课时训练(十四) 二次函数的图象与性质(二) |夯实基础|1.[2022·青岛]已知一次函数y=bax+c的图象如图14-8,则二次函数y=ax2+bx+c在平面直角坐标系中的图象可能是( )图14-8图14-92.[2022·包头样题二]二次函数y=ax2+bx+c的图象如图14-10所示,则一次函数y=bx+b2-4ac与反比例函数y=a+b+cx在同一坐标系内的图象大致为( )图14-10图14-113.[2022·包头样题三]二次函数y=ax2+bx+c的图象如图14-12所示,则化简二次根式(a+c)2+(b-c)2的结果是( )17\n图14-12A.a+bB.-a-bC.2b-cD.-2b+c4.[2022·枣庄]如图14-13是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分,且过点A(3,0),二次函数图象的对称轴是直线x=1,下列结论正确的是( )图14-13A.b2<4acB.ac>0C.2a-b=0D.a-b+c=05.[2022·威海]二次函数y=ax2+bx+c的图象如图14-14所示,下列结论错误的是( )图14-14A.abc<0B.a+c<bC.b2+8a>4acD.2a+b>06.[2022·烟台]如图14-15,二次函数的图象与x轴交于点A(-1,0),B(3,0).下列结论:①2a-b=0;②(a+c)2<b2;③17\n当-1<x<3时,y<0;④当a=1时,将抛物线先向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,得到抛物线y=(x-2)2-2.其中正确的是( )图14-15A.①③B.②③C.②④D.③④7.[2022·达州]如图14-16,二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于点A(-1,0),与y轴的交点B在(0,2)与(0,3)之间(不包括这两点),对称轴为直线x=2.下列结论:①abc<0;②9a+3b+c>0;③若M(12,y1),N(52,y2)是函数图象上的两点,则y1<y2;④-35<a<-25.其中正确的结论有( )图14-16A.1个B.2个C.3个D.4个8.[2022·广安]已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图14-17所示,并且关于x的一元二次方程ax2+bx+c-m=0有两个不相等的实数根.下列结论:①b2-4ac<0;②abc>0;③a-b+c<0;④m>-2.其中,正确的个数是( )17\n图14-17A.1B.2C.3D.49.[2022·东河区二模]二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图14-18所示,有下列结论:①b2-4ac>0;②4a+c>2b;③(a+c)2>b2;④x(ax+b)≤a-b.其中正确结论的个数是( )图14-18A.3B.2C.1D.010.[2022·广安]已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图14-19所示,对称轴为直线x=1,则下列结论正确的有 .(填序号) 图14-19①abc>0;②方程ax2+bx+c=0的两根是x1=-1,x2=3;③2a+b=0;④当x>0时,y随x的增大而减小.11.如图14-20是二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)图象的一部分,直线x=-1是对称轴,有下列判断:①b-2a=0;②4a-2b+c<0;③8a+c=0;④若(-3,y1),32,y2是抛物线上两点,则y1>y2.其中正确的序号是 . 图14-2012.[2022·天水]如图14-21是抛物线y1=ax2+bx+c(a≠0)的一部分,抛物线的顶点坐标是A(1,3),与x轴的一个交点是B(4,0),直线y2=mx+n(m≠0)与抛物线交于A,B两点,下列结论:17\n①abc>0;②方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根;③抛物线与x轴的另一个交点是(-1,0);④当1<x<4时,有y2>y1;⑤x(ax+b)≤a+b.其中正确的结论是 .(只填写序号) 图14-2113.[2022·温州]如图14-22,过抛物线y=14x2-2x上一点A作x轴的平行线,交抛物线于另一点B,交y轴于点C,已知点A的横坐标为-2.(1)求抛物线的对称轴和点B的坐标.(2)在AB上任取一点P,连接OP,作点C关于直线OP的对称点D.①连接BD,求BD的最小值;②当点D落在抛物线的对称轴上,且在x轴上方时,求直线PD的函数解析式.图14-2217\n14.如图14-23,抛物线y=ax2+bx+c经过A(4,0),B(1,0),C(0,-2)三点.(1)求抛物线的解析式.(2)P是抛物线AB段上一动点,过点P作PM⊥x轴,垂足为M,是否存在点P,使得以A,P,M为顶点的三角形与△OAC相似?若存在,请求出符合条件的点P的坐标;若不存在,请说明理由.(3)在直线AC上方的抛物线上有一点D,使得△DCA的面积最大,求出点D的坐标.图14-23|拓展提升|15.[2022·东河区二模]如图14-24,抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)的对称轴为直线x=-1,与x轴的一个交点在(-3,0)和(-2,0)之间,其部分图象如图14-7所示,则下列结论:(1)b2-4ac>0;(2)2a=b;(3)若(-72,y1),(-32,y2),(54,y3)是该抛物线上的点,则y1<y2<y3;(4)3b+2c<0;(5)t(at+b)≤a-b(t为任意实数).其中正确结论的个数是( )17\n图14-24A.2B.3C.4D.516.[2022·包头]如图14-25,已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象与x轴交于点A(-1,0),对称轴为直线x=1,与y轴的交点B在(0,2)和(0,3)之间(包括这两点),下列结论:①当x>3时,y<0;②3a+b<0;③-1≤a≤-23;④4ac-b2>8a.其中正确的结论是( )图14-25A.①③④B.①②③C.①②④D.①②③④17.二次函数y=ax2+bx+c(a,b,c为常数,且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表:x-1013y-1353下列结论:(1)ac<0;17\n(2)当x>1时,y的值随x值的增大而减小;(3)3是关于x的方程ax2+(b-1)x+c=0的一个根;(4)当-1<x<3时,ax2+(b-1)x+c>0.其中正确的有( )A.4个B.3个C.2个D.1个18.[2022·昆区二模]二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象如图14-26所示,下列结论:①abc>0;②2a+b=0;③当m≠1时,a+b>am2+bm;④a-b+c>0;⑤若ax12+bx1=ax22+bx2,且x1≠x2,则x1+x2=2.其中正确的是( )图14-26A.①②③B.②④C.②⑤D.②③⑤19.[2022·衡阳]如图14-27,抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A(-1,0),顶点坐标为(1,n),与y轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包含端点),则下列结论:①3a+b<0;②-1≤a≤-23;③对于任意实数m,a+b≥am2+bm总成立;④关于x的方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根.其中正确结论的个数为( )图14-27A.1B.2C.3D.417\n20.[2022·郴州]如图14-28①,已知抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,与y轴交于点C,P是抛物线上在第一象限内的一个动点,且点P的横坐标为t.(1)求抛物线的解析式.(2)设抛物线的对称轴为l,l与x轴的交点为D.在直线l上是否存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形?若存在,求出点M的坐标;若不存在,请说明理由.(3)如图②,连接BC,PB,PC,设△PBC的面积为S.①求S关于t的函数解析式;②求点P到直线BC的距离的最大值,并求出此时点P的坐标.图14-2817\n参考答案1.A [解析]由一次函数y=bax+c的图象可知ba<0,c>0.∵ba<0,∴-b2a>0,∴二次函数y=ax2+bx+c的图象的对称轴在y轴右侧.∵c>0,∴二次函数y=ax2+bx+c的图象与y轴交于正半轴,观察可知选项A中图象符合描述.故选A.2.D 3.D4.D [解析]由图象的开口向上可知a>0,由图象与y轴交于负半轴可知c<0,∴ac<0,B错误;由图象与x轴有两个交点可知b2-4ac>0,即b2>4ac,A错误;由对称轴是直线x=1得-b2a=1,∴b=-2a,2a-b=2a-(-2a)=4a>0,∴C错误;由二次函数图象的对称性可得二次函数图象与x轴的另一个交点的坐标为(-1,0),∴a-b+c=0,D正确.故选D.5.D [解析]由函数图象的开口向下,判断a<0;由函数图象与y轴交点在y轴的正半轴上,判断c>0;由对称轴在y轴的右侧,判断-b2a>0,所以b>0,所以abc<0,A结论正确.当x=-1时,函数值为负,故a-b+c<0,所以a+c<b,B结论正确.若C正确,则有b2>4ac-8a,b2>4a(c-2),b24a<c-2,根据图象可知,c>2,则c-2>0,由a<0知b24a<0,故b24a<c-2一定成立,则C结论正确;由图象知-b2a<1,所以-b>2a,即2a+b<0,故D结论错误.故选D.6.D [解析]①∵A(-1,0),B(3,0),∴抛物线对称轴是直线x=-b2a=-1+32=1,∴2a+b=0.又∵a≠0,b≠0,∴①错误,可以排除A选项.②∵x=-1时,y=a-b+c=0,∴a+c=b,∴(a+c)2=b2,∴②错误,可以排除B,C选项,∴只剩D选项,故选D.③当-1<x<3时,抛物线在x轴下方,y<0,∴③正确.④当a=1时,抛物线为y=(x+1)(x-3)=x2-2x-3=(x-1)2-4,将抛物线先向上平移2个单位长度,再向右平移1个单位长度,得抛物线y=(x-1-1)2-4+2=(x-2)2-2,∴④正确.故选D.7.D [解析]∵抛物线开口向下,∴a<0.∵-b2a>0,∴b>0.∵抛物线交y轴于正半轴,∴c>0.∴abc<0,①正确.当x=3时,y=9a+3b+c>0,②正确.∵对称轴为直线x=2,点M(12,y1)到对称轴的距离大于点N(52,y2)到对称轴的距离,∴y1<y2,③正确.∵抛物线与x轴的交点坐标分别为(-1,0),(5,0),∴二次函数的解析式为y=a(x+1)(x-5)=a(x2-4x-5)=ax2-4ax-5a.∵抛物线与y轴的交点B在(0,2)与(0,3)之间(不包括这两点),∴2<-5a<3,∴-35<a<-25,④正确.17\n故选D.8.B 9.A10.②③ [解析]∵二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,∴a<0.∵二次函数图象与y轴的交点在y轴的正半轴,∴c>0.∵x=-b2a>0,∴b>0,∴abc<0.∴①错误.由二次函数图象与x轴的交点横坐标为3,对称轴为直线x=1,则另一个交点的横坐标为2×1-3=-1,∴方程ax2+bx+c=0的两个根是x1=-1,x2=3.∴②正确.∵对称轴为直线x=-b2a=1,∴2a+b=0.∴③正确.∵二次函数图象的开口向下,对称轴为直线x=1,∴当0<x<1时,y随x的增大而增大,当x>1时,y随x的增大而减小.∴④错误.故正确的有②③.11.①③④17\n12.②⑤ [解析]由图象可知:a<0,b>0,c>0,故abc<0,故①错误.观察图象可知,抛物线与直线y=3只有一个交点,故方程ax2+bx+c=3有两个相等的实数根,故②正确.根据对称性可知抛物线与x轴的另一个交点坐标是(-2,0),故③错误.观察图象可知,当1<x<4时,有y2<y1,故④错误.因为x=1时,y1有最大值,所以ax2+bx+c≤a+b+c,即x(ax+b)≤a+b,故⑤正确,所以②⑤正确,故答案为②⑤.13.解:(1)由抛物线的解析式y=14x2-2x,得对称轴为直线x=-b2a=4.由题意知点A的横坐标为-2,代入解析式求得y=5,当14x2-2x=5时,x1=10,x2=-2,∴A(-2,5),B(10,5).(2)①连接OD,OB,利用三角形三边关系可得BD≥OB-OD,所以当且仅当O,D,B三点共线时,BD取得最小值.由题意知OC=OD=5,OB=102+52=55,∴BD的最小值=OB-OD=55-5.②(i)如图,当点P在对称轴左侧时,连接OD,设抛物线的对称轴交BC于点M,交x轴于点N.在Rt△ODN中,DN=52-42=3,17\n∴D(4,3),DM=2.设P(x,5),在Rt△PMD中,(4-x)2+22=x2,得x=52,∴P(52,5).设直线PD的函数表达式为y=kx+b,由4k+b=3,52k+b=5,得k=-43,b=253.∴直线PD的函数解析式为y=-43x+253.(ii)当点P在对称轴右侧时,点D在x轴下方,不符合要求.综上所述,直线PD的函数解析式为y=-43x+253.14.解:(1)∵抛物线过点C(0,-2),∴该抛物线的解析式为y=ax2+bx-2.将A(4,0),B(1,0)代入,得16a+4b-2=0,a+b-2=0,解得a=-12,b=52.∴此抛物线的解析式为y=-12x2+52x-2.(2)存在.如图,设点P的横坐标为m,则点P的纵坐标为-12m2+52m-2.当1<m<4时,AM=4-m,PM=-12m2+52m-2.又∵∠COA=∠PMA=90°,17\n∴①当AMPM=AOCO=2时,△APM∽△ACO,∴4-m-12m2+52m-2=2,即4-m=2-12m2+52m-2,∴4-m=-m2+5m-4,∴m2-6m+8=0,∴(m-2)(m-4)=0,解得m1=2,m2=4(舍去),∴P(2,1).②当AMPM=COAO=12时,△APM∽△CAO,∴2(4-m)=-12m2+52m-2,∴m2-9m+20=0,∴(m-4)(m-5)=0,解得m1=4(舍去),m2=5(舍去).综上所述,符合条件的点P的坐标为(2,1).(3)如图,设点D的横坐标为t(0<t<4),则点D的纵坐标为-12t2+52t-2.过点D作y轴的平行线交AC于点E.由题意可求得直线AC的解析式为y=12x-2,∴点E的坐标为t,12t-2,∴DE=-12t2+52t-2-12t-2=-12t2+2t,17\n∴S△DCA=12×-12t2+2t×4=-t2+4t=-(t-2)2+4.∴当t=2时,△DCA的面积最大.∴点D的坐标为(2,1).15.C 16.B 17.B 18.D19.D [解析]∵抛物线开口向下,∴a<0,∵顶点坐标为(1,n),∴对称轴为直线x=1,∴-b2a=1,∴b=-2a,∴3a+b=3a+(-2a)=a<0,故①正确.∵抛物线与y轴的交点在(0,2),(0,3)之间(包含端点),∴2≤c≤3.∵抛物线与x轴交于点A(-1,0),∴a-b+c=0,∴a-(-2a)+c=0,∴c=-3a,∴2≤-3a≤3,∴-1≤a≤-23,故②正确.∵抛物线的顶点坐标为(1,n),∴当x=1时,函数有最大值n,即a+b+c=n,∴a+b+c≥am2+bm+c,∴a+b≥am2+bm,故③正确.∵抛物线的顶点坐标为(1,n),抛物线开口向下,∴直线y=n-1与抛物线有两个交点,即一元二次方程ax2+bx+c=n-1有两个不相等的实数根,故④正确.综上所述,结论正确的是①②③④,共4个.故选D.17\n20.解:(1)将A(-1,0),B(3,0)代入y=-x2+bx+c,得-1-b+c=0,-9+3b+c=0,解得b=2,c=3,∴抛物线的解析式为y=-x2+2x+3.(2)如图①,连接PC,交抛物线对称轴l于点E,∵抛物线y=-x2+bx+c与x轴交于A(-1,0),B(3,0)两点,∴抛物线的对称轴为直线x=1.当t=2时,点C,P关于直线l对称,此时存在点M,使得四边形CDPM是平行四边形.∵抛物线的解析式为y=-x2+2x+3,∴点C的坐标为(0,3),点P的坐标为(2,3),∴点M的坐标为(1,6).当t≠2时,若四边形CDPM是平行四边形,则CE=PE,∵点C的横坐标为0,点E的横坐标为1,∴点P的横坐标t=1×2-0=2.又∵t≠2,∴此种情况不存在.综上,在直线l上存在点M(1,6),使得四边形CDPM是平行四边形.(3)①如图②,过点P作PF∥y轴,交BC于点F.设直线BC的函数解析式为y=mx+n(m≠0),17\n将B(3,0),C(0,3)代入y=mx+n,得3m+n=0,n=3,解得m=-1,n=3,∴直线BC的函数解析式为y=-x+3.∵点P的坐标为(t,-t2+2t+3),∴点F的坐标为(t,-t+3),∴PF=-t2+2t+3-(-t+3)=-t2+3t,∴S=12PF·OB=12(-t2+3t)×3=-32t2+92t(0<t<3).②S=-32t2+92t=-32(t-32)2+278(0<t<3),∵-32<0,∴当t=32时,S取最大值,最大值为278.∵点B的坐标为(3,0),点C的坐标为(0,3),∴线段BC=OB2+OC2=32,∴点P到直线BC的距离的最大值为278×232=928,此时点P的坐标为(32,154).17
