分式与分式方程一、选择题1．（2022重庆市(A)，4，4分）分式方程的根是（）A．x＝1B．x＝－1C．x＝2D．x＝－2【答案】D．【解析】在方程两边同乘以x(x－2)，得2x－(x－2)＝0，解得x＝－2．检验：当x＝－2时，x(x－2)≠0．所以，原方程的解是x＝－2．【方法指导】本题考查分式方程的解法．解分式方程，应先去分母，将分式方程转化为整式方程求解．另外，由于本题是选择题，除了上面的解法外，还可以将四个选择支中的数分别代入验证得以求解．【易错警示】本题作为解答题时，易漏掉验根过程.2．（2022山东临沂，6，3分）化简的结果是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】原式===，故A正确．【方法指导】对于分式的化简要注意运算顺序，另外对于分子或分母中能够因式分解的一定要先因式分解，然后再化简．【易错点分析】本题的出错点是后面的括号里面不知如何计算．3.（2022湖南益阳，3，4分）分式方程的解是（）A．x=B．x=C．x=D．x=【答案】：B【解析】两边都乘以，得：5x=3(x－2)，解得x=－3，当x=－3时，，所以x=－3是原方程的解。【方法指导】解分式方程，一般是先通过方程两边都乘以最简公分母，把分式方程转化为整式方程，然后求解，最后检验。4.（2022湖南益阳，10，4分）化简：=．【答案】：1【解析】【方法指导】考查分式的运算，同分母的分式相加减，分母不变，分子相加减，最后约分。如果是异分母的分式相加减，先通分，再用同分母分式加减法则运算。5．（2022山东日照，9，4分）甲计划用若干个工作日完成某项工作，从第三个工作日起，乙加入此项工作，且甲、乙两人工效相同，结果提前3天完成任务，则甲计划完成此项工作的天数是A.8B.7C.6D.543\n【答案】A【解析】设甲计划完成此项工作的天数为x，由题意可得，经检验x=8是原方程的根，且符合题意。【方法指导】本题考查列分式方程解应用题，但要注意解出后要检验根是不是原方程的根，而且还要检验是不是符合题意。这是列分分式方程解应用题不可缺少的步骤。6．（2022广东湛江，9，4分）计算的结果是（）A．0B．1C．－1D．x【答案】C.【解析】【方法指导】（1）在计算的时候，整式可以看作分母为1的分式；（2）分子、分母是多项式的时候，先将多项式因式分解，便于约分和通分．（3）计算后的分式应是最简分式。7．(2022四川成都，3，3分)要使分式有意义，则x的取值范围是()(A)x≠1(B)x＞1(C)x＜1(D)x≠－1【答案】A．【解析】当分式的分母不为0时，分式有意义．即x－1≠0，∴x≠1．故选A．【方法指导】分式为0的条件是：分子为0且分母不等于0．分式有意义的条件只与分母有关，而与分子无关．8、（2022深圳，6，3分）分式的值为0，则的取值是A．B．C．D．【答案】C【解析】根据分式的条件，需同时满足条件：，故，知，故C正确【方法指导】本题考查了分式的值为0的条件。注意要兼顾考虑分式的分子和分母，答案要不重不漏，但又要使分母有意义。9、（2022深圳，8，3分）小朱要到距家1500米的学校上学，一天，小朱出发10分钟后，小朱的爸爸立即去追小朱，并且在距离学校60米的地方追上了他。已知爸爸比小朱的速度快100米/分，求小朱的速度。若设小朱的速度是米/分，则根据题意所列方程正确的是A．B．C．D．【答案】B【解析】在距离学校60米的地方追上则说明他们父子所走的路程均为1440米。设小朱的速度是米/分，则爸爸的速度是（）米/分，小朱43\n走完这1440米所用的时间为分，爸爸走完这1440米所用的时间为分，他们走完这1440米的时间差为10分钟，依题意有，知B正确【方法指导】本题考查分式方程的应用。列分式方程解应用题，关键是搞清两个基本对向如本题中小朱和他的爸爸；每个基本对向各有三个基本量，如本题中小朱和他的爸爸各自所走的路程、速度、时间。设元以后，要用代数式正确的表示这些基本量，然后利用等量关系列方程即可。10.(2022山东烟台，9,3分)已知实数a,b分别满足且，则的值是（）A.7B.—7C.11D.—11【答案】A【解析】本题考查了一元二次方程的解、根与系数的关系以及整体思想方法.先分析出实数a、b是方程x2－6x+4=0的两个不等根，然后把所要求的代数式进行变形后利用根与系数的关系即可求解.∵a，b是方程x2－6x+4=0的两个不等根∴a+b=6，ab=4∴=7【方法指导】1.先观察两个方程的特点，从而确定出a，b是方程x2－6x+4=0的两个不等根.如果条件是实数a、b是方程x2－6x+4=0的两个等根，那么还需要进行分类讨论，即a，b是两个不等根和a，b是两个等根两种情况.2.如果一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两个实数根分别是x1,x2,,那么根与系数具有如下关系：x1+x2=,x1x2=.3.利用根与系数的关系求代数式的值时，往往需要对代数式进行变形，变形为含有x1+x2，x1x2的代数式，然后利用根与系数的关系，确定求出代数式的值，注意整体思想的运用.【易错警示】分析不出a，b是方程x2－6x+4=0的两个不等根是易错的原因之一，之二就是对所求代数式不会结合根与系数的关系进行变形.11．（2022白银，7，3分）分式方程的解是（ ） A．x=﹣2B．x=1C．x=2D．x=3考点：解分式方程．分析：公分母为x（x+3），去括号，转化为整式方程求解，结果要检验．解答：解：去分母，得x+3=2x，43\n解得x=3，当x=3时，x（x+3）≠0，所以，原方程的解为x=3，故选D．点评：本题考查了解分式方程．（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解，（2）解分式方程一定注意要验根．12．（2022广西钦州，9，3分）甲、乙两个工程队共同承包某一城市美化工程，已知甲队单独完成这项工程需要30天，若由甲队先做10天，剩下的工程由甲、乙两队合作8天完成．问乙队单独完成这项工程需要多少天？若设乙队单独完成这项工程需要x天．则可列方程为（ ） A．+=1B．10+8+x=30C．+8（+）=1D．（1﹣）+x=8考点：由实际问题抽象出分式方程．分析：设乙工程队单独完成这项工程需要x天，由题意可得等量关系：甲10天的工作量+甲与乙8天的工作量=1，再根据等量关系可得方程10×+（+）×8=1即可．解答：解：设乙工程队单独完成这项工程需要x天，由题意得：10×+（+）×8=1．故选：C．点评：此题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是弄清题意，找出题目中的等量关系，再列出方程，此题用到的公式是：工作效率×工作时间=工作量．13．（2022贵州毕节，10，3分）分式方程的解是（ ） A．x=﹣3B．C．x=3D．无解考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：3x﹣3=2x，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．故选C．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．14．（2022湖南郴州，2，3分）函数y=中自变量x的取值范围是（ ） A．x＞3B．x＜3C．x≠3D．x≠﹣3考点：函数自变量的取值范围．43\n分析：根据分母不等于0列式计算即可得解．解答：解：根据题意得，3﹣x≠0，解得x≠3．故选C．点评：本题考查了函数自变量的范围，一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．15．（2022湖南郴州，5，3分）化简的结果为（ ） A．﹣1B．1C．D．考点：分式的加减法．分析：先把分式进行通分，把异分母分式化为同分母分式，再把分子相加，即可求出答案．解答：解：=﹣==1；故选B．点评：此题考查了分式的加减，根据在分式的加减运算中，如果是同分母分式，那么分母不变，把分子直接相加减即可；如果是异分母分式，则必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减即可．16．（2022湖南娄底，7，3分）式子有意义的x的取值范围是（ ） A．x≥﹣且x≠1B．x≠1C．D．考点：二次根式有意义的条件；分式有意义的条件．分析：根据被开方数大于等于0，分母不等于0列式进行计算即可得解．解答：解：根据题意得，2x+1≥0且x﹣1≠0，解得x≥﹣且x≠1．故选A．点评：本题考查的知识点为：分式有意义，分母不为0；二次根式的被开方数是非负数．17.（2022江苏南京，2，2分）计算a3．()2的结果是(A)a(B)a5(C)a6(D)a9答案：A解析：原式＝错误！不能通过编辑域代码创建对象。，选A。43\n18.（2022杭州3分）如图，设k=（a＞b＞0），则有（ ）A．k＞2B．1＜k＜2C．D．【答案】B．【解析】：甲图中阴影部分面积为a2﹣b2，乙图中阴影部分面积为a（a﹣b），则k====1+，∵a＞b＞0，∴0＜＜1，【方法指导】本题考查了分式的乘除法，会计算矩形的面积及熟悉分式的运算是解题的关键19．（2022贵州省黔西南州，2，4分）分式的值为零，则x的值为（ ） A．﹣1B．0C．±1D．1考点：分式的值为零的条件．分析：分式的值为零时，分子等于零，且分母不等于零．解答：解：由题意，得x2﹣1=0，且x+1≠0，解得，x=1．故选D．点评：本题考查了分式的值为零的条件．若分式的值为零，需同时具备两个条件：（1）分子为0；（2）分母不为0．这两个条件缺一不可． 20．（2022河北省，7，3分）甲队修路120m与乙队修路100m所用天数相同，已知甲队比乙队每天多修10m，设甲队每天修路xm.依题意，下面所列方程正确的是A．＝B．＝C．＝D．＝答案：A43\n解析：甲队每天修路xm，则乙队每天修（x－10）m，因为甲、乙两队所用的天数相同，所以，＝，选A。21．（2022·泰安，15，3分）某电子元件厂准备生产4600个电子元件，甲车间独立生产了一半后，由于要尽快投入市场，乙车间也加入该电子元件的生产，若乙车间每天生产的电子元件是甲车间的1.3倍，结果用33天完成任务，问甲车间每天生产电子元件多少个？在这个问题中设甲车间每天生产电子元件x个，根据题意可得方程为（ ）A．B．C．D．考点：由实际问题抽象出分式方程．分析：首先设甲车间每天能加工x个，则乙车间每天能加工1.3x个，由题意可得等量关系：甲乙两车间生产2300件所用的时间＋乙车间生产2300件所用的时间＝33天，根据等量关系可列出方程．解答：解：设甲车间每天能加工x个，则乙车间每天能加工1.3x个，根据题意可得：＋＝33，故选：B．点评：题主要考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，再列出方程． 22．（2022·泰安，14，3分）化简分式的结果是（ ）A．2B．C．D．－2考点：分式的混合运算．分析：这是个分式除法与减法混合运算题，运算顺序是先做括号内的加法，此时要先确定最简公分母进行通分；做除法时要注意先把除法运算转化为乘法运算，而做乘法运算时要注意先把分子、分母能因式分解的先分解，然后约分．解答：解：43\n＝÷[＋]＝÷＝2．故选：A．点评：本题主要考查分式的化简求值，把分式化到最简是解答的关键，通分、因式分解和约分是基本环节． 二、填空题1.（2022湖北黄冈，9，3分）＝．【答案】（或）．【解析】．【方法指导】本题考查分式的化简运算．根据同分母的分式加减法运算法则计算即可．【易错警示】约分过程中，当公因式不是同一降幂顺序时，易丢掉“－”号．解答本题，部分学生会发生这样的化简错误：．2．（2022江苏苏州，13，3分）方程的解为．【答案】x＝2．【解析】解方程：将方程两边都乘以最简公分母（x－1）（2x＋1），得2x＋1＝5（x－1），解得x＝2．检验：当x＝2时，（x－1）（2x＋1）≠0，所以x＝2是原方程的解．所以应填x＝2．【方法指导】解分式方程的一般步骤是：去分母，去括号，移项，合并，系数化为1，检验．【易错警示】学生可能会在去分母时，由于不知道该同乘以什么，或者方程两者同乘以最简公分母之后不会约分而出现错误．3.（2022江苏扬州，16，3分）已知关于的方程=2的解是负数，则的取值范围为．【答案】且．【解析】分析：求出分式方程的解x=n－2，得出n－2＜0，求出n的范围，根据分式方程得出n－2≠－，求出n，即可得出答案．解：解方程=2得x=n－2．．．43\n∵关于x的方程=2的解是负数，∴n－2＜0．解得：n＜2．又∵原方程有意义的条件为：x≠－，∴n－2≠－，即n≠．所以应填n＜2或n≠．【方法指导】本题考查了分式方程的解和解一元一次不等式，关键是得出n－2＜0和n－2≠－，注意题目中的隐含条件2x＋1≠0，不要忽略．【易错警示】忽略隐含条件2x＋1≠0而出错．4．（2022山东临沂，16，3分）分式方程的解是_________________．【答案】x＝2．【解析】去分母得，2x－1=3(x－1)，整理得－x=－2，解得x=2，经经验它是原方程的解.【方法指导】在解分式方程时，找对最简公分母非常重要，若找错，容易导致计算麻烦；同时，解分式方程是转化为整式方程解决的．【易错点分析】最简公分母找错，加重计算负担，导致出错；在计算中，注意常数项要乘以最简公分母，有同学漏乘.5．（2022四川凉山州，15，4分）化简：的结果为。【答案】m.【解析】.【方法指导】本题考查分式的化简.分式的化简时要注意结果一定要最简.6．（2022湖南永州，15，3分）已知，的值为．【答案】.【解析】由于，所以,b两数一正一负，于是=，==－1【方法指导】对于不确定因素的问题，我们需要分类进行讨论，也就是本题中没有确定两数的大小，我们就可以分同正，同负，一正一负来讨论，看那种情形满足题目中的条件。7．(2022浙江湖州,11,4分)计算＝__▲__．【答案】1【解析】，故填1【方法指导】本题考查了同分母分式的加法：分母不变，分子相加减。43\n8．（2022重庆，14，4分）分式方程的解为．【答案】x=3【解析】两边同时乘以x－2，去分母得1=x－2，解得x=3，经检验x=3是原方程的根．【方法指导】本题考查解分式方程的解法，及对分式方程的根要进行检验．解分式方程时应先去分母，化为整式方程，解这个整式方程，检验，并写出结论．【易错警示】解分式方程在去分母时，要注意方程两边的任何一部分都要乘以最简公分母；检验一步也是必不可少的．9.（2022广东省，18，5分）从三个代数式：①，②，③中任意选择两个代数式构造成分式，然后进行化简，并求当a=6，b=3时该分式的值．【思路分析】先选择自己熟悉的代数式构造分式，再进行因式分解、约分，最后代入求值．【解】共有六种计算方法和结果，分别是：（1），当a=6，b=3时，原式=1.（2）交换（1）中分式的分子和分母的位置，结果也为1．（3），当a=6，b=3时，原式=3.（4）交换（3）中分式的分子和分母的位置，结果为．（5），当a=6，b=3时，原式=.（6）交换（5）中分式的分子和分母的位置，结果为3．【方法指导】这类问题，表面上是分式的计算，本质上是整式的因式分解，对于已知的三个整式，第一个是完全平方公式，第二个是提取公因式，第三个是平方差公式，由此可以看出，只要对因式分解的两种类型比较熟悉，解答这道就没有问题．10.（2022福建福州，11，4分）计算：－＝__________【答案】【解析】观察发现，它们的分母相同，按照同分母分式的加减法法则计算即可．分母不变，分子相减即可【方法指导】本题考查了分式的加减运算，分式的运算需先看清分母是否相同，相同时按照同分母分式的加减法法则进行计算，若分母不相同时，按照异分母分式的加减法法则进行计算，即必须先通分，把异分母分式化为同分母分式，然后再相加减．11.(2022湖南邵阳,15,3分)计算：－=________.【答案】：1．【解析】：－=1.43\n【方法指导】：本题考查了分式的加减法，利用同分母分式相加减，分母不变，只把分子相加减，得到答案1.12．(2022湖南邵阳,16,3分)端午节前，妈妈去超市买了大小、质量及包装相同的棕子8个.其中火腿棕子5个，豆沙棕子3个.若小明从中任取1个，是火腿棕概率是________.【答案】：．【解析】：∵共有8个粽子，火腿粽子有5个，∴从中任取1个，是火腿粽子的概率是，故答案为：【方法指导】：此题考查了概率公式的应用．注意概率=所求情况数与总情况数之比.13.(湖南株洲,11,3分)计算：.【答案】：2【解析】:【方法指导】:本题考查了分式的加减法，分式的通分，化简.14．（2022白银，16，4分）若代数式的值为零，则x= 3 ．考点：分式的值为零的条件；解分式方程．专题：计算题．分析：由题意得=0，解分式方程即可得出答案．解答：解：由题意得，=0，解得：x=3，经检验的x=3是原方程的根．故答案为：3．点评：此题考查了分式值为0的条件，属于基础题，注意分式方程需要检验．15．（2022广西钦州，14，3分）当x= 2 时，分式无意义．考点：分式有意义的条件．分析：根据分式无意义的条件可得x﹣2=0，再解方程即可．解答：解：由题意得：x﹣2=0，解得：x=2，故答案为：2．点评：此题主要考查了分式无意义的条件，关键是掌握分式无意义的条件是分母等于零．16．（2022湖北孝感，19，6分）先化简，再求值：，其中，．43\n考点：分式的化简求值；二次根式的化简求值．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x与y的值代入进行计算即可．解答：解：原式===，当，时，原式=．点评：本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用．17.（2022湖南长沙，14，3分）方程错误！不能通过编辑域代码创建对象。的解为错误！不能通过编辑域代码创建对象。=.答案：1.18.．[2022湖南邵阳，15，3分]计算：-=________.知识考点：分式的运算.审题要津：本题考查同分母分式的减法运算，分母不变，分子相减.满分解答：解：-==1.故答案为1.名师点评：解题时注意最后答案为最简形式.19..（2022江苏南京，9，2分）使式子1+有意义的x的取值范围是。答案：x¹1解析：当x＝1时，分母为0没有意义，故x¹120.(.2022•嘉兴5分）杭州到北京的铁路长1487千米．火车的原平均速度为x千米/时，提速后平均速度增加了70千米/时，由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，则可列方程为 【思路分析】先分别求出提速前和提速后由杭州到北京的行驶时间，再根据由杭州到北京的行驶时间缩短了3小时，即可列出方程【解析】根据题意得：﹣=3；故答案为：﹣=3．【方法指导】43\n此题考查了由实际问题抽象出分式方程，关键是读懂题意，找出题目中的等量关系并列出方程．7.2022浙江丽水4分分式方程的解是__________21．（2022上海市，9，4分）计算：=___________．22．（2022河北省，18，3分）若x+y＝1，且，则x≠0，则(x+)÷的值为_______．答案：1解析：原式＝＝123．（2022河南省，11，3分）化简：【解析】原式=【答案】24（2022黑龙江省哈尔滨市，12）在函数中，自变量x的取值范围是．考点：分式意义的条件．分析：根据分式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可．解答：∵式子在实数范围内有意义，∴x+3≠≥0，解得x≠-3．43\n25（2022湖北省咸宁市，1，3分）化简+的结果为 x ．考点：分式的加减法．分析：先把两分数化为同分母的分数，再把分母不变，分子相加减即可．解答：解：原式=﹣==x．故答案为：x．点评：本题考查的是分式的加减法，即把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．三、解答题1．（2022重庆市(A)，21，10分）先化简，再求值：，其中a，b满足【思路分析】先对分式化简，再解二元一次方程组，然后代值计算．【解】原式＝＝＝＝＝＝43\n＝．∵∴∴当时，原式＝【方法指导】本题考查分式的混合运算，解二元一次方程组．解决这类问题，一般是将分式先化简，再代值计算．化简时，先算括号内的，再将除法变为乘法计算．有时还要先分解因式，约去分子、分母的公因式，变成最简分式．【易错警示】这一部分是分式与整式间的减法，易错误的解答为＝－．2．（2022江苏苏州，21，5分）先化简，再求值：，其中x＝－2．【思路分析】先对分式化简得，再代值计算．【解】原式＝÷（－）=×=．当x=－2时，原式=【方法指导】一般是将分式先化简，再代值计算．化简时，先算括号内的，再将除法变为乘法再计算．【易错警示】在计算括号内的分式加减法时，通分出错，或者分子加减时出错．3.（2022江苏扬州，24，10分）某校九（1）、九（2）两班的班长交流了为四川雅安地震灾区捐款的情况：（Ⅰ）九（1）班班长说：“我们班捐款总额为1200元，我们班人数比你们班多8人．”（Ⅱ）九（2）班班长说：“我们班捐款总额也为1200元，我们班人均捐款比你们班人均捐款多20%．”请根据两个班长的对话，求这两个班级每班的人均捐款数．【思路分析】首先设九（1）班的人均捐款数为x元，则九（2）班的人均捐款数为（1+20%）x元，然后根据我们班人数比你们班多8人，即可得方程：，解此方程即可求得答案．【解】设九（1）班人均捐款元，则九（2）班人均捐款（1+20%）x=1.2元，根据题意列方程得：43\n，解之得=25.检验:当=25，分母不为0，∴=25是原方程的根.当=25时，1.2=30.答：这两个班级每班的人均捐款数分别为25元和30元.【方法指导】本题考查分式方程的应用．注意分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键．．【易错警示】找错相等关系式而出错．3．（2022贵州安顺，20，10分）先化简，再求值：，其中a=－1.【思路分析】先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．【解】原式=………………(2分)=………………(4分)=………………(6分)=a+1…………………………………(8分)当a=－1时，原式=（－1）+1=.……………(10分)【方法指导】本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键．4.（2022贵州安顺，21，10分）某市为进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路。实际施工时，每月的工效比原计划提高了20%，结果提前5个月完成这一工程。求原计划完成这一工程的时间是多少个月？【思路分析】设原来计划完成这一工程的时间为x个月，根据工程问题的数量关系建立方程求出其解即可．【解】设原计划完成这一工程的时间为x个月，则…………………（1分）（1+20%）·=…………………………………………………（5分）解这个方程，得x=30……………………………………………………（8分）经检验，所列方程的根为x=30…………………………………………（9分）答：原计划完成这一工程的时间是30个月.【方法指导】本题考查了列分式方程解实际问题的运用，工作总量=工作效率×工作时间的运用，解答时根据工作效率的数量关系建立方程是解答的关键．【易错警示】题目中的相等关系不明显，学生找不到相等关系．在解了方程后易忘记检验．43\n5．（2022广东广州，19，10分）先化简，再求值：，其中,.【思路分析】先进行分式的计算，然后分解因式并约分，将原式化到最简之后，代入数值计算．【解】==当,时，原式=+=2.【方法指导】在解决分式的计算题的时候，通常要特别注意分解因式，命题者往往将分式计算与因式分解两者结合起来考。6．（2022山东德州,18,6分）先化简，再求值：，其中a=－1.【思路分析】根据运算顺序可以先算括号，由里往外；也可以先化除为乘，再分别乘，这样由外向里.【解】原式===代入a=－1得，=1.（另法略）.【方法指导】本分式化简时，一要注意运算顺序，二注意分式分子、分母是多项式时，该分解因式的可以先分解，便于化简；三注意计算程序合理化、书写规范、简约.7．（2022山东德州,21,10分）某地计划用120～180天（含120与180天）的时间建设一项水利工程，工程需要运送的土石方总量为360万米3。（1）写出运输公司完成任务所需的时间y（单位：天）与平均每天的工作量x（单位：万米3）之间的函数关系式。并给出自变量x的取值范围；（2）由于工程进度的需要，实际平均每天运送土石方比原计划多5000米3，工期比原计划减少了24天，原计划和实际平均每天运送土石方各是多少万米3？【思路分析】本题考查了图反比例函数、分式方程的应用.（1）结合实际构建符合题意的反比例函数关系式；（2）根据实际比原计划工作的时间差为等量关系列分式方程.【解】（1）由题意得，y=把y=120代入y=，得x=3；把y=180代入y=，得x=2；所以自变量x的取值范围是2≤x≤3.∴y=.(2≤x≤3)43\n(2)设原计划平均每天运送土石方x米3,则实际平均每天运送土石方（x+0.5）米3,由题意得，－=24方程两边同乘以x(x+0.5)得，360（x+0.5）－360x=24x(x+0.5)化简得，x2+0.5x－7.5=0解得，x1=2.5,x2=－3，经检验，x1=2.5,x2=－3均为原方程的根，但x2=－3不符合实际意义，故舍去。又2≤x≤3，所以x1=2.5满足条件，即原计划平均每天运送土石方2.5米3,实际平均每天运送土石方3米3【方法指导】构建函数模型、方程模型解决实际问题是中考的热点.本题中构建反比例模型时，注意自变量取值范围，符合实际问题的合理性；（2）问中构建分式方程模型解决实际问题，需要进行“双重”检验：检验是否有增根，根的合理性.8．（2022山东菏泽，16，12分）(每题6分)（1）如图，在△ABC中，AB=CB，∠ABC=90°，D为AB延长线上一点，点E在BC上，且BE=BD，连结AE、DE、DC.①求证：△ABE≌△CBD；ABCDE（第16题）②若∠CAE=30°，求∠BDC的度数.【思路分析】①根据题意可以寻找△ABE≌△CBD的条件SAS即可；②可以经过证△ABE≌△CBD，然后根据角的和差进行计算.【解】（1）①证明:∵∠ABC=90°∴∠ABE=∠CBD=90°在△ABE与△CBD中∵∴△ABE≌△CBD…………………………………………3分②解：在△ABC中∵AB=CB，∠ABC=90°∴∠CAB=45°∵∠CAE=30°∴∠BAE=∠CAE－∠CAB=15°∵△ABE≌△CBD∴∠BAE=∠BCD=15°∴∠BDC=90°－15°=75°…………………………………………6分【方法指导】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是熟练掌握判定定理：SSS、SAS、ASA、AAS，HL．解决此题，利用等腰三角形性质可以寻找需要的边、角.（2）为了提高产品的附加值，某公司计划将研发生产的1200件新产品进行精加工后再投放市场，现有甲、乙两个工厂都具备加工能力，公司派出相关人员分别到这两个工厂了解情况，获得如下信息：信息一：甲工厂单独加工完成这批产品比乙工厂单独加工完成这批产品多用10天;信息二：乙工厂每天加工的数量是甲工厂每天加工数量的1.5倍.根据以上信息，求甲、乙两个工厂每天分别能加工多少件新产品.43\n【思路分析】构建分式方程模型解决实际问题.设甲工厂每天能加工x件新产品，则乙工厂每天能加工1.5x件新产品.【解】设甲工厂每天能加工x件新产品，则乙工厂每天能加工1.5x件新产品.由题意得：…………………………………………3分解得：经检验：是原方程的解，并且符合题意。∴1.5x=60…………………………………………………………………………5分答:甲、乙两个工厂每天能加工新产品的件数分别为40件、60件。………6分【方法指导】本题考查了列分式方程解应用题，列方程的关键是要先找到等量关系，再依题意列出方程．列分式方程解应用题时，一定要注意检验有两层：验根和验题意.9．（2022山东日照，19，10分）（本题满分10分）“端午”节前，小明爸爸去超市购买了大小、形状、重量等都相同的火腿粽子和豆沙粽子若干，放入不透明的盒中，此时从盒中随机取出火腿粽子的概率为；妈妈从盒中取出火腿粽子3只、豆沙粽子7只送给爷爷和奶奶后，这时随机取出火腿粽子的概率为．（1）请你用所学知识计算：爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子各有多少只？（2）若小明一次从盒内剩余粽子中任取2只，问恰有火腿粽子、豆沙粽子各1只的概率是多少？（用列表法或树状图计算）【思路分析】（1）爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子分别为x只、y只，则题意可以得到一个关于x和y的方程，从而得解。（2）通过列表或画树状图就可以得到要求的概率。【解】（1）设爸爸买的火腿粽子和豆沙粽子分别为x只、y只，……1分根据题意得：…………………………………4分解得：经检验符合题意，所以爸爸买了火腿粽子5只、豆沙粽子10只.……………6分（2）由题可知，盒中剩余的火腿粽子和豆沙粽子分别为2只、3只，我们不妨把两只火腿粽子记为a1、a2；3只豆沙粽子记为b1、b2、b3,则可列出表格如下：a1a2b1b2b3a1a1a2a1b1a1b2a1b3a2a2a1a2b1a2b2a2b3b1b1a1b1a2b1b2b1b3b2b2a1b2a2b2b1b2b3b3b3a1b3a2b3b1b3b243\n…………8分∴…………………10分【方法指导】本题把分式方程与概率联系到了一起，先利用分式方程求出一个有多少个粽子，然后再利用列天或是树状图求出某一事件的概率。10．（2022四川凉山州，20，8分）某车队要把4000吨货物运到雅安地震灾区（方案定后，每天的运量不变）。（1）从运输开始，每天运输的货物吨数（单位：吨）与运输时间（单位：天）之间有怎样的函数关系式？（2）因地震，到灾区的道路受阻，实际每天比原计划少运20%，则推迟1天完成任务，求原计划完成任务的天数。【思路分析】(1)根据总货物=每天运输的货物吨数×运输时间,即可找到它们的关系(2)列分式方程就可以求解.【解】(1)由nt=4000得,.(2)解法一:设原计划每天运吨,由题意得,解得=1000.经检验=1000是原方程的解,∴原计划完成任务的天数为.答:原计划4天完成任务.方法二:设原计划天完成任务,由题意得,解得=4,经检验=4是原方程的解,答:原计划4天完成任务.【方法指导】在利用分式方程解应用题时,一定要检验根.11．（2022湖南永州，19，6分）先化简，再求值: ，【思路分析】先化简，再求值。【解】原式===x－1把x=2代入x－1=2－1=1【方法指导】分式化简及求值的一般过程：（1）有括号先计算括号内的（加减法关键是通分）；（2）除法变为乘法；43\n（3）分子分母能因式分解进行分解；（4）约分；（5）进行加减运算：①通分：关键是寻找公分母，②分子合并同类项；（6）代入数字求代数的值.(代值过程中要注意使分式有意义，即所代值不能使分母为零)12．(2022湖北荆门，18(2)，4分)化简求值：其中a＝－2．【思路分析】先把除法转化为乘法，然后分解因式并约分．【解】(2)原式＝＝．当a＝－2时，原式＝＝．【方法指导】分式的混合运算及化简，在计算时不要和分式方程混淆，不能乘以最简公分母．分子、分母若是多项式，应先分解因式，如果有公因式，应先进行约分．求值时，不可直接代入原式计算，而应代入化简后的式子计算．13．（2022江苏泰州，17，12分）（2）先化简，再求值【思路分析】先根据分式运算法则、运算顺序化简分式，再进行代数式值计算.【解】原式当时，原式【方法指导】本题考查了分式化简与求值，在求值过程中运用了简单二次根式运算.【易错提示】一方面将给定的值不经过化简直接代入计算；另一方面，化简分式过程马虎，计算出错.14．（2022江苏泰州，18，8分）解方程：【思路分析】将分式方程两边同时乘以最简公分母x（x－2），将方程转化为整式方程进一步求解.【解】去分母，得：解得：经检验：是原方程的解.【方法指导】43\n本题考查分式方程的解法，注意解分式方程的思路化为整式方程求解，最后需要检验.【易错提示】解分式方程产生增根，忘记验根，15.（2022四川宜宾，18，6分） 先化简，再求值：【思路分析】本题第一步先把括号内的进行通分，顺便进行分解因式，第二步进行约分，第三步带入求值.【解】原式＝ 当x=2时，原式＝１．【方法指导】本题考查了分式的化简求值问题，其中1我们可以看成是，分式的混合运算中要注意能分解因式的要先分解因式，因为分解因式后便于约分.注意不要省略解题步骤.16.(2022山东烟台，19,6分)先化简，再求值：，其中x满足【思路分析】本题考查了分式的化简求值.将括号里通分，除法化为乘法，约分，化成最简分式，然后解一元二次方程，将所得的x的值代入化简结果时，x的取值不能使原式的分母以及除式为0．【解】解:原式=由，解得由题意，得，将代入，原式【易错警示】注意此处命题人经常设置陷阱，代入求值时一定要检验所代入的数是否能使分式有意义.17.(2022山东烟台，23,8分)烟台享有‘苹果之乡”的美誉．甲，乙两超市分别用3000元以相同的进价购进质量相同的苹果.43\n甲超市销售方案是：将苹果按大小分类包装销售，其中大苹果400千克，以进价的2倍销售，剩下的小苹果以高于进价的10%销售．乙超市的销售方案是：不将苹果按大小分类，直接包装销售，价格按甲超市大，小两种苹果售价的平均数定价．若两超市将苹果全部售完，其中甲超市获利2100元（其它成本不计）.问：（1）苹果进价为每千克多少元？（2）乙超市获利多少元？并比较哪种销售方式更合算.【思路分析】根据题中的等量关系建立数学模型，（1）设苹果进价为每千克x元，根据大、小苹果的利润和等于2100元列出分式方程进而求解.注意所得结果要进行双检.（2）先求出所有苹果的质量以及大、小苹果的售价从而用总质量乘以每千克的利润求出乙超市的利润，再与甲超市的利润进行比较大小.【解】（1）设苹果进价为每千克x元由题意，得解得.经检验：是原方程的根.答：苹果进价为每千克5元.(2)由（1）知：每个超市苹果总量：（千克）．大、小苹果售价分别为10元和5.5元．∴乙超市获利：（元）∵甲超市获利，∴甲超市销售方式更合算【方法指导】本题考查了分式方程的实际应用以及建模思想，解答本题的关键是根据题中的等量关系建立数学模型.列方程（组）解应用题的一般步骤：（1）审：审清题意，找出已知量、未知量及等量关系；（2）设：直接或间接设出未知数；（3）列：根据等量关系列方程（组）；（4）解：解这个方程（组），求出未知数的值；（5）检：要进行双检，既要检验所求的未知数的值是否是原方程的根，还要检验是否符合实际问题；（6）答：写出答案（包括单位名称）18．（2022四川泸州，18，6分）先化简：，再求值，其中．43\n【答案】解：原式＝＝＝．当时，原式＝【解析】先做除式中的减法运算，再将被除式的分母分解因式，把分式除法转化乘法，通过约分达到化简的目的，最后代入计算．【方法指导】本题属于分式的化简求值问题，要注意观察所给式子的特点，确定运算顺序，规范书写格式.19．（2022江西，17，6分）先化简，再求值：，在0，1，2，三个数中选一个合适的，代入求值．【思路分析】先将分式的分子分母因式分解，再将除法运算转化为乘法运算，约分后得到，可通分得，也可将化为求解．[解]原式=·+1==．当x=1时，原式=【方法指导】本题考查的是分式的化简求值，涉及因式分解，约分等运算知识，要求考生具有比较娴熟的运算技能，化简后要从三个数中选一个数代入求值，又考查了考生的细心答题的态度，这个陷阱隐蔽但不刁钻，看到分式，必然要注意分式成立的条件．20．（2022白银，20，6分）先化简，再求值：，其中x=﹣．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：先通分计算括号里的，再把除法转化成乘法进行约分，最后把x的值代入计算即可．解答：解：原式=•=x﹣1，当x=﹣时，原式=﹣﹣1=﹣．点评：本题考查了分式的化简求值，解题的关键是注意把分式的分子、分母因式分解．43\n21．（2022年佛山市，18，6分）按要求化简：．要求：见答题卡．解答过程解答步骤说明解题依据（用文字或符号填写知识的名称和具体内容，每空一个）此处不填此处不填=示例：通分示例：分式的基本性质：分式的分子和分母都乘以同一个不等于零的整式，分式的值不变（或者“同分母分式相加减法则：”）=去括号①=合并同类项此处不填=②③④分析：首先通分，把分母化为（a+1）（a﹣1），再根据同分母分数相加减，分母不变，分子相加减进行计算，注意最后结果要化简．解：原式=﹣===．点评：此题主要考查了分式的加减，关键是掌握异分母分式加减法法则：把分母不相同的几个分式化成分母相同的分式，叫做通分，经过通分，异分母分式的加减就转化为同分母分式的加减．22．（2022广东珠海，12，6分）解方程：．考点：解分式方程．专题：计算题．分析：分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．解答：解：去分母得：x（x+2）﹣1=x2﹣4，43\n去括号得：x2+2x﹣1=x2﹣4，解得：x=﹣，经检验x=﹣是分式方程的解．点评：此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．23．（2022广东珠海，20，9分）阅读下面材料，并解答问题．材料：将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．解：由分母为﹣x2+1，可设﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b则﹣x4﹣x2+3=（﹣x2+1）（x2+a）+b=﹣x4﹣ax2+x2+a+b=﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b）∵对应任意x，上述等式均成立，∴，∴a=2，b=1∴==x2+2+这样，分式被拆分成了一个整式x2+2与一个分式的和．解答：（1）将分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式．（2）试说明的最小值为8．考点：分式的混合运算．专题：阅读型．分析：（1）由分母为﹣x2+1，可设﹣x4﹣6x2+8=（﹣x2+1）（x2+a）+b，按照题意，求出a和b的值，即可把分式拆分成一个整式与一个分式（分子为整数）的和的形式；（2）对于x2+7+当x=0时，这两个式子的和有最小值，最小值为8，于是求出43\n的最小值．解答：解：（1）由分母为﹣x2+1，可设﹣x4﹣6x2+8=（﹣x2+1）（x2+a）+b则﹣x4﹣6x2+8=（﹣x2+1）（x2+a）+b=﹣x4﹣ax2+x2+a+b=﹣x4﹣（a﹣1）x2+（a+b）∵对应任意x，上述等式均成立，∴，∴a=7，b=1，∴===x2+7+这样，分式被拆分成了一个整式x2+7与一个分式的和．（2）由=x2+7+知，对于x2+7+当x=0时，这两个式子的和有最小值，最小值为8，即的最小值为8．点评：本题主要考查分式的混合运算等知识点，解答本题的关键是能熟练的理解题意，此题难度不是很大．24．（2022贵州安顺，20，6分）先化简，再求值：（1﹣）÷，其中a=﹣1．考点：分式的化简求值．专题：探究型．分析：先根据整式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．解答：解：原式=÷=×=a+1．当a=﹣1时，原式=﹣1+1=．43\n点评：本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 25．（2022贵州安顺，20，8分）某市为进一步缓解交通拥堵现象，决定修建一条从市中心到飞机场的轻轨铁路．实际施工时，每月的工效比原计划提高了20%，结果提前5个月完成这一工程．求原计划完成这一工程的时间是多少月？考点：分式方程的应用．分析：设原来计划完成这一工程的时间为x个月，根据工程问题的数量关系建立方程求出其解即可．解答：解：设原来计划完成这一工程的时间为x个月，由题意，得，解得：x=30．经检验，x=30是原方程的解．答：原计划完成这一工程的时间是30个月．点评：本题考查了列分式方程解实际问题的运用，工作总量=工作效率×工作时间的运用，解答时根据工作效率的数量关系建立方程是解答的关键 26．（2022贵州毕节，23，8分）先化简，再求值．，其中m=2．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：原式第一项利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分后通分，并利用同分母分式的加法法则计算得到最简结果，将m的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=•+=+==，当m=2时，原式==2．点评：此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．27.（2022湖北宜昌，20，8分）[背景资料]一棉花种植区的农民研制出采摘棉花的单人便携式采棉机（如图），采摘效率高，能耗低，绿色环保，经测试，一个人操作该采棉机的采摘效率为35公斤/时，大约是一个人手工采摘的3.5倍，购买一台采棉机需900元，雇人采摘棉花，按每采摘1公斤棉花a元的标准支付雇工工钱，雇工每天工作8小时．[问题解决]（1）一个雇工手工采摘棉花，一天能采摘多少公斤？43\n（2）一个雇工手工采摘棉花7.5天获得的全部工钱正好购买一台采棉机，求a的值；（3）在（2）的前提下，种植棉花的专业户张家和王家均雇人采摘棉花，王家雇佣的人数是张家的2倍，张家雇人手工采摘，王家所雇的人中有的人自带彩棉机采摘，的人手工采摘，两家采摘完毕，采摘的天数刚好一样，张家付给雇工工钱总额为14400元，王家这次采摘棉花的总重量是多少？考点：一元一次方程的应用；代数式．分析：（1）先根据一个人操作采棉机的采摘效率为35公斤/时，大约是一个人手工采摘的3.5倍，求出一个人手工采摘棉花的效率，再乘以工作时间8小时，即可求解；（2）根据一个雇工手工采摘棉花7.5天获得的全部工钱正好购买一台采棉机，列出关于a的方程，解方程即可；（3）设张家雇佣x人采摘棉花，则王家雇佣2x人采摘棉花，先根据张家付给雇工工钱总额14400元，求出采摘的天数为：，然后由王家所雇的人中有的人自带彩棉机采摘，的人手工采摘，两家采摘完毕，采摘的天数刚好一样，即可得出王家这次采摘棉花的总重量．解答：解：（1）∵一个人操作该采棉机的采摘效率为35公斤/时，大约是一个人手工采摘的3.5倍，∴一个人手工采摘棉花的效率为：35÷3.5=10（公斤/时），∵雇工每天工作8小时，∴一个雇工手工采摘棉花，一天能采摘棉花：10×8=80（公斤）；（2）由题意，得80×7.5a=900，解得a=；（3）设张家雇佣x人采摘棉花，则王家雇佣2x人采摘棉花，其中王家所雇的人中有的人自带彩棉机采摘，的人手工采摘．∵张家雇佣的x人全部手工采摘棉花，且采摘完毕后，张家付给雇工工钱总额为14400元，∴采摘的天数为：=，∴王家这次采摘棉花的总重量是：（35×8×+80×）×=51200（公斤）．43\n点评：本题考查了一元一次方程及列代数式在实际生产与生活中的应用，抓住关键语句，找出等量关系是解题的关键，本题难度适中．28（2022湖南郴州，24，8分）乌梅是郴州的特色时令水果．乌梅一上市，水果店的小李就用3000元购进了一批乌梅，前两天以高于进价40%的价格共卖出150kg，第三天她发现市场上乌梅数量陡增，而自己的乌梅卖相已不大好，于是果断地将剩余乌梅以低于进价20%的价格全部售出，前后一共获利750元，求小李所进乌梅的数量．考点：分式方程的应用．分析：先设小李所进乌梅的数量为xkg，根据前后一共获利750元，列出方程，求出x的值，再进行检验即可．解答：解：设小李所进乌梅的数量为xkg，根据题意得：•40%﹣150（x﹣150）••20%=750，解得：x=200，经检验x=200是原方程的解，答：小李所进乌梅的数量为200kg．点评：此题考查了分式方程的应用，解题的关键是读懂题意，找出之间的等量关系，列出方程，解分式方程时要注意检验．29．（2022湖南张家界，18，6分）先简化，再求值：，其中x=．考点：分式的化简求值．分析：原式除数括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分得到最简结果，将x的值代入计算即可求出值．解答：解：原式=•=，当x=+1时，原式==．点评：此题考查了分式的化简求值，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式．30（2022湖南娄底，22，8分）为了创建全国卫生城市，某社区要清理一个卫生死角内的垃圾，租用甲、乙两车运送，两车各运12趟可完成，需支付运费4800元．已知甲、乙两车单独运完此堆垃圾，乙车所运趟数是甲车的2倍，且乙车每趟运费比甲车少200元．（1）求甲、乙两车单独运完此堆垃圾各需运多少趟？（2）若单独租用一台车，租用哪台车合算？43\n考点：分式方程的应用；一元一次方程的应用．分析：（1）假设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运2x趟，根据总工作效率得出等式方程求出即可；（2）分别表示出甲、乙两车单独运每一趟所需费用，再根据关键语句“两车各运12趟可完成，需支付运费4800元”可得方程，再解出方程，再分别计算出利用甲或乙所需费用进行比较即可．解答：解：（1）设甲车单独运完此堆垃圾需运x趟，则乙车单独运完此堆垃圾需运2x趟，根据题意得出：+=，解得：x=18，则2x=36，经检验得出：x=18是原方程的解，答：甲车单独运完需18趟，乙车单独运完需36趟；（2）设甲车每一趟的运费是a元，由题意得：12a+12（a﹣200）=4800，解得：a=300，则乙车每一趟的费用是：300﹣200=100（元），单独租用甲车总费用是：18×300=5400（元），单独租用乙车总费用是：36×100=3600（元），3600＜5400，故单独租用一台车，租用乙车合算．点评：此题主要考查了分式方程的应用以及一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程．31.（2022江苏南京，17，6分）化简(-)¸。解析：解：(-)¸=．=．=。14.（2022江苏南京，18，6分）解方程=1-。解析：方程两边同乘x-2，得2x=x-2+1。解这个方程，得x=-1。检验：x=-1时，x-2¹0，x=-1是原方程的解。(6分)32.(2022•新疆5分）化简= ．【答案】．【解析】原式=•=．【方法指导】此题考查了分式的乘除法，分式的乘除法运算的关键是约分，约分的关键是找公因式43\n33.（2022•衢州4分）化简：= ．【答案】．【解析】===．【方法指导】本题考查了分式的计算和化简．解决这类题关键是把握好通分与约分．分式加减的本质是通分，乘除的本质是约分．342022•绍兴5分）分式方程=3的解是 【答案】．x=3【解析】去分母得：2x=3x﹣3，解得：x=3，经检验x=3是分式方程的解．【方法指导】此题考查了解分式方程，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根．35解方程：=﹣5．【思路分析】观察可得最简公分母是（x﹣1），方程两边乘最简公分母，可以把分式方程转化为整式方程求解．【解析】方程的两边同乘（x﹣1），得﹣3=x﹣5（x﹣1），解得x=2（5分）检验，将x=2代入（x﹣1）=1≠0，∴x=2是原方程的解．（【方法指导】本题考查了分式方程的解法，（1）解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．（2）解分式方程一定注意要验根36（2022•新疆8分）佳佳果品店在批发市场购买某种水果销售，第一次用1200元购进若干千克，并以每千克8元出售，很快售完．由于水果畅销，第二次购买时，每千克的进价比第一次提高了10%，用1452元所购买的数量比第一次多20千克，以每千克9元售出100千克后，因出现高温天气，水果不易保鲜，为减少损失，便降价50%售完剩余的水果．（1）求第一次水果的进价是每千克多少元？（2）该果品店在这两次销售中，总体上是盈利还是亏损？盈利或亏损了多少元？43\n【思路分析】（1）设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，第一次购买用了1200元，第二次购买用了1452元，第一次购水果，第二次购水果，根据第二次购水果数多20千克，可得出方程，解出即可得出答案；（2）先计算两次购水果数量，赚钱情况：卖水果量×（实际售价﹣当次进价），两次合计，就可以回答问题【解析】1）设第一次购买的单价为x元，则第二次的单价为1.1x元，根据题意得：﹣=20，解得：x=6，经检验，x=6是原方程的解，（2）第一次购水果1200÷6=200（千克）．第二次购水果200+20=220（千克）．第一次赚钱为200×（8﹣6）=400（元）．第二次赚钱为100×（9﹣6.6）+120×（9×0.5﹣6×1.1）=﹣12（元）．所以两次共赚钱400﹣12=388（元），答：第一次水果的进价为每千克6元，该老板两次卖水果总体上是赚钱了，共赚了388元．【方法指导】本题具有一定的综合性，应该把问题分成购买水果这一块，和卖水果这一块，分别考虑，掌握这次活动的流程．分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．37（2022陕西，17，5分）解分式方程：．考点：解分式方程，解题步骤是（1）对分子分母分解因式，（2）去分母化分式方程为整式方程，（3）检验；（此题陕西命题的规律一般是分式化简与分式方程轮流考。）。解析：去分母得：整理得：解得：经检验得，是原分式方程的根.38（2022山西，19(2)，5分）下面是小明化简分式的过程，请仔细阅读，并解答所提出的问题。………………………第一步=2（x-2）-x-6……………………………………………………………第二步=2x-4-x+6…………………………………………………………………第三步=x+2………………………………………………………………………第四步小明的解法从第（2分）步开始出现错误，正确的化简结果是。（3分）【答案】二43\n39（2022四川巴中，23，5分）先化简，然后a在﹣1、1、2三个数中任选一个合适的数代入求值．考点：分式的化简求值．245761分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再选取合适的a的值代入进行计算即可．解答：解：原式=×+=+=，当a=2时，原式==5．点评：本题考查的是分式的混合运算，再选取a的值时要保证分式有意义．40.（2022四川乐山，19，9分）化简并求值：，其中x、y满足41.（2022四川绵阳，19，8分）解方程：解：=x+2=3x=1经检验，x=1是原方程的增根，原方程无解。42.（2022四川内江，21，10分）某地区为了进一步缓解交通拥堵问题，决定修建一条长为6千米的公路．如果平均每天的修建费y（万元）与修建天数x（天）之间在30≤x≤120，具有一次函数的关系，如下表所示．X506090120y4038322643\n（1）求y关于x的函数解析式；（2）后来在修建的过程中计划发生改变，政府决定多修2千米，因此在没有增减建设力量的情况下，修完这条路比计划晚了15天，求原计划每天的修建费．考点：一次函数的应用．分析：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，运用待定系数法就可以求出y与x之间的函数关系式；（2）设原计划要m天完成，则增加2km后用了（m+15）天，根据每天修建的工作量不变建立方程求出其解，就可以求出计划的时间，然后代入（1）的解析式就可以求出结论．解答：解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b，由题意，得，解得：，∴y与x之间的函数关系式为：y=﹣x+50（30≤x≤120）；（2）设原计划要m天完成，则增加2km后用了（m+15）天，由题意，得，解得：m=45∴原计划每天的修建费为：﹣×45+50=41（万元）．点评：本题考查了运用待定系数法求函数的解析式的运用，列分式方程解实际问题的运用，设间接未知数在解答运用题的运用，解答时建立分式方程求出计划修建的时间是关键．43（2022四川遂宁，17，7分）先化简，再求值：，其中a=．考点：分式的化简求值．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把a的值代入进行计算即可．解答：解：原式=+•=+=，当a=1+时，原式===．点评：本题考查的是分式的化简求值，在解答此类题目时要注意通分及约分的灵活应用． 43\n44.（2022四川遂宁，20，9分）2022年4月20日，我省雅安市芦山县发生了里氏7.0级强烈地震．某厂接到在规定时间内加工1500顶帐篷支援灾区人民的任务．在加工了300顶帐篷后，厂家把工作效率提高到原来的1.5倍，于是提前4天完成任务，求原来每天加工多少顶帐篷？考点：分式方程的应用．分析：设该厂原来每天生产x顶帐篷，提高效率后每天生产1.5x顶帐篷，根据原来的时间比实际多4天建立方程求出其解即可．解答：解：设该厂原来每天生产x顶帐篷，提高效率后每天生产1.5x顶帐篷，据题意得：，解得：x=100．经检验，x=100是原分式方程的解．答：该厂原来每天生产100顶帐篷．点评：本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，解答时根据生产过程中前后的时间关系建立方程是关键．45（2022贵州省六盘水，19，16分）（1）+（2022﹣π）0（2）先化简，再求值：（），其中x2﹣4=0．考点：分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂．专题：计算题．分析：（1）分别根据0指数幂、负整数指数幂的计算法则及绝对值的性质、特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再根据x2﹣4=0求出x的值代入进行计算即可．解答：解：（1）原式=3﹣9+2﹣﹣2×+1=3﹣7﹣3+1=﹣6；（2）原式=（+）÷=×=×=，43\n∵x2﹣4=0，∴x1=2（舍去），x2=﹣2，∴原式==1．点评：本题考查的是分式的化简求值及实数的运算，在解（2）时要注意x的取值要保证分式有意义．46（2022贵州省黔东南州，17，10分）（1）计算：sin30°﹣2﹣1+（﹣1）0+；（2）先简化，再求值：（1﹣）÷，其中x=．考点：分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；负整数指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．分析：（1）分别根据负整数指数幂、0指数幂的计算法则及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．解答：解：（1）原式=﹣+1+π﹣1=π；（2）原式=÷=×=，当x=时，原式==+1．点评：本题考查的是分式的混合运算及实数的运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 47（2022贵州省黔西南州，21，14分）（1）计算：．（2）先化简，再求值：，其中．考点：分式的化简求值；实数的运算；零指数幂；特殊角的三角函数值．专题：计算题．43\n分析：（1）先分别根据0指数幂、负整数指数幂、有理数乘方的法则及特殊角的三角函数值计算出各数，再根据实数混合运算的法则进行计算即可；（2）先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x的值代入进行计算即可．解答：解：（1）原式=1×4+1+|﹣2×|=4+1+|﹣|=5；（2）原式====．当x=﹣3时，原式==．点评：本题考查的是分式的化简求值及实数的运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 48（2022黑龙江省哈尔滨市，21）先化简，再求代数式的值，其中考点：知识点考察：①分式的通分，②分式的约分，③除法变乘法的法则，④完全平方公式⑤特殊角的三角函数值分析：利用除式的分子利用完全平方公式分解因式，除法变乘法的法则，同分母分式的减法法则计算，再利用特殊角的三角函数值求出a的值代入进行计算即可，考查的是分式的化简求值，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键解答：原式===∵==∴原式===49（2022黑龙江省哈尔滨市，26）甲、乙两个工程队共同承担一项筑路任务，甲队单独施工完成此项任务比乙队单独施工完成此项任务多用l0天。且甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．(1)甲、乙两队单独完成此项任务各需多少天?、43\n(2)若甲、乙两队共同工作了3天后，乙队因设备检修停止施工，由甲队单独继续施工，为了不影响工程进度。甲队的工作效率提高到原来的2倍。要使甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，那么甲队至少再单独施工多少天?考点：分式方程的应用。一元一次不等式的应用；分析：（1）假设乙队单独完成此项任务需x天，则甲队单独完成此项任务需（x+10）天，根据：甲队单独施工45天和乙队单独施工30天的工作量相同．列方程即可．（2）乙队再单独施工a天结合（1）的解和甲队总的工作量不少于乙队的工作量的2倍，可列不等式．此题主要考查了分式方程的应用和一元一次不等式的应用，合理地建立等量或不等量关系，列出方程和不等式是解题关键，解答：设乙队单独完成此项任务需x天，则甲队单独完成此项任务需(x+10)天根据题意得经检验x=20是原方程的解∴x+10=30(天)∴甲队单独完成此项任务需30天．乙队单独完成此颊任务需20天(2)解：设甲队再单独施工天解得≥3∴甲队至少再单独施工3天．50．（2022湖北省鄂州市，17，8分）先化简，后求值：，其中a=3．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：现将括号内的部分因式分解，通分后相加，再将除法转化为乘法，最后约分．再将a=3代入即可求值．解答：解：÷=÷=====a．∴当a=3时，原式=3．点评：本题考查了分式的化简求值，熟悉因式分解及约分是解题的关键．43\n51．（2022湖北省十堰市，1，6分）化简：．考点：分式的混合运算．分析：首先将分式的分子与分母分解因式，进而化简求出即可．解答：解：原式=×+=+=1．点评：此题主要考查了分式的混合运算，正确将分式的分子与分母分解因式是解题关键．52．（2022湖北省十堰市，1，6分）甲、乙两名学生练习计算机打字，甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同．已知甲每分钟比乙每分钟多打5个字．问：甲、乙两人每分钟各打多少字？考点：分式方程的应用．专题：应用题．分析：设乙每分钟打x个字，则甲每分钟打（x+5）个字，再由甲打一篇1000字的文章与乙打一篇900字的文章所用的时间相同，可得出方程，解出即可得出答案．解答：解：设乙每分钟打x个字，则甲每分钟打（x+5）个字，由题意得，=，解得：x=45，经检验：x=45是原方程的解．答：甲每人每分钟打50个字，乙每分钟打45个字．点评：本题考查了分式方程的应用，解答本题的关键是设出未知数，找到等量关系，根据等量关系建立方程，注意不要忘记检验． 53（2022湖北省咸宁市，1，7分）在咸宁创建”国家卫生城市“的活动中，市园林公司加大了对市区主干道两旁植“景观树”的力度，平均每天比原计划多植5棵，现在植60棵所需的时间与原计划植45棵所需的时间相同，问现在平均每天植多少棵树？考点：分式方程的应用．分析：设现在平均每天植树x棵，则原计划平均每天植树（x﹣5）棵．根据现在植60棵所需的时间与原计划植45棵所需的时间相同建立方程求出其解即可．解答：解：设现在平均每天植树x棵，则原计划平均每天植树（x﹣5）棵．依题意得：，43\n解得：x=20，经检验，x=20是方程的解，且符合题意．答：现在平均每天植树20棵．点评：本题是一道工程问题的运用题，考查了工作总量÷工作效率=工作时间的运用，列分式方程解实际问题的运用，解答时根据植60棵所需的时间与原计划植45棵所需的时间相同建立方程是关键．54（2022·聊城，18，?分）计算：．考点：分式的混合运算．专题：计算题．分析：原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除以一个数等于乘以这个数的倒数将除法运算化为乘法运算，约分即可得到结果．解答：解：原式＝（－）•＝＝．点评：此题考查了分式的混合运算，分式的加减运算关键是通分，通分的关键是找最简公分母；分式的乘除运算关键是约分，约分的关键是找公因式． 55．（2022•徐州，19（1），5分）（1）计算：|－2|－＋（－2022）0；（2022•徐州，19（2），5分）（2）计算：（1＋）÷．考点：分式的混合运算；实数的运算；零指数幂．分析：（1）分别根据绝对值的性质以及二次根式的化简和零指数幂的性质进行化简求出即可．（2）首先将分式的分子与分母分解因式，进而化简求出即可．解答：解；（1）|－2|－＋（－2022）0＝2－3＋1＝0；（2）原式＝×＝×＝x＋1．点评：此题主要考查了实数运算和分式的混合运算，正确将分式的分子与分母分解因式是解题关键．43\n56．（2022•徐州，23，8分）为改善生态环境，防止水土流失，某村计划在荒坡上种1000棵树．由于青年志愿者的支援，每天比原计划多种25%，结果提前5天完成任务，原计划每天种多少棵树？考点：分式方程的应用．分析：设原计划每天种树x棵，实际每天植树（1＋25%）x棵，根据实际完成的天数比计划少5天为等量关系建立方程求出其解即可．解答：解：设原计划每天种树x棵，实际每天植树（1＋25%）x棵，由题意，得，解得：x＝40，经检验，x＝40是原方程的解．答：原计划每天种树40棵．点评：本题考查了列分式方程解实际问题的运用，分式方程的解法的运用，工作总量÷工作效率＝工作时间在实际问题中的运用，解答时根据实际完成的天数比计划少5天为等量关系建立方程是关键．57.（2022·鞍山，17，2分）先化简，再求值：，其中x＝．考点：分式的化简求值．专题：计算题．分析：将括号内的部分通分后相减，再将除法转化为后解答．解答：解：原式＝÷（－）－1＝÷－1＝•－1＝－1．当x＝时，原式＝－1，＝－1＝－1．点评：本题考查了分式的化简求值，能正确进行因式分解是解题的关键． 58（2022·济宁，19，?分）人教版教科书对分式方程验根的归纳如下：“解分式方程时，去分母后所得整式方程的解有可能使原分式方程中的分母为0，因此应如下检验：将整式方程的解代入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解．”请你根据对这段话的理解，解决下面问题：已知关于x的方程－=0无解，方程x2＋kx＋6=0的一个根是m．（1）求m和k的值；（2）求方程x2＋kx＋6=0的另一个根．考点：解分式方程；根与系数的关系．43\n专题：阅读型．分析：（1）分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程无解，故将x=1代入整式方程，即可求出m的值，将m的值代入已知方程即可求出k的值；（2）利用根与系数的关系即可求出方程的另一根．解答：解：（1）分式方程去分母得：m－1－x=0，由题意将x=1代入得：m－1－1=0，即m=2，将m=2代入方程得：4＋2k＋6=0，即k=－5；（2）设方程另一根为a，则有2a=6，即a=3．点评：此题考查了解分式方程，以及根与系数的关系，解分式方程的基本思想是“转化思想”，把分式方程转化为整式方程求解．解分式方程一定注意要验根． 43
