反比例函数图象、性质及其应用一、选择题1.（2022江苏连云港，第8题，3分）如图，菱形ABCD的两个顶点B、D在反比例函数y=的图像上，对角线AC与BD的交点恰好是坐标原点O，已知点A(1，1)，∠ABC=60°，则k的值是A．－5B．－4C．－3D．－2【答案】C【思路分析】过点B作BE⊥x轴于点E.根据点A的坐标，求出点到OA的长度，根据菱形的性质可知△ABO是直角三角形，利用锐角三角函数，求出OB的长度，进而求出∠BOE=45°，利用锐角三角函数即可求得点B的坐标即可解答.【解题过程】解：过点B作BE⊥x轴于点E.∵A(1，1)，∴OA=，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，∴AC⊥BD，∠BAO=30°，在Rt△ABO中，OB=，∵点A(1，1)，∴点A、点C在第一、第三象限的角平分线上，即∠COE=45°，∴∠BOE=45°，在Rt△OBE中，OE=BE=OB•sin∠BOE=，∴点B(，)，∵点B在反比例函数图象上，∴k=xy=－3，故选C.【知识点】锐角三角函数；待定系数法求反比例函数解析式；菱形的性质2.（2022江苏无锡，6，3分）已知点P(a，m)，点Q(b，n)都在反比例函数的图象上，且a＜0＜b，则下列结论一定正确的是（）A.m+n＜0B.m+n＞0C.m＜nD.m＞n【答案】D【解析】∵k=-2＜0，52\n∴反比例函数的图象位于第二、四象限，∵a＜0＜b，∴点P(a，m)位于第二象限，点Q(b，n)位于第四象限，∴m＞0，n＜0，∴m＞n.【知识点】反比例函数图象的性质、平面直角坐标系中点的坐标特征、有理数的大小比较3.（2022·重庆B卷，11，4）如图，菱形ABCD的边AD⊥y轴，垂足为点E，顶点A在第二象限，顶点B在y轴的正半轴上，反比例函数y＝（k≠0，x＞0）的图象同时经过顶点C，D．若点C的横坐标为5，BE＝3DE，则k的值为（）A．B．3C．D．511题图【答案】C．【解析】．∵菱形ABCD的边AD⊥y轴，点C的横坐标为5，∴BC＝5，DE＝1．∵BE＝3DE，∴BE＝3．令OB＝m，则OE＝m＋3，C(5，m)，D(1，m＋3)，由C、D两点均在双曲线y＝上，得5m＝m＋3，解得m＝，从而k＝5m＝，故选C．【知识点】反比例函数菱形反比例函数的图像与性质4.（2022湖南衡阳，11，3分）对于反比例函数y=-，下列说法不正确的是（）A．图象分布在第二、四象限B．当时，随的增大而增大C．图象经过点D．若点，都在图象上，且，则【答案】D.52\n【解析】解A、∵k=-2＜0，∴它的图象在第二、四象限，故本选项正确；B、k=-2＜0，当x＞0时，y随x的增大而增大，故本选项正确；C、把x=1代入y=-中，得y=-=-2，∴点（1，-2）在它的图象上，故本选项正确；D、点A（x1，y1）、B（x2、y2）都在反比例函数y=-的图象上，若x1＜x2＜0，则y1＜y2，故本选项错误．故选：D．【知识点】反比例函数的图象与性质5.（2022山东临沂，12，3分）如图，正比例函数y1＝k1x与反比例函y2＝的图象相交A、B两点，其中点A的横坐标为1，当y1＜y2时，x的取值范围是()第12题图A．x＜－1或x＞1B．－1＜x＜0或x＞1C．－1＜x＜0或0＜x＜1D．x＜－1或0＜x＜1【答案】D【解析】由反比例函数图象的中心对称性，正比例函数y1＝k1x与反比例函y2＝的图象交点A的横坐标为1，所以另一个交点B的横坐标为－1，结合图象知，当y1＜y2时，x的取值范围是x＜－1或0＜x＜1，故选D.【知识点】反比例函数正比例函数不等式解集6.（2022山东威海，3，3分）若点（－2，y1），（－1，y2），（3，y3）在双曲线y＝（k＜0）上，则y1，y2，y3的大小关系是()A．y1＜y2＜y3B．y3＜y2＜y1C．y2＜y1＜y3D．y3＜y1＜y2【答案】D【解析】如图，反比例函数y＝（k＜0）的图象位于第二、四象限；在每个象限内，y随x的增大而增大，而－2＜－1＜0＜3，∴y3＜y1＜y2．故选D．【知识点】反比例函数的图象与性质52\n7.（2022天津市，9，3）若点，，在反比例函数的图像上，则，，的大小关系是（）A．B．C.D．【答案】B【解析】分析：本题考查反比例函数的图象与性质，分别杷各点代入，可得，，的值，进而可得其大小关系.解：把点，，分别代入可得，，，即可得，故选B【知识点】反比例函数的图象与性质；代入求值；比较大小8.（2022浙江湖州，6，3）如图，已知直线y＝k1x（k1≠0）与反比例函数y＝（k2≠0）的图象交于M，N两点．若点M的坐标是（1，2），则点N的坐标是（）A．（－1，－2）B．（－1，2）C．（1，－2）D．（－2，－1）NMyxO【答案】A【解析】∵点M，N都在反比例函数的图象上，且两点的连线经过原点，∴M，N关于原点对称．∵点M的坐标是（1，2），∴点N的坐标是（－1，－2）．故选A.【知识点】反比例函数，一次函数9.（2022宁波市，10题，4分）如图，平行于x轴的直线与函数y=k1x(k1>0，x>0)，y=k2x(k2>0，x>0)的图象分别相交于A,B两点,点A在点B的右侧，C为x轴上的一个动点若△ABC的面积为4，则k1-k2的值为A．8B．-8C．4D．-452\n【答案】A【解析】解：设点A的坐标为（xA,yA）,点B的坐标为（xB,yB），点C的坐标为（xC,0）过点C作CD⊥AB交AB的延长线与点D∵AB=xA-xB；CD=yD-yC=yA-yC=∴S△ABC=12AB∙CD=12(xA–xB)(yA-yC)=12(xA–xB)yA=12(xAyA–xByB)=12(k1-K2)=12(k1-k2)即4=12(k1-k2)所以：k1-k2=8【知识点】反比例函数|k|的几何意义10.（2022浙江温州，9，4）如图，点A，B在反比例函数的图象上，点C，D在反比例函数的图象上，AC//BD//y轴，已知点A，B的横坐标分别为1,2，△OAC与△ABD的面积之和为，则k的值为（）A.4B.3C.2D.【答案】B【思路分析】利用AB两点的横坐标求出CD两点的纵坐标用k表示后，再用k表示△OAC与△ABD52\n的面积之和，再利用△OAC与△ABD的面积之和为，列出关于k的方程求解即可。【解题过程】因为AB在反比例函数上，所以A(1，1)B(2，)，又因为AC//BD//y轴利用平行于y轴的点横坐标相等，所以利用A点的横坐标是1求出C点的横坐标也是1，B点的横坐标是2所以D横坐标也是2。代入得到C(1，k)D(2,)所以AC=k-1,BD=，因为对应的高都是1，所以△OAC面积=，△ABD的面积=，所以△OAC与△ABD的面积之和=，解得k=3故选B【知识点】反比例函数的图像性质，三角形面积公式，平行于y轴的点横坐标相等，解一元一次方程。1.（2022湖南郴州，8，3）如图，A，B是反比例函数在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，则△OAB的面积是（）A.4B.3C.2D.1【答案】B【思路分析】过A，B两点分别作AC⊥轴，BD⊥轴，垂足分别为C、D，根据反比例函数关系式分别求得A、B两点的坐标，从而表示出相关线段的长度，计算出梯形ACDB的面积，再由反比例函数值的几何意义推出，进而可计算出△OAB的面积.【解析】解：过A，B两点分别作AC⊥轴，BD⊥轴，垂足分别为C、D，∵A，B是反比例函数在第一象限内的图象上的两点，且A，B两点的横坐标分别是2和4，∴A，B两点的坐标分别为（2,2），（4，1），∴AC=2,BD=1,DC=2,∴，观察图形，可以发现：，而，∴.52\n【知识点】反比例函数图象的性质2.（2022四川遂宁，7，4分）已知一次函数y1=kx+b(k≠0)与反比例函数y2=(m≠0)的图象如图所示，则当y1＞y2时，自变量x满足的条件是（）A．1＜x＜3B．1≤x≤3C．x＞1D．x＜3【答案】A.【解析】解：∵y1＞y2，∴根据图象可得当1＜x＜3时y1的图象在y2的上方，∴自变量x满足的条件是1＜x＜3.故选A.【知识点】函数图象的交点3.（2022·重庆A卷，11，4）如图，在平面直角坐标系中，菱形ABCD的顶点A、B在反比例函数y＝（k＞0，x＞0）的图象上，横坐标分别为1，4，对角线BD∥x轴．若菱形ABCD的面积为，则k的值为（）A．B．C．4D．511题图【答案】D．【解析】设点A(1，k)，则由点A、B均在双曲线y＝上，得B(4，)，由菱形ABCD的面积为，得AC•BD＝×2(k－)×6＝，解得k＝5，故选D．【知识点】反比例函数菱形反比例函数的图像与性质52\n4.（2022甘肃天水，T8，F4）在同一平面直角坐标系中，函数y=x+1与函数y=1x的图像可能是（）第8题图【答案】B.【思路分析】首先根据一次函数y=x+1的系数可知其经过的象限，反比例函数y=1x位于的象限，再判断即可.【解析】一次函数y=x+1经过一，二，三象限，反比例函数y=1x位于一，三象限，所以B符合题意.【知识点】反比例函数图像，一次函数图像5.（2022广东广州，9，3分）一次函数y＝ax＋b和反比例函数y＝在同一直角坐标系中大致图像是（）【答案】A【思路分析】由选项中直线的位置，确定a、b的符号，结合反比例函数的图像经过（－1，a－b）进行判断．【解析】由A、B中直线的位置，可知a＞0，b＞0，而当x＝－1时，y＝－a＋b＜0，从而a－b＞0，反比例函数图像应该在第一、三象限，故选项B错误；由C、D中直线的位置，可知a＜0，b＞0，而当x＝－1时，y＝－a＋b＞0，从而a－b＜0，反比例函数图像应该在第二、四象限，故选项C、D错误；故答案为A．【知识点】一次函数的图像与性质；反比例函数的图像与性质6.（2022贵州遵义，11题，3分）如图，直角三角形的直角顶点在坐标原点，∠OAB=30°，若点A在反比例函数y=(x>0)的图像上，则经过点B的反比例函数解析式为A.y=-B.y=-C.y=-D.y=第11题图【答案】C52\n【解析】过点A作AM⊥x轴于M，过点B作BN⊥x轴于N，由三垂直模型，易得△BNO∽△OMA，相似比等于，Rt△AOB中，∠OAB=30°，所以，所以，因为点A在双曲线y=上，所以S△AOM=3，所以S△BNO=1，故k=-2，经过点B的反比例函数解析式为y=，故选CNM第11题解图【知识点】相似三角形，反比例函数，k的几何意义7.（2022江苏淮安，4，3）若点A(-2,3)在反比例函数的图像上，则k的值是A.-6B.-2C.2D.6【答案】A【解析】本题考查反比例函数图象上点的特征，则点在图象上，可知点的坐标满足解析式，进而可得结果.解：知点在反比例函数的图象上，可得k=-2×3=-6故选：A．【知识点】反比例函数图象上点的特征:反比例函数8.（2022江西，6，3分）在平面直角坐标系中，分别过点A(m，0)，B(m＋2，0)作x轴的垂线l1和l2，探究直线l1，直线l2与双曲线y＝的关系，下列结论中错误的是( )A.两直线中总有一条与双曲线相交B.当m＝1时，两直线与双曲线的交点到原点的距离相等C.当－2＜m＜0时，两直线与双曲线的交点在y轴两侧D.当两直线与双曲线都有交点时，这两交点的最短距离是2【答案】D【解析】当m＝0或m＝－2，只有一条直线与双曲线相交，当m≠0或m≠－2时，有两条直线与双曲线相交，所以两直线中总有一条与双曲线相交，则A正确；当m＝1时，l1与双曲线交点(1，3)，l2与双曲线交点(3，1)，与原点距离都为，则B正确；当－2＜m＜0时，0＜m＋2＜2，l1在y轴左侧，l2在y轴右侧，∴当－2＜m＜0时，与双曲线的交点在y轴的两侧，则C正确；当l1和l2在y轴同侧时，如解图，在Rt△CDE中，CD＝，∵DE＝AB＝2，∴CD＞2，当l1和l2在y轴异侧时，同理可得．∴当两直线与双曲线都有交点的时候，最短距离大于2，则D错误．52\n第6题解图【知识点】反比例函数，直线，勾股定理9.（2022山东省日照市，9，3分）已知反比例函数y=-,下列结论：①图象必经过（-2，4）；②图象在二、四象限内；③y随x的增大而增大；④当x>-1时，则y>8.其中错误的结论有（）个A.3B.2C.1D.0【答案】B【解析】将（-2，4）代入y=-成立，①正确；k=-8<0,所以反比例函数的图象在二、四象限,②正确；双曲线在每一象限内y随x的增大而增大，③错误；当-1＜x＜0时，则y>8，④错误，所以正确的结论有2个，故选B.【知识点】反比例函数性质10.（2022广东省深圳市，12，3分）如图，是函数上两点，为一动点，作轴，轴，下列说法正确的是()①；②S△AOP＝S△BOP；③若OA＝OB，则平分；④若S△BOP＝4，则S△ABP＝16．A．①③B．②③C．②④D．③④【答案】B．【思路分析】设点P的坐标为（a，b），则点A、B的坐标可分别表示为A（，b），B（a，），取特殊值P（3，1）验证，得到OA≠OB，故△AOP不可能全等于△BOP，故①错误；由AP＝xA－xp＝－a，BP＝yA－yp＝－b，表示出S△AOP和S△BOP，可得②正确；过点P作PD⊥OB于点D，过点P作PE⊥OA于点E，由S△AOP＝S△BOP，OA＝OB，可证出Rt△BCE≌Rt△DCG，说明③正确；计算出可知S△BOP和S△ABP的值，得知④错误．【解析】设点P的坐标为（a，b），则点A、B的坐标可分别表示为A（，b），B（a，52\n），取特殊值验证，当点P的坐标为（3，1）时，点A、B的坐标可分别表示为A（12，1），B（3，4），则OA＝，OB＝，OA≠OB，故△AOP不可能全等于△BOP，故①错误；AP＝xA－xp＝－a，BP＝yA－yp＝－b，S△AOP＝AP·yA＝（－a）·b＝6－ab，S△BOP＝AP·yA＝（－b）·a＝6－ab，∴S△AOP＝S△BOP，故②正确；如上图（1），过点P作PD⊥OB于点D，过点P作PE⊥OA于点E，∵S△AOP＝S△BOP，OA＝OB，∴PD＝PE，则在Rt△BCE和Rt△DCG中，∵，∴Rt△BCE≌Rt△DCG（HL），∴∠BOP＝∠AOP，故③正确；∵S△BOP＝6－ab＝4，∴ab＝4，∴S△ABP＝AP·BP＝（－a）·（－b）＝（－12－12＋ab）＝×（－12－12＋4）＝8，故④错误，故选B．【知识点】反比例函数；两点间距离公式；勾股定理；三角形的面积公式；全等三角形的判定；11.（2022广西玉林，10题，3分）如图，点A、B在双曲线y=(x>0)上，点C在双曲线y=(x>0)上，若AC∥y轴，BC∥x轴，且AC=BC，则AB等于A.B.C.4D.第10题图【答案】B【解析】点A、B在双曲线y=(x>0)上，点C在双曲线y=(x>0)上，若AC∥y轴，BC∥x轴，设C(t,)，则B(3t,)，A(t,)，因为AC=BC，所以2t=，解得t=1，故C(1,3)，则B(3,1)，A(1,1)，所以Rt△ABC中，AB=，故选B【知识点】反比例函数，待定系数法12.13.14.15.16.17.52\n18.19.20.21.22.23.24.25.26.27.28.29.30.31.32.33.34.35.36.37.38.39.二、填空题1.（2022山东滨州，18，5分）若点A（－2，y1），B（－1，y2），C（1，y3）都在反比例函数y＝（k为常数）的图象上，则y1，y2，y3的大小关系为_______________．【答案】y3＞y1＞y2【解析】反比例函数y＝＝,(k－1)2＋2＞0,故该反比例函数的图象的两个分支，分别在第一象限和第三象限，在每一象限内，y随着x的增大而减小，因此，y3＞y1＞y2．【知识点】配方法、数形结合、反比例函数的图像性质2.（2022四川内江，16，5）已知A、B、C、D是反比例函数y＝(x＞0)图象上四个整数点（横、纵坐标均为整数），分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段，以垂线段所在的正方形（如图）的边长为半径作四分之一圆周的两条弧，组成四个橄榄形（阴影部分），则这四个橄榄形的面积总和是（用含π的代数式表示）．52\n【答案】5π－10【思路分析】根据A、B、C、D是反比例函数y＝(x＞0)图象上四个整数点，可求得A、B、C、D四个点的坐标，可得每个小正方形的边长，然后根据每个橄榄形可以看做是半圆的面积减去一个小正方形的面积，可求得每个橄榄形面积，最后求和．【解题过程】解：∵A、B、C、D是反比例函数y＝(x＞0)图象上四个整数点，∴A(1，8)，B(2，4)，C(4，2)，D(8，1)，∴以A、B、C、D四个点为顶点的正方形边长分别为1，2，2，1，∵每个橄榄形的面积＝S半圆－S正方形，∴过A、D两点的橄榄形面积和＝2×(π×12－12)＝π－2，过B、C两点的橄榄形面积和＝2×(π×22－22)＝4π－8，故这四个橄榄形的面积总和＝π－2＋4π－8＝5π－10．【知识点】反比例函数；扇形面积；正方形性质3.（2022浙江衢州，第15题，4分）如图，点A，B是反比例函数图象上的两点，过点A，B分别作AC⊥x轴于点C，BD⊥x于点D，连接OA，BC，已知点C（2，0），BD＝2，S△BCD＝3，则S△AOC＝________。第15题图【答案】5【解析】本题考查了反比例函数图形与性质，，解题的关键是正确理解反比例函数中K的含义.结合△BCD的面积求得其高的长度，从而得到△OBD的面积，根据的几何意义可知两个三角形面积相等，从而得到答案。∵△52\nBCD的面积=3，BD=2，∴CD=3，又∵点C坐标为（2,0）∴OD=5，连接OB，则△BOD的面积==5,根据反比例函数的性质可得：△AOC的面积也是5.【知识点】反比例函数图形与性质第15题图4.（2022安徽省，13，5分）如图,正比例函数y=kx与反比例函数y=的图象有一个交点A(2，m),AB⊥x轴于点B，平移直线y=kx,使其经过点B,得到直线l，则直线l对应的函数表达式是。【答案】y=x-3【解析】将点A(2，m)代入反比例函数y=，得，所以交点A(2，3)，正比例函数y=x，又AB⊥x轴于点B，所以点B(2，0)，而平移直线y=kx,使其经过点B,得到直线l，所以直线l的斜率为，所以可设直线直线l的函数表达式为y=x+b,点B(2，0)代入可得b=-3,所以直线l对应的函数表达式是y=x-3【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题．5.（2022江苏连云港，第12题，3分）已知A(－4，y1)、B(－1，y2)是反比例函数y=图像上的两个点，则y1与y2的大小关系为__________.【答案】y1＜y2【解析】解：∵k=－4，∴y随x的增大而增大，∵－4＜－1，∴y1＜y2，故答案为：y1＜y2.【知识点】反比例函数的图象和性质52\n6.（2022四川省成都市，25，4）设双曲线y＝(k＞0)与直线y＝x交于A、B两点(点A在第三象限)，将双曲线在第一象限的一支沿射线BA的方向平移，使其经过点A，将双曲线在第三象限的一支沿射线AB的方向平移，使其经过点B，平移后的两条曲线相交于P、Q两点，此时我们称平移后的两条曲线所围部分（如图中阴影部分）为双曲线的“眸”，PQ为双曲线的“眸径”．当双曲线y＝(k＞0)的眸径为6时，k的值为．【答案】【思路分析】由眸径为6得OP＝3，求得P点坐标，根据y＝与直线y＝x交于A、B两点，求出A、B两点坐标根据平移规律得到P的对应点坐标，代入双曲线y＝解析式中，即可求得k的值．【解题过程】解：连接PA，作BP´∥AP．则四边形PABP´为平行四边形，且P´在双曲线y＝上．∵y＝与直线y＝x交于A、B两点，∴x＝，解得x＝±，∴A(－，－)，B(，)，根据题意可得OP＝3，∴P(－，)，∵四边形PABP´为平行四边形，∴PP´∥AB，PP´＝AB，∴P´(－＋2，＋2)，代入y＝中，得(－＋2)(＋2)＝k，解得k＝．【知识点】反比例函数；平移；7.（2022浙江绍兴，15，3分）过双曲线的动点作轴于点，是直线上的点，且满足，过点作轴的平行线交此双曲线于点.如果的面积为8，则52\n的值是．【答案】12或4【解析】（1）中，，PC∥x轴，可得，，，可求，即=4第15题（1）答图（2）由,，可得，，即第15题（2）答图【知识点】反比例函数的图像和性质、相似三角形的判定和性质8.（2022江苏省盐城市，14，3分）如图，点D为矩形OABC的边AB的中点，反比例函数y＝（x＞0）的图象经过点D，交BC边于点E．若△BDE的面积为1，则k＝___________．52\n【答案】4【解析】设点D的坐标为（x，y），则点E的坐标为（2x，y）．∵△BDE的面积＝·x·y＝1，∴xy＝4＝k．【知识点】反比例函数系数k的意义9.（2022山东省济宁市，15，3）如图，点A是反比例函数y=(x＞0)图象上一点，直线y=kx+b过点A并且与两坐标轴分别交于点B，C.过点A作AD⊥x轴，垂足为D，连接DC，若△BOC的面积是4，则△DOC的面积是_______.【答案】2-2【解析】根据直线y=kx+b与两坐标轴分别交于点B，C两点，则点B坐标为(-，0)、点C坐标为(0，b)，而△BOC的面积为4，则×·b=4，即k=，则直线表达式为y=x+b.设点A坐标为(m，)，则·m+b=，即b2m2+8bm=32，解得bm=4-4（负值舍去），∵S△COD=CO·DO=bm=2-2，因此，本题答案为：2-2．【知识点】反比例函数的图像性质一次函数的图像性质解一元二次方程整体思想10.（2022山东威海，15，3分）如图，直线AB与双曲线y＝（k＜0）交于点A，B，点P是直线AB上一动点，且点P在第二象限，连接PO并延长交双曲线于点C，过点P作PD⊥y轴，垂足为点D．过点C作CE⊥x轴，垂足为E．若点A的坐标为（－2，3），点B的坐标为（m，1），设△POD的面积为，△CDE的面积为．当时，点P的横坐标x的取值范围是______．52\n【答案】－6＜x＜－2【解析】直线AB过点B(－6，1)，A（－2，3）可得，解得，所以y＝x＋4．设P(a，a＋4)，S△COE＝＝3．由＞3得a2＋8a＋12＜0，（a＋2）（a＋6）＜0，故－6＜a＜－2，即点P横坐标的取值范围为－6＜a＜－2．【知识点】一次函数与反比例函数的图象交点，反比例系数的几何意义11.（2022山东烟台，15，3分）如图，反比例函数的图象经过£ABCD对角线的交点P，已知点A，C，D在坐标轴上，BD⊥DC，£ABCD的面积为6，则k=.【答案】－3【解析】连接OP，∵C，D在坐标轴上，BD⊥DC，∴BD∥y轴，∴S△OPD=S△APD．∵£ABCD对角线的交点P，£ABCD的面积为6，∴S△APD==．又∵S△OPD=S△APD==，∴=3．又∵反比例函数的图象在第二象限，∴k＜0，∴k=－3．过P点作PH⊥y轴于H，∵£ABCD，∴BP=DP，AB//CD∵BD⊥DC，∴∠PDO=∠DOH=∠OHP=90°52\n∴四边形PDOH是矩形.又AB//CD，∴∵BP=DP∴，又k<0，∴k=－3．【知识点】反比例函数系数k的几何意义；平行四边形的性质；12.（2022四川省宜宾市，14，3分）已知：点P(m,n)在直线y=–x+2上，也在双曲线y=–上,则m2+n2的值为.【答案】6【解析】∵点P（m，n）在直线y=-x+2上，∴n+m=2，∵点P（m，n）在双曲线y=-上，∴mn=-1，∴m2+n2=（n+m）2-2mn=4+2=6．故答案为：6．【知识点】1.（2022湖北鄂州，14，3分）已知一次函数y＝kxb与反比例函数的图象相交于A（2，n）和B（-1，-6），kxb＞如图所示，则不等式的解集为．【答案】－1＜x＜0或x＞2．【解析】由下图（1）可知，当x＜－1时，＞kxb；当－1＜x＜0时，kxb＞；当0＜x＜2时，＞kxb；当x＞2时，kxb＞．故当－1＜x＜0或x＞2时，kxb＞．52\n【知识点】反比例函数；一次函数；不等式的解集2.（2022湖南益阳，14，4分）若反比例函数的图象位于第二、四象限，则k的取值范围是．【答案】k＞2【解析】∵反比例函数的图象位于第二、四象限，∴2－k＜0，解得：k＞2．【知识点】反比例函数3.（2022四川遂宁，13，5分）已知反比例函数y=(k≠0)的图象过点A（-1，2），则当x＞0时，y随x的增大而．【答案】增大.【解析】解：∵反比例函数y=的图象过点A（-1，2），∴k=-2，∴当x＞0时，y随x的增大而增大.故答案为增大.【知识点】反比例函数的性质4.（2022湖南益阳，23，10分）如图，在平面直角坐标系中有三点（1，2），（3，1），（－2，－1），其中有两点同时在反比例函数的图象上，将这两点分别记为A，B，另一点记为C．（1）求出k的值；（2）求直线AB对应的一次函数的表达式；（3）设点C关于直线AB的对称点为D，P是x轴上一个动点，直接写出PC＋PD的最小值（不必说明理由）．52\n【思路分析】（1）根据k=xy，可知横纵坐标乘积相等的两点在反比例函数图象上可求出k的值；（2）设直线AB的解析式为：y=kx＋b，代入两点坐标即可；（3）作出图形，求几何最值关键是找出对称点，利用勾股定理求值．【解析】解：（1）∵1×2=（－2）×（－1）=2，3×1=3≠2，所以在反比例函数图象的两点为（1，2）和（－2，－1），k=2．（2）设直线AB的解析式为：y=kx＋b则．解得：∴直线AB的解析式为y=x＋1．（3）如图所示点C关于直线AB的对称点D（0，4），点D关于x轴对称点D′（0，－4），连接CD′交x轴于点P，连接PD，则此时PC+PD最小，即为线段CD′的长度．DD′CP．即：写出PC＋PD的最小值为．P【知识点】反比例函数，一次函数，几何最值问题5.（2022甘肃天水，T14，F4）若点A（a，b）在反比例函数y=3x的图象上，则代数式ab-1的值为____.【答案】2.【解析】∵点A（a，b）在反比例函数y=3x的图象上，∴ab=3.52\n则代数式ab-1=3-1=2.【知识点】反比例函数6.（2022山东德州，18，4分）如图,反比例函数与一次函数在第三象限交于点，点的坐标为(一3,0),点是轴左侧的一点，若以为顶点的四边形为平行四边形.则点的坐标为_____________.第18题图第18题答图1第18题答图2第18题答图3【答案】(-4,-3),(-2,3)【解析】令，则，，所以点A的坐标为，①构成平行四边形ABOP时，点P在y轴右侧，舍去；②构成平行四边形OAPB时，AP∥BO，AP=BO=3，因为，所以；③构成平行四边形OABP时，BP∥AO，BP=AO，所以，即，所以，所以，综上所述点的坐标为(-4,-3),(-2,3).【知识点】平行四边形，平移，分类讨论52\n7.（2022福建A卷，16，4）如图，直线y=x+m与双曲线交于点A、B两点，作BC∥x轴，AC∥y轴，交BC点C，则S△ABC的最小值是________．【答案】6【思路分析】本题考查了求两函数的交点、一元二次方程的解法、三角形的面积等知识，解题的关键是用含有同一个未知数的代数式表示出△ABC的底和高．先由一次函数关系式得出△ABC是等腰直角三角形，根据两函数的交点于A、B两点列出方程组，整理后得到一个二元一次方程，利用根与系数关系表示出线段BC，进而表示出三角形的底和高，然后列出三角形面积关系式，讨论出S△ABC的最小值.【解析】∵y=x+m与y=x平行，∴AC=BC，∴S△ABC=，将y=x+m与联立得方程组：，整理，得：，∴，，∵BC=，∴，∴S△ABC=，∴S△ABC的最小值是6.【知识点】两函数的交点、一元二次方程的解法、三角形的面积8.（2022福建B卷，16，4）如图，直线y=x+m与双曲线交于点A、B两点，作BC∥x轴，AC∥y轴，交BC点C，则S△ABC的最小值是________．【答案】6【思路分析】本题考查了求两函数的交点、一元二次方程的解法、三角形的面积等知识，解题的关键是用含有同一个未知数的代数式表示出△ABC的底和高．先由一次函数关系式得出△ABC是等腰直角三角形，根据两函数的交点于A、B两点列出方程组，整理后得到一个二元一次方程，利用根与系数关系表示出线段BC，进而表示出三角形的底和高，然后列出三角形面积关系式，讨论出S△ABC的最小值.【解析】∵y=x+m与y=x平行，∴AC=BC，∴S△ABC=，52\n将y=x+m与联立得方程组：，整理，得：，∴，，∵BC=，∴，∴S△ABC=，∴S△ABC的最小值是6.【知识点】两函数的交点、一元二次方程的解法、三角形的面积9.（2022贵州安顺，T17，F4）如图，已知直线与x轴、y轴相交于P、Q两点，与的图象相交于A（-2，m）、B（1，n）两点，连接OA、OB，给出下列结论：①＜0；②；③;④不等式的解集是x＜-2或0＜x＜1，其中正确结论的序号是_________.【答案】②③④【解析】由图象知，＜0，＜0，∴＞0，故①错误；把A（-2，m）、B（1，n）代入中得=-2m=n，∴，故②正确；把A（-2，m）、B（1，n）代入中得解得52\n∵-2m=n，∴y=-mx-m.∵直线与x轴、y轴相交于P、Q两点，∴P（-1，0）、Q（0，-m）.∴OP=1,OQ=m.∴，,即，故③正确；由图象知，不等式的解集是x＜-2或0＜x＜1，故④正确.故②③④正确.【知识点】反比例函数与一次函数的图象与性质.10.（2022湖北荆州，T18，F3）如图，正方形的对称中心在坐标原点,轴,、分别与轴交于连接.若正方形有两个顶点在双曲线上,实数满足,则四边形的面积是___________.【答案】10,6,或2【思路分析】①根据题中的条件求出不同情况下a的值②根据a的值求出反比例函数中K的值③利用平移的思想把四边形AEBF的面积转换为两个小正方形的面积④然后根据反比例函数的K的几何意义，求出四边形AEBF的面积.【解析】∵，有三种情况：当a≠1时，3-a=0,∴a=3,当a=1时，3-a=2,∴∴a=±1,当a=3时，a+2=5,∴k=5,∴=10,当k=3时，=6，当k=1，=2，故为10，6或2【知识点】一元一次方程，一元二次方程，反比例函数的性质，k的几何意义.11.（2022湖北荆门，16，3分）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象经过菱形的顶点和边的中点，若菱形的边长为，则的值为．52\n【答案】2.【解析】解：过D点作DF⊥OA垂足为F，设D（a，b），则DF=b，OF=a，∵菱形的边长为3，∴C（a+3，b）.∵A，C的中点为E，∴E（，）.∵函数的图象经过点D和点E，∴，解得，∴DF=，OF=2，在Rt△ODF中，∵DF2+OF2=OD2，∴()2+22=32，解得k=2.故答案为2.52\n【知识点】中点坐标公式，勾股定理，待定系数法求反比例函数解析式12.（2022四川攀枝花，16，4）如图6，已知点A在反比例函数(x>0)的图象上，作Rt△ABC，边BC在x轴上，点D为斜边AC的中点，连结DB并延长交y轴于点E，若△BCE的面积为4，则k=.【答案】8【思路分析】由题意可得△ABC∽△EOB，推出比例式，,再利用即可。【解析】在,又,,，∴△ABC∽△EOB，∴，∴∵∴，∴。【知识点】反比例函数、相似三角形，直角三角形性质，三角形面积13.（2022湖北省孝感市，16，3分）如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点的坐标为，点在轴正半轴上，点在第三象限的双曲线上，过点作轴交双曲线于点，连接，则的面积为．【答案】7【解析】如图，作AF⊥x轴于点F，DG⊥EC于点G，BH⊥EC于点H,52\n∵点的坐标为，∴AF=1，∠AFB=∠H=90°.∵CE∥x轴，正方形ABCD，∴∠ABC=∠BCD=∠CDA=∠BAD=∠FBH=90°，AB=BC=CD=AD.∴∠ABF+∠FBC=∠CBH+∠FBC=90°.∴∠ABF=∠CBH.在△ABF和△CBH中，∴△ABF≌△CBH（ASA）.∴CH=AF=1.∵∠GDC+∠GCD=∠HCB+∠GCD=90°，∴∠GDC=∠HCB.在△DGC和△HCB中，∴△DGC≌△HCB（AAS）.∴DG=CH=1.延长GD交x轴于点I，作AJ⊥GD的延长线于点J，可证AJD≌△DGC（AAS）.∴AJ=DG=1.∴点J的横坐标为-2.∴点D的横坐标为-2.∴点D的纵坐标为=-3，即DI=3.∴DJ=CG=BH=GI=BH=3+1=4.∴点E的纵坐标为-4.∴点E的横坐标为，即EK=.∴EG=GK-EK=2-=.∴EC=CG-EG=4-=.∴=EC∙BH=××4=7.即的面积为7.52\n【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；全等三角形的判定及性质；正方形的性质.14.（2022江苏省宿迁市，17，3）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y＝2x(x＞0)的图象与正比例函数y＝kx、y＝1kx(k＞1)的图象分别交于A、B．若∠AOB＝45°，则△AOB的面积是．BOAxy第17题图【答案】2【解析】过点O作OC⊥AB，垂足为C．过点A作AM⊥y轴，垂足为M，过点B作BN⊥x轴，垂足为N．设点A的横坐标为a，则点A的纵坐标为．∵点A在一次函数数y＝kx上，∴＝ka．k＝．∴OB所在直线的解析式为y＝x．令x＝．得x＝．∴y＝a．∴OA＝OB，△OAM≌△OBN．∵∠AOB＝45°，∴∠AOC＝∠AOM．∴△OAM≌△OAC．∴S△OAB＝2SOAM＝2．故填2．第17题答图BOAxyCNM【知识点】反比例函数，一次函数15.（2022湖南张家界，14，3分）如图,矩形的边与轴平行,顶点的坐标为(2,1),点与点都在反比例函数的图象上,则矩形的周长为________.【答案】12【解析】解：∵四边形ABCD是矩形，顶点A的坐标为（2，1），52\n∴设B，D两点的坐标分别为（x，1）、（2，y）.∵点B与点D在反比例函数y=（x＞0）的图象上，∴x=6，y=3.∴B，D两点的坐标分别为（6，1），（2，3）.∴AB=6－2=4，AD=3－1=2．∴矩形ABCD的周长为12.【知识点】反比例函数图象上点的坐标特征16.（2022陕西，13，3分）若一个反比例函数的图象经过点A（m，m）和B（2m，－1），则这个反比例函数的表达式为．【答案】【思路分析】根据反比例函数xy=k，列出关于m的方程，求出m的值即可求出k的值．【解题过程】设反比例函数解析式为，则xy=k．则解得：m1=0（舍去），m2=－2．∴k=(－2)2=4．∴这个反比例函数的表达式为．【知识点】反比例函数三、解答题1.（2022湖北黄冈，19题，6分）如图，反比例函数过点A(3,4)，直线AC与x轴交于点C(6,0)，过点C作x轴的垂线BC交反比例函数图象于点B.（1）求k的值与B点的坐标；（2）在平面内有点D，使得以ABCD四点为顶点的四边形为平行四边形，试写出符合条件的所有点D的坐标.第19题图【思路分析】（1）由双曲线上点A坐标可求得k的值，BC⊥x轴，则B、C的横坐标相等，代入解析式可得点B坐标；（2）已知点A、B、C的坐标，按照对面顶点的情况，对点D进行分类讨论，共三种情况，分由平行四边形对顶点的坐标特点可得点D坐标。【解析】解：（1）因为反比例函数过点A(3,4)，所以，k=12，反比例函数解析式为，因为BC52\n⊥x轴，则B、C的横坐标相等，因为C(6,0)，所以点B的横坐标为6，在反比例函数中，令x=6，得y=2，则B(6,2)；（2）因为四边形ABCD是平行四边形，所以对面顶点的横坐标和相等，纵坐标和相等，其中A(3,4)，B(6,2)，C(6,0)，①当A和D对面，B和C对面时，xD=xB+xC-xA=9，yD=yB+yC-yA=-2，所以；②当A和B对面，D和C对面时，xD=xB+xA-xC=3，yD=yB+yA-yC=6，所以；③当A和C对面，B和D对面时，xD=xA+xC-xB=3，yD=yA+yC-yB=2，综上所述，符合条件的点D坐标为D1(9,-2)，D2(3,6)，D3(3,2)。【知识点】反比例函数，平面直角坐标系，平行四边形2.（2022湖南郴州，24，8）参照学习函数的过程与方法，探究函数的图象与性质.因为，即，所以我们对比函数来探究.列表：…-4-3-2-11234……124-4-2-1-……235-3-10…描点：在平面直角坐标系中，以自变量的取值为横坐标，以相应的函数值为纵坐标，描出相应的点，如图所示.（1）请把轴左边各点和右边各点，分别用一条光滑曲线顺次连接起来：（2）观察图象并分析表格，回答下列问题：①当时，随的增大而；（填“增大”或“减小”）②的图象是由的图象向平移个单位而得到；③图象关于点中心对称.（填点的坐标）（3）设A，B是函数的图象上的两点，且=0，试求的值.52\n【思路分析】（1）连点成线，画出函数图象；（2）①当时，从左到右，函数图象呈现上升趋势，所以随的增大而增大；②因为，即，所以的图象是由的图象向上平移1个单位而得到；③由平移的规律，易推断出函数图象关于原点成中心对称，所以平移后函数图象关于点（0，1）中心对称.（3）通过观察表格，判断发现当、分别取互为相反数的一组数时，其函数值相加的和的规律，进而计算得出的值；也可分别用含、的代数式表示出、的值，再通过通分变形，使待求式子中出现+的形式，然后整体代入求值.【解析】（1）连点成线，画出函数图象，描点如下图所示：（2）①当时，随的增大而增大；（填“”或“减小”）；②的图象是由的图象向上平移1个单位而得到；③图象关于点（1，0）中心对称.（3）方法1：观察表格，当、分别取互为相反数的一组数时，其函数值相加的和总为2，即，∴=2+3=5.方法2：∵，=0，∴=2，∴=2+3=5.【知识点】新函数，反比例函数的图象及性质3.（2022内蒙古呼和浩特，22，10分）已知变量x、y对应关系如下下表已知数值呈现的对应规律x…-4-3-2-11234…52\ny…12-2-1…依据表中给出的对应关系写出函数的解析式，并在给出的坐标系中画出大致图像；在这个函数图像上有一点P(x,y)(x<0),过点P分别做x轴和y轴的垂线，并延长与直线y=x-2交于A、B两点，若△PAB的面积等于，求出P点坐标。【思路分析】（1）通过描点，连线，观察表格中的两个变量关系为反比例函数关系，由表格中任取一组数值，利用待定系数法求得反比例函数解析式，描点作图即可得图象；（2）由与直线y=x-2交于A、B两点入手，设取A、B两点坐标，进而结合一次函数、反比例函数及△PAB的面积等于，利用数形结合思想进行求解.【解析】解：（1）观察表格中的两个变量关系，得出xy=-2，∴函数解析式为，其图象大致如下：（2）∵点P（x,y）,则点A的坐标为（x,x-2），点B的坐标为（y+2,y）.∴△PAB的面积为52\n∴y-x+2=5,且，解得或。∴点P的坐标为（-2,1）或（-1,2）.【知识点】反比例函数图象，反比例函数解析式，一次函数图象，三角形面积4.(2022山东菏泽，20，7分)如图，已知点在反比例函数的图象上，过点作轴，垂足为，直线经过点，与轴交于点，且，．（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）直接写出关于的不等式的解集.【思路分析】（1）求出点C和D的坐标，代入点D的坐标求出反比例函数的表达式，代入点A和点C的坐标求出一次函数的表达式；（2）先求出反比例函数与一次函数的图象无交点，再根据图象得出不等式的解集．【解析】解：（1）∵，∴OA=5．∵，∴OC=2，∴C(0，－2)．∵，，∴D(－2,3)．52\n由D(－2,3)在上，得3=，∴a=－6，∴反比例函数的表达式为y=－．由，C(0，－2)在直线上，得解得∴一次函数的表达式为y=x－2．（2）x＜0．理由：两函数组成方程组整理得x2－5x+15=0，∵△=b2－4ac=(－5)2－4×15=25－60=－35＜0，∴一元二次方程x2－5x+15=0无实数根，即反比例函数y=－与一次函数y=x－2无交点，∴当x＜0时，反比例函数y=－的图象在一次函数y=x－2的图象的上方；当x＞0时，反比例函数y=－的图象在一次函数y=x－2的图象的下方；∴不等式的解集是x＜0．【知识点】反比例函数与一次函数的综合应用5.（2022四川遂宁，20，9分）如图所示，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b（k≠0）与反比例函数（m≠0）的图象交于第二、四象限A，B两点，过点A作AD⊥x轴于D，AD=4，sin∠AOD=，且点B的坐标为（n，-2）.（1）求一次函数与反比例函数的解析式；（2）E是y轴上一点，且△AOE是等腰三角形，请直接写出所有符合条件的E点坐标.52\n【思路分析】（1）首先根据锐角三角函数的定义以及AD的长得出A点的坐标，进而得出反比例函数的解析，然后根据反比例函数的解析式得出B点的坐标，进而得出一次函数的解析式；（2）分别写出以OA为腰的和以OA为底的四种情况即可.【解析】解：（1）∵一次函数y=kx+b与反比例函数的图象交于A，B两点，且AD⊥x轴于D，∴∠ADO=90°，在Rt△ADO中，AD=4，sin∠AOD=，∴,∴AO=5，由勾股定理得：DO==3,∴A（-3,4），把A（-3,4）代入中得：m=-12，∴反比例函数的解析式为，又∵B点在反比例函数的图像上，∴n×（-2）=-12，∴n=6，∴B（6，-2），把A（-3,4），B（6，-2）代入y=kx+b中得，解得，∴一次函数解析式为y=-x+2.（2）E点坐标分别为E1（0,8），E2（0,5），E3（0，-5），E4（0，）.【知识点】待定系数法求反比例函数解析式和一次函数解析式，锐角三角函数定义，等腰三角的判定6.（2022甘肃天水，T21，F10）如图所示，在平面直角坐标系中，直线y=x-1与y轴相交于点A，与反比例函数y=kx（k≠0）在第一象限内相交于点B（m，1）.（1）求反比例函数的解析式；52\n（2）将直线y=x-1向上平行移动后与反比例函数在第一象限内相交于点C，且△ABC的面积为4，求平行移动后的直线的解析式.【思路分析】对于（1），先求出点B的坐标，再将点B的坐标可得答案；对于（2），先求出点A，点D的坐标，进而得出∠FAO，及AB，再根据△ABC的面积求出DE，进而求出AD，即可得出点D的坐标，代入计算可得答案.【解析】（1）∵点B（m，1）在直线y=x-1的图像上，∴1=m-1，解得m=2，……………………………………………………………………………………..1分∴点B（2，1）…………………………………………………………………………………2分∵点B（2，1）在反比例函数y=kx的图像上，∴k=2，所以反比例函数的解析式为y=2x……………………………………………………………….3分（2）如图标注各点，过点D作DE⊥直线AB，交AB于点E………………………………4分对于直线y=x-1，当x=0时，y=-1，当y=0时，x=1，∴点A（0，-1），点F（1，0），∴AO=FO.∵∠AOF=90°，∴∠FOA=45°…………………………………………………………………………………5分∵点B（2，1），点A（0，-1），∴AB=22………………………………………………………………………………………6分由S△ABC=12AB·DE=4，AB=22，可知DE=22……………………………………………………………………………………7分在Rt△ADE中，∠DAE=45°，DE=22，∴AD=4，则点D的坐标为（0，3）……………………………………………………………………8分将直线AB平移得直线CD，设直线CD的关系式为y=x+a，∵点D在直线y=x+a的图像上，∴a=3，则平移后的直线的解析式为y=x+3…………………………………………………………..10分【知识点】一次函数和反比例函数的综合问题，一次函数的平移7.（2022广东广州，22，12分）设P（x，0）是x轴上的一个动点，它与原点的距离为y1．（1）求y1关于x的函数解析式，并画出这个函数的图像；52\n（2）若反比例函数y2＝的图像与函数y1的图像交于点A，且点A的纵坐标为2．①求k的值；②结合图像，当y1＞y2时，写出x的取值范围．【思路分析】（1）根据坐标轴上求两点之间的距离的方法，确定y与x的函数关系式，再用描点法或转化为分段函数画出图象；（2）①根据点A的纵坐标为2以及点A在函数y1的图象上求出点A的坐标，然后代入反比例函数解析式，求出k的值；②根据①中求出的k的值，结合图象直接写出x的取值范围．【解析】（1）由题意，y1＝，即y1＝函数图象如下：（2）①∵点A的纵坐标为2，点A在函数y1的图象上，∴＝2，x＝±2．∴A的坐标为（2，2）或（－2，2）．∴k＝±4．②当k＝4时，图象如图①，x的取值范围为：x＜0或x＞2；当k＝－4时，图象如图②，x的取值范围为：x＜－2或x＞0．【知识点】反比例函数关系式；反比例函数与一次函数的交点问题；待定系数法；分段函数关系式的求法8.（2022河北省，26，11）如图是轮滑场地的截面示意图，平台AB距x轴（水平）18米，与y轴交于点B，与滑道y＝（x≥1）交于点A，且AB＝1米．运动员（看成点）在BA方向获得速度v米/秒后，从A处向右下飞向滑道，点M是下落路线的某位置．忽略空气阻力，试验表明：M，A的竖直距离h（米）与飞出时间t（秒）的平方成正比，且t＝1时h＝5；M，A的水平距离是vt米．（1）求k，并用t表示h；（2）设v＝5．用t表示点M的横坐标x和纵坐标y，并求出y与x的关系式（不写x的取值范围），及y＝13时运动员与正下方滑道的竖直距离；（3）若运动员甲、乙同时从A处飞出，速度分别是5米/秒、v米/秒．当甲距x轴1．8米，且乙位于甲右侧超过4．5米的位置时，直接写出t的值及v乙的范围．52\n第26题图hy11.813OxABvtM【思路分析】（1）要求k的值需要确定反比例函数上已知点A的坐标，然后代入解析式可得．根据h与t的平方成正比，设出比例系数再把已知条件代入可得关系式；（2）根据已知条件和图中的数量关系可确定y与x的关系式．（3）要求t的值就要设法先确定此时甲的坐标，从而得出乙的坐标范围，并确定速度的范围．【解析】（1）由题意可知，点A的坐标为（1，18），且点A在y＝上，∴18＝k1．∴k＝18．1分设h＝mt2，当h＝5时，t＝1，则5＝m·12．m＝5．∴h＝5t2．1分（2）x＝vt＋1＝5t＋1．1分y＝18－h＝18－5t2．1分∴t＝x-15．∴y＝18－5×（x-15）2＝－15x2＋15x＋895．1分当y＝13时，18－5t2＝13．t1＝－11（舍），t2＝1．x＝5×1＋1＝6．1分∵滑道上横坐标为6的点的纵坐标为186＝3，∴y＝13时，运动员距离正下方滑道的距离为13－3＝10米．1分（3）∵甲的纵坐标为1.8，由（2）可知1.8＝18－5t2．解得t1＝－1.8（舍），t2＝1.8．1分此时甲的横坐标为5×1.8＋1＝10．1分∴乙的横坐标x乙＞10＋4.5＝14.5．∴此时乙和点A的水平距离应超过14.5－1＝13.5，即v乙t＞13.5．1分∴1.8v乙＞13.5，v乙＞7.5．1分【知识点】反比例函数的图象，二次函数解析式9.（2022湖南省湘潭市，24，8分）如图，点M在函数y=(x＞0)的图象上，过点M分别作x轴和y轴的平行线交函数y=（x＞0）的图象于点B、C．52\n（1）若点M的坐标为（1，3）．①求B、C两点的坐标；②求直线BC的解析式；（2）求△BMC的面积．【思路分析】（1）①点B和点M具有相同的纵坐标3，把y=3代入函数y=中求出横坐标；点C和点M具有相同的横坐标1，把x=1代入函数y=求出纵坐标即可；②根据①中点B和点C的坐标，利用待定系数法求出直线BC解析式；（2）设点M（a，b），然后根据M与B、C坐标之间的关系表示出MB和MC的长度，再根据三角形面积公式计算.【解析】解：（1）①∵点M的坐标为（1，3）且B、C在函数y=（x＞0）的图象上，∴点C横坐标为1，纵坐标为1点B纵坐标为3，横坐标为，∴点C坐标为（1，1），点B坐标为（，3）②设直线BC解析式为y=kx+b把B、C点坐标代入得，解得，∴直线BC解析式为：y=-3x+4（2）设点M坐标为（a，b）∵点M在函数y=（x＞0）的图象上∴ab=3，由（1）点C坐标为（a，），B点坐标为（，b）∴BM=a-=，MC=b-=，52\n∴S△BMC==.【知识点】反比例函数图像和性质；平行于x轴和y轴直线上点的坐标特点；三角形的面积公式10.（2022江西，17，6分）如图，反比例函数y＝(k≠0)的图象与正比例函数y＝2x的图象相交于A(1，a)，B两点，点C在第四象限，CA∥y轴，∠ABC＝90°.(1)求k的值及点B的坐标；(2)求tanC的值．第17题图【思路分析】（1）把A（1，a）代入得到a的值，得到点A坐标，再代入y＝(k≠0)求k的值，根据点A与点B关于原点对称求得B点坐标；（2）设AC交x轴于点D，∠ACB=∠AOD，所以tan∠ACB=tan∠AOD；或过点B作BF∥AC，过点A作AE⊥FB，垂足为E，则∠ACB=∠BAE，从而得到∠ACB=∠BAE，所以tan∠ACB=tan∠BAE【解析】(1)∵点A(1，a)在y＝2x图象上，∴a＝2×1＝2，又∵点A(1，2)在y＝(k≠0)图象上，∴2＝，即k＝2×1＝2，∵y＝与y＝2x相交于A、B两点，则联立方程组，解得或，∴点B的坐标为B(－1，－2)；第17题解图(2)如解图，过点B作BD⊥AC于点D，∵BD⊥AC，∴∠BDC＝90°，52\n∴∠C＋∠CBD＝90°，又∵∠ABC＝90°，∠ABC＝∠ABD＋∠CBD，∴∠C＝∠ABD，∵tanC＝tan∠ABD＝，∵A(1，2)、B(－1，－2)，∴D(1，－2)，∴AD＝|2－(－2)|＝4，BD＝|1－(－1)|＝2，∴tanC＝＝2.【知识点】反比例函数，锐解三角函数，方程组11.（2022·新疆维吾尔、生产建设兵团，18，8）已知反比例函数的图像与一次函数y＝kx＋m的图像交于点(2，1)．（1）分别求出这两个函数的解析式；（2）判断P(－1，－5)是否在一次函数y＝kx＋m的图像上，并说明原因．【思路分析】（1）将点(2，1)的坐标代入两函数解析式，联立成方程组，解之得到两函数关系式；（2）将x＝－1代入一次函数解析式，计算相应的函数值，看是否等于－5，若等，则该点在直线上，否则不在该直线上．【解析】解：（1）由题意得，解得，故这两个函数的解析式分别为y＝和y＝2x－3．（2）∵在y＝2x－3中，当x＝－1时，y＝2×(－1)－3＝－5，∴点P(－1，－5)在一次函数y＝2x－3的图像上．【知识点】一次函数的图像与性质；一次函数的应用12.（2022四川雅安，22题，10分）如图，在平面直角坐标系中，一次函数y=kx+b(k≠0)的图象与反比例函数(m≠0)的图象交于第一、三象限内的A、B两点，与x轴的负半轴交于点C，过点A作AM⊥x轴，垂足为点M，AM=6，OC=1，tan∠ACM=2.第22题图52\n（1）求反比例函数和一次函数的表达式；（2）连接BM，求△ABM的面积。【思路分析】（1）在Rt△ACM中，由AM的长度和∠ACM的三角函数可求得OM的长度，即得到A的坐标，从而得到反比例函数的表达式，由点A和点C坐标求出一次函数表达式；（2）联立两个函数，求出点B坐标，将△ABM分割成两个三角形，利用坐标求出三角形的底和高，从而得到三角形的面积【解题过程】（1）因为AM⊥x轴，所以∠AMC=90°，在Rt△ACM中，AM=6，tan∠ACM=2，所以CM=3，因为OC=1，所以OM=2，所以点A的坐标为(2,6)，因为点A(2,6)在双曲线上，所以m=2×6=12，所以反比例函数的表达式为，又因为点C在x轴的负半轴上，且OC=1，所以C(-1,0)，把A(2,6)，C(-1,0)带入y=kx+b中，得，解得，所以一次函数的表达式为y=2x+2；（2）联立一次函数和反比例函数，解得，所以点B的坐标为(-3,-4)，所以△BCM中CM边上的高为4，所以S△ABM=S△ACM+S△BCM=×3×6+×3×4=15【知识点】三角函数，待定系数法，三角形面积13.（2022武汉市，22，10分）已知点A(a，m)在双曲线上且m＜0，过点A作x轴的垂线，垂足为B.(1)如图1，当a＝－2时，P(t，0)是x轴上的动点，将点B绕点P顺时针旋转90°至点C.①若t＝1，直接写出点C的坐标；②若双曲线经过点C，求t的值.(2)如图2，将图1中的双曲线（x＞0）沿y轴折叠得到双曲线（x＜0），将线段OA绕点O旋转，点A刚好落在双曲线（x＜0）上的点D(d，n)处，求m和n的数量关系.【思路分析】（1）求出A、B两点的坐标，①求出BP的长即可写出C点的坐标；②点B在点P的右边、点B在点P的左边两种情况，分别用t表示点C的坐标，代入反比例函数解析式，可求出t的值.(2)分别用m、n表示出、，根据旋转的性质知，求出m和n的数量关系.【解题过程】⑴将＝－2代入y＝中得：＝＝－4 ∴A(－2，－4)，B(－2，0)①∵t＝1 ∴P(1，0)，BP＝1－(－2)＝3∵将点B绕点P顺时针旋转90°至点C ∴＝＝t PC＝BP＝3 ∴C(1，3)52\n②∵B(－2，0)，P(t，0)第一种情况：当B在P的右边时，BP＝－2－t，∴＝＝t PC1＝BP＝－2－t ∴C1(t，t＋2)，第二种情况：当B在P的左边时，BP＝2＋t，∴＝＝t PC2＝BP＝2＋t ∴C2(t，t＋2).综上：C的坐标为（t，t＋2）∵C在y＝上 ∴t(t＋2)＝8 解得 t＝2或－4⑴⑵22题答图⑵作DE⊥y轴交y轴于点E，将=m代入y＝得：＝，∴A(，m)∴AO2＝OB2＋AB2＝＋m2，将=n代入y＝得：＝，∴D(－，n)∴DO2＝DE2＋OE2＝＋n2，∴＋m2＝＋n2，－＝n2－m2，＝n2－m2，（64－m2n2）(n2－m2)＝0①当n2－m2＝0时，n2＝m2，∵m＜0，n＞0 ∴m＋n＝0；②当64－m2n2＝0时，m2n2＝64，∵m＜0，n＞0 ∴＝－8.综合得：m＋n＝0，或＝－8.【知识点】旋转的性质点在函数图像上，点的坐标满足函数关系式14.（2022四川攀枝花，21，8）(本小题满分8分)如图10，在平面直角坐标系中，A点的坐标为(a.6)，AB⊥x轴于点B,,反比例函数的图象的一支分别交AO、AB于点C、D。延长AO交反比例函数的图象的另一支于点E。已知点D的纵坐标为.(1)求反比例函数的解析式；(2)求直线EB的解析式；(3)求52\n.【思路分析】垂直（1）先求出点D的坐标，即可求出反比例函数的解析式。（2）先求出点B和点E的坐标，再利用待定系数法求出直线EB的解析式；（3）利用点B的横坐标和点E的纵坐标求。【解题过程】（1）在∵，∵，∴,∴,∴。（2）由直线OA的解析式组成方程组，解得点E(-4,-3)又设直线BE的解析式为，可得解得，所以直线BE的解析式为；（3）∵点点E(-4,-3)∴。【知识点】反比例函数，一次函数15.（2022河南，18，9分）如图,反比例函数的图象过格点（网格线的交点）P．（1）求反比例函数的解析式；（2）在图中用直尺和2B铅笔画出两个矩形（不写画法）,要求每个矩形均需满足下列两个条件：①四个顶点均在格点上,且其中两个顶点分别是点O,点P；②矩形的面积等于k的值．52\n【思路分析】（1）本题考查待定系数法求反比例函数解析式，由图像可知点Ｐ坐标为（２,２），将点Ｐ坐标直接代入即可；（２）Ｏ，Ｐ为矩形的两个顶点，因此线段ＯＰ可能为矩形的边和对角线，故分两种情况进行讨论；【解题过程】（1）∵点在反比例函数的图象上,∴反比例函数的解析式为（2）①当线段ＯＰ为矩形对角线时，该矩形如下：第18题（2）答图②当线段ＯＰ为矩形的边时：由题意可得：矩形的面积等于4∵p点坐标为（2,2）∴op=22∴矩形另一边等于2∴满足条件的矩形如下：矩形OPMN或矩形OPED52\n第18题（2）答图【知识点】待定系数法求解析式；反比例函数k的几何意义；矩形的面积16.（2022湖北省襄阳市，21，7分）如图,已知双曲线与直线y2=ax+b交于点A(-4，1)和点B(m，-4）(1)求双曲线和直线的解析式；(2)直接写出线段AB的长和y1>y2时x的取值范围.【思路分析】本题考查了反比例函数与一次函数的综合题，需要学生会利用函数图象解决不等式问题，是一道常规题目，属于简单题；（1）把A点坐标代入双曲线解析式即可求出k的值，从而确定双曲线的解析式；将B点坐标代入双曲线解析式即可得到关于m的方程，解方程即可求出m的值，从而确定B点坐标；最后将A，B两点坐标代入直线解析式，列出关于a,b的方程组，解方程组求出a,b的值即可得到直线解析式.（2）利用A、B坐标和勾股定理计算AB的长度；观察图象，找出双曲线在直线上方的部分，确定x的取值范围即为答案.【解题过程】解：（1）∵双曲线经过点A（-4，1），∴k=-4×1=-4.∴双曲线的解析式为.∵双曲线经过点B（m，-4），∴-4m=-4，∴m=1.52\n∴B（1，-4）.∵直线y2=ax+b经过点A（-4,1）和点B（1，-4），∴，解得，，∴直线的解析式为y2=-x-3.（2）AB=，y1＞y2时，x的取值范围是-4＜x＜0或x＞1.理由如下：由勾股定理可知，AB=.在图象中找出双曲线在直线上方的部分，确定这部分x的取值范围是-4＜x＜0或x＞1.故答案为AB=，y1＞y2时，x的取值范围是-4＜x＜0或x＞1.【知识点】反比例函数；一次函数17.（2022四川凉山州，22，8分）ABCO在平面直角坐标系中的位置如图所示，直线与双曲线在第一象限的图象相交于A、E两点，且A（3，4），E是BC的中点.（1）连结OE，若△ABE的面积为，△OCE的面积为，则（直接填“>”“<”或“=”）；（2）求和的解析式；（3）请直接写出当x取何值时.(第22题图)【思路分析】（1）∵四边形ABCO为平行四边形，∴AO∥BC，根据两条平行线间的距离处处相等，则=；52\n（2）将A（3，4）代入得m的值，求得∵四边形ABCO为平行四边形，如图所示，且E是BC的中点.∴点E的纵坐标是2，设E（a，2），代入，得∴a=6∴E（6，2），将A（3，4），E（6，2）代入，得解得k，b的值，得到函数解析式.（3）由图像可知x的取值范围.【解题过程】解:（1）连结OE，若△ABE的面积为，△OCE的面积为，则=；（2）将A（3，4）代入得，∴m=12∵四边形ABCO为平行四边形，如图所示，且E是BC的中点.∴点E的纵坐标是2，设E（a，2），代入得∴a=6∴E（6，2），将A（3，4），E（6，2）代入得解得∴和的解析式分别为：，（3）由图像可知，当3＜x＜6时，.【知识点】一次函数与反比例函数的解析式，一次函数与反比例函数图像的增减性.18.（2022浙江省台州市，20，8分）如图，函数的图象与函数的图象相交于点.52\n（1）求，的值；（2）直线与函数的图象相交于点，与函数的图象相交于点，求线段长.【思路分析】（1）要求m与k的值，需要将点P的横坐标2代入正比例函数解析式y=x即可得到纵坐标2，进而点P（2，2），代入就可以求出k的值；（2）将函数值y=4分别代入函数解析式求出相应横坐标，然后相减即可.【解题过程】（1）把点P（2，m）代入y=x得m=2，∴P（2，2），把点P（2，2）代入得k=4，∴反比例函数的解析式为；（2）如图所示：当y=4时，代入y=x得x=4，∴A（4，4）；代入得x=1，所以AB=4-1=3.【知识点】待定系数法求函数解析式；反比例函数图象上点的坐标特征；求函数图象上点的坐标19.（2022·北京，23，6）在平面直角坐标系xOy中，函数y＝（x＞0）的图象G经过点A(4，1)，直线l：y＝x＋b与图象G交于点B，与y轴交于点C．（1）求k的值；（2）横、纵坐标都是整数的点叫做整点．记图象G在点A，B之间的部分与线段OA，OC，BC围成的区域（不含边界）为W．①当b＝－1时，直接写出区域W内的整点个数；②若区域W内恰有4个整点，结合图象，求b的取值范围．【思路分析】（1）将点A的坐标代入反比例函数解析式，即可求出k的值；（2）①利用函数图像找出整点个数；②52\n分两种情况讨论，并将点(5，0)、(1，2)、(1，3)代入y＝x＋b，求出分界线的相应b的值，最后利用数形结合思想锁定b的取值范围．【解题过程】解：（1）∵函数y＝（x＞0）的图象经过点A(4，1)，∴，解得k＝4．（2）①如下图所示：由图可知区域W内的整点个数有3个：(1，0)，(2，0)，(3，0)．②如下图可知，当直线BC过点(5，0)时，＋b＝0，b＝－，此时，区域W内的整点个数有4个：(1，0)，(2，0)，(3，0)，(4，0)，而－≤b＜－1；当直线BC过点(1，2)时，＋b＝2，b＝；当直线BC过点(1，3)时，＋b＝3，b＝，此时，区域W内的整点个数有4个：(1，1)，(2，1)，(3，1)，(1，2)，而＜b≤．综上，－≤b＜－1或＜b≤．【知识点】反比例函数的图象与性质；一次函数的应用；数形结合思想；待定系数法20.（2022山东省泰安市，22，9）如图，矩形的两边、的长分别为3、8，是的中点，反比例函数的图象经过点，与交于点.（1）若点坐标为，求的值及图象经过、两点的一次函数的表达式；（2）若，求反比例函数的表达式.52\n【思路分析】（1）利用矩形的性质可以点E、A的坐标，利用待定系数法求出m的值及直线AE的关系式；（2）利用勾股定理求出AE的长，从而求出AF、BF的长，明确点E、F的纵坐标，用字母a表示点E、F的横坐标，利用点E、F在同一反比例函数图象上列方程，求出它们的坐标，最终求出反比例函数的表达式.【解题过程】解：（1）∵，，，为的中点，∴，，∵反比例函数图象过点，∴.2分设图象经过、两点的一次函数表达式为：，∴，解得，∴.4分（2）∵，，∴，∵，∴，∴.设点坐标为，则点坐标为，6分∵，两点在图象上，∴，解得，8分∴，∴，∴9分【知识点】矩形性质；待定系数法求反比例函数及一次函数关系式，勾股定理；反比例函数k的意义.52
