第二部分 专题二类型1 购买、销售、分配类问题1．(2022·常德)某水果店5月份购进甲、乙两种水果共花费1700元，其中甲种水果8元/千克，乙种水果18元/千克.6月份，这两种水果的进价上调为甲种水果10元/千克，乙种水果20元/千克．(1)若该店6月份购进这两种水果的数量与5月份都相同，将多支付货款300元，求该店5月份购进甲、乙两种水果分别是多少千克．(2)若6月份将这两种水果进货总量减少到120千克，且甲种水果不超过乙种水果的3倍，则6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是多少元？解：(1)设该店5月份购进甲种水果x千克，购进乙种水果y千克，根据题意，得解得答：该店5月份购进甲种水果100千克，购进乙种水果50千克．(2)设购进甲种水果a千克，需要支付的货款为w元，则购进乙种水果(120－a)千克，根据题意，得w＝10a＋20(120－a)＝－10a＋2400.∵甲种水果不超过乙种水果的3倍，∴a≤3(120－a)，解得a≤90.∵k＝－10<0，∴w随a值的增大而减小，∴当a＝90时，w取最小值，最小值为－10×90＋2400＝1500.答：6月份该店需要支付这两种水果的货款最少应是1500元．2．(2022·泰安)文美书店决定用不多于20000元购进甲乙两种图书共1200本进行销售．甲、乙两种图书的进价分别为每本20元、14元，甲种图书每本的售价是乙种图书每本售价的1.4倍．若用1680元在文美书店可购买甲种图书的本数比用1400元购买乙种图书的本数少10本．(1)甲、乙两种图书的售价分别为每本多少元？(2)书店为了让利读者，决定甲种图书售价每本降低3元，乙种图书售价每本降低2元，问书店应如何进货才能获得最大利润？(购进的两种图书全部销售完)解：(1)设乙种图书售价每本x元，则甲种图书售价为每本1.4x元．由题意，得－＝10，解得x＝20.检验：当x＝20时，1.4x≠0，所以x＝20是原方程的解，且符合题意．所以，甲种图书售价为每本1.4×20＝28(元)．答：甲种图书的售价为每本28元，乙种图书的售价为每本20元．11\n(2)设甲种图书进货a本，总利润w元，则w＝(28－20－3)a＋(20－14－2)(1200－a)＝a＋4800.又∵20a＋14×(1200－a)≤20000，解得a≤，w随a的增大而增大，∴当a＝533时，w最大，此时，乙种图书进货本数为1200－533＝667(本)．答：甲种图书进货533本，乙种图书进货667本时能获得最大利润．3．某商场销售A，B两种商品，售出1件A种商品和4件B种商品所得利润为600元，售出3件A种商品和5件B种商品所得利润为1100元．(1)求每件A种商品和每件B种商品售出后所得利润各多少元？(2)若该商场一次购进A，B两种商品共34件，全部售完后所得利润不低于4000元，那么该商场至少需要购进多少件A种商品？解：(1)设每件A种商品利润为x元，每件B种商品利润为y元．由题意，得解得答：每件A种商品利润为200元，每件B种商品利润为100元．(2)设购进A种商品a件，则购进B种商品(34－a)件．由题意，得200a＋100(34－a)≥4000，解得a≥6.答：商场至少需购进6件A种商品．4．某校周六、周日分别从甲班与乙班各选出20位同学去帮助某果园的果农采摘菠萝，任务都是完成720千克菠萝的采摘、运送、包装三项工作．已知每个同学每小时完成同项工作的工作量一样，且知每人每小时可采摘60千克．(1)周六时甲班将工作做如下分配：6人采摘，8人运送，6人包装，发现刚好各项工作完成的时间相等，那么每人每小时运送、包装各多少千克？(2)得知相关信息后，周日乙班将分配方案调整如下：20人一起完成采摘任务后，然后自由分成两组，第一组运送，第二组包装，发现当第一组完成了任务时，第二组在相等的时间内还有80千克的菠萝还没有包装，于是第一组同学马上帮助第二组同学进行包装直至完成任务，试问自由分成的两组各多少人？解：(1)设采摘了x小时，根据题意，得6×60×x＝720，解得x＝2，故每人每小时包装：720÷(6×2)＝60(kg)，每人每小时运送720÷(8×2)＝45(kg)．答：每人每小时运送60kg、包装45kg.11\n(2)设负责运送的人数为y人，则包装人数为(20－y)人，根据题意，得＝，解得y＝12，检验：当y＝12时，45y≠0,20－y≠0，所以y＝12是原方程的根，且符合题意，可知自由分成的两组中，第一组12人，第二组为20－12＝8(人)．答：自由分成的第一组12人，第二组8人．类型2 工程、生产、行程类问题1．(2022·昆明盘龙区模拟)一辆汽车计划从A地出发开往相距180千米的B地，事发突然，加速为原速的1.5倍，结果比计划提前40分钟到达B地，求原计划平均每小时行驶多少千米？解：设原计划平均每小时行驶x千米，则加速后平均每小时行驶1.5x千米，根据题意，得－＝，解得x＝90，经检验，x＝90是原分式方程的根，且符合题意．答：原计划平均每小时行驶90千米．2．(2022·威海)某自动化车间计划生产480个零件，当生产任务完成一半时，停止生产进行自动化程序软件升级，用时20分钟，恢复生产后工作效率比原来提高了，结果完成任务时比原计划提前了40分钟，求软件升级后每小时生产多少个零件？解：设升级前每小时生产x个零件，根据题意，得－＝＋.解得x＝60.检验，当x＝60时，(1＋)x≠0，所以x＝60是原方程的解且符合题意．∴60×(1＋)＝80(个)．答：软件升级后每小时生产80个零件．3．(2022·抚顺)为落实“美丽抚顺”的工作部署，市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队完成．已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造360米的道路比乙队改造同样长的道路少用3天．(1)甲、乙两工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？11\n(2)若甲队工作一天需付费用7万元，乙队工作一天需付费用5万元，如需改造的道路全长1200米，改造总费用不超过145万元，至少安排甲队工作多少天？解：(1)设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为x米，根据题意得－＝3，解得x＝40，检验：当x＝40时，x≠0，所以x＝40是原分式方程的解，且符合题意，x＝×40＝60.答：乙工程队每天能改造道路的长度为40米，甲工程队每天能改造道路的长度为60米．(2)设安排甲队工作m天，则安排乙队工作天，根据题意得7m＋5×≤145，解得m≥10.答：至少安排甲队工作10天．4．(2022·官渡区二模)列方程(组)及不等式解应用题某种型号油、电混合动力汽车，从A地到B地使用纯燃油行驶的费用为76元；从A地到B地使用纯电行驶的费用为26元．已知每行驶1千米用纯燃油行驶的费用比用纯电行驶的费用多0.5元．(1)求用纯电行驶1千米的费用为多少元？(2)若要使从A地到B地油电混合行驶所需的油和电总费用不超过39元，则至少用电行驶多少千米？解：(1)设用纯电行驶1千米的费用为x元，则用纯油行驶1千米的费用为(x＋0.5)元，根据题意得＝，解得x＝0.26，检验，当x＝0.26时，x＋0.5≠0，所以x＝0.26是原分式方程的解．答：用纯电行驶1千米的费用为0.26元．(2)设从A地到B地用电行驶y千米，根据题意得0.26y＋(0.26＋0.5)(－y)≤39，解得y≥74.答：至少用电行驶74千米．11\n类型3 增长率问题1．随着阿里巴巴、淘宝网、京东、小米等互联网巨头的崛起，催生了快递行业的高速发展．据调查，杭州市某家小型快递公司，今年一月份与三月份完成投递的快递总件数分别为10万件和12.1万件．现假定该公司每月投递的快递总件数的增长率相同．(1)求该快递公司投递快递总件数的月平均增长率；(2)如果平均每人每月最多可投递快递0.6万件，那么该公司现有的21名快递投递业务员能否完成今年4月份的快递投递任务？如果不能，请问至少需要增加几名业务员？解：(1)设该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为x，由题意，得10×(1＋x)2＝12.1，解得x1＝10%，x2＝－210%(舍去)．答：该快递公司投递快递总件数的月平均增长率为10%.(2)不能，4月：12.1×1.1＝13.31(万件)，21×0.6＝12.6<13.31，∴该公司现有的21名快递投递业务员不能完成今年4月份的快递投递任务．∵22<<23，∴至少还需增加2名业务员．答：不能，至少需要增加2名业务员．2．受益于国家支持新能源汽车发展和“一带一路”发展战略等多重利好因素，我市某汽车零部件生产企业的利润逐年提高，据统计，2022年利润为2亿元，2022年利润为2.88亿元．(1)求该企业从2022年到2022年利润的年平均增长率；(2)若2022年保持前两年利润的年平均增长率不变，该企业2022年的利润能否超过3.4亿元？解：(1)设该企业从2022年到2022年利润平均增长率为x.根据题意得2(1＋x)2＝2.88，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(不合题意，舍去)．答：该企业从2022年到2022年利润平均增长率为20%.(2)如果2022年仍保持相同的年平均增长率，那么2022年该企业年利润为2.88(1＋20%)＝3.456，3．456>3.4，答：该企业2022年的利润能超过3.4亿元．3．为进一步促进义务教育均衡发展，某市加大了基础教育经费的投入，已知2022年该市投入基础教育经费5000万元，2022年投入基础教育经费7200万元．(1)求该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率；11\n(2)如果按(1)中基础教育经费投入的年平均增长率计算，该市计划2022年用不超过当年基础教育经费的5%购买电脑和实物投影仪共1500台，调配给农村学校，若购买一台电脑需3500元，购买一台实物投影需2000元，则最多可购买电脑多少台？解：(1)设该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为x，根据题意得5000(1＋x)2＝7200，解得x1＝0.2＝20%，x2＝－2.2(舍去)．答：该市这两年投入基础教育经费的年平均增长率为20%.(2)2022年投入基础教育经费为7200×(1＋20%)＝8640(万元)，设购买电脑m台，则购买实物投影仪(1500－m)台，根据题意得3500m＋2000(1500－m)≤86400000×5%，解得m≤880.答：2022年最多可购买电脑880台．类型4 方案设计问题与最值问题1．(2022·怀化)某学校积极响应怀化市“三城同创”的号召，绿化校园，计划购进A，B两种树苗，共21棵，已知A种树苗每棵90元，B种树苗每棵70元．设购买A种树苗x棵，购买两种树苗所需费用为y元．(1)求y与x的函数表达式，其中0≤x≤21；(2)若购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，请给出一种费用最省的方案，并求出该方案所需费用．解：(1)根据题意，得y＝90x＋70(21－x)＝20x＋1470，∴y与x的函数表达式为y＝20x＋1470.(2)∵购买B种树苗的数量少于A种树苗的数量，∴21－x<x，解得x>10.5.又∵y＝20x＋1470，且x取整数，∴当x＝11时，y有最小值为1690，答：使费用最省的方案是购买B种树苗10棵，A种树苗11棵，所需费用为1690元．2．(2022·恩施)某学校为改善办学条件，计划采购A，B两种型号的空调，已知采购3台A型空调和2台B型空调，需费用39000元；4台A型空调比5台B型空调的费用多6000元．(1)求A型空调和B型空调每台各需多少元；(2)若学校计划采购A，B两种型号空调共30台，且A型空调的台数不少于B型空调的一半，两种型号空调的采购总费用不超过217000元，该校共有哪几种采购方案？11\n(3)在(2)的条件下，采用哪一种采购方案可使总费用最低，最低费用是多少元？解：(1)设A型空调和B型空调每台各需x元、y元，由题意得解得答：A型空调和B型空调每台各需9000元、6000元．(2)设购买A型空调a台，则购买B型空调(30－a)台，解得10≤a≤12，∴a＝10,11,12，共有三种采购方案，方案一：采购A型空调10台，B型空调20台，方案二：采购A型空调11台，B型空调19台，方案三：采购A型空调12台，B型空调18台．(3)设总费用为w元，w＝9000a＋6000(30－a)＝3000a＋180000，∴当a＝10时，w取得最小值，此时w＝210000，答：采购A型空调10台，B型空调20台可使总费用最低，最低费用是210000元．3．(2022·梧州)我市从2022年1月1日开始，禁止燃油助力车上路，于是电动自行车的市场需求量日渐增多．某商店计划最多投入8万元购进A，B两种型号的电动自行车共30辆，其中每辆B型电动自行车比每辆A型电动自行车多500元．用5万元购进的A型电动自行车与用6万元购进的B型电动自行车数量一样．(1)求A，B两种型号电动自行车的进货单价；(2)若A型电动自行车每辆售价为2800元，B型电动自行车每辆售价为3500元，设该商店计划购进A型电动自行车m辆，两种型号的电动自行车全部销售后可获利润y元．写出y与m之间的函数关系式；(3)该商店如何进货才能获得最大利润？此时最大利润是多少元？解：(1)设A，B两种型号电动自行车的进货单价分别为x元、(x＋500)元．由题意得＝，解得x＝2500，检验：当x＝2500时，x(x＋500)≠0，所以x＝2500是分式方程的解，且符合题意，此时x＋500＝3000.答：A，B两种型号电动自行车的进货单价分别为2500元，3000元．(2)∵购进A型电动自行车m辆，∴购进B型电动自行车(30－m)辆．根据题意得y＝(2800－2500)m＋(3500－3000)(30－m)＝－200m＋15000.11\n(3)根据题意得，2500m＋3000(30－m)≤80000，解得m≥20.又∵m＜30，∴20≤m＜30，由(2)得y＝－200m＋15000，∵－200＜0，∴y随m的增大而减小，∴当m＝20时，y取最大值，最大值为－200×20＋15000＝11000(元)．此时30－m＝10.答：当购进A种型号电动自行车20辆，B种型号电动自行车10辆时，能获得最大利润，此时最大利润是11000元．4．(2022·湘西)某商店销售A型和B型两种电脑，其中A型电脑每台的利润为400元，B型电脑每台的利润为500元．该商店计划再一次性购进两种型号的电脑共100台，其中B型电脑的进货量不超过A型电脑的2倍，设购进A型电脑x台，这100台电脑的销售总利润为y元．(1)求y关于x的函数关系式；(2)该商店购进A型、B型电脑各多少台，才能使销售总利润最大，最大利润是多少？(3)实际进货时，厂家对A型电脑出厂价下调a(0<a<200)元，且限定商店最多购进A型电脑60台，若商店保持同种电脑的售价不变，请你根据以上信息，设计出使这100台电脑销售总利润最大的进货方案．解：(1)根据题意，y＝400x＋500(100－x)＝－100x＋50000.(2)∵100－x≤2x，∴x≥＝33.∵y＝－100x＋50000中k＝－100<0，∴y随x的增大而减小．∵x为正数，∴当x＝34时，y取得最大值，最大值为46600，答：该商店购进A型电脑34台、B型电脑66台，才能使销售总利润最大，最大利润是46600元．(3)据题意得，y＝(400＋a)x＋500(100－x)，即y＝(a－100)x＋50000，33≤x≤60①当0<a<100时，y随x的增大而减小，∴当x＝34时，y取最大值，即商店购进34台A型电脑和66台B型电脑的销售利润最大．②当a＝100时，a－100＝0，y＝50000，11\n即商店购进A型电脑数量满足33≤x≤60的整数时，均获得最大利润；③当100<a<200时，a－100>0，y随x的增大而增大，∴当x＝60时，y取得最大值．即商店购进60台A型电脑和40台B型电脑的销售利润最大．类型5 图象类问题1．(2022·上海)一辆汽车在某次行驶过程中，油箱中的剩余油量y(升)与行驶路程x(千米)之间是一次函数关系，其部分图象如图所示．(1)求y关于x的函数关系式；(不需要写定义域)(2)已知当油箱中的剩余油量为8升时，该汽车会开始提示加油，在此次行驶过程中，行驶了500千米时，司机发现离前方最近的加油站有30千米的路程，在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是多少千米？解：(1)设该一次函数的解析式为y＝kx＋b，将(150,45)，(0,60)代入y＝kx＋b中，解得∴该一次函数的解析式为y＝－x＋60.(2)当y＝－x＋60＝8时，解得x＝520.即行驶520千米时，油箱中的剩余油量为8升．530－520＝10千米，油箱中的剩余油量为8升时，距离加油站10千米．∴在开往该加油站的途中，汽车开始提示加油，这时离加油站的路程是10千米．2．(2022·衡阳)一名在校大学生利用“互联网＋”自主创业，销售一种产品，这种产品的成本价10元/件，已知销售价不低于成本价，且物价部门规定这种产品的销售价不高于16元/件，市场调查发现，该产品每天的销售量y(件)与销售价x(元/件)之间的函数关系如图所示．11\n(1)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(2)求每天的销售利润W(元)与销售价x(元/件)之间的函数关系式，并求出每件销售价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？解：(1)设y与x的函数解析式为y＝kx＋b，将(10,30)，(16,24)代入，得解得所以y与x的函数解析式为y＝－x＋40(10≤x≤16)．(2)根据题意知，W＝(x－10)y＝(x－10)(－x＋40)＝－x2＋50x－400＝－(x－25)2＋225，∵a＝－1<0，∴当x<25时，W随x的增大而增大．∵10≤x≤16，∴当x＝16时，W取得最大值，最大值为144，答：每件销售价为16元时，每天的销售利润最大，最大利润是144元．3．为更新果树品种，某果园计划新购进A，B两个品种的果树苗栽植培育，若计划购进这两种果树苗共45棵，其中A种树苗的单价为7元/棵，购买B种树苗所需费用y(元)与购买数量x(棵)之间存在如图所示的函数关系．(1)求y与x的函数关系式；(2)若在购买计划中，B种树苗的数量不超过35棵，但不少于A种树苗的数量，请设计购买方案，使总费用最低，并求出最低费用．解：(1)设y与x的函数关系式为y＝kx＋b，当0≤x＜20时，把(0,0)，(20,160)代入y＝kx＋b中，得解得此时y与x的函数关系式为y＝8x；当x≥20时，把(20,160)，(40,288)代入y＝kx＋b中，得解得此时y与x的函数关系式为y＝6.4x＋32.综上可知：y与x的函数关系式为y＝(2)∵B种树苗的数量不超过35棵，但不少于A种树苗的数量，11\n∴∴22.5≤x≤35，设总费用为W元，则W＝6.4x＋32＋7(45－x)＝－0.6x＋347，∵k＝－0.6，∴W随x的增大而减小，∴当x＝35时，W总费用最低，W最低＝－0.6×35＋347＝326(元)．答：当B种树苗为35棵树，总费用最低为326元．4．春节期间，小丽一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．租车公司：按日收取固定租金80元，另外再按租车时间计费．共享汽车：无固定租金，直接以租车时间(时)计费．如图是两种租车方式所需费用y1(元)，y2(元)与租车时间x(时)之间的函数图象，根据以上信息，回答下列问题：(1)分别求出y1，y2与x的函数表达式；(2)请你帮助小丽一家选择合算的租车方案．解：(1)由题意，设y1＝kx＋80，将(2,110)代入，得110＝2k＋80，解得k＝15，则y1与x的函数表达式为y1＝15x＋80；设y2＝mx，将(5,150)代入，得150＝5m，解得m＝30，则y2与x的函数表达式为y2＝30x.(2)由y1＝y2得，15x＋80＝30x，解得x＝；由y1<y2得，15x＋80<30x，解得x>；由y1>y2得，15x＋80>30x，解得x<.故当租车时间为小时时，两种选择一样；当租车时间大于小时时，选择租车公司合算；当租车时间小于小时时，选择共享汽车合算．11
