第25讲与圆有关的位置关系考纲要求命题趋势1．探索并了解点和圆、直线和圆以及圆和圆的位置关系．2．知道三角形的内心和外心．3．了解切线的概念，并掌握切线的判定和性质，会过圆上一点画圆的切线. 直线与圆位置关系的判定是中考考查的热点，通常出现在选择题中．中考考查的重点是切线的性质和判定，题型多样，常与三角形、四边形、相似、函数等知识结合在一起综合考查．圆与圆位置关系的判定一般借助两圆公共点的个数或利用两圆半径与圆心距的关系来判定，通常出现在选择题、填空题中.知识梳理一、点与圆的位置关系1．点和圆的位置关系点在圆______，点在圆______，点在圆______．2．点和圆的位置关系的判断如果圆的半径是r，点到圆心的距离为d，那么点在圆外⇔________；点在圆上⇔________；点在圆内⇔________.3．过三点的圆(1)经过三点的圆：①经过在同一直线上的三点不能作圆；②经过不在同一直线上的三点，有且只有一个圆．(2)三角形的外心：经过三角形各顶点的圆叫做三角形的外接圆；外接圆的圆心叫做三角形的________；这个三角形叫做这个圆的内接三角形．二、直线与圆的位置关系1．直线和圆的位置关系________、________、________.2．概念(1)直线和圆有两个交点，这时我们就说这条直线和圆________，这条直线叫做圆的________；(2)直线和圆有唯一公共点，这时我们说这条直线和圆________，这条直线叫做圆的切线，这个点叫做切点；(3)直线和圆没有公共点，这时我们说这条直线和圆________．3．直线和圆的位置关系的判断如果圆的半径是r，直线l到圆心的距离为d，那么直线l和⊙O相交⇔________；直线l和⊙O相切⇔________；直线l和⊙O相离⇔________.三、切线的判定和性质1．切线的判定方法(1)经过半径的________并且垂直于这条半径的直线是圆的切线；(2)到圆心的距离________半径的直线是圆的切线．2．切线的性质圆的切线垂直于经过________的半径．12\n3．切线长定理过圆外一点可以引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分这两条切线的夹角．四、三角形(多边形)的内切圆1．与三角形(多边形)内切圆有关的一些概念(1)和三角形各边都______的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的______，这个三角形叫做圆的______三角形；(2)和多边形各边都______的圆叫做多边形的内切圆，这个多边形叫做圆的外切多边形．2．三角形的内心的性质三角形的内心是三角形三条________的交点，它到三边的距离相等，且在三角形内部．五、圆与圆的位置关系1．概念①两圆外离：两个圆______公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的______；②两圆外切：两个圆有______的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的______；③两圆相交：两个圆有______公共点；④两圆内切：两个圆有______的公共点，并且除了这个公共点以外，一个圆上的点都在另一个圆的______；⑤两圆内含：两个圆______公共点，并且一个圆上的点都在另一个圆的______．2．圆与圆位置关系的判断设两圆半径分别为R和r，圆心距为O1O2＝d.两圆外离⇔d＞______；两圆外切⇔d＝______；两圆相交⇔______＜d＜______(R≥r)；两圆内切⇔d＝______(R＞r)；两圆内含⇔______≤d＜______(R＞r)．六、两圆位置关系的相关性质1．两圆相切、相交的有关性质(1)相切两圆的连心线必经过________．(2)相交两圆的连心线垂直平分________．2．两圆位置关系中常作的辅助线(1)两圆相交，可作公共弦．(2)两圆相切，可作公切线．自主测试1．在数轴上，点A所表示的实数为3，点B所表示的实数为a，⊙A的半径为2.下列说法中不正确的是( )A．当a＜5时，点B在⊙A内B．当1＜a＜5时，点B在⊙A内C．当a＜1时，点B在⊙A外D．当a＞5时，点B在⊙A外2．已知⊙O的面积为9πcm2，若点O到直线l的距离为πcm，则直线l与⊙O的位置关系是( )A．相交B．相切C．相离D．无法确定3．如图，CD切⊙O于点B，CO的延长线交⊙O于点A.若∠C＝36°，则∠ABD的度数是( )12\nA．72°B．63°C．54°D．36°4．如图，国际奥委会会旗上的图案由五个圆环组成，在这个图案中反映出的两圆位置关系有( )A．内切、相交B．外离、相交C．外切、外离D．外离、内切5．如图，正三角形的内切圆半径为1，那么这个正三角形的边长为__________．6．如图，AB是⊙O的直径，∠A＝30°，延长OB到D使BD＝OB.(1)△OBC是否是等边三角形？说明理由．(2)求证：DC是⊙O的切线．考点一、点与圆的位置关系【例1】矩形ABCD中，AB＝8，BC＝3，点P在边AB上，且BP＝3AP，如果圆P是以点P为圆心，PD为半径的圆，那么下列判断正确的是( )A．点B，C均在圆P外B．点B在圆P外、点C在圆P内12\nC．点B在圆P内、点C在圆P外D．点B，C均在圆P内解析：画出矩形后求解出DP的长度即圆的半径，然后求出BP，CP的长度与DP的长度作比较就可以发现答案．在Rt△ADP中，DP＝＝7，在Rt△BCP中，BP＝6，PC＝＝9.∵PC＞DP，BP＜DP，∴点B在圆P内，点C在圆P外．答案：C方法总结解答这类题目的关键是运用数形结合的思想，将点与圆的图形位置关系转化为确定点到圆心的距离与半径之间的数量关系．触类旁通1若⊙O的半径为5cm，点A到圆心O的距离为4cm，那么点A与⊙O的位置关系是( )A．点A在圆外B．点A在圆上C．点A在圆内D．不能确定考点二、切线的性质与判定【例2】如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，＝＝.(1)求证：直线PB是⊙O的切线；(2)求cos∠BCA的值．分析：(1)连接OB，OP，由＝＝，且∠D＝∠D，根据三角形相似的判定定理得到△BDC∽△PDO，可得到BC∥OP，易证得△BOP≌△AOP，则∠PBO＝∠PAO＝90°；(2)设PB＝a，则BD＝2a，根据切线长定理得到PA＝PB＝a，根据勾股定理得到AD＝2a，又BC∥OP，得到DC＝2CO，得到DC＝CA＝×2a＝a，则OA＝a，利用勾股定理求出OP，然后根据余弦函数的定义即可求出cos∠BCA＝cos∠POA的值．解：(1)证明：连接OB，OP，∵＝＝，且∠D＝∠D，∴△BDC∽△PDO，∴∠DBC＝∠DPO，12\n∴BC∥OP，∴∠BCO＝∠POA，∠CBO＝∠BOP.∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠CBO，∴∠BOP＝∠POA.又∵OB＝OA，OP＝OP，∴△BOP≌△AOP，∴∠PBO＝∠PAO.又∵PA⊥AC，∴∠PAO＝90°，∴∠PBO＝90°，∴直线PB是⊙O的切线．(2)由(1)知∠BCO＝∠POA，设PB＝a，则BD＝2a，又∵PA＝PB＝a，∴AD＝＝2a.又∵BC∥OP，∴DC＝2CO，∴DC＝CA＝AD＝×2a＝a，∴OA＝a，∴OP＝＝＝a，∴cos∠BCA＝cos∠POA＝＝.方法总结1．切线的常用判定方法有两种：一是用圆心到直线的距离等于圆的半径来说明直线是圆的切线；二是用经过半径的外端且垂直于这条半径来说明直线是圆的切线．当被说明的直线与圆的公共点没有给出时，用方法一；当圆与直线的公共点已经给出时，常用方法二说明．2．利用切线的性质时，常连接切点和圆心，构造直角．触类旁通2如图，AD是⊙O的弦，AB经过圆心O，交⊙O于点C，∠DAB＝∠B＝30°.(1)直线BD是否与⊙O相切？为什么？(2)连接CD，若CD＝5，求AB的长．考点三、三角形的内切圆【例3】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝6，BC＝8.则△ABC的内切圆半径r＝__________.12\n解析：在Rt△ABC中，AB＝＝＝10.∵S△ACB＝AC·BC＝×6×8＝24，∴r＝＝＝2.答案：2方法总结三角形的内切圆半径r＝，其中S是三角形面积，a，b，c是三角形三边长．触类旁通3如图所示，⊙O是△ABC的内切圆，切点分别是D，E，F，已知∠A＝100°，∠C＝30°，则∠DFE的度数是( )A．55°B．60°C．65°D．70°考点四、圆与圆的位置关系【例4】在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3cm，BC＝4cm，若⊙A，⊙B的半径分别为1cm,4cm，则⊙A，⊙B的位置关系是( )A．外切B．内切C．相交D．外离解析：如图所示，由勾股定理可得AB＝＝＝5(cm)，∵⊙A，⊙B的半径分别为1cm,4cm，∴圆心距d＝R＋r，∴⊙A，⊙B的位置关系是外切．答案：A12\n方法总结圆和圆的位置关系按公共点的个数可分为相离、相切和相交；两圆无公共点则相离，有一个公共点则相切；有两个公共点则相交．其中相离包括内含和外离，相切包括外切和内切，解答时，只要通过两圆的半径和或差与圆心距比较即可．触类旁通4若两圆相切，圆心距是7，其中一个圆的半径为10，则另一个圆的半径为__________．1．(2022江苏无锡)已知⊙O的半径为2，直线l上有一点P满足PO＝2，则直线l与⊙O的位置关系是( )A．相切B．相离C．相离或相切D．相切或相交2．(2022湖北恩施)如图，两个同心圆的半径分别为4cm和5cm，大圆的一条弦AB与小圆相切，则弦AB的长为( )A．3cmB．4cmC．6cmD．8cm3．(2022四川乐山)⊙O1的半径为3厘米，⊙O2的半径为2厘米，圆心距O1O2＝5厘米，这两圆的位置关系是( )A．内含B．内切C．相交D．外切4．(2022山东菏泽)如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，AC是⊙O的直径，若∠P＝46°，则∠BAC＝__________.(第4题图)5．(2022甘肃兰州)如图，两个同心圆，大圆半径为5cm，小圆半径为3cm，若大圆的弦AB与小圆相交，则弦AB的取值范围是__________．6．(2022山东济宁)如图，AB是⊙O的直径，AC是弦，OD⊥AC于点D，过A作⊙O的切线12\nAP，AP与OD的延长线交于点P，连接PC，BC.(1)猜想：线段OD与BC有何数量和位置关系，并证明你的结论；(2)求证：PC是⊙O的切线．1．如图，在平面直角坐标系中，过格点A，B，C作一圆弧，点B与下列格点的连线中，能够与该圆弧相切的是( )(第1题图)A．点(0,3)B．点(2,3)C．点(5,1)D．点(6,1)2．如图，AB为⊙O的直径，PD切⊙O于点C，交AB的延长线于D，且CO＝CD，则∠PCA＝( )A．30°B．45°C．60°D．67.5°(第2题图)3．如图，⊙O的半径为2，点O到直线l的距离为3，点P是直线l上的一个动点，PB切⊙O于点B，则PB的最小值是( )A．B．C．3D．24．两圆的半径分别为3和7，圆心距为7，则两圆的位置关系是( )A．内切B．相交C．外切D．外离12\n5．两圆的圆心坐标分别是(，0)和(0,1)，它们的半径分别是3和5，则这两个圆的位置关系是( )A．相离B．相交C．外切D．内切6．如图，∠ACB＝60°，半径为1cm的⊙O切BC于点C，若将⊙O在CB上向右滚动，则当滚动到⊙O与CA相切时，圆心O移动的水平距离是__________cm.(第6题图)7．如图，直线AB与半径为2的⊙O相切于点C，D是⊙O上一点，且∠EDC＝30°，弦EF∥AB，则EF的长度为__________．(第7题图)8．如图所示，AB是⊙O的直径，以OA为直径的⊙O1与⊙O的弦AC相交于D，DE⊥OC，垂足为E.(1)求证：AD＝DC；(2)求证：DE是⊙O1的切线；(3)如果OE＝EC，请判断四边形O1OED是什么四边形，并证明你的结论．参考答案导学必备知识自主测试1．A 2．C 3．B 4．B 5．26．解：(1)△OBC是等边三角形．理由：∵∠A＝30°，OA＝OC，∴∠A＝∠OCA.∴∠BOC＝2∠A＝60°.∵OB＝OC，∴△OBC是等边三角形．12\n(2)证明：∵△OBC是等边三角形，且OB＝BD，∴OB＝BD＝BC，∴△OCD为直角三角形，∠OCD＝90°.又∵点C在圆O上，∴DC是⊙O的切线．探究考点方法触类旁通1．C触类旁通2．分析：(1)连接OD，证明∠ODB＝90°即可；(2)利用30°所对的直角边等于斜边的一半求得AC，再证BC＝CD＝5.解：(1)直线BD与⊙O相切．理由如下：如图，连接OD，∵∠ODA＝∠DAB＝∠B＝30°，∴∠ODB＝180°－∠ODA－∠DAB－∠B＝180°－30°－30°－30°＝90°，即OD⊥BD.∴直线BD与⊙O相切．(2)由(1)知，∠ODA＝∠DAB＝30°，∴∠DOB＝∠ODA＋∠DAB＝60°.又∵OC＝OD，∴△DOC是等边三角形．∴OA＝OD＝CD＝5.又∵∠B＝30°，∠ODB＝90°，∴OB＝2OD＝10.∴AB＝OA＋OB＝5＋10＝15.触类旁通3．C ∵∠A＝100°，∠C＝30°，∴∠B＝180°－∠A－∠C＝50°.∵OD⊥AB，OE⊥BC，∴∠DOE＝180°－∠B＝130°.∴∠DFE＝∠DOE＝65°.触类旁通4．3或17 由题意知两圆相内切，则两圆半径、圆心距的关系为d＝R－r，即|10－r|＝7，所以r＝3或17.品鉴经典考题1．D 因为⊙O的半径为2，PO＝2，则直线l与⊙O至少有一个交点，则直线l与⊙O的位置关系是相切或相交．2．C 设切点为E，连接OA，OE.在Rt△OAE中，AE＝＝3(cm)，所以AB＝6cm.3．D12\n4．23° ∵PA，PB是⊙O的切线，∴PA＝PB.又∠P＝46°，∴∠PAB＝∠PBA＝＝67°.又PA是⊙O的切线，AO为半径，∴OA⊥AP，∴∠OAP＝90°，∴∠BAC＝∠OAP－∠PAB＝90°－67°＝23°.故答案为23°.5．8cm＜AB≤10cm 如图，当AB与小圆相切时有一个公共点D.连接OA，OD，可得OD⊥AB，∴D为AB的中点，即AD＝BD.在Rt△ADO中，OD＝3cm，OA＝5cm，∴AD＝4cm，∴AB＝2AD＝8(cm)．当AB经过同心圆的圆心时，弦AB最大且与小圆相交有两个公共点，此时AB＝10cm.∴AB的取值范围是8cm＜AB≤10cm.故答案为8cm＜AB≤10cm.6．解：(1)OD∥BC，OD＝BC.证明：∵OD⊥AC，∴AD＝DC.∵AB是⊙O的直径，∴OA＝OB，BC⊥AC，∴OD是△ABC的中位线，∴OD∥BC，OD＝BC.(2)证明：连接OC.设OP与⊙O交于点E，连接AE，CE.∵OD⊥AC，OD经过圆心O，∴，即∠AOE＝∠COE.在△OAP和△OCP中，∵OA＝OC，OP＝OP，∴△OAP≌△OCP，∴∠OCP＝∠OAP.∵PA是⊙O的切线，∴∠OAP＝90°，12\n∴∠OCP＝90°，即OC⊥PC.∴PC是⊙O的切线．研习预测试题1．C 2．D 3．B 4．B5．D 因为由圆心的坐标可知，两圆心分别在x轴和y轴上，与坐标原点构成直角三角形，所以圆心距为＝2.而两圆的半径之差等于2，即d＝r1－r2(r1＞r2)．所以两圆内切．6．7．2 如图，连接OE，OC，OC与EF交于G点．∵AB是⊙O的切线，∴OC⊥AB.∵EF∥AB，∴OC⊥EF.∴EG＝EF.∵∠O＝2∠D＝60°，∴EG＝OE·sin60°＝.∴EF＝2.8．解：(1)证明：如图，连接OD，∵AO是⊙O1的直径，∴∠ADO＝90°.∵AC为⊙O的弦，OD⊥AC，∴AD＝DC.(2)证明：∵D为AC中点，O1为AO中点，∴O1D∥OC.又∵DE⊥OC，∴DE⊥O1D.∴DE与⊙O1相切．(3)O1OED为正方形．证明：∵OE＝EC，且D为AC中点，∴DE∥O1O.又∵O1D∥OE，∴四边形O1OED为平行四边形．又∵∠DEO＝90°，O1O＝O1D，12
