班客车的概率；(2)求旅客候车时间的概率分布；(3)求旅客候车时间的数学期望．解 (1)第一班若在8：20或8：40发出，则旅客能乘到，其概率为P＝＋＝.(2)旅客候车时间的概率分布为候车时间(分)1030507090概率×××(3)候车时间的数学期望为10×＋30×＋50×＋70×＋90×＝5＋＋＋＋＝30.故这名旅客候车时间的数学期望是30分钟．8．(2011·南通调研)一种抛硬币游戏的规则是：抛掷一枚硬币，每次正面向上得1分，反面向上得2分．7\n(1)设抛掷5次的得分为X，求X的概率分布和数学期望E(X)；(2)求恰好得到n(n∈N*)分的概率．解 (1)所抛5次得分X的概率为P(X＝i)＝C5(i＝5,6,7,8,9,10)，其概率分布如下：X5678910PE(X)＝·C5＝(2)令pn表示恰好得到n分的概率，不出现n分的唯一情况是得到n－1分以后再掷出一次反面．因为“不出现n分”的概率是1－pn，“恰好得到(n－1)分”的概率是pn－1，因为“掷一次出现反面”的概率是，所以有1－pn＝pn－1，即pn－＝－.于是是以p1－＝－＝－为首项，以－为公比的等比数列．所以pn－＝－n－1，即pn＝.故恰好得到n分的概率是.7
