课时训练15二次函数的图象与性质2限时：30分钟夯实基础1．[2022·兰州]下表是一组二次函数y＝x2＋3x－5的自变量x与函数值y的对应值：x11．11．21．31．4y－1－0．490．040．591．16那么方程x2＋3x－5＝0的一个近似根是( )A．1B．1．1C．1．2D．1．32．[2022·威海]二次函数y＝ax2＋bx＋c图象如图K15－1所示，下列结论错误的是( )图K15－1A．abc＜0B．a＋c＜bC．b2＋8a＞4acD．2a＋b＞03．[2022·枣庄]如图K15－2是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，且过点A(3，0)，二次函数图象的对称轴是直线x＝1，下列结论正确的是( )图K15－211\nA．b2＜4acB．ac＞0C．2a－b＝0D．a－b＋c＝04．[2022·徐州]若函数y＝x2－2x＋b的图象与坐标轴有三个交点，则b的取值范围是( )A．b＜1且b≠0B．b＞1C．0＜b＜1D．b＜15．[2022·临沂]一列自然数0，1，2，3，…，100．依次将该列数中的每一个数平方后除以100，得到一列新数．则下列结论正确的是( )A．原数与对应新数的差不可能等于零B．原数与对应新数的差，随着原数的增大而增大C．当原数与对应新数的差等于21时，原数等于30D．当原数取50时，原数与对应新数的差最大6．[2022·镇江]若二次函数y＝x2－4x＋n的图象与x轴只有一个公共点，则实数n＝ ． 7．[2022·镇江]已知二次函数y＝x2－4x＋k的图象的顶点在x轴下方，则实数k的取值范围是 ． 8．[2022·云南]已知二次函数y＝－316x2＋bx＋c的图象经过A(0，3)，B－4，－92两点．(1)求b，c的值．(2)二次函数y＝－316x2＋bx＋c的图象与x轴是否存在公共点？若有，求公共点的坐标；若没有，请说明理由．11\n9．如图K15－3，在同一直角坐标系中，二次函数的图象与两坐标轴分别交于点A(－1，0)，点B(3，0)和点C(0，－3)，一次函数的图象与抛物线交于B，C两点．(1)求二次函数的表达式；(2)结合图象，直接写出当一次函数值小于二次函数值时自变量x的取值范围．图K15－3能力提升10．若二次函数y＝x2＋bx的图象的对称轴是经过点(2，0)且平行于y轴的直线，则关于x的方程x2＋bx＝5的解11\n是( )A．x1＝0，x2＝4B．x1＝1，x2＝5C．x1＝1，x2＝－5D．x1＝－1，x2＝511．[2022·阿坝州]如图K15－4，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示．给出下列结论：图K15－4①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x的增大而增大．其中正确结论的个数是( )A．4B．3C．2D．112．已知二次函数y＝(x－h)2＋1(h为常数)，在自变量x的值满足1≤x≤3的情况下，与其对应的函数值y的最小值为5，则h的值为( )A．1或－5B．－1或5C．1或－3D．1或313．[2022·武汉]已知关于x的二次函数y＝ax2＋(a2－1)x－a(a≠0)的图象与x轴的一个交点的坐标为(m，0)．若2＜m＜3，则a的取值范围是 ． 14．如图K15－5，抛物线y＝ax2＋bx－4a(a≠0)的对称轴为直线x＝32，与x轴交于A，B两点，与y轴交于点C(0，4)．11\n(1)求抛物线的解析式，结合图象直接写出当0≤x≤4时y的取值范围；(2)已知点D(m，m＋1)在第一象限的抛物线上，点D关于直线BC的对称点为E，求点E的坐标．图K15－5拓展练习15．已知二次函数y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点，且图象过A(x1，m)，B(x1＋n，m)两点，则m，n的关系为( )A．m＝12nB．m＝14nC．m＝12n2D．m＝14n216．[2022·兰州]如图K15－6，抛物－线y＝12x2－7x＋452与x轴交于点A，B，把抛物线在x轴及其下方的部分记11\n作C1，将C1向左平移得C2，C2与x轴交于点B，D．若直线y＝12x＋m与C1，C2共有3个不同的交点，则m的取值范围是( )图K15－6A．－458＜m＜－52B．－298＜m＜－12C．－298＜m＜－52D．－458＜m＜－1217．[2022·厦门质检改编]已知二次函数y＝ax2＋bx－3．(1)若二次函数图象经过点(1，－4)，(－1，0)，求a，b的值．(2)若2a－b＝1，对于任意不为零的实数a，是否存在一条直线y＝kx＋p(k≠0)，始终与二次函数图象交于不同的两点？若存在，求出该直线的表达式；若不存在，请说明理由．11\n参考答案1．C [解析]观察表格得，方程x2＋3x－5＝0的一个近似根为1．2，故选C．2．D3．D [解析]由图象的开口向上可知a＞0，由图象与y轴交于负半轴可知c＜0，∴ac＜0，B错误;由图象与x轴有两个交点可知b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A错误;由对称轴是直线x＝1得-b2a＝1，∴b＝－2a，2a－b＝2a－(－2a)＝4a＞0，∴C错误;由二次函数图象的对称性可得二次函数图象与x轴的另一个交点坐标为(－1，0)，∴a－b＋c＝0，D正确．故选D．4．A [解析]令x＝0，得抛物线与y轴的交点坐标是(0，b)，令y＝0，则x2－2x＋b＝0，由题意得b≠0且4－4b＞0，解得b＜1且b≠0．5．D [解析]当原数是0时，新数也是0，原数与对应新数的差等于零，选项A错误;设原数为x(x≤100的自然数)，新数为x2100，原数与对应新数的差为x-x2100，令y＝x-x2100，则y＝-1100(x－50)2＋25，当50＜x≤100时，y随x的增大而减小，选项B错误;令x-x2100＝21，解得x1＝30，x2＝70，选项C错误;由y＝-1100(x－50)2＋25可知当原数取50时，原数与对应新数的差最大，选项D正确，故选D．6．4 [解析]∵二次函数y＝x2－4x＋n的图象与x轴只有一个公共点，∴(－4)2－4×1·n＝0，∴n＝4．7．k＜4 [解析]∵二次函数y＝x2－4x＋k的图象的顶点在x轴下方，∴二次函数y＝x2－4x＋k的图象与x轴有两个公共点．11\n∴b2－4ac＞0，即(－4)2－4×1×k＞0．解得k＜4．8．解：(1)∵二次函数y＝-316x2＋bx＋c的图象经过A(0，3)，B－4，-92两点，∴c＝3，－316×(－4)2－4b＋c＝－92，解得b＝98，c＝3，∴b＝98，c＝3．(2)由(1)知，b＝98，c＝3．∴该二次函数为y＝-316x2＋98x＋3．在y＝-316x2＋98x＋3中，当y＝0时，0＝-316x2＋98x＋3，解得x1＝－2，x2＝8，∴二次函数y＝-316x2＋bx＋c的图象与x轴有两个公共点，分别为(－2，0)，(8，0)．9．解：(1)根据题意，设二次函数的表达式为y＝a(x＋1)(x－3)，把(0，－3)代入表达式，得－3＝－3a，解得a＝1，∴二次函数的表达式是y＝x2－2x－3．(2)根据图象可得，一次函数值小于二次函数值时自变量x的取值范围是x＜0或x＞3．10．D11．B [解析]∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，∴①正确;∵抛物线的对称轴为直线x＝1，而点(－1，0)关于直线x＝1的对称点的坐标为(3，0)，∴方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3，∴②正确;∵x＝-b2a＝1，∴b＝－2a，当x＝－1时，y＝0，即a－b＋c＝0，∴a＋2a＋c＝0，∴③错误;∵抛物线与x轴的交点坐标分别为(－1，0)，(3，0)，∴当－1＜x＜3时，y＞0，∴④错误;11\n∵抛物线的对称轴为直线x＝1，∴当x＜1时，y随x的增大而增大，∴⑤正确．故选B．12．B13．13＜a＜12或－3＜a＜－2 [解析]∵y＝ax2＋(a2－1)x－a＝(ax－1)(x＋a)，∴当y＝0时，x1＝1a，x2＝－a，∴抛物线与x轴的交点坐标分别为1a，0和(－a，0)．∵抛物线与x轴的一个交点的坐标为(m，0)且2＜m＜3，∴当a＞0时，2＜1a＜3，解得13＜a＜12，当a＜0时，2＜－a＜3，解得－3＜a＜－2．14．解：(1)将C(0，4)代入y＝ax2＋bx－4a中得a＝－1，∵对称轴为直线x＝32，∴-b2×(－1)＝32，解得b＝3．∴抛物线的解析式为y＝－x2＋3x＋4．∵y＝－x2＋3x＋4＝－x-322＋254，∴顶点坐标为32，254，当x＝4时，y＝－42＋3×4＋4＝0，∴当0≤x≤4时，y的取值范围是0≤y≤254．(2)∵点D(m，m＋1)在抛物线上，∴m＋1＝－m2＋3m＋4，解得m＝－1或m＝3．∵点D在第一象限，∴点D的坐标为(3，4)．又∵C(0，4)，∴CD∥AB，且CD＝3．当y＝－x2＋3x＋4＝0时，解得x＝－1或x＝4，∴B(4，0)．∴OB＝OC＝4，11\n∴∠OCB＝∠DCB＝45°，∴点E在y轴上，且CE＝CD＝3，∴OE＝1，∴点E的坐标为(0，1)．15．D [解析]∵二次函数y＝x2＋bx＋c与x轴只有一个交点，∴b2－4c＝0，c＝b24，∴y＝x2＋bx＋b24＝x＋b22，∵图象过A(x1，m)，B(x1＋n，m)两点，∴-b2＝x1＋x1＋n2＝x1＋12n，把(x1，m)代入二次函数解析式，得m＝x1＋b22，∴m＝-12n2，即m＝14n2，故选D．16．C [解析]抛物线y＝12x2－7x＋452与x轴交于点A，B，则A(9，0)，B(5，0)．由C1的解析式得C2的解析式为y＝12(x－3)2－2＝12x2－3x＋52．当直线y＝12x＋m经过B(5，0)时，解得m＝-52，当直线y＝12x＋m经过A(9，0)时，解得m＝-92，当m＝-92时，12x2－3x＋52＝12x-92，化简得x2－7x＋14＝0，Δ＜0，此时与抛物线C2无交点．由此可判断若直线与C1，C2有3个交点，则与C2有两个交点．12x2－3x＋52＝12x＋m，化简得x2－7x＋5－2m＝0，Δ＝49－4(5－2m)＞0，解得m＞-298．综上，m的取值范围为-298＜m＜-52．故选C．17．解：(1)把(1，－4)，(－1，0)分别代入y＝ax2＋bx－3，得a＋b－3＝－4，a－b－3＝0．解得a＝1，b＝－2．(2)当直线与二次函数图象相交时，有kx＋p＝ax2＋(2a－1)x－3．整理可得ax2＋(2a－k－1)x－3－p＝0．可得Δ＝(2a－k－1)2＋4a(3＋p)．11\n若直线与二次函数图象始终有两个不同的交点，则Δ＞0．化简可得4a2－4a(k－p－2)＋(1＋k)2＞0．因为无论a取任意不为零的实数，总有4a2＞0，(1＋k)2≥0，所以当k－p－2＝0时，总有Δ＞0．可取p＝1，k＝3．对于任意不为零的实数a，存在直线y＝3x＋1始终与函数图象交于不同的两点．(直线解析式不唯一)11
