知识点30直角三角形、勾股定理一、选择题1.（2022山东滨州，1，3分）在直角三角形中，若勾为3，股为4，则弦为（）A．5B．6C．7D．8【答案】A【解析】∵三角形为直角三角形，∴三边满足勾股定理，∴弦为：＝5．【知识点】勾股定理2.（2022四川泸州，8题，3分）“赵爽弦图”巧妙地利用面积关系证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲.如图3所示的“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形较长直角边长为a,较短直角边长为b,若ab=8，大正方形的面积为25,则小正方形的边长为（）A.9B.6C.4 D.3第8题图【答案】D【解析】因为ab=8，所以三角形的面积为ab=4，则小正方形的面积为25-4×4=9，边长为3【知识点】勾股定理，三角形面积，平方根3.（2022年山东省枣庄市，12，3分）如图，在中，，，垂足为，平分，交于点，交于点.若，则的长为（）18\nA．B．C．D．【答案】A【思路分析】在中，，平分，可知CE=CF，过F作FH垂直于AB，FH=CF，在Rt△FBH中设CF=x，利用勾股定理列方程求出CF的长，从而得到CE的长.【解题过程】解：在中，，∴∠ACD=∠B，∵平分，∴∠CAF=∠BAF，∴∠CEF=∠CFE，CE=CF，如图，过点F作FG⊥AB，∵平分，∴CF=FG，AG=AC=3，BG=2，设CF=FG=x，∵，∴BC=4，则BF=4-x，在Rt△FBG中，，解得，即CE=CF=，故选A.【知识点】勾股定理；角平分线的性质；等腰三角形4.（2022湖南长沙，11题，3分）我国南宋著名数学家秦久韶的著作《数书九章》里记载有这样一道题目：“问有沙田一块，有三斜，其中小斜五里，中斜十二里，大斜十三里，欲知为田几何？”这道题讲的是：有一块三角形沙田，三边长分别为5里，12里，13里，问这块沙田面积有多大？题中的“里”是我国市制长度单位，1里=500米，则该沙田的面积为（）A.7.5平方千米B.15平方千米C.75平方千米D.750平方千米【答案】A【解析】将里换算为米为单位,则三角形沙田的三边长为2.5千米,6千米,6.5千米,因为2.52+62=6.52，所以18\n这个三角形为直角三角形,直角边长为2.5千米和6千米，所以S=×6×2.5=7.5(平方千米)，故选A【知识点】勾股定理的逆定理，三角形面积5.(2022山东青岛中考，6，3分)如图，三角形纸片ABC，AB=AC，∠BAC=90°，点E为AB中点．沿过点E的直线折叠，使点B与点A重合，折痕EF交BC于点F．已知，则BC的长是（）A．B．C．3D．【答案】B【解析】∵AB=AC，∠BAC=90°，∴∠B=45°．由折叠的性质可得∠BEF=90°，∴∠BFE=45°，∴BE=EF=．∵点E为AB中点，∴AB=AC=3．在Rt△ABC中，BC===．故选B．【知识点】折叠的性质；等腰三角形的性质与判定；勾股定理；6.（2022山东省淄博市，12，4分）如图，P为等边三角形ABC内的一点，且P到三个顶点A、B、C的距离分别为3、4、5，则△ABC的面积为（A）9+（B）9+（C）18+（D）18+18\n【答案】A【思路分析】将△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AHC，作AI⊥CH交CH延长线于点I，则△APH为等边三角形，利用已知线段证明△PHC为直角三角形，从而得到∠AHC=150°，∠AHI=30°，求得AI、IH，进而求得IC，利用勾股定理求出AC，再利用正三角形面积公式求出三角形ABC的面积.【解题过程】将△APB绕点A逆时针旋转60°得到△AHC，作AI⊥CH交CH延长线于点I，则△APH为等边三角形，HA=HP=PA=3，HC=PB=4，∵PC=5，∴PC2=PH2+CH2，∴∠PHC=90°，∴∠AHI=30°，∴AI=，HI=，∴CI=+4，∴AC2=（）2+（+4）2=25+12，∴S△ABC=AC2=（25+12）=9+.【知识点】图形的旋转的性质；解直角三角形；正三角形的面积；勾股定理及逆定理1.（2022湖北黄冈，5题，3分）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD为AB边上的高，CE为AB边上的中线，AD=2，CE=5，则CD=（）A.2B.3C.4D.18\n第5题图【答案】C【解析】在Rt△ABC中，CE为AB边上的中线，所以CE=AB=AE，因为CE=5，AD=2，所以DE=3，因为CD为AB边上的高，所以在Rt△CDE中，=4，故选C【知识点】直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，勾股定理2.（2022四川凉山州，3，4分）如图，数轴上点A对应的数为2，AB⊥OA于A，且AB＝1，以O为圆心，OB长为半径作弧，交数轴于点C，则OC长为（）A.3B.C.D.【答案】D【解析】∵AB⊥OA于A，∴∠OAB=90°.在Rt△OAB中，由勾股定理得OB=.∴OC=OB=.故选择D.【知识点】直角三角形的判定，勾股定理，尺规作图.二、填空题18\n1.（2022年山东省枣庄市，15，4分）我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》一书中，给出了著名的秦九韶公式，也叫三斜求积公式.即：如果一个三角形的三边长分别为，则该三角形的面积为，已知的三边长分别为，则的面积为.【答案】1【解析】方法一：把代入三角形的面积得，故填1.方法二：由的三边长分别为，根据勾股定理的逆定理得是直角三角形，其面积为，故填1.【知识点】二次根式；勾股定理的逆定理2.（2022四川省成都市，14，4）如图，在矩形ABCD中，按以下步骤作图：①分别以点A和C为圆心，以大于AC的长为半径作弧，两弧相交于点M和N；②作直线MN交CD于点E，若DE＝2，CE＝3，则矩形的对角线AC的长为．【答案】【思路分析】因为由作图可知MN为线段AC的垂直平分线，则有AE＝CE＝3，在Rt△ADE中，由勾股定理可以求出AD的长，然后再在Rt△ADC中用勾股定理求出AC即可．【解析】解：连接AE，由作图可知MN为线段AC的垂直平分线，∴AE＝CE＝3，在Rt△ADE中，＝＋，∴AD＝＝，在Rt△ADC中，＝＋，∵CD＝DE＋CE＝5，∴AC＝＝18\n．【知识点】尺规作图；线段垂直平分线的性质；勾股定理3.（2022天津市，18，3）如图，在每个小正方形的边长为1的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上.（1）∠ACB的大小为（度）；（2）在如图所示的网格中，P是BC边上任意一点.A为中心，取旋转角等于∠BAC，把点P逆时针旋转，点P的对应点为P′.当CP′最短时，请用无刻度的直尺，画出点P′，并简要说明点P′的位置是如何找到的（不要求证明）．【答案】90°;如图，取格点D，E，连接DE交AB于点T；取格点M，N，连接MN交BC延长线于点G；取格点F，连接FG交TC延长线于点P′，则点P′即为所求.18\n【解析】分析：本题考查了勾股定理及其逆定理．解题的关键是分析题意并构造出如图所示的三对格点．解：(1)在网格中由勾股定理得：∴△ABC为直角三角形，∴∠ACB=90°(2)如图，取格点，，连接交于点；取格点，，连接交延长线于点；取格点，连接交延长线于点，则点即为所求.【知识点】勾股定理定理及逆定理；格点作图4.（2022浙江湖州，16，4）在每个小正方形的边为1的网格图形中，每个小正方形的顶点为格点．以顶点都是格点的正方形ABCD的边为斜边，向内作四个全等的直角三角形，使四个直角顶点E，F，G，H都是格点，且四边形EFGH为正方形，我们把这样的图形称为格点弦图．例如，在图1所示的格点弦图中，正方形ABCD的边长为，此时正方形EFGH的面积为5．问：当格点弦图中的正方形ABCD的边长为时，正方形EFGH的面积的所有可能值是（不包括5）．图1【答案】9，13和49【解析】设图中直角三角形的长直角边为a，短直角边为b，则a2+b2＝65．小正方形的面积为（a－b）2．∴只要能把长为a和b的线段在网格中画出来，并且a和b的端点都在格点上即可．∵65可以写作64+1或49+16，所以a，b的值分别为8，1或7，4．此时小正方形的面积为49或9．另外，∵长为13和5的线段也可以在网格中画出，所以65还可以写成52+13或45+20，此时a，b的值分别为2，和3，2．此时小正方形的面积为13和5．小正方形的面积为9，13和49对应的图形分别为下图的①②③．故填9，13和49.18\n【知识点】勾股定理1.（2022湖北黄冈，13题，3分）如图，圆柱形玻璃杯高为14cm，底面周长为32cm，在杯内壁离杯底5cm的点B处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿3cm与蜂蜜相对的点A处，则蚂蚁从外壁A处到内壁B处的最短距离为______cm（杯壁厚度不计）第13题图【答案】20【解析】如图，点E与点A关于直线l对称，连接EB，即为蚂蚁爬行的最短路径，过点B做BC⊥AE于点C，则Rt△EBC中，BC=32÷2=16cm，EC=3+14-5=12cm，所以第13题解图【知识点】轴对称，勾股定理2.（2022·重庆A卷，16，4）如图，把三角形纸片折叠，使点B、点C都与点A重合，折痕分别为DE、FG，得到∠AGE＝30°，若AE＝EG＝厘米，则△ABC的边BC的长为厘米．【答案】4＋6．【解析】如下图，过点E作EM⊥AG于点M，则由AE＝EG，得AG＝2MG．∵∠AGE＝30°，EG＝厘米，18\n∴EM＝EG＝（cm）．在Rt△EMG中，由勾股定理，得MG＝＝3（cm），从而AG＝6cm．由折叠可知，BE＝AE＝（cm），GC＝AG＝6cm．∴BC＝BE＋EG＋GC＝＋＋6＝4＋6（cm）．【知识点】翻折；轴对称；勾股定理；直角三角形的性质；等腰三角形3.（2022江苏淮安，15，3）如图，在份Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3,BC=5,分别以A、B为圆心，大于AB的长为半径画弧，两弧交点分别为点P、Q,过P、Q两点作直线交BC于点D，则CD的长是.(第15题）【答案】1.6【解析】本题考查勾股定理和基本作图，连结AD,由线段的垂直平分线的性质可知AD=BD,再由勾股定理可求得CD.解：连结AD由作法可知AD=BD,在Rt△ACD中设CD=x,则AD=BD=5-x,AC=3.18\n由勾股定理得，CD2+AC2=AD2即x2+32=(5-x)2解得x=1.6故答案为1.6【知识点】勾股定理；轴对称；线段的垂直平分线；基本作图4.（2022山东德州，15，4分）如图,为的平分线，，，，则点到射线的距离为．【答案】3【解析】因为，，，所以CM=3，过点C作CM⊥OA于N，又因为为的平分线，所以CN=CM=3，即点到射线的距离为3．【知识点】勾股定理，角平分线的性质5.（2022福建A卷，13，4）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D为AB的中点，则CD=_______．【答案】3【思路分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得出CD的值.【解析】解：在△ABC中，以∠ACB为直角的直角三角形的斜边AB=6，∵CD是AB边上的中线，∴CD=AB=3.【知识点】直角三角形18\n6.（2022福建A卷，15，4）把两个相同大小的含45°角的三角板如图所示放置，其中一个三角板的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，另外三角板的锐角顶点B、C、D在同一直线上，若AB=，则CD=_______．【答案】【思路分析】首先利用勾股定理计算出BC、AD的长，过点A作AF⊥BC，由“三线合一”及等腰直直角三角形的性质易求得AF=CF，在直角三角形ADF中，再次利用勾股定理计算出DF的长度，问题便获得解决.【解析】解：过点A作AF⊥BC，垂足为点F，∵AB=AC，∴CF=，∵AB=AC=，∴AD=，∴CF=1，∵∠C=45°，∴AF=CF=1，∴，∴.【知识点】等腰三角形的性质，勾股定理7.（2022福建B卷，13，4）如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=6，D为AB的中点，则CD=_______．【答案】3【思路分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，可得出CD的值.【解题过程】解：在△ABC中，以∠ACB为直角的直角三角形的斜边AB=6，∵CD是AB边上的中线，∴CD=AB=3.18\n【知识点】直角三角形8.（2022福建B卷，15，4）把两个相同大小的含45°角的三角板如图所示放置，其中一个三角板的锐角顶点与另一个的直角顶点重合于点A，另外三角板的锐角顶点B、C、D在同一直线上，若AB=，则CD=_______．【答案】【思路分析】首先利用勾股定理计算出BC、AD的长，过点A作AF⊥BC，由“三线合一”及等腰直直角三角形的性质易求得AF=CF，在直角三角形ADF中，再次利用勾股定理计算出DF的长度，问题便获得解决.【解析】解：过点A作AF⊥BC，垂足为点F，∵AB=AC，∴CF=，∵AB=AC=，∴AD=，∴CF=1，∵∠C=45°，∴AF=CF=1，∴，∴.【知识点】等腰三角形的性质，勾股定理9.（2022湖北省襄阳市，15，3分）已知CD是△ABC的边AB上的高，若CD=，AD=1，AB=2AC，则BC的长为=▲.【答案】【解析】解：分两种情况讨论：18\n①当CD在△ABC内部时，如图在Rt△ACD中，由勾股定理得AC==2.∴AB=2AC=4，∴BD=AB-AD=3.在Rt△BCD中，由勾股定理得，BC==.②当CD在△ABC外部时，如图此时，AB=4，BD=BA+AD=5,在Rt△ABD中，由勾股定理得，BC==.综上所述，BC的长为.故答案为.【知识点】勾股定理，分类讨论思想10.（2022广西玉林，17题，3分）如图，在四边形ABCD中，∠B=∠D=90°，∠A=60°，AB=4，则AD的取值范围是_______18\n第17题图【答案】2<AD<8【解析】由题，∠A=60°，AB=4，已确定，AD的长度可以变化，如下图（1），是AD最短的情况，此时AD=ABcos60°=2，如下图（2），是AD最长的情况，此时AD=AB/cos60°=8，而这两种情况四边形ABCD就变成了三角形，故都不能达到，故AD的取值范围是2<AD<8第17题图（1）第17题图（2）【知识点】动态问题，特殊的三角函数值三、解答题1.（2022四川广安，题号24，分值8）下面有4张形状，大小完全相同的方格纸，方格纸中的每个小正方形的边长都是1，请在方格纸中分别画出符合要求的图形，所画图形各顶点必须与方格纸中小正方形的顶点重合，具体要求如下：（1）画一个直角边为4，面积为6的直角三角形.（2）画一个底边为4，面积为8的等腰三角形.（3）画一个面积为5的等腰直角三角形.18\n（4）画一个边长为22，面积为6的等腰三角形.第24题图【思路分析】对于（1），根据面积公式求出两条直角边即可画出图形；对于（2），根据面积公式求出底边上的高，再画出图形即可；对于（3），根据面积公式求出直角边，即可画出图形；对于（4）根据腰长为22不成立，可知以22为底边，再求出底边上的高，可画出图形.【解题过程】如图所示.（1）直角边为4，3的直角三角形；………………………….2分（2）底边为4，底边上的高为4的等腰三角形；………………………………………..4分（3）直角边为10的等腰直角三角形；…………………………………………………..6分（4）底边为22，底边上的高为32的等腰三角形……………………………………8分第24题答图【知识点】勾股定理，三角形的面积1.（2022湖北荆门，19，9分）如图，在中，，，为边的中点，以为边作等边，连接，.18\n（1）求证：；（2）若，在边上找一点，使得最小，并求出这个最小值.【思路分析】（1）首先根据E为AB边的中点可得BC=AE，根据△DEB为等边三角形可得DB=DE，∠DEA=∠DBC，然后根据全等三角形的判定即可证明出结论；（2）作点E关于直线AC对称点E′，连接BE′交AC于点H，由作图可知：EH+BH=BE′，根据勾股定理计算即可.【解题过程】（1）证明：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，E为AB边为中点，∴BC=EA，∠ABC=60°.∵△DEB为等边三角形，∴DB=DE，∠DEB=∠DBE=60°，∴∠DEA=120°，∠DBC=120°，∴∠DEA=∠DBC，∴△ADE≌△CDB.（2）解：如图，作点E关于直线AC对称点E′，连接BE′交AC于点H.则点H即为符合条件的点.由作图可知：EH+BH=BE′，AE′=AE，∠E′AC=∠BAC=30°，∴∠EAE′=60°，∴△EAE′为等边三角形，∴EE′=EA=AB，∴∠AE′B=90°，18\n在Rt△ABC中，∠BAC=30°，BC=，∴AB=2，AE′=AE=，∴BE′==3，∴BH+EH的最小值为3.【知识点】等边三角形的性质，含30°角的直角三角形的性质，全等三角形的判定，利用轴对称作图，勾股定理18
