课时训练(十二) 二次函数的图象与性质(限时:60分钟)|夯实基础|1.抛物线y=x2-2x+3的顶点坐标为 . 2.二次函数y=x2+1的最小值是 . 3.已知函数y=x2+2x+1,当y=0时,x= ;当1<x<2时,y随x的增大而 (填写“增大”或“减小”). 4.抛物线y=ax2+bx+2经过点(-2,3),则3b-6a= . 5.[2022·广安]已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图K12-1所示,对称轴为直线x=1,则下列结论正确的有 . ①abc>0;②方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1,x2=3;③2a+b=0;④当x>0时,y随x的增大而减小.图K12-16.对于二次函数y=-2(x-1)2+1的图象,下列说法错误的是( )10\nA.开口向下B.对称轴是直线x=1C.顶点坐标是(-1,1)D.当x≥1时,y随x的增大而减小7.抛物线y=-3x2-x+4与坐标轴的交点的个数是( )A.3B.2C.1D.08.下列函数的图象在每一个象限内,y随x的增大而增大的是( )A.y=-x+1B.y=x2-1C.y=1xD.y=-1x9.[2022·陕西]对于抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y>0,则这条抛物线的顶点一定在( )A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限10.在同一平面直角坐标系中,函数y=ax2+bx与y=bx+a的图象可能是( )图K12-211.[2022·泸州]已知二次函数y=ax2+2ax+3a2+3(其中x是自变量),当x≥2时,y随x的增大而增大,且-2≤x≤1时,y的最大值为9,则a的值为( )A.1或-2B.-2或2C.2D.112.[2022·岳阳]在同一直角坐标系中,二次函数y=x2与反比例函数y=1x(x>0)的图象如图K12-10\n3所示,若两个函数图象上有三个不同的点A(x1,m),B(x2,m),C(x3,m),其中m为常数,令ω=x1+x2+x3,则ω的值为( )图K12-3A.1B.mC.m2D.1m13.在平面直角坐标系中,抛物线y=ax2+bx经过点A(2,4)和点B(6,0).(1)求这条抛物线所对应的二次函数的表达式;(2)直接写出它的开口方向、顶点坐标;(3)点(x1,y1),(x2,y2)均在此抛物线上,若x1>x2>4,则y1 y2(填“>”“=”或“<”); (4)设抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D,求S△BCD的值.14.如图K12-4,二次函数的图象与x轴交于A(-3,0)和B(1,0)两点,交y轴于点C(0,3),点C,D10\n是二次函数图象上的一对对称点,一次函数的图象过点B,D.(1)请直接写出点D的坐标;(2)求二次函数的解析式;(3)根据图象直接写出使一次函数值大于二次函数值的x的取值范围.图K12-415.如图K12-5,在平面直角坐标系中,已知二次函数y=ax2+83x+c的图象与y轴交于点B(0,4),与x轴交于点A(-1,0)和点D.(1)求该二次函数的解析式.(2)在抛物线上是否存在点P,使得△BOP的面积等于52?如果存在,那么这样的点有几个?如果不存在,请说明理由.10\n图K12-5|拓展提升|16.如图K12-6,直线y=kx+b(k≠0)与抛物线y=ax2(a≠0)交于A,B两点,且点A的横坐标是-2,点B的横坐标是3,则以下结论:图K12-6①抛物线y=ax2(a≠0)的顶点一定是原点;②x>0时,函数y=kx+b(k≠0)与函数y=ax2(a≠0)的函数值都随着x的增大而增大;③AB的长度可以等于5;④△OAB有可能成为等边三角形;⑤当-3<x<2时,ax2+kx<b,其中正确的结论是( )A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤10\n17.如图K12-7,已知抛物线的顶点为A(1,4),抛物线与y轴交于点B(0,3),与x轴交于C,D两点,点P是x轴上的一个动点.(1)求该抛物线所对应的函数解析式;(2)当PA+PB的值最小时,求点P的坐标.图K12-710\n参考答案1.(1,2)2.1 [解析]抛物线y=x2+1的顶点坐标为(0,1),由于抛物线的开口向上,所以二次函数y=x2+1的最小值是1.3.-1 增大4.-32 [解析]抛物线y=ax2+bx+2经过点(-2,3),∴4a-2b+2=3,b=2a-12,∴3b-6a=32a-12-6a=-32.5.②③ [解析]∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,∴a<0.∵二次函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴,∴c>0.∵x=-b2a>0,∴b>0,∴abc<0,则①错误;由二次函数图象与x轴交点的横坐标为3,对称轴为直线x=1,可知另一个交点的横坐标为2×1-3=-1,∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1,x2=3,∴②正确;∵对称轴为直线x=-b2a=1,则2a+b=0,∴③正确;∵二次函数图象的开口向下,对称轴为直线x=1,∴当0<x<1时,y随x的增大而增大,当x>1时,y随x的增大而减小,∴④错误.故正确的有②③.6.C7.A [解析]抛物线的解析式为y=-3x2-x+4,令x=0,得y=4,∴抛物线与y轴的交点为(0,4);令y=0,得-3x2-x+4=0,即3x2+x-4=0,解得x1=-43,x2=1,∴抛物线与x轴的交点坐标分别为-43,0,(1,0).综上,抛物线与坐标轴的交点个数为3.故选A.10\n8.D9.C [解析]∵抛物线y=ax2+(2a-1)x+a-3,当x=1时,y>0,∴a+2a-1+a-3>0,解得:a>1.∵-b2a=-2a-12a,4ac-b24a=4a(a-3)-(2a-1)24a=-8a-14a,∴抛物线顶点坐标为-2a-12a,-8a-14a.∵a>-1,∴-2a-12a<0,-8a-14a<0.∴该抛物线的顶点一定在第三象限.10.C11.D [解析]原函数可化为y=a(x+1)2+3a2-a+3,对称轴为直线x=-1,当x≥2时,y随x的增大而增大,所以a>0,抛物线开口向上,因为-2≤x≤1时,y的最大值为9,结合对称轴及增减性可得,当x=1时,y=9,代入表达式可得,a1=1,a2=-2,又因为a>0,所以a=1.12.D [解析]根据题意可得A,B,C三点有两个在二次函数图象上,一个在反比例函数图象上,不妨设A,B两点在二次函数图象上,点C在反比例函数图象上,∵二次函数y=x2图象的对称轴是y轴,∴x1+x2=0.∵点C在反比例函数y=1x(x>0)上,∴x3=1m,∴ω=x1+x2+x3=1m.故选D.13.解:(1)∵抛物线y=ax2+bx经过点A(2,4)和点B(6,0),∴4a+2b=4,36a+6b=0,解得a=-12,b=3,∴这条抛物线所对应的二次函数的表达式为y=-12x2+3x.(2)∵y=-12x2+3x=-12(x-3)2+92,∴该抛物线开口向下,顶点坐标为3,92.(3)∵x1>x2>4,对称轴为直线x=3,a=-12<0,∴y1<y2,故答案为<.(4)令y=0,得x=0,∴C(0,0).10\n又抛物线的顶点坐标为D3,92,B(6,0).∴S△BCD=12·BC·yD=12×6×92=272.14.解:(1)D(-2,3).(2)设二次函数的解析式为y=ax2+bx+c(a,b,c是常数,a≠0),根据题意,得9a-3b+c=0,a+b+c=0,c=3,解得a=-1,b=-2,c=3.所以二次函数的解析式为y=-x2-2x+3.(3)x<-2或x>1.15.解:(1)把A(-1,0)和B(0,4)代入二次函数y=ax2+83x+c中,得0=a×(-1)2+83×(-1)+c,4=c,解得a=-43,c=4.∴该二次函数的解析式为y=-43x2+83x+4.(2)存在这样的点P,设点P的坐标为(x,y),则点P到y轴的距离为|x|.∵S△BOP=12·BO·|x|,∴52=12×4·|x|.解得|x|=54,∴x=±54.把x=54代入y=-43x2+83x+4中,得y=-43×542+83×54+4=214.把x=-54代入y=-43x2+83x+4中,得y=-43×-542+83×-54+4=-1712.∴这样的点P有两个,坐标分别为54,214,-54,-1712.16.B [解析]①抛物线y=ax2的顶点坐标为(0,0),故正确;②根据图象得:函数y=kx+b(k≠0)为增函数;函数y=ax2(a≠0)当x>0时为增函数,则x>0时,y都随着x的增大而增大,故正确;10\n③由A,B横坐标分别为-2,3,知若AB=5,则直线AB与x轴平行,即k=0,与已知k≠0矛盾,故AB不可能为5,故错误;④若OA=OB,得到直线AB与x轴平行,即k=0,与已知k≠0矛盾,∴OA≠OB,即△AOB不可能为等边三角形,故错误;⑤直线y=-kx+b与y=kx+b关于y轴对称,如图所示,可得出直线y=-kx+b与抛物线交点C,D横坐标分别为-3,2,由图象可得:当-3<x<2时,ax2<-kx+b,即ax2+kx<b,故正确.则正确的结论有①②⑤.故选B.17.解:(1)∵抛物线的顶点坐标为(1,4),∴设该抛物线所对应的函数解析式为y=a(x-1)2+4.∵抛物线过点B(0,3),∴3=a(0-1)2+4,解得a=-1.即该抛物线所对应的函数解析式为y=-x2+2x+3.(2)作点B关于x轴的对称点E(0,-3),连接AE交x轴于点P,点P即为所求.设直线AE所对应的函数解析式为y=kx+b,则k+b=4,b=-3,解得k=7,b=-3.∴y=7x-3.当y=0时,x=37.∴点P的坐标为37,0.10
