专题类型突破专题二 探索规律问题类型一数式规律命题角度❶ 数字规律探索(2022·泰安中考)观察“田”字中各数之间的关系：【分析】依次观察每个“田”中相同位置的数字，即可找到数字变化规律，再观察同一个“田”中各个位置的数字数量关系即可．【自主解答】解数式规律型问题的一般方法(1)当所给的一组数是整数时，先观察这组数字是自然数列、正数列、奇数列、偶数列还是正整数列经过平方、平方加1或减1等运算后的数列，然后再看这组数字的符号，判断数字符号的正负是交替出现还是只出现一种符号，最后把数字规律和符号规律结合起来从而得到结果；(2)当数字是分数和整数结合时，先把这组数据的所有整数写成分数，然后分别推断出分子和分母的规律，最后得到该组第n项的规律；(3)当所给的代数式含有系数时，先观察其每一项的系数之间是否有自然数列、正整数列、奇数列、偶数列或交替存在一定的对称性，然后观察其指数是否存在相似的规律，最后将系数和指数的规律结合起来求得结果．1．(2022·百色中考)观察以下一列数的特点：0，1，－4，9，－16，25，…，则第11个数是()A．－121B．－100C．100D．1212．(2022·12\n十堰中考)如图，10个不同的正偶数按下图排列，箭头上方的每个数都等于其下方两数的和，如，表示a1＝a2＋a3，则a1的最小值为()A．32B．36C．38D．403．(2022·枣庄中考)将从1开始的连续自然数按如下规律排列：…则2018在第________行．命题角度❷ 数字循环类规律探索(2022·成都中考)已知a＞0，S1＝，S2＝－S1－1，S3＝，S4＝－S3－1，S5＝，…(即当n为大于1的奇数时，Sn＝；当n为大于1的偶数时，Sn＝－Sn－1－1)，按此规律，S2018＝__________．【分析】根据Sn数的变化找出Sn的值每6个一循环，结合2018＝336×6＋2，此题得解．【自主解答】12\n数字循环类规律题就是几个数循环出现，解决此类问题时，一般是先求出前几个数，再观察其中隐含的规律，若和序号有关，则第n个数用含n的式子表示，用n除以循环出现的数的个数，找出余数即可找到对应的结果．4．(2022·岳阳中考)观察下列等式：21＝2，22＝4，23＝8，24＝16，25＝32，26＝64，…，根据这个规律，则21＋22＋23＋24＋…＋22017的末位数字是()A．0B．2C．4D．65．(2022·枣庄中考改编)一列数a1，a2，a3，…满足条件：a1＝，an＝(n≥2，且n为整数)，则a2019＝________．命题角度❸ 等式规律探索(2022·滨州中考)观察下列各式：＝1＋，＝1＋，＝1＋，…请利用你所发现的规律，计算＋＋＋…＋，其结果为________．【分析】直接根据已知数据变化规律进而将原式变形求出答案．【自主解答】12\n探索等式规律的一般步骤(1)标序数；(2)对比式子与序号，即分别比较等式中各部分与序数(1，2，3，4，…，n)之间的关系，把其隐含的规律用含序数的式子表示出来，通常方法是将式子进行拆分，观察式子中数字与序号是否存在倍数或者次方的关系；(3)根据找出的规律得出第n个等式，并进行检验．6．(2022·黔南州中考)根据下列各式的规律，在横线处填空：＋－1＝，＋－＝，＋－＝，＋－＝…，＋－________＝.7．(2022·安徽中考)观察以下等式：第1个等式：＋＋×＝1，第2个等式：＋＋×＝1，第3个等式：＋＋×＝1，第4个等式：＋＋×＝1，第5个等式：＋＋×＝1，…按照以上规律，解决下列问题：(1)写出第6个等式：________；(2)写出你猜想的第n个等式：________(用含n的等式表示)，并证明．类型二点的坐标规律12\n(2022·东营中考)如图，在平面直角坐标系中，点A1，A2，A3，…和点B1，B2，B3，…分别在直线y＝x＋b和x轴上．△OA1B1，△B1A2B2，△B2A3B3，…都是等腰直角三角形，如果点A1(1，1)，那么点A2018的纵坐标是________.【分析】因为每个A点为等腰直角三角形的直角顶点，则延长直线交x轴、y轴于点N，M，构造直角三角形MNO，作出各点A垂直于x轴，利用三角函数值求出各点A的纵坐标，找出规律可求解．【自主解答】根据图形寻找点的坐标的变换特点，这类题目一般有两种考查形式：一类是点的坐标变换在直角坐标系中递推变化；另一类是点的坐标变换在坐标轴上或象限内循环递推变化．解决这类问题可按如下步骤进行：(1)根据图形点坐标的变换特点确定属于哪一类；(2)根据图形的变换规律分别求出第1个点，第2个点，第3个点的坐标，找出点的坐标与序号之间的关系，归纳得出第M个点的坐标与变换次数之间的关系；(3)确定第一类点的坐标的方法：根据(2)中得到的倍分关系，得到第M个点的坐标；确定第二类点坐标的方法：先找出循环一周的变换次数，记为n，用M÷n＝ω……q(0≤q＜n)，则第M次变换与每个循环中第q次变换相同，再根据(2)中得到的第M个点的坐标与变换次数的关系，得到第M个点的坐标．8．(2022·广州中考)在平面直角坐标系中，一个智能机器人接到如下指令：从原点O出发，按向右，向上，向右，向下的方向依次不断移动，每次移动1m．其行走路线如图所示，第1次移动到A1，第2次移动到A2，…，第n次移动到An.则△OA2A2018的面积是(A)12\nA．504m2B.m2C.m2D．1009m29．(2022·威海中考)如图，在平面直角坐标系中，点A1的坐标为(1，2)，以点O为圆心，以OA1长为半径画弧，交直线y＝x于点B1.过B1点作B1A2∥y轴，交直线y＝2x于点A2，以点O为圆心，以OA2长为半径画弧，交直线y＝x于点B2；过点B2作B2A3∥y轴，交直线y＝2x于点A3，以点O为圆心，以OA3长为半径画弧，交直线y＝x于点B3；过B3点作B3A4∥y轴，交直线y＝2x于点A4，以点O为圆心，以OA4长为半径画弧，交直线y＝x于点B4，…，按照如此规律进行下去，点B2018的坐标为______________类型三图形累加型变化规律(2022·潍坊中考)如图，自左至右，第1个图由1个正六边形、6个正方形和6个等边三角形组成；第2个图由2个正六边形、11个正方形和10个等边三角形组成；第3个图由3个正六边形、16个12\n正方形和14个等边三角形组成；…按照此规律，第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为________个．【分析】根据题中正方形和等边三角形的个数找出规律，进而可得出结论．【自主解答】找图形累加型变化规律的一般步骤(1)写序号，记每组图形的序数为“1，2，3，…n”；(2)数图形个数，在图形数量变化时，要数出每组图形表示的个数；(3)寻找图形数量与序数n的关系，若当图形变化规律不明显时，可利用图示法，即针对寻找第n个图形表示的数量时，先将后一个图形的个数与前一个图形的个数进行比对，通常作差(商)来观察是否有恒等量的变化，然后按照定量变化推导出第n个图形的个数．10．(2022·重庆中考)下列图形都是由同样大小的黑色正方形纸片组成，其中第①个图中有3张黑色正方形纸片，第②个图中有5张黑色正方形纸片，第③个图中有7张黑色正方形纸片，…，按此规律排列下去第⑥个图中黑色正方形纸片的张数为()A．11B．13C．15D．1711．(2022·自贡中考)观察下列图中所示的一系列图形，它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2018个图形共有______________个○.12\n类型四图形成倍递变型变化规律(2022·绥化中考)如图，顺次连接腰长为2的等腰直角三角形各边中点得到第1个小三角形，再顺次连接所得的小三角形各边中点得到第2个小三角形，如此操作下去，则第n个小三角形的面积为________．【分析】记原来三角形的面积为S，第一个小三角形的面积为S1，第二个小三角形的面积为S2，…，求出S1，S2，S3，探究规律后即可解决问题．【自主解答】对于求面积规律探索问题的一般步骤：(1)根据题意可得出第一次变换前图形的面积S；(2)通过计算得到第一次变换后图形的面积，第二次变换后图形的面积，第三次变换后图形的面积，归纳出后一个图形的面积与前一个图形的面积之间存在的倍分关系；(3)根据找出的规律，即可求出第M次变换后图形的面积．12．(2022·内江中考)如图，过点A0(2，0)作直线l：y＝x的垂线，垂足为点A1，过点A1作A1A2⊥x轴，垂足为点A2，过点A2作A2A3⊥l，垂足为点A3，…，这样依次下去，得到一组线段：A0A1，A1A2，A2A3，…，则线段A2016A2017的长为()12\nA．()2015B．()2016C．()2017D．()201813．(2022·潍坊中考)如图，点A1的坐标为(2，0)，过点A1作x轴的垂线交直线l：y＝x于点B1，以原点O为圆心，OB1的长为半径画弧交x轴正半轴于点A2；再过点A2作x轴的垂线交直线l于点B2，以原点O为圆心，以OB2的长为半径画弧交x轴正半轴于点A3；….按此作法进行下去，则的长是________．参考答案类型一【例1】观察“田”字中各数之间的关系得：左上角数字为连续的正奇数；左下角数字为2的整数指数幂；右下角数字则为左上角与左下角两数字的和；右上角的数字为右下角数字与1的差．故此，可知a＝28＝256，b＝15＋256＝271，c＝271－1＝270.故答案为270.变式训练1．B 2.D 3.45【例2】∵S1＝，S2＝－S1－1＝－－1＝－，S3＝＝－，S4＝－S3－1＝－1＝－，S512\n＝＝－(a＋1)，S6＝－S5－1＝(a＋1)－1＝a，S7＝＝，…，∴Sn的值每6个一循环．∵2018＝336×6＋2，∴S2018＝S2＝－.故答案为－.变式训练4．B 5.－1【例3】＋＋＋…＋＝1＋＋1＋＋1＋＋…＋1＋＝1×9＋1－＋－＋－＋…＋－＝9＋1－＝9.故答案为9.变式训练6. 7．解：(1)＋＋×＝1(2)根据题意，第n个分式分母分别为n和n＋1，分子分别为1和n－1，故答案为＋＋×＝1.证明：＋＋×＝＝＝1，∴等式成立．类型二【例4】∵A1(1，1)在直线y＝x＋b上，∴b＝，∴直线解析式为y＝x＋.设直线与x轴、y轴的交点坐标分别为点N，M.12\n当x＝0时，y＝；当y＝0时，x＋＝0，解得x＝－4，∴点M，N的坐标分别为M(0，)，N(－4，0)，∴tan∠MNO＝＝＝.如图，作A1C1⊥x轴于点C1，A2C2⊥x轴于点C2，A3C3⊥x轴于点C3.∵A1(1，1)，OB1＝2A1C1＝2，∴tan∠MNO＝＝＝＝，∴A2C2＝.同理，A3C3＝＝()2，A4C4＝＝()3，…依此类推，点A2018的纵坐标是()2017.故答案为()2017.变式训练8．A 9.(22018，22017)类型三【例5】∵第1个图由6个正方形和6个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的个数之和为6＋6＝12＝9＋3；∵第2个图由11个正方形和10个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的个数之和为11＋10＝21＝9×2＋3；∵第3个图由16个正方形和14个等边三角形组成，∴正方形和等边三角形的个数之和为16＋14＝30＝9×3＋3；…∴第n个图中正方形和等边三角形的个数之和为9n＋3.12\n故答案为9n＋3.变式训练10．B 11.6055类型四【例6】记原来三角形的面积为S，第一个小三角形的面积为S1，第二个小三角形的面积为S2，….∵S1＝·S＝·S，S2＝·S＝·S，S3＝·S，∴Sn＝·S＝··2·2＝.故答案为.变式训练12．B 13.12
