第二部分 专题四类型1 二次函数与特殊三角形的存在性问题1．(2022·怀化)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－1,0)，B(3,0)两点，与y轴交于点C，点D是该抛物线的顶点．(1)求抛物线的解析式和直线AC的解析式；(2)请在y轴上找一点M，使△BDM的周长最小，求出点M的坐标；(3)试探究：在拋物线上是否存在点P，使以点A，P，C为顶点，AC为直角边的三角形是直角三角形？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)设抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)，即y＝ax2－2ax－3a，∴－2a＝2，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－x2＋2x＋3；当x＝0时，y＝－x2＋2x＋3＝3，则C(0,3)，设直线AC的解析式为y＝px＋q，把A(－1,0)，C(0,3)代入得解得∴直线AC的解析式为y＝3x＋3.(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴顶点D的坐标为(1,4)，如答图1，作B点关于y轴的对称点B′，连接DB′交y轴于M，则B′(－3,0)，∵MB＝MB′，∴MB＋MD＝MB′＋MD＝DB′，此时MB＋MD的值最小，而BD的值不变，∴此时△BDM的周长最小，易得直线DB′的解析式为y＝x＋3，当x＝0时，y＝x＋3＝3，∴点M的坐标为(0,3)；29\n答图1 答图2(3)存在．过点C作AC的垂线交抛物线于另一点P1，如答图2，∵直线AC的解析式为y＝3x＋3，∴直线P1C的解析式可设为y＝－x＋b，把C(0,3)代入得b＝3，∴直线P1C的解析式为y＝－x＋3，解方程组解得或则此时P点坐标为(，)；过点A作AC的垂线交抛物线于另一点P2，如答图2，直线P2A的解析式可设为y＝－x＋d，把A(－1,0)代入得＋d＝0，解得d＝－，∴直线P2A的解析式为y＝－x－，解方程组解得或则此时P点坐标为(，－)，综上所述，符合条件的点P的坐标为(，)或(，－)．2．(2022·泰安)如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2＋bx＋c交x轴于点A(－4,0)，B(2,0)，交y轴于点C(0,6)，在y轴上有一点E(0，－2)，连接AE.29\n(1)求二次函数的表达式；(2)若点D为抛物线在x轴负半轴上方的一个动点，求△ADE面积的最大值；(3)抛物线对称轴上是否存在点P，使△AEP为等腰三角形？若存在，请直接写出所有P点的坐标，若不存在，请说明理由．解：(1)∵二次函数y＝ax2＋bx＋c经过点A(－4,0)，B(2,0)，C(0,6)，∴解得∴二次函数的表达式为y＝－x2－x＋6.(2)由A(－4,0)，E(0，－2)可得AE所在的直线解析式为y＝－x－2，答图过点D作DF⊥x轴，交AE于点F，交x轴于点G，过点E作EH⊥DF，垂足为H，如答图，设D(m，－m2－m＋6)，则点F(m，－m－2)，∴DF＝－m2－m＋6－(－m－2)＝－m2－m＋8，∴S△ADE＝S△ADF＋S△EDF＝·DF·AG＋·DF·EH＝×DF·(AG＋HE)＝×4×DF＝2×(－m2－m＋8)＝－(m＋)2＋，∴当m＝－时，S△ADE最大，最大值为.(3)存在，P点的坐标为(－1,1)或(－1，±)或(－1，－2±)．【解法提示】y＝－x2－x＋6的对称轴为x＝－1，设P(－1，n)，又E(0，－2)，A(－4,0)，可得PA＝，PE＝，AE＝＝2，29\n当PA＝PE时，＝，解得n＝1，此时P(－1,1)；当PA＝AE时，＝2，解得n＝±，此时P点的坐标为(－1，±)；当PE＝AE时，＝2，解得n＝－2±，此时P点的坐标为(－1，－2±)，综上所述，P点的坐标为(－1,1)或(－1，±)或(－1，－2±)．3．(2022·眉山)如图1，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(0,3)，B(1,0)，其对称轴为直线l：x＝2，过点A作AC∥x轴交抛物线于点C，∠AOB的平分线交线段AC于点E，点P是抛物线上的一个动点，设其横坐标为m.(1)求抛物线的解析式；(2)若动点P在直线OE下方的抛物线上，连接PE，PO，当m为何值时，四边形AOPE面积最大，并求出其最大值；(3)如图2，F是抛物线的对称轴l上的一点，在抛物线上是否存在点P，使△POF成为以点P为直角顶点的等腰直角三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)如答图1，设抛物线与x轴的另一个交点为D，由对称性得：D(3,0)，设抛物线的解析式为y＝a(x－1)(x－3)，把A(0,3)代入，得3＝3a，解得a＝1，∴抛物线的解析式为y＝x2－4x＋3.答图1 答图2(2)如答图2，设P(m,m2－4m＋3)，∵OE平分∠AOB，∠AOB＝90°，∴∠AOE＝45°，29\n∴△AOE是等腰直角三角形，∴AE＝OA＝3，∴E(3,3)，易得OE的解析式为y＝x，过P作PG∥y轴，交OE于点G，∴G(m，m)，∴PG＝m－(m2－4m＋3)＝－m2＋5m－3，∴S四边形AOPE＝S△AOE＋S△POE，＝×3×3＋PG·AE，＝＋×3×(－m2＋5m－3)，＝－m2＋m，＝－(m－)2＋，∵－<0，∴当m＝时，S有最大值，最大值是.(3)点P的坐标是(，)或(，)或(，)或(，)．【解法提示】如答图3，过P作MN⊥y轴，交y轴于M，交l于N，∵△OPF是等腰直角三角形，且OP＝PF，易得△OMP≌△PNF，∴OM＝PN.∵P(m,m2－4m＋3)，则－m2＋4m－3＝2－m，解得m＝或，∴P的坐标为(，)或(，)；29\n答图3 答图4如答图4，过P作MN⊥x轴于N，过F作FM⊥MN于M，同理得△ONP≌△PMF，∴PN＝FM，则－m2＋4m－3＝m－2，解得x＝或，∴P的坐标为(，)或(，)；综上所述，点P的坐标是(，)或(，)或(，)或(，)．4．(2022·安顺)如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝－1，且抛物线与x轴交于A，B两点，与y轴交于C点，其中A(1,0)，C(0，3)．(1)若直线y＝mx＋n经过B，C两点，求直线BC和抛物线的解析式；(2)在抛物线的对称轴x＝－1上找一点M，使点M到点A的距离与到点C的距离之和最小，求出点M的坐标；(3)设点P为抛物线的对称轴x＝－1上的一个动点，求使△BPC为直角三角形的点P的坐标．解：(1)依题意得解得∴抛物线解析式为y＝－x2－2x＋3.∵对称轴为直线x＝－1，且抛物线经过A(1,0)，∴B(－3,0)，∴把B(－3,0)，C(0,3)分别代入直线y＝mx＋n，得解得∴直线BC的解析式为y＝x＋3.29\n(2)设直线BC与对称轴x＝－1的交点为M，则此时MA＋MC的值最小．把x＝－1代入直线y＝x＋3，得y＝2，∴M(－1,2)，即当点M到点A的距离与到点C的距离之和最小时，点M的坐标为(－1,2)．(3)设P(－1，t)，又∵B(－3,0)，C(0,3)，∴BC2＝18，PB2＝(－1＋3)2＋t2＝4＋t2，PC2＝(－1)2＋(t－3)2＝t2－6t＋10，①若点B为直角顶点，则BC2＋PB2＝PC2，即18＋4＋t2＝t2－6t＋10，解得t＝－2；②若点C为直角顶点，则BC2＋PC2＝PB2，即18＋t2－6t＋10＝4＋t2，解得t＝4；③若点P为直角顶点，则PB2＋PC2＝BC2，即4＋t2＋t2－6t＋10＝18，解得t1＝，t2＝；综上所述，使△BPC为直角三角形的点P的坐标为(－1，－2)或(－1,4)或(－1，)或(－1，)．类型2 二次函数与特殊四边形的存在性问题1．(2022·南充)如图，抛物线顶点P(1,4)，与y轴交于点C(0，3)，与x轴交于点A，B．(1)求抛物线的解析式．(2)Q是抛物线上除点P外一点，△BCQ与△BCP的面积相等，求点Q的坐标．(3)若M，N为抛物线上两个动点，分别过点M，N作直线BC的垂线段，垂足分别为D，E.是否存在点M，N使四边形MNED为正方形？如果存在，求正方形MNED的边长；如果不存在，请说明理由．解：(1)设y＝a(x－1)2＋4(a≠0)，把C(0,3)代入抛物线解析式，得a＋4＝3，即a＝－1，则抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋4＝－x2＋2x＋3.(2)∵B(3,0)，C(0,3)，∴直线BC的解析式为y＝－x＋3，∵S△PBC＝S△QBC，∴PQ∥BC，①过P作PQ∥BC，交抛物线于点Q，如答图1所示，29\n答图1∵P(1,4)，∴直线PQ解析式为y＝－x＋5，联立得解得或即Q点坐标为(2,3)；②设G(1,2)，∴PG＝GH＝2，点G在直线BC上．过H作直线Q2Q3∥BC，交x轴于点H，则直线Q2Q3解析式为y＝－x＋1，联立得解得或∴Q2(，)，Q3(，)．综上，点Q的坐标为(2,3)或(，)或(，)．(3)存在点M，N使四边形MNED为正方形，如答图2所示，过M作MF∥y轴，过N作NF∥x轴，过N作NH∥y轴，则有△MNF与△NEH都为等腰直角三角形，设M(x1，y1)，N(x2，y2)，设直线MN解析式为y＝－x＋b，答图2联立得消去y，得x2－3x＋b－3＝0，∴NF2＝|x1－x2|2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝21－4b.∵△MNF为等腰直角三角形，∴MN2＝2NF2＝42－8b.∵NH2＝(b－3)2，∴NE2＝(b－3)2，若四边形MNED为正方形，则有NE2＝MN2，29\n∴(b2－6b＋9)＝42－8b，整理得b2＋10b－75＝0，解得b＝－15或5，∵正方形边长为MN＝，∴MN＝9或.2．(2022·自贡)如图，抛物线y＝ax2＋bx－3过A(1,0)，B(－3，0)，直线AD交抛物线于点D，点D的横坐标为－2，点P(m，n)是线段AD上的动点．(1)求直线AD及抛物线的解析式；(2)过点P的直线垂直于x轴，交抛物线于点Q，求线段PQ的长度l与m的关系式，m为何值时，PQ最长？(3)在平面内是否存在整点(横、纵坐标都为整数)R，使得P，Q，D，R为顶点的四边形是平行四边形？若存在，直接写出点R的坐标；若不存在，说明理由．解：(1)把A(1,0)，B(－3,0)代入函数解析式，得解得抛物线的解析式为y＝x2＋2x－3.当x＝－2时，y＝(－2)2＋2×(－2)－3＝－3，即D(－2，－3)．设直线AD的解析式为y＝kx＋b，将A(1,0)，D(－2，－3)代入，得解得直线AD的解析式为y＝x－1.(2)设P点坐标为(m，m－1)，Q(m,m2＋2m－3)，l＝(m－1)－(m2＋2m－3)，化简，得l＝－m2－m＋2，即线段PQ的长度l与m的关系式为l＝－m2－m＋2.配方，得l＝－(m＋)2＋，当m＝－时，l最大＝.(3)点R的坐标为(－2，－2)或(－2，－4)或(－2，－1)或(－2，－5)或(0，－3)或(2，－1)．29\n【解法提示】由(2)可知，0<PQ≤.当PQ为边时，DR∥PQ且DR＝PQ.∵R是整点，D(－2，－3)，∴PQ是正整数，∴PQ＝1或2.当PQ＝1时，DR＝1，此时点R的横坐标为－2，纵坐标为－3＋1＝－2或－3－1＝－4，∴R(－2，－2)或(－2，－4)；当PQ＝2时，DR＝2，此时点R的横坐标为－2，纵坐标为－3＋2＝－1或－3－2＝－5，即R(－2，－1)或(－2，－5)．当PQ为对角线时，设点R的坐标为(a，b)，则有＝，＝，解得a＝2m＋2，b＝m2＋3m－1，∴点R的坐标为(2m＋2，m2＋3m－1)，∵R是整点，－2<m<1，∴当m＝－1时，点R的坐标为(0，－3)；当m＝0时，点R的坐标为(2，－1)．综上所述，存在满足R的点，它的坐标为(－2，－2)或(－2，－4)或(－2，－1)或(－2，－5)或(0，－3)或(2，－1)．3．(2022·岳阳)已知抛物线F：y＝x2＋bx＋c的图象经过坐标原点O，且与x轴另一交点为(－，0)．(1)求抛物线F的解析式；(2)如图1，直线l：y＝x＋m(m>0)与抛物线F相交于点A(x1，y1)和点B(x2，y2)(点A在第二象限)，求y2－y1的值(用含m的式子表示)；(3)在(2)中，若m＝，设点A′是点A关于原点O的对称点，如图2.①判断△AA′B的形状，并说明理由；②平面内是否存在点P，使得以点A，B，A′，P为顶点的四边形是菱形？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．29\n解：(1)∵抛物线y＝x2＋bx＋c的图象经过点(0,0)和(－，0)，∴解得∴抛物线F的解析式为y＝x2＋x.(2)将y＝x＋m代入y＝x2＋x，得x2＝m，解得x1＝－，x2＝，∴y1＝－＋m，y2＝＋m，∴y2－y1＝(＋m)－(－＋m)＝(m>0)．(3)∵m＝，∴点A的坐标为(－，)，点B的坐标为(，2)．∵点A′是点A关于原点O的对称点，∴点A′的坐标为(，－)．①△AA′B为等边三角形．理由如下：∵A(－，)，B(，2)，A′(，－)，∴AA′＝，AB＝，A′B＝，∴AA′＝AB＝A′B，∴△AA′B为等边三角形．②存在．分三种情况，如答图，答图29\n设点P的坐标为(x，y)．(Ⅰ)当A′B为对角线时，有解得∴点P的坐标为(2，)；(Ⅱ)当AB为对角线时，有解得∴点P的坐标为(－，)；(Ⅲ)当AA′为对角线时，有解得∴点P的坐标为(－，－2)．综上所述，平面内存在点P，使得以点A，B，A′，P为顶点的四边形是菱形，点P的坐标为(2，)或(－，)或(－，－2)．4．如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与直线AB交于A(－4，－4)，B(0,4)两点，直线AC：y＝－x－6交y轴于点C．点E是直线AB上的动点，过点E作EF⊥x轴交AC于点F，交抛物线于点G.(1)求抛物线y＝－x2＋bx＋c的表达式；(2)连接GB，EO，当四边形GEOB是平行四边形时，求点G的坐标；(3)在y轴上存在一点H，连接EH，HF，当点E运动到什么位置时，以A，E，F，H为顶点的四边形是矩形？求出此时点E，H的坐标．解：(1)∵点A(－4，－4)，B(0,4)在抛物线y＝－x2＋bx＋c上，∴解得∴抛物线的表达式为y＝－x2－2x＋4.(2)设直线AB的解析式为y＝kx＋n，∵A(－4，－4)，B(0,4)，29\n∴∴∴直线AB的解析式为y＝2x＋4，设E(m,2m＋4)，则G(m，－m2－2m＋4)，∵四边形GEOB是平行四边形，∴EG＝OB＝4，∴－m2－2m＋4－2m－4＝4，解得m＝－2，∴G(－2,4)．(3)如答图，答图由(2)知，直线AB的解析式为y＝2x＋4，∴设E(a,2a＋4)，∵直线AC：y＝－x－6，∴F(a，－a－6)，设H(0，p)，∵以点A，E，F，H为顶点的四边形是矩形，直线AB的解析式为y＝2x＋4，直线AC的解析式为y＝－x－6，∴AB⊥AC，∴EF为对角线，∴EF与AH互相平分且相等，∴2a＝－4，＝2a＋4＋a＋6，∴a＝－2，p＝－1(－7已舍)，∴E(－2,0)，H(0，－1)．类型3 二次函数与相似三角形的存在性问题1．(2022·官度区一模)如图，在平面直角坐标系中，已知抛物线经过原点O，顶点为A(1,1)，且与直线y＝x－2相交于B，C两点．29\n(1)求抛物线的解析式；(2)求B，C两点的坐标；(3)若点N为x轴上的一个动点，过点N作MN⊥x轴与抛物线交于点M，则是否存在以O，M，N为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)∵顶点坐标为(1,1)，∴设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋1.又∵抛物线过原点，∴0＝a(0－1)2＋1，解得a＝－1，∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋1，即y＝－x2＋2x.(2)联立抛物线和直线解析式可得解得或∴B(2,0)，C(－1，－3)．(3)存在．理由：假设存在满足条件的点N，设N(x,0)，则M(x，－x2＋2x)，∴ON＝|x|，MN＝|－x2＋2x|，由(2)知，AB＝，BC＝3，AC＝2，∴AB2＋BC2＝AC2，∴△ABC为直角三角形，且∠ABC＝90°，∵MN⊥x轴于点N，∴∠ABC＝∠MNO＝90°，∴当△ABC和△MNO相似时，有＝或＝.①当＝时，＝，即|x|·|－x＋2|＝|x|.∵当x＝0时，M，O，N三点不能构成三角形，∴x≠0，∴|－x＋2|＝，29\n∴－x＋2＝±，解得x＝或x＝，此时N点坐标为(，0)或(，0)；②当＝时，＝，即|x|·|－x＋2|＝3|x|，∴|－x＋2|＝3，∴－x＋2＝±3，解得x＝5或x＝－1，此时N点坐标为(－1,0)或(5,0)．综上可知，存在满足条件的N点，其坐标为(，0)或(，0)或(－1,0)或(5,0)．2．(2022·达州)如图，抛物线经过原点O(0,0)，点A(1，1)，点B(，0)．(1)求抛物线解析式；(2)连接OA，过点A作AC⊥OA交抛物线于C，连接OC，求△AOC的面积；(3)点M是y轴右侧抛物线上一动点，连接OM，过点M作MN⊥OM交x轴于点N.问：是否存在点M，使以点O，M，N为顶点的三角形与(2)中的△AOC相似？若存在，求出点M的坐标；若不存在，说明理由．备用图解：(1)设抛物线解析式为y＝ax(x－)，把A(1,1)代入，得a·(1－)＝1，解得a＝－，∴抛物线解析式为y＝－x(x－)，即y＝－x2＋x.(2)延长CA交y轴于点D，如答图1.29\n答图1∵A(1,1)，∴OA＝，∠DOA＝45°，∴△AOD为等腰直角三角形．∵OA⊥AC，∴OD＝OA＝2，∴D(0,2)，易得直线AD的解析式为y＝－x＋2，联立方程组解得或∴C(5，－3)，∴S△AOC＝S△COD－S△AOD＝×2×5－×2×1＝4；(3)存在．如答图2，过点M作MH⊥x轴于点H.答图2由(2)易得AC＝＝4，OA＝.设M(x，－x2＋x)(x>0)．∵∠OHM＝∠OAC，∴当＝时，△OHM∽△OAC，即＝，解方程－x2＋x＝4x得x1＝0(舍去)，x2＝－(舍去)，解方程－x2＋x＝－4x得x1＝0(舍去)，x2＝，29\n此时M点坐标为(，－54)；当＝时，△OHM∽△CAO，即＝，解方程－x2＋x＝x得x1＝0(舍去)，x2＝，此时M点的坐标为(，)，解方程－x2＋x＝－x得x1＝0(舍去)，x2＝－，此时M点坐标为(，－)．∵MN⊥OM，∴∠OMN＝90°，∴∠MON＝∠HOM，∴△OMH∽△ONM，∴当M点的坐标为(，－54)或(，)或(，－)时，以点O，M，N为顶点的三角形与(2)中的△AOC相似．类型4 二次函数与面积最值问题1．(2022·东营)如图，抛物线y＝a(x－1)(x－3)(a>0)与x轴交于A，B两点，抛物线上另有一点C在x轴下方，且使△OCA∽△OBC．(1)求线段OC的长度；(2)设直线BC与y轴交于点M，点C是BM的中点时，求直线BM和抛物线的解析式；(3)在(2)的条件下，直线BC下方抛物线上是否存在一点P，使得四边形ABPC面积最大？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)当y＝0时，a(x－1)(x－3)＝0，解得x1＝1，x2＝3，即A(1,0)，B(3,0)，∴OA＝1，OB＝3.∵△OCA∽△OBC，∴OC∶OB＝OA∶OC，29\n∴OC2＝OA·OB＝3，则OC＝.(2)∵C是BM的中点，即OC为Rt△OBM斜边BM的中线，∴OC＝BC，∴点C的横坐标为.又∵OC＝，点C在x轴下方，∴C(，－)．设直线BM的解析式为y＝kx＋b，把点B(3,0)，C(，－)代入，得解得∴直线BM的解析式为y＝x－.又∵点C(，－)在抛物线上，∴将C(，－)代入抛物线的解析式，解得a＝，∴抛物线的解析式为y＝x2－x＋2.(3)存在．如答图，过点P作PQ⊥x轴交直线BM于点Q，设点P的坐标为(x，x2－x＋2)，答图则Q(x，x－)，∴PQ＝x－－(x2－x＋2)＝－x2＋3x－3，∴当△BCP面积最大时，四边形ABPC的面积最大，∴S△BCP＝PQ(3－x)＋PQ(x－)＝PQ＝－x2＋x－，29\n当x＝－＝时，S△BCP有最大值，则四边形ABPC的面积最大，此时点P的坐标为(，－)．2．(2022·盐城)如图1，在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2＋bx＋3经过点A(－1,0)，B(3,0)两点，且与y轴交于点C．(1)求抛物线的表达式；(2)如图2，用宽为4个单位长度的直尺垂直于x轴，并沿x轴左右平移，直尺的左右两边所在的直线与抛物线相交于P，Q两点(点P在点Q的左侧)，连接PQ，在线段PQ上方抛物线上有一动点D，连接DP，DQ.①若点P的横坐标为－，求△DPQ面积的最大值，并求此时点D的坐标；②直尺在平移过程中，△DPQ面积是否有最大值？若有，求出面积的最大值；若没有，请说明理由．解：(1)将A(－1,0)，B(3,0)代入y＝ax2＋bx＋3，得解得∴抛物线的表达式为y＝－x2＋2x＋3.(2)①当点P的横坐标为－时，点Q的横坐标为，∴此时点P的坐标为(－，)，点Q的坐标为(，－)．设直线PQ的表达式为y＝mx＋n，将P(－，)，Q(，－)代入y＝mx＋n，得解得∴直线PQ的表达式为y＝－x＋.如答图，过点D作DE∥y轴交直线PQ于点E，29\n答图设点D的坐标为(x，－x2＋2x＋3)，则点E的坐标为(x，－x＋)，∴DE＝－x2＋2x＋3－(－x＋)＝－x2＋3x＋，∴S△DPQ＝DE·(xQ－xP)＝－2x2＋6x＋＝－2(x－)2＋8.∵－2<0，∴当x＝时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8，此时点D的坐标为(，)．②假设存在，设点P的横坐标为t，则点Q的横坐标为4＋t，∴点P的坐标为(t，－t2＋2t＋3)，点Q的坐标为(4＋t，－(4＋t)2＋2(4＋t)＋3)，利用待定系数法易知，直线PQ的表达式为y＝－2(t＋1)x＋t2＋4t＋3.设点D的坐标为(x，－x2＋2x＋3)，则点E的坐标为(x，－2(t＋1)x＋t2＋4t＋3)，∴DE＝－x2＋2x＋3－[－2(t＋1)x＋t2＋4t＋3]＝－x2＋2(t＋2)x－t2－4t，∴S△DPQ＝DE·(xQ－xP)＝－2x2＋4(t＋2)x－2t2－8t＝－2[x－(t＋2)]2＋8.∵－2<0，∴当x＝t＋2时，△DPQ的面积取最大值，最大值为8.∴假设成立，即直尺在平移过程中，△DPQ面积有最大值，面积的最大值为8.3．(2022·新疆)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝x2－x－4与x轴交于A，B两点(点A在点B左侧)，与y轴交于点C．(1)求点A，B，C的坐标；(2)点P从A点出发，在线段AB上以每秒2个单位长度的速度向B点运动，同时，点Q从B点出发，在线段BC上以每秒1个单位长度的速度向C点运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也停止运动．设运动时间为t秒，求运动时间t为多少秒时，△PBQ的面积S最大，并求出其最大面积；(3)在(2)的条件下，当△PBQ面积最大时，在BC下方的抛物线上是否存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍？若存在，求点M的坐标；若不存在，请说明理由．29\n解：(1)当x＝0时，y＝x2－x－4＝－4，∴点C的坐标为(0，－4)；当y＝0时，x2－x－4＝0，解得x1＝－2，x2＝3，∴点A的坐标为(－2,0)，点B的坐标为(3,0)．(2)设直线BC的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将B(3,0)，C(0，－4)代入y＝kx＋b，得解得∴直线BC的解析式为y＝x－4.过点Q作QE∥y轴，交x轴于点E，如答图1所示．当运动时间为t秒时，点P的坐标为(2t－2,0)，点Q的坐标为(3－t，－t)∴PB＝3－(2t－2)＝5－2t，QE＝t，∴S＝PB·QE＝－t2＋2t＝－(t－)2＋.∵－<0，∴当t＝秒时，△PBQ的面积S取最大值，最大值为.(3)存在，如答图2，过点M作MF∥y轴，交BC于点F，设点M的坐标为(m，m2－m－4)，则点F的坐标为(m，m－4)，∴MF＝m－4－(m2－m－4)＝－m2＋2m，∴S△BMC＝MF·OB＝－m2＋3m.∵△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍，∴－m2＋3m＝×1.6，即m2－3m＋2＝0，解得m1＝1，m2＝2.∵0<m<3，∴在BC下方的抛物线上存在点M，使△BMC的面积是△PBQ面积的1.6倍，此时点M的坐标为(1，－4)或(2，－)．29\n答图4．(2022·白银)如图，已知二次函数y＝ax2＋2x＋c的图象经过点C(0,3)，与x轴分别交于点A，点B(3,0)．点P是直线BC上方的抛物线上一动点．(1)求二次函数y＝ax2＋2x＋c的表达式；(2)连接PO，PC，并把△POC沿y轴翻折，得到四边形POP′C．若四边形POP′C为菱形，请求出此时点P的坐标；(3)当点P运动到什么位置时，四边形ACPB的面积最大？求出此时P点的坐标和四边形ACPB的最大面积．解：(1)将点B和点C的坐标代入函数表达式，得解得∴二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋3.(2)若四边形POP′C为菱形，则点P在线段CO的垂直平分线上，如答图1，作OC的垂直平分线交抛物线于点P，交y轴于点E，连接PP′，则PE⊥CO.答图1∵C(0,3)，∴E(0，)，∴点P的纵坐标为，当y＝时，即－x2＋2x＋3＝，解得x1＝，x2＝(不合题意，舍去)，∴点P的坐标为(，)．29\n(3)如答图2，过点P作PF⊥x轴于点F，交BC于点Q.答图2设直线BC的解析式为y＝kx＋b，将点B和点C的坐标代入函数解析式，得解得∴直线BC的解析式为y＝－x＋3.设点P的坐标为(m，－m2＋2m＋3)，则点Q的坐标为(m，－m＋3)，∴PQ＝－m2＋2m＋3－(－m＋3)＝－m2＋3m.当y＝0时，－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3，∴A(－1,0)，∴OA＝1，AB＝3－(－1)＝4，∴S四边形ABPC＝S△ABC＋S△PCQ＋S△PBQ＝AB·OC＋PQ·OF＋PQ·FB＝×4×3＋(－m2＋3m)×3＝－(m－)2＋，∴当m＝时，四边形ABPC的面积最大，最大面积为.当m＝时，－m2＋2m＋3＝，即P的坐标为(，)．综上所述，当点P的坐标为(，)时，四边形ACPB的最大面积为.类型5 二次函数与动点问题1．(2022·菏泽)如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝ax2＋bx－5交y轴于点A，交x轴于点B(－5,0)和点C(1,0)，过点A作AD∥x轴交抛物线于点D．(1)求此抛物线的表达式；(2)点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，求△EAD的面积；29\n(3)若点P是直线AB下方的抛物线上一动点，当点P运动到某一位置时，△ABP的面积最大，求出此时点P的坐标和△ABP的最大面积．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx－5交y轴于点A，交x轴于点B(－5,0)和点C(1,0)，∴解得∴此抛物线的表达式是y＝x2＋4x－5.(2)∵抛物线y＝x2＋4x－5交y轴于点A，∴点A的坐标为(0，－5)．∵AD∥x轴，点E是抛物线上一点，且点E关于x轴的对称点在直线AD上，∴点E的纵坐标是5，点E到AD的距离是10，当y＝－5时，－5＝x2＋4x－5，解得x＝0或x＝－4，∴点D的坐标为(－4，－5)，∴AD＝4，∴S△AED＝AD·EF＝×4×10＝20.(3)设点P的坐标为(p，p2＋4p－5)，如答图所示．答图设过点A(0，－5)，点B(－5,0)的直线AB的函数解析式为y＝mx＋n，则得∴直线AB的函数解析式为y＝－x－5.当x＝p时，y＝－p－5.∵OB＝5，∴S△ABP＝·5＝[－(p＋)2＋]．∵点P是直线AB下方的抛物线上一动点，∴－5<p<0，∴当p＝－时，S取得最大值，此时S＝，点p的坐标是(－，－)．综上，当点P的坐标是(－，－)时，△ABP的面积最大，此时△ABP的面积是.29\n2．(2022·德州)如图1，在平面直角坐标系中，直线y＝x－1与抛物线y＝－x2＋bx＋c交于A，B两点，其中A(m,0)，B(4，n)，该抛物线与y轴交于点C，与x轴交于另一点D．(1)求m，n的值及该抛物线的解析式；(2)如图2，若点P为线段AD上的一动点(不与A，D重合)，分别以AP，DP为斜边，在直线AD的同侧作等腰直角△APM和等腰直角△DPN，连接MN，试确定△MPN面积最大时P点的坐标；(3)如图3，连接BD，CD，在线段CD上是否存在点Q，使得以A，D，Q为顶点的三角形与△ABD相似？若存在，请直接写出点Q的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)把A(m,0)，B(4，n)代入y＝x－1，得m＝1，n＝3，∴A(1,0)，B(4,3)．∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A与点B，∴解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋6x－5.(2)∵△APM与△DPN都为等腰直角三角形，∴∠APM＝∠DPN＝45°，∴∠MPN＝90°，∴△MPN为直角三角形．令－x2＋6x－5＝0，解得x＝1或x＝5，∴D(5,0)，即DA＝5－1＝4.设AP＝m，则DP＝4－m，∴PM＝m，PN＝(4－m)，∴S△MPN＝PM·PN＝×m×(4－m)＝－m2－m＝－(m－2)2＋1，∴当m＝2，即AP＝2时，S△MPN最大，此时OP＝3，即P(3,0)．(3)存在，易得直线CD解析式为y＝x－5，设Q(x，x－5)，由题意得∠BAD＝∠ADC＝45°，当△ABD∽△DAQ时，＝，即＝，29\n解得AQ＝，由两点间的距离公式得(x－1)2＋(x－5)2＝，解得x＝或x＝(舍去)，此时Q(，－)；当△ABD∽△DQA时，＝1，即AQ＝，∴(x－1)2＋(x－5)2＝10，解得x＝2或x＝6(舍去)，此时Q(2，－3)．综上，点Q的坐标为(2，－3)或(，－)．类型6 二次函数与线段最值问题1．(2022·宜宾)在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线的顶点坐标为(2,0)，且经过点(4,1)．如图，直线y＝x与抛物线交于A，B两点，直线l为y＝－1.(1)求抛物线的解析式；(2)在l上是否存在一点P，使PA＋PB取得最小值？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．(3)已知F(x0，y0)为平面内一定点，M(m，n)为抛物线上一动点，且点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，求定点F的坐标．解：(1)∵抛物线的顶点坐标为(2,0)，∴设抛物线的解析式为y＝a(x－2)2.∵该抛物线经过点(4,1)，∴1＝4a，解得a＝，∴抛物线的解析式为y＝(x－2)2＝x2－x＋1.(2)联立直线AB与抛物线解析式成方程组，得解得∴点A的坐标为(1，)，点B的坐标为(4,1)．29\n如答图，作点B关于直线l的对称点B′，连接AB′交直线l于点P，此时PA＋PB取得最小值．答图∵点B(4,1)，直线l为y＝－1，∴点B′的坐标为(4，－3)．设直线AB′的解析式为y＝kx＋b(k≠0)，将A(1，)，B′(4，－3)代入y＝kx＋b，得解得∴直线AB′的解析式为y＝－x＋，当y＝－1时，有－x＋＝－1，解得x＝，∴点P的坐标为(，－1)．(3)∵点M到直线l的距离与点M到点F的距离总是相等，∴(m－x0)2＋(n－y0)2＝(n＋1)2，∴m2－2x0m＋x－2y0n＋y＝2n＋1.∵M(m，n)为抛物线上一动点，∴n＝m2－m＋1，∴m2－2x0m＋x－2y0(m2－m＋1)＋y＝2(m2－m＋1)＋1，整理，得(1－－y0)m2＋(2－2x0＋2y0)m＋x＋y－2y0－3＝0.∵m为任意值，∴∴∴定点F的坐标为(2,1)．2．(2022·烟台)如图1，抛物线y＝ax2＋2x＋c与x轴交于A(－4,0)，B(1,0)两点，过点B的直线y＝kx＋分别与y轴及抛物线交于点C，D．29\n(1)求直线和抛物线的表达式；(2)动点P从点O出发，在x轴的负半轴上以每秒1个单位长度的速度向左匀速运动．设运动时间为t秒，当t为何值时，△PDC为直角三角形？请直接写出所有满足条件的t的值；(3)如图2，将直线BD沿y轴向下平移4个单位后，与x轴，y轴分别交于E，F两点，在抛物线的对称轴上是否存在点M，在直线EF上是否存在点N，使DM＋MN的值最小？若存在，求出其最小值及点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．解：(1)把A(－4,0)，B(1,0)代入y＝ax2＋2x＋c，得解得∴抛物线的表达式为y＝x2＋2x－.∵直线y＝kx＋过点B，∴将B(1,0)代入，得k＝－，∴直线的表达式为y＝－x＋.(2)由得交点坐标D(－5,4)．如答图1，过点D作DE⊥x轴于点E，作DF⊥y轴于点F.答图1当P1D⊥P1C时，△P1DC为直角三角形，则△DEP1∽△P1OC，∴＝，即＝，解得t＝；当P2D⊥DC时，△P2DC为直角三角形，由△P2DB∽△DEB得＝，即＝，解得t＝；29\n当P3C⊥DC时，△DFC∽△COP3，∴＝，即＝，解得t＝.∴当t的值为或或时，△PDC为直角三角形．(3)存在．由已知得直线EF解析式为y＝－x－.如答图2，在抛物线上取点D的对称点D′，过点D′作D′N⊥EF于点N，交抛物线对称轴于点M，过点N作NH⊥DD′于点H，此时，DM＋MN＝D′N最小．答图2则D(2,4)，△EOF∽△NHD′.设点N的坐标为(a，－a－)，∴＝，即＝，解得a＝－2，则N点坐标为(－2，－2)．由N(－2，－2)，D′(2,4)求得直线ND′的解析式为y＝x＋1，当x＝－时，y＝－，∴点M的坐标为(－，－)，此时，DM＋MN的值最小为＝＝2.29
