平移旋转与对称一．选择题1．（2022贵州省六盘水，4，3分）下列图形中，是轴对称图形的是（ ） A．B．C．D．考点：轴对称图形．分析：根据正多边形的性质和轴对称图形的定义解答即可．解答：解：根据轴对称图形的概念可直接得到A是轴对称图形，故选：A．点评：此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握轴对称图形的概念：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．2．（2022贵州省黔西南州，8，4分）在平行四边形、等腰梯形、等腰三角形、矩形、菱形五个图形中，既是中心对称图形又是轴对称图形的有（ ） A．1个B．2个C．3个D．4个考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合几何图形的特点进行判断．解答：解：矩形、菱形是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；等腰三角形、等腰梯形是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；平行四边形不是轴对称图形，是中心对称图形，不符合题意．故既是轴对称图形又是中心对称图形的是：矩形、菱形．故选：B．点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．（1）如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．（2）如果一个图形绕某一点旋转180°后能够与自身重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，这个点叫做对称中心． 3．（2022河北省，3，2分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是答案：C解析42\n：A是只中心对称图形，B、D只是轴对称图形，只有C既是轴对称图形又是中心对称图形。4．（2022河南省，2，3分）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）【解析】轴对称是指在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这样的图形叫做轴对称图形。中心对称图形是指平面内，如果把一个图形绕某个点旋转180°后，能与自身重合，那么就说这两个图形关于这个点成中心对称。结合定义可知，答案是D【答案】D5．（2022黑龙江省哈尔滨市，3）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()．考点：轴对称图形与中心对称图形．分析：题考查了中心对称图形．掌握好中心对称图形与轴对称图形的概念．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．解答：A.是轴对称图形，不是中心对称图形；B.是中心对称图形，不是轴对称图形．；C.是轴对称图形，不是中心对称图形；D.是轴对称图形，又是中心对称图形；故选D．6．（2022湖北省鄂州市，10，3分）如图，已知直线a∥b，且a与b之间的距离为4，点A到直线a的距离为2，点B到直线b的距离为3，AB=．试在直线a上找一点M，在直线b上找一点N，满足MN⊥a且AM+MN+NB的长度和最短，则此时AM+NB=（ ）42\n A．6B．8C．10D．12考点：勾股定理的应用；线段的性质：两点之间线段最短；平行线之间的距离．3718684分析：MN表示直线a与直线b之间的距离，是定值，只要满足AM+NB的值最小即可，作点A关于直线a的对称点A′，连接A′B交直线b与点N，过点N作NM⊥直线a，连接AM，则可判断四边形AA′NM是平行四边形，得出AM=A′N，由两点之间线段最短，可得此时AM+NB的值最小．过点B作BE⊥AA′，交AA′于点E，在Rt△ABE中求出BE，在Rt△A′BE中求出A′B即可得出AM+NB．解答：解：作点A关于直线a的对称点A′，连接A′B交直线b与点N，过点N作NM⊥直线a，连接AM，∵A到直线a的距离为2，a与b之间的距离为4，∴AA′=MN=4，∴四边形AA′NM是平行四边形，∴AM+NB=A′N+NB=A′B，过点B作BE⊥AA′，交AA′于点E，易得AE=2+4+3=9，AB=2，A′E=2+3=5，在Rt△AEB中，BE==，在Rt△A′EB中，A′B==8．故选B．点评：本题考查了勾股定理的应用、平行线之间的距离，解答本题的关键是找到点M、点N的位置，难度较大，注意掌握两点之间线段最短．7．（2022湖北省十堰市，1，3分）如图，将△ABC沿直线DE折叠后，使得点B与点A重合．已知AC=5cm，△ADC的周长为17cm，则BC的长为（ ）42\n A．7cmB．10cmC．12cmD．22cm考点：翻折变换（折叠问题）．3718684分析：首先根据折叠可得AD=BD，再由△ADC的周长为17cm可以得到AD+DC的长，利用等量代换可得BC的长．解答：解：根据折叠可得：AD=BD，∵△ADC的周长为17cm，AC=5cm，∴AD+DC=17﹣5=12（cm），∵AD=BD，∴BD+CD=12cm．故选：C．点评：此题主要考查了翻折变换，关键是掌握折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．8．（2022湖北省咸宁市，1，3分）下列学习用具中，不是轴对称图形的是（ ） A．B．C．D．考点：轴对称图形．分析：根据轴对称图形的概念：把一个图形沿着某条直线折叠，两边能够重合的图形是轴对称图形，对各选项判断即可．解答：解：A、是轴对称图形，不合题意，故本选项错误；B、是轴对称图形，不合题意，故本选项错误；C、不是轴对称图形，符合题意，故本选项正确；D、是轴对称图形，不合题意，故本选项错误；故选C．点评：本题考查了轴对称图形的知识，属于基础题，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴．42\n9．（2022湖北省咸宁市，1，3分）如图，在平面直角坐标系中，以O为圆心，适当长为半径画弧，交x轴于点M，交y轴于点N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长为半径画弧，两弧在第二象限交于点P．若点P的坐标为（2a，b+1），则a与b的数量关系为（ ） A．a=bB．2a+b=﹣1C．2a﹣b=1D．2a+b=1考点：作图—基本作图；坐标与图形性质；角平分线的性质．分析：根据作图过程可得P在第二象限角平分线上，有角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等可得|2a|=|b+1|，再根据P点所在象限可得横纵坐标的和为0，进而得到a与b的数量关系．解答：解：根据作图方法可得点P在第二象限角平分线上，则P点横纵坐标的和为0，故2a+b+1=0，整理得：2a+b=﹣1，故选：B．点评：此题主要考查了每个象限内点的坐标特点，以及角平分线的性质，关键是掌握各象限角平分线上的点的坐标特点|横坐标|=|纵坐标|． 10．（3分）（2022•桂林）下列图形分别是桂林、湖南、甘肃、佛山电视台的台徽，其中为中心对称图形的是（ ） A．B．C．D．考点：中心对称图形．分析：42\n根据中心对称图形的定义旋转180°后能够与原图形完全重合即是中心对称图形，即可判断出．解答：解：∵A．此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误；B：∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误；C．此图形旋转180°后能与原图形重合，此图形是中心对称图形，故此选项正确；D：∵此图形旋转180°后不能与原图形重合，∴此图形不是中心对称图形，故此选项错误．故选C．点评：此题主要考查了中心对称图形的定义，根据定义得出图形形状是解决问题的关键．11．（2022贵州毕节，8，3分）在下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ）①线段，②角，③等边三角形，④圆，⑤平行四边形，⑥矩形． A．③④⑥B．①③⑥C．④⑤⑥D．①④⑥考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．解答：解：①是轴对称图形，也是中心对称图形；②是轴对称图形，不是中心对称图形；③是轴对称图形，不是中心对称图形；④是轴对称图形，也是中心对称图形；⑤不是轴对称图形，是中心对称图形；⑥是轴对称图形，也是中心对称图形；综上可得既是轴对称图形又是中心对称图形的有：①④⑥．故选D．点评：本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．12.（2022湖南长沙，9，3分）在下列某品牌T恤的四个洗涤说明图案的设计中，没有运用旋转或轴对称知识的是（）答案：C【详解】A、D既是轴对称图形，也是中心对称图形，B是轴对称图形，所以只能选C.13．（2022湖南郴州，3，3分）下列图案中，不是中心对称图形的是（ ） A．B．C．D．42\n考点：中心对称图形．3718684分析：根据中心对称图形的概念求解．解答：解：A、是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项正确；C、是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项错误；故选B．点评：本题考查了中心对称图形的知识，解题的关键是掌握中心对称图形的概念．中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后重合．14.．（2022湖南娄底，9，3分）下列图形中是中心对称图形的是（ ） A．B．C．D．考点：中心对称图形．分析：根据中心对称的定义，结合所给图形即可作出判断．解答：解：A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、是中心对称图形，故本选项正确；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、不是中心对称图形，故本选项错误；故选：B．点评：本题考查了中心对称图形的特点，属于基础题，判断中心对称图形的关键是旋转180°后能够重合．15．[2022湖南邵阳，2，3分]下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ）知识考点：轴对称图形、图形的旋转.审题要津：本题考查轴对称图形的概念.如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分可以互相重合，那么这个图形就叫做轴对称图形.满分解答：解：由图可知A、C、D都是轴对称图形，唯独B是由图形的旋转得到的.故选B.名师点评：本题主要考查轴对称图形的概念，解答此类题目还应注意中心对称图形、图形的旋转与平移与轴对称图形的区别.16．（2022·泰安，11，3分）在如图所示的单位正方形网格中，△ABC经过平移后得到△A1B1C1，已知在AC上一点P（2.4，2）平移后的对应点为P1，点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，则P2点的坐标为（ ）42\n A．（1.4，－1）B．（1.5，2）C．（1.6，1）D．（2.4，1）考点：坐标与图形变化－旋转；坐标与图形变化－平移．分析：根据平移的性质得出，△ABC的平移方向以及平移距离，即可得出P1坐标，进而利用中心对称图形的性质得出P2点的坐标．解答：解：∵A点坐标为：（2，4），A1（－2，1），∴点P（2.4，2）平移后的对应点P1为：（－1.6，－1），∵点P1绕点O逆时针旋转180°，得到对应点P2，∴P2点的坐标为：（1.6，1）．故选：C．点评：此题主要考查了旋转的性质以及平移的性质，根据已知得出平移距离是解题关键．17．（2022·泰安，4，3分）下列图形：其中所有轴对称图形的对称轴条数之和为（ ）A．13B．11C．10D．8考点：轴对称图形．分析：根据轴对称及对称轴的定义，分别找到各轴对称图形的对称轴个数，然后可得出答案．解答：解：第一个图形是轴对称图形，有1条对称轴；42\n第二个图形是轴对称图形，有2条对称轴；第三个图形是轴对称图形，有2条对称轴；第四个图形是轴对称图形，有6条对称轴；则所有轴对称图形的对称轴条数之和为11．故选B．点评：本题考查了轴对称及对称轴的定义，属于基础题，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 18．（2022·潍坊，2，3分）下面的图形是天气预报中的图标，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）．A．B．C．D．答案：A考点：轴对称图形与中心对称图形的特征。点评：此题主要考查了轴对称图形与中心对称图形的概念，二者既有联系又有区别．19．（2022·济宁，8，3分）如图，在直角坐标系中，点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），点C是y轴上的一个动点，且A、B、C三点不在同一条直线上，当△ABC的周长最小时，点C的坐标是（ ） A．（0，0）B．（0，1）C．（0，2）D．（0，3）考点：轴对称－最短路线问题；坐标与图形性质．分析：根据轴对称做最短路线得出AE=BE，进而得出B′O=C′O，即可得出△ABC的周长最小时C点坐标．解答：解：作B点关于y轴对称点B′点，连接AB′，交y轴于点C′，此时△ABC的周长最小，42\n∵点A、B的坐标分别为（1，4）和（3，0），∴B′点坐标为：（－3，0），AE=4，则BE=4，即BE=AE，∵C′O∥AE，∴B′O=C′O=3，∴点C′的坐标是（0，3），此时△ABC的周长最小．故选：D．点评：此题主要考查了利用轴对称求最短路线以及平行线的性质，根据已知得出C点位置是解题关键． 20．（2022·济宁，12，3分）如图，△ABC和△A′B′C是两个完全重合的直角三角板，∠B=30°，斜边长为10cm．三角板A′B′C绕直角顶点C顺时针旋转，当点A′落在AB边上时，CA′旋转所构成的扇形的弧长为cm．考点：旋转的性质；弧长的计算．分析：根据Rt△ABC中的30°角所对的直角边是斜边的一半、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半以及旋转的性质推知△AA′C是等边三角形，所以根据等边三角形的性质利用弧长公式来求CA′旋转所构成的扇形的弧长．解答：解：∵在Rt△ABC中，∠B=30°，AB=10cm，∴AC=AB=5cm．根据旋转的性质知，A′C=AC，∴A′C=AB=5cm，∴点A′是斜边AB的中点，∴AA′=AB=5cm，∴AA′=A′C=AC，∴∠A′CA=60°，42\n∴CA′旋转所构成的扇形的弧长为：=（cm）．故答案是：．点评：本题考查了弧长的计算、旋转的性质．解题的难点是推知点A′是斜边AB的中点，同时，这也是解题的关键． 21.（2022杭州3分）下列“表情图”中，属于轴对称图形的是（ ）A．B．C．D．【答案】D．【解析】A．不是轴对称图形，故本选项错误；B．不是轴对称图形，故本选项错误；C．不是轴对称图形，故本选项错误；D．是轴对称图形，故本选项正确；【方法指导】本题考查了轴对称图形的知识，判断轴对称的关键寻找对称轴，属于基础题22.（2022•宁波3分）下列电视台的台标，是中心对称图形的是（ ） A．B．C．D．【答案】D．【解析】A、不是中心对称图形，故本选项错误；B、不是中心对称图形，故本选项错误；C、不是中心对称图形，故本选项错误；D、是中心对称图形，故本选项正确．【方法指导】本题考查了中心对称图形，掌握中心对称图形的概念：中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合是解题的关键．23.（2022山西，8，2分）如图，正方形地砖的图案是轴对称图形，该图形的对称轴有（）A．1条B．2条C．4条D．8条【答案】C【解析】这是一个正八边形，对称轴有4条。24（2022四川巴中，7，3分）下列命题是真命题的是（ ） A．无限小数是无理数 B．相反数等于它本身的数是0和1 C．对角线互相平分且相等的四边形是矩形 D．等边三角形既是中心对称图形，又是轴对称图形考点：命题与定理．42\n分析：分析是否为真命题，需要分别分析各题设是否能推出结论，从而利用排除法得出答案．解答：解：A、无限小数不一定是无理数，故原命题是假命题；B、相反数等于它本身的数是0，故原命题是假命题；C、对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故原命题是真命题；D、等边三角形是轴对称图形，故原命题是假命题；故选C．点评：此题主要考查命题的真假判断，正确的命题叫真命题，错误的命题叫做假命题．判断命题的真假关键是要熟悉课本中的性质定理． 25.（2022四川绵阳，2，3分）下列“数字”图形中，有且仅有一条对称轴的是（A）［解析］B不是轴对称图形，C、D都有2条对称轴。26.（2022四川遂宁，6，4分）下列图案由正多边形拼成，其中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A．B．C．D．考点：中心对称图形；轴对称图形．分析：根据轴对称图形与中心对称图形的概念结合各图形的特点求解．解答：解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；B、是轴对称图形，也是中心对称图形，符合题意；C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；D、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意．故选B．点评：本题考查了中心对称图形与轴对称图形的概念．判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对称轴折叠后可重合；判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合．27.（2022四川遂宁，7，4分）将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，点A′关于y轴对称的点的坐标是（ ） A．（﹣3，2）B．（﹣1，2）C．（1，2）D．（1，﹣2）考点：坐标与图形变化-平移；关于x轴、y轴对称的点的坐标．分析：先利用平移中点的变化规律求出点A′的坐标，再根据关于y轴对称的点的坐标特征即可求解．解答：解：∵将点A（3，2）沿x轴向左平移4个单位长度得到点A′，42\n∴点A′的坐标为（﹣1，2），∴点A′关于y轴对称的点的坐标是（1，2）．故选C．点评：本题考查坐标与图形变化﹣平移及对称的性质；用到的知识点为：两点关于y轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数；左右平移只改变点的横坐标，右加左减．28.（2022湖北黄冈，2，3分）随着人民生活水平的提高，我国拥有汽车的居民家庭也越来越多，下列汽车标志中，是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】A．【解析】选项B中的图形既不是轴对称图形，也不是中心对称图形，选项C、D中的图形都是轴对称图形．只有A符合题意．【方法指导】可用旋转的方法判断：如果这个图形能绕某一点旋转180°后与自身重合，则这个图形是中心对称图形．29.（2022湖南益阳，11，4分）有三张大小、形状及背面完全相同的卡片，卡片正面分别画有正三角形、正方形、圆，从这三张卡片中任意抽取一张，卡片正面的图形既是轴对称图形又是中心对称图形的概率是．【答案】：【解析】“三张卡片中任意抽取一张”共有三种等可能的结果，既是轴对称图形又是中心对称图形的只有正方形、圆两种，所以概率是。【方法指导】这类概率问题，首先用列表或树状图或枚举法把所有等可能的结果表示出来，假设结果数为n，然后数出使事件成功的结果数m，则P=30．（2022江苏苏州，10，3分）如图，在平面直角坐标系中，Rt△OAB的顶点A在x轴的正半轴上，顶点B的坐标为（3，），点C的坐标为（，0），点P为斜边OB上的一动点，则PA＋PC的最小值为（）．A．B．C．D．2【答案】B．【解析】如图，作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA＋PC的值最小，求出AM，求出AD，求出DN、CN，根据勾股定理求出CD，即可得出答案．解：如图，作A关于OB的对称点D，连接CD交OB于P，连接AP，过D作DN⊥OA于N，则此时PA＋PC的值最小．42\n∵DP=PA，∴PA＋PC=PD＋PC=CD．∵B（3，），∴AB=，OA=3，∠B=60°．由勾股定理得：OB=2．由三角形面积公式得：×OA×AB=×OB×AM，即×3×=×2×AM．∴AM=．∴AD=2×=3．∵∠AMB=90°，∠B=60°，∴∠BAM=30°，∵∠BAO=90°，∴∠OAM=60°．∵DN⊥OA，∴∠NDA=30°，∴AN=×AD=．由勾股定理得：DN==．∵C（，0），∴CN=3－－=1．在Rt△DNC中，由勾股定理得：DC==．即PA＋PC的最小值是．所以应选B．【方法指导】本题考查了三角形的内角和定理，轴对称的最短路线问题，勾股定理，含30度角的直角三角形性质的应用，关键是求出P点的位置，题目比较好，难度适中．【易错警示】弄不清楚最小值问题，赵不到最短距离而出错．31．（2022山东滨州，8，3分）如图，将等边△ABC沿射线BC向右平移到△DCE的位置，连接AD、BD，则下列结论：①AD=BC；②BD、AC互相平分；③四边形ACED是菱形．其中正确的个数是A．0B．1C．2D．342\n【答案】：D．【解析】先求出∠ACD=60°，继而可判断△ACD是等边三角形，从而可判断①是正确的；根据①的结论，可判断四边形ABCD是平行四边形，从而可判断②是正确的；根据①的结论，可判断③正确.故选D．【方法指导】本题考查了平移的性质、等边三角形的性质、平行四边形的判定与性质及菱形的判定，解答本题的关键是先判断出△ACD是等边三角形．32.(2022山东烟台，2,3分)以下是回收、绿色包装、节水、低碳四个标志，其中是中心对称图形的是（）【答案】B【解析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断,A是轴对称图形但不是中心对称图形；B是中心对称图形；C是轴对称图形但不是中心对称图形；D既不是轴对称图形也不是中心对称图形.【方法指导】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的判断方法.轴对称与中心对称图形的识别应该根据二者的定义求解.如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，这个图形叫做轴对称图形.在平面内，一个图形绕着某点旋转180º后，能与自身重合，那么这个图形就叫中心对称图形.33.(2022山东烟台，6,3分)如图，将四边形ABCD先向左平移3个单位，再向上平移2个单位，那么点A的对应点的坐标是（）A.(0，1) B.(6，1)C.(0，－3) D.(6，－3)【答案】A【解析】方法一：∵图形的平移与图形上某点的平移相同，∴首先根据图形可以得到A点的坐标，然后结合图形进行平移即可求解.即根据图形可以得出A点的坐标是（3，-1）向左平移三个单位得到（0，-1），再向上平移2个单位得到的坐标是（0，1）.方法二：首先根据图形可以得到A点的坐标，然后根据点的平移规律，从而确定平移后A42\n点的坐标．即根据图形可以得出A点的坐标是（3，-1），根据点的平移规律左减右加，上加下减即可求解（0，1）【方法指导】此题主要考查图形平移的性质、利用图形变化确定点的坐标.在平面直角坐标系中，如果把一个图形向左或向右平移a（a>0)个单位长度，那么图形上各个点的横坐标都加或减去a；如果把一个图形向上或向下平移a（a>0)个单位长度，那么图形上各个点的纵坐标都加或减去a.34.（2022广东省，9，3分）下列图形中，不是轴对称图形的是【答案】C.【解析】圆是轴对称图形，过圆心的直线是其对称轴；正方形是轴对称图形，对角线所在直线和对边中点所在的直线都是其对称轴；等边三角形也是轴对称图形，过三角形一个顶点和其对边中点的直线是其对称轴；只有平行四边形不存在对称轴，它不是轴对称图形．故答案选C．【方法指导】要判断给定的一些图形是否为轴对称图形，通常都需要根据轴对称的定义逐一作出判断，并且还可以作出其对称轴进行验证．中考中，通常还会将轴对称图形与中心对称图形综合在一起考，解题方法是一样的，关键是抓住定义。35.(2022湖南邵阳,2,3分)下列四个图形中，不是轴对称图形的是（ ） 【答案】：B．【解析】：根据轴对称图形的概念求解．【方法指导】：轴对称图形的判断方法：把某个图象沿某条直线折叠，如果图形的两部分能够重合，那么这个是轴对称图形．36.(湖南株洲,6,3分)下列四种图形都是轴对称图形，其中对称轴条数最多的图形是（）A.等边三角形B.矩形C.菱形D.正方形【答案】：D【解析】：A、等边三角形有3条对称轴；B、矩形有2条对称轴；C、菱形有2条对称轴；D、正方形有4条对称轴；故选D．【方法指导】本题考查了轴对称图形的知识，注意掌握轴对称及对称轴的定义．37．（2022浙江台州，4，4分）下列四个艺术字中，不是轴对称的是（）42\n【答案】：C．【解析】根据轴对称的意义,“金”、“木”、“火”是轴对称图形，“水”不是轴对称。【方法指导】本题考查轴对称的意义。如果一个图形沿着某一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形为轴对称图形，这条直线就是它的对称轴；把一个图形沿着某条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么这两个图形关于这条直线对称，这条直线叫做对称轴。38．(2022浙江湖州,6,3分)在正三角形、等腰梯形、矩形、平行四边形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）A．正三角形B．等腰梯形C．矩形D．平行四边形【答案】C【解析】正三角形、等腰梯形、矩形是轴对称图形；矩形、平行四边形是中心对称图形，故选C。【方法指导】本题考查了中心对称图形和轴对称图形的知识，判断轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．39．（2022江西南昌，10，3分）如图，将△ABC绕点A逆时针旋转一定角度，得到△ADE，若∠CAE=65°，∠E=70°，且AD⊥BC，则∠BAC的度数为（）．A．60°B．75°C．85°D．90°【答案】C【解析】由题意得∠BAD=∠CAE=65°，∠C=∠E=70°，所以∠B=90°-∠BAD=25°所以∠BAC=180°-∠B-∠C=180°-25°-70°=85°【方法指导】解题的关键是运用旋转的性质得到对应角相等，再运用三角形的内角和求得∠BAC的角度．40、（2022深圳，4，3分）如下图，其中是轴对称图形但不是中心对称图形的是（）【答案】B【解析】42\n把一个平面图形沿某条直线对折，如果两部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形。把一个平面图形绕某一点选择180°，如果旋转后的图形能和原图形互相重合，那么这个图形叫做中心对称图形．对照定义，可知A、C、D既是轴对称又是中心对称图形，不符合题意，B是轴对称图形，但不是中心对称图形，故B正确【方法指导】本题考查了轴对称和中心对称图形的定义，只要熟练掌握了定义和图形的特征，容易作答。41．（2022江苏泰州，4，3分）下列标志图中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ）【答案】B．【解析】根据中心对称与轴对称性质进行识别.【方法指导】在识别图案的对称性时，可以借助中心对称、轴对称定义与性质进行观察分析直接解决；另外在可以动手操作的情况下，可以折一折，转一转发现是否对称.42．（2022广东广州，1，4分）在6×6方格中，将图2—①中的图形N平移后位置如图2—②所示，则图形N的平移方法中，正确的是（）图2—①图2—②A.向下移动1格B.向上移动1格C.向上移动2格D.向下移动2格【答案】D.【解析】∵将图2—①中的图形N向下平移2格后位置如图2—②所示，∴答案选D.【方法指导】图形的平移包含两要素，一是平移的方向，二是平移的距离，判断平移的时候，只需要沿平移的“路径”进行平移便可确定其两要素．43．（2022山东德州，2，3分）民族图案数学文化中的一块魔宝，下列图案中，既不是中心对称图形也不是轴对称图形的是（）42\n【答案】C.【解析】根据定义或动手操作可知，选项A只是中心对称图形、B选项既是中心对称图形也是轴对称图形，D选项只轴对称图形，而C选项既不是中心对称图形也不是轴对称图形.【方法指导】本题主要考查了中心对称图形与轴对称图形的定义，是需要熟记的内容．掌握中心对称图形与轴对称图形的概念：轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形；中心对称图形：在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180°，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．44．（2022山东德州，12，3分）如图，动点P从（0，3）出发，沿所示的方向运动，每当碰到矩形的边时反弹，反弹时反射角等于入射角，当点P第2022次碰到矩形的边时，点P的坐标为A、（1，4）B、（5，0）C、（6，4）D、（8，3）【答案】D【解析】如下图，动点P（0，3）沿所示的方向运动，满足反弹时反射角等于入射角，到①时，点P（3，0）；到②时，点P（7，4）；到③时，点P（8，3）；到④时，点P（5，0）；到⑤时，点P（1，4）；到⑥时，点P（3，0），此时回到出发点，继续.......，出现每5次一循环碰到矩形的边.因为2022=402×5+3（2022÷5=402…3）.所以点P第2022次碰到矩形的边时，点P的坐标为（8，3）.故选D.【方法指导】本题考查了图形变换（轴对称）与平面直角坐标系规律探索.以平面直角坐标系为背景，融合轴对称应用的点坐标规律的规律探索题，解题关键从操作中前面几个点的坐标位置变化，猜想、归纳出一般变化规律.45．[2022山东菏泽，2，3分]2.如图，把一个长方形的纸片按图示对折两次，然后剪下一部分，为了得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数应为（ ） A．15°或30° B．30°或45° C．45°或60° D．30°或60°42\n【答案】D【解析】根据两次折叠得到新的折痕，要使得到一个钝角为120°的菱形，剪口与第二次折痕所成角的度数可以为30°或60°【方法指导】本题考查了轴对称性质、菱形的性质.解答过程可以进行动手操作得出结果.这里同时注意菱形的对角线互相垂直且每条对角线平分一组对角性质的运用.46．（2022山东日照，2，3分）下面所给的交通标志图中是轴对称图形的是【答案】A【解析】A是轴对称图形，B是中心对称图形，C、D即不是轴对称图形也不是中心对称图形。【方法指导】本题考查中心对称图形和轴对称图形。如果一个图形绕着它的一个点旋转180度，旋转后的图形能与本身重合，那么这个图形就是中心对称图形。如果一个图形中存在一条直线使这个图形的两部分沿直线折叠后能够重合，那么这个图形就是轴对称图形。47．（2022四川凉山州，6，4分）下列图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是【答案】B.【解析】A是轴对称图形但不是中心对称图形.B既是轴对称图形又是中心对称图形，C、D是中心对称图形但不是轴对称图形。【方法指导】本题考查中心对称图形和轴对称图形。如果一个图形绕着它的一个点旋转180度，旋转后的图形能与本身重合，那么这个图形就是中心对称图形。如果一个图形中存在一条直线使这个图形的两部分沿直线折叠后能够重合，那么这个图形就是轴对称图形。48．（2022广东湛江，12，4分）四张质地、大小相同的卡片上，分别画上如下图所示的四个图形，在看不到图形的情况下从中任意抽出一张，则抽出的卡片是轴对称图形的概率是（）平行四边形等腰梯形圆三角形42\nA．B．C．D．1【答案】A.【解析】由于等腰梯形和圆是轴对称图形，于是抽出的卡片是轴对称图形的概率为：【方法指导】掌握此类问题，需熟练掌握以下知识：（1）轴对称图形的概念：在平面内，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，则这个图形叫轴对称图形，常见的轴对称图形有：等腰三角形，矩形，菱形，正方形，等腰梯形，圆，正多边形等。（2）求简单事件的概率的公式：，其中n为所有事件的总数，m为事件A发生的总次数；49．(2022四川成都，7，3分)如图，将矩形ABCD沿对角线BD折叠，使点C与点C′重合．若AB＝2，则C′D的长为()(A)1(B)2(C)3(D)4【答案】B．【解析】∵矩形的对边相等，∴CD＝AB＝2．∵折叠使得△BDC≌△BDC′，∴C′D＝CD＝2．故选B．【方法指导】折叠可视为对图形进行轴对称变换．折叠前后的两个图形关于折痕所在的直线对称． 二．填空题ABCDB’1C’D’1.（2022江苏南京，11，2分）如图，将矩形ABCD绕点A顺时针旋转到矩形A’B’C’D’的位置，旋转角为a(0°<a<90°)。若Ð1=110°，则Ða=。答案：20解析：错误！不能通过编辑域代码创建对象。，延长错误！不能通过编辑域代码创建对象。交CD于E，则Ð错误！不能通过编辑域代码创建对象。=20°，Ð错误！不能通过编辑域代码创建对象。ED=160°，由四边形的内角和为360°，可得Ða=20°2..（2022江苏南京，12，2分）如图，将菱形纸片ABCD折迭，使点A恰好落在菱形的对称中心O处，折痕为EF。若菱形ABCD的边长为2cm，ÐA=120°，则EF=cm。答案：解析：点A恰好落在菱形的对称中心O处，如图，P为AO中点，所以E为A职点，AE＝1，42\nÐEAO=60°，EP＝错误！不能通过编辑域代码创建对象。，所以，EF＝3．（2022•徐州，13，3分）请写出一个是中心对称图形的几何图形的名称： ．考点：中心对称图形．专题：开放型．分析：常见的中心对称图形有：平行四边形、正方形、圆、菱形，写出一个即可．解答：平行四边形是中心对称图形．故答案可为：平行四边形．点评：本题考查了中心对称图形的知识，同学们需要记忆一些常见的中心对称图形．4．（2022·聊城，16，3分）如图，在等边△ABC中，AB＝6，D是BC的中点，将△ABD绕点A旋转后得到△ACE，那么线段DE的长度为．考点：旋转的性质；等边三角形的判定与性质．分析：首先，利用等边三角形的性质求得AD＝3；然后根据旋转的性质、等边三角形的性质推知△ADE为等边三角形，则DE＝AD．解答：解：如图，∵在等边△ABC中，∠B＝60°，AB＝6，D是BC的中点，∴AD⊥BD，∠BAD＝∠CAD＝30°，∴AD＝ABcos30°＝6×＝3．根据旋转的性质知，∠EAC＝∠DAB＝30°，AD＝AE，∴∠DAE＝∠EAC＋∠BAD＝60°，∴△ADE的等边三角形，∴DE＝AD＝3，即线段DE的长度为3．点评：本题考查了旋转的性质、等边三角形的性质．旋转的性质：旋转前后的两个图形全等，对应点与旋转中心的连线段的夹角等于旋转角，对应点到旋转中心的距离相等． 42\n5.（2022四川乐山，15，3分）如图，小方格都是边长为1的正方形。则以格点为圆心，半径为1和2的两种弧围成的“叶状”阴影图案的面积为▲ 。6.（2022四川绵阳，15，4分）如图，把“QQ”笑脸放在直角坐标系中，已知左眼A的坐标是（-2，3），嘴唇C点的坐标为（-1，1），则将此“QQ”笑脸向右平移3个单位后，右眼B的坐标是（3，3）。15题图［解析］依题，可建立平面直角坐标系，如下图：平移后可得右眼B（3,3）7.（2022四川内江，16，5分）已知菱形ABCD的两条对角线分别为6和8，M、N分别是边BC、CD的中点，P是对角线BD上一点，则PM+PN的最小值= 5 ．42\n考点：轴对称-最短路线问题；菱形的性质．分析：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，求出OC、OB，根据勾股定理求出BC长，证出MP+NP=QN=BC，即可得出答案．解答：解：作M关于BD的对称点Q，连接NQ，交BD于P，连接MP，此时MP+NP的值最小，连接AC，∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∠QBP=∠MBP，即Q在AB上，∵MQ⊥BD，∴AC∥MQ，∵M为BC中点，∴Q为AB中点，∵N为CD中点，四边形ABCD是菱形，∴BQ∥CD，BQ=CN，∴四边形BQNC是平行四边形，∴NQ=BC，∵四边形ABCD是菱形，∴CO=AC=3，BO=BD=4，在Rt△BOC中，由勾股定理得：BC=5，即NQ=5，∴MP+NP=QP+NP=QN=5，故答案为：5．点评：本题考查了轴对称﹣最短路线问题，平行四边形的性质和判定，菱形的性质，勾股定理的应用，解此题的关键是能根据轴对称找出P的位置． 8.（2022贵州安顺，17，4分）如图，在平面直角坐标系中，将线段AB绕点A按逆时针方向旋转90°后，得到线段，则点的坐标为.【答案】：（4，2）.【解析】AB旋转后位置如图所示．B′（4，2）．42\n【方法指导】本题涉及图形旋转，体现了新课标的精神，画出旋转后的图形位置，根据图形求解．抓住旋转的三要素：旋转中心A，旋转方向逆时针，旋转角度90°，通过画图得B′坐标．9．（2022浙江台州，12，5分）设点M（1,2）关于原点的对称点为M/，则M/的坐标为．【答案】：（-1，-2）．【解析】根据中心对称的性质，易得点M（1,2）关于原点的对称点M/为（-1，-2）．【方法指导】本题考查中心对称的性质，在平面直角坐标系中，关于原点对称的两个点，横、纵坐标都互为相反数。10．（2022广东广州，15，3分）如图6，Rt△ABC的斜边AB=16,Rt△ABC绕点O顺时针旋转后得到，则的斜边上的中线的长度为_____________.【答案】8.【解析】旋转是全等变换，所以所以Rt△ABC与全等，且=CD，∵Rt△ABC的斜边AB=16，∴CD=8，∴=8，答案填8.【方法指导】在几何图形变换中，平移、轴对称、对折、旋转、中心对称等都是全等变换，所以，对应边、对应角、对应边的中线、高和对应角平分线等都相等．11．（2022山东菏泽，13，3分）如图，YABCD中，对角线AC与BD相交于点E，∠AEB=45°，BD=2，将△ABC沿AC所在直线翻折180°到其原来所在的同一平面内，若点B的落点记为B′，则DB′的长为________________.42\n【答案】【解析】将△ABC沿AC所在直线翻折180°，有对应线段BE=B′E，对应角∠AEB=∠AEB′=45°，∴∠BEB′=∠DEB′=90°，∵BE=DE=B′E=1，∴在Rt△DEB′中，DB′=.故填.【方法指导】本题考查了轴对称、平行四边形性质.解题关键抓住对应边、对应角相等为突破口.三．解答题1．（2022广西钦州，21，6分）如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点都在格点上，点A的坐标为（2，4），请解答下列问题：（1）画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1，并写出点A1的坐标．（2）画出△A1B1C1绕原点O旋转180°后得到的△A2B2C2，并写出点A2的坐标．考点：作图-旋转变换；作图-轴对称变换．3718684分析：（1）分别找出A、B、C三点关于x轴的对称点，再顺次连接，然后根据图形写出A点坐标；（2）将△A1B1C1中的各点A1、B1、C1绕原点O旋转180°后，得到相应的对应点A2、B2、C2，连接各对应点即得△A2B2C2．解答：解：（1）如图所示：点A1的坐标（2，﹣4）；（2）如图所示，点A2的坐标（﹣2，4）．42\n点评：本题考查图形的轴对称变换及旋转变换．解答此类题目的关键是掌握旋转的特点，然后根据题意找到各点的对应点，然后顺次连接即可．2．（2022湖北孝感，20，8分）如图，已知△ABC和点O．（1）把△ABC绕点O顺时针旋转90°得到△A1B1C1，在网格中画出△A1B1C1；（2）用直尺和圆规作△ABC的边AB，AC的垂直平分线，并标出两条垂直平分线的交点P（要求保留作图痕迹，不写作法）；指出点P是△ABC的内心，外心，还是重心？考点：作图-旋转变换；作图—复杂作图．分析：（1）分别得出△ABC绕点O顺时针旋转90°后的对应点坐标，进而得到△A1B1C1，（2）根据垂直平分线的作法求出P点即可，进而利用外心的性质得出即可．解答：解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）如图所示；点P是△ABC的外心．点评：此题主要考查了复杂作图，正确根据垂直平分线的性质得出P点位置是解题关键．42\n3．（2022湖南郴州，19，6分）在图示的方格纸中（1）作出△ABC关于MN对称的图形△A1B1C1；（2）说明△A2B2C2是由△A1B1C1经过怎样的平移得到的？考点：作图-轴对称变换；作图-平移变换．专题：作图题．分析：（1）根据网格结构找出点A、B、C关于MN的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）根据平移的性质结合图形解答．解答：解：（1）△A1B1C1如图所示；（2）向右平移6个单位，再向下平移2个单位（或向下平移2个单位，再向右平移6个单位）．点评：本题考查了利用轴对称变换作图，利用平移变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置以及变化情况是解题的关键．4．（2022湖南张家界，19，6分）如图，在方格纸上，以格点连线为边的三角形叫做格点三角形，请按要求完成下列操作：先将格点△ABC绕A点逆时针旋转90°得到△A1B1C1，再将△A1B1C1沿直线B1C1作轴反射得到△A2B2C2．42\n考点：作图-旋转变换；作图-轴对称变换．3718684分析：△ABC绕A点逆时针旋转90°得到△A1B1C1，△A1B1C1沿直线B1C1作轴反射得出△A2B2C2即可．解答：解：如图所示：点评：此题主要考查了图形的旋转变换以及轴对称图形，根据已知得出对应点位置是解题关键．5．（2022湖南娄底，23，9分）某校九年级学习小组在探究学习过程中，用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），如图（2），AE与BC交于点M，AC与EF交于点N，BC与EF交于点P．（1）求证：AM=AN；（2）当旋转角α=30°时，四边形ABPF是什么样的特殊四边形？并说明理由．考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；菱形的判定．3718684分析：（1）根据旋转的性质得出AB=AF，∠BAM=∠FAN，进而得出△ABM≌△AFN得出答案即可；（2）利用旋转的性质得出∠FAB=120°，∠FPC=∠42\nB=60°，即可得出四边形ABPF是平行四边形，再利用菱形的判定得出答案．解答：（1）证明：∵用两块完全相同的且含60°角的直角三角板ABC与AFE按如图（1）所示位置放置放置，现将Rt△AEF绕A点按逆时针方向旋转角α（0°＜α＜90°），∴AB=AF，∠BAM=∠FAN，在△ABM和△AFN中，，∴△ABM≌△AFN（ASA），∴AM=AN；（2）解：当旋转角α=30°时，四边形ABPF是菱形．理由：连接AP，∵∠α=30°，∴∠FAN=30°，∴∠FAB=120°，∵∠B=60°，∴AF∥BP，∴∠F=∠FPC=60°，∴∠FPC=∠B=60°，∴AB∥FP，∴四边形ABPF是平行四边形，∵AB=AF，∴平行四边形ABPF是菱形．点评：此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定和全等三角形的判定等知识，根据旋转前后图形大小不发生变化得出是解题关键．6．（2022·潍坊，22，11分）如图1所示，将一个边长为2的正方形和一个长为2、宽为1的长方形拼在一起，构成一个大的长方形．现将小长方形绕点顺时针旋转至，旋转角为．（1）当点恰好落在边上时，求旋转角的值；（2）如图2，为的中点，且0°＜＜90°，求证：；（3）小长方形绕点顺时针旋转一周的过程中，与42\n能否全等？若能，直接写出旋转角的值；若不能，说明理由．答案：(1)∵DC//EF，∴∠DCD′＝∠CD′E＝∠CD′E＝α．∴sinα＝，∴α＝30°(2)∵G为BC中点，∴GC＝CE′＝CE＝1，∵∠D′CG＝∠DCG＋∠DCD′＝90°＋α，∠DCE′＝∠D′CE′＋∠DCD′＝90°＋α，∴∠D′CG＝∠DCE′又∵CD′＝CD，∴△GCD′≌△E′CD，∴GD′＝E′D(3)能．α＝135°或α＝315°考点：图形的旋转、三角函数、解直角三角形、全等三角形的判定点评：本题依据学生的认知规律，从简单特殊的问题入手，将问题向一般进行拓展、变式，通过操作、观察、计算、猜想等获得结论．此类问题综合性较强，要完成本题学生需要有较强的类比、迁移、分析、变形应用、综合、推理和探究能力．7.（2022四川巴中，24，10分）△ABC在平面直角坐标系xOy中的位置如图所示．（1）作△ABC关于点C成中心对称的△A1B1C1．（2）将△A1B1C1向右平移4个单位，作出平移后的△A2B2C2．（3）在x轴上求作一点P，使PA1+PC2的值最小，并写出点P的坐标（不写解答过程，直接写出结果）考点：作图-旋转变换；轴对称-最短路线问题；作图-平移变换．分析：（1）延长AC到A1，使得AC=A1C1，延长BC到B1，使得BC=B1C1，即可得出图象；（2）根据△A1B1C1将各顶点向右平移4个单位，得出△A2B2C2；（3）作出A1的对称点A′，连接A′C2，交x轴于点P，再利用相似三角形的性质求出P点坐标即可．解答：解；（1）如图所示：42\n（2）如图所示：（3）如图所示：作出A1的对称点A′，连接A′C2，交x轴于点P，可得P点坐标为：（，0）．点评：此题主要考查了图形的平移与旋转和相似三角形的性质等知识，利用轴对称求求最小值问题是考试重点，同学们应重点掌握． 8．（2022黑龙江省哈尔滨市，22）如图。在每个小正方形的边长均为1个单位长度的方格纸中,有线段AB和直线MN，点A、B、M、N均在小正方形的顶点上．(1)在方格纸中画四边形ABCD(四边形的各顶点均在小正方形的顶点上)，使四边形ABCD是以直线MN为对称轴的轴对称图形，点A的对称点为点D，点B的对称点为点C；(2)请直接写出四边形ABCD的周长．考点：轴对称图形；勾股定理；网格作图；分析：（1）根据轴对称图形的性质，利用轴对称的作图方法来作图，（2）利用勾股定理求出AB、BC、CD、AD四条线段的长度，然后求和即可最解答：(1)正确画图(2)42\n9．（2022贵州省六盘水，24，10分）（1）观察发现如图（1）：若点A、B在直线m同侧，在直线m上找一点P，使AP+BP的值最小，做法如下：作点B关于直线m的对称点B′，连接AB′，与直线m的交点就是所求的点P，线段AB′的长度即为AP+BP的最小值．如图（2）：在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点，AD是高，在AD上找一点P，使BP+PE的值最小，做法如下：作点B关于AD的对称点，恰好与点C重合，连接CE交AD于一点，则这点就是所求的点P，故BP+PE的最小值为 ．（2）实践运用如图（3）：已知⊙O的直径CD为2，的度数为60°，点B是的中点，在直径CD上作出点P，使BP+AP的值最小，则BP+AP的值最小，则BP+AP的最小值为 ．（3）拓展延伸如图（4）：点P是四边形ABCD内一点，分别在边AB、BC上作出点M，点N，使PM+PN的值最小，保留作图痕迹，不写作法．42\n考点：圆的综合题；轴对称-最短路线问题分析：（1）观察发现：利用作法得到CE的长为BP+PE的最小值；由AB=2，点E是AB的中点，根据等边三角形的性质得到CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，再根据含30度的直角三角形三边的关系得CE=；（2）实践运用：过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，根据垂径定理得到CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，则AE的长就是BP+AP的最小值；由于的度数为60°，点B是的中点得到∠BOC=30°，∠AOC=60°，所以∠AOE=60°+30°=90°，于是可判断△OAE为等腰直角三角形，则AE=OA=；（3）拓展延伸：分别作出点P关于AB和BC的对称点E和F，然后连结EF，EF交AB于M、交BC于N．解答：解：（1）观察发现如图（2），CE的长为BP+PE的最小值，∵在等边三角形ABC中，AB=2，点E是AB的中点∴CE⊥AB，∠BCE=∠BCA=30°，BE=1，∴CE=BE=；故答案为；（2）实践运用如图（3），过B点作弦BE⊥CD，连结AE交CD于P点，连结OB、OE、OA、PB，∵BE⊥CD，∴CD平分BE，即点E与点B关于CD对称，∵的度数为60°，点B是的中点，∴∠BOC=30°，∠AOC=60°，∴∠EOC=30°，∴∠AOE=60°+30°=90°，∵OA=OE=1，∴AE=OA=，∵AE的长就是BP+AP的最小值．故答案为；（3）拓展延伸如图（4）．点评：本题考查了圆的综合题：弧、弦和圆心角之间的关系以及圆周角定理在有关圆的几何证明中经常用到，同时熟练掌握等边三角形的性质以及轴对称﹣最短路径问题．42\n 10．（2022重庆市(A)，20，7分）作图题：（不要求写作法）如图，△ABC在平面直角坐标系中，其中点A、B、C的坐标分别为A（－2，1），B（－4，5），C（－5，2）．（1）作△ABC关于直线l：x＝－1对称的△A1B1C1，其中，点A、B、C的对应顶点分别为A1、B1、C1；（2）写出点A1、B1、C1的坐标．【答案】解：（1）如图，画△A1B1C1．标出字母．（2）A1（0，1）、B1（2，5）、C1（3，2）．【解析】（1）根据网格结构找出点A、B、C关于直线l的对称点A1、B1、C1的位置，然后顺次连接即可；（2）直接根据平面直角坐标系写出点A1、B1、C1的坐标．【方法指导】本题考查在网格背景下的平面直角坐标系中轴对称作图，求点的坐标．理解与掌握轴对称的定义及性质是解题关键．解答时，必须将对称轴搞清楚，然后按照先垂直，后相等作出对称点即可．11．（2022湖南益阳，20，10分）如图8，在中，，，的平分线交于．（1）求证：；（2）如图8（2），过点作∥交于,将绕点逆时针旋转角42\n得到，连结,，求证：；（3）在（2）的旋转过程中是否存在∥？若存在，求出相应的旋转角；若不存在，请说明理由．图8【思路分析】（1）根据条件可以求出图形中所有角，再根据“等角对等边”可以得出AE=BE=BC；（2）要证，只要证得≌即可；（3）通过操作可以发现存在两个位置，使∥。先把这两个位置的点作出来。【答案】：解：（1）证明：∵，，∴,又平分，∴，∴∴，，∴，，∴.（2）∵且∥，∴；由旋转的性质可知：，，∴≌，∴.（3）存在∥，由（1）可知，所以，在绕点逆时针旋转过程中，点经过的路径(圆弧)与过点且与平行的直线交于M、N两点，如图．①当点的像与点重合时，则四边形为等腰梯形，36°BCAEF第20题解图∴，又，∴．②当点的像与点重合时，由得，，∵，∴，∴，∴．所以，当旋转角为或时，∥．【方法指导】本题是一道很好的几何综合题，上手较易，第（1）题主要考查三角形的基本知识；第（2）题主要考查旋转的性质、全等三角形的知识；第（3）题有一定的区分度，但只要认真操作一下，是可以找到解决问题的路径的。采用“交点法”42\n，先把符合条件的点确定出来，再根据图形的特殊性求出旋转角（其中等腰梯形判定和性质在本题中运用非常巧妙）。12（2022四川宜宾，21，7分）如图，已知△ABC的三个顶点的坐标分别为A(-2．3)、B(-6，0)、C(-1，0)(1)请直接写出点A关于y轴对称点的坐标；(2)将△ABC绕坐标原点O逆时针旋转90°．画出图形，直接写出点B的对应点的坐标；(3)请直接写出：以A、B、C为顶点的平行四边形的第四个顶点D的坐标．【思路分析】（1）关于y轴对称的点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标相同.（2）画出顶点A,B,C绕坐标原点O逆时针旋转90°的对应点，连接三个对应点.（3）分情况讨论①以AB为边；②以AB为对角线【解】 (1) (2，3)； (2)图形略． (0，-6)． (3)(-7，3)或(-5，-3)或(3，3)【方法指导】关于x轴对称的点的坐标横坐标相同，纵坐标互为相反数；关于y轴对称的点的坐标横坐标互为相反数，纵坐标相同；关于原点对称的点的坐标横纵坐标都互为相反数，应掌握以上特点.画出平移或旋转的图形时应先画出顶点或端点的对应点而后连接起来即可.13．（2022重庆，20，7分）如图，在边长为1的小正方形组成的10×10网格中（我们把组成网格的小正方形的顶点称为格点），四边形ABCD在直线的左侧，其四个顶点A，B，C，D分别在网格的顶点上．(1)请你在所给的网格中画出四边形A′B′C′D′，使四边形A′B′C′D′和四边形ABCD关于直线对称，其中点A′，B′，C′，D′分别是点A，B，C，D的对称点；(2)在（1）的条件下，结合你所画的图形，直接写出线段A′B′的长度．42\n【思路分析】（1）根据对称点到对称轴的距离相等，分别作出A，B，C，D的对称点A′，B′，C′，D′；（2）在格点直角三角形中应用勾股定理求出线段A′B′的长度.【解】解：(1)如图：（2）结合图形可得A′B′==．【方法指导】本题考查了轴对称作图，需要掌握关于轴对称的对称点与对称轴的关系；同时考查了在格点直角三角形中应用勾股定理求线段长．轴对称的基本作图步骤是：（1）先找出已知图形中能够确定形状的关键点，如顶点、端点或中点等；（2）分别过这些关键点向对称轴作垂线，并延长至另一侧，使其两侧的线段相等，得到的点为这些关键点的对称点；（3）顺次连接作出的点，即可得到已知图形的对称图形．当然，作格点图形的对称图形，可以用数格点法显得简单．14．（2022江西南昌，20，6分）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数(x>0)的图象和矩形ABCD的第一象限，AD平行于x轴，且AB=2，AD=4，点A的坐标为(2，6)．（1）直接写出B、C、D三点的坐标；42\n（2）若将矩形向下平移，矩形的两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上，猜想这是哪两个点，并求矩形的平移距离和反比例函数的解析式．【思路分析】先根据矩形的对边平行且相等的性质得到B、C、D三点的坐标，再从矩形的平移过程发现只有A、C两点能同时在双曲线上（这是种合情推理，不必证明），把A、C两点坐标代入y=中，得到关于a、k的方程组从而求得k的值．[解]（1）B（2，4），C（6，4），D（6，6）如图，矩形ABCD平移后得到矩形A′B′C′D′，设平移距离为a，则A′（2，6－a），C′（6，4－a）∵点A′，点C′在y=的图象上，∴2(6－a)=6(4－a)，解得a=3，∴点A′（2，3），∴反比例函数的解析式为y=．【方法指导】把线段的长转化为点的坐标，在求k的值的时候，由于k的值等于点的横坐标与纵坐标之积，所以直接可得方程2(6－a)=6(4－a)，求出a后再由坐标求k，实际上也可把A、C两点坐标代入y=中，得到关于a、k的方程组从而直接求得k的值.15．（2022广东广州，20，10分）已知四边形ABCD是平行四边形（如图9），把△ABD沿对角线BD翻折180°得到△AˊBD.（1）利用尺规作出△AˊBD.（要求保留作图痕迹，不写作法）；（2）设DAˊ与BC交于点E，求证：△BAˊE≌△DCE.42\n【思路分析】作翻折180°的图形，实际上就是作轴对称的全等三角形，可以根据“SSS”的原理，因为已经公用一条边，所以只需作出AB与AD的对应边即可。由平行四边形的对边平行和对边相等的性质可以找到三角形全等的条件，进而可以证三角形全等.【解】（1）如图，△AˊBD即为所求。（2）因为四边形ABCD是平行四边形所以∠A=∠C，AB=CD又由作图可知∠A`=∠C，BA`=DC在△BAˊE和△DCE中【方法指导】解决含有轴对称的几何问题时，往往要利用轴对称图形全等的性质，即轴对称的图形对应边相等且对应角相等，比如本题，由平行四边形的性质得到对角相等和对边相等之后，就要利用轴对称图形的性质转化得到所证三角形的对应边相等和对应角相等.16．（2022山东日照，20，10分）（本题满分10分）问题背景:如图（a）,点A、B在直线l的同侧，要在直线l上找一点C，使AC与BC的距离之和最小，我们可以作出点B关于l的对称点B′,连接AB′与直线l交于点C，则点C即为所求.42\n（1）实践运用：如图(b)，已知，⊙O的直径CD为4，点A在⊙O上，∠ACD=30°，B为弧AD的中点，P为直径CD上一动点，则BP+AP的最小值为__________．（2）知识拓展：如图(c)，在Rt△ABC中，AB=10，∠BAC=45°，∠BAC的平分线交BC于点D，E、F分别是线段AD和AB上的动点，求BE+EF的最小值，并写出解答过程．【思路分析】利用问题背景所给出的信息就可以得到一个求最小的值的方法，然后在利用这个方法解决相应的问题。【解】…………………4分（2）解：如图，在斜边AC上截取AB′=AB,连结BB′.∵AD平分∠BAC，∴点B与点B′关于直线AD对称.…………6分过点B′作B′F⊥AB,垂足为F,交AD于E，连结BE,则线段B′F的长即为所求.(点到直线的距离最短)………8分在Rt△AFB/中，∵∠BAC=450,AB/=AB=10，，∴BE+EF的最小值为.………………10分【方法指导】本题是一道信息题，要利用所给的信息去解决相应的问题，如果看弄清楚所给的信息了，这种问题还是比较简单的。42\n17．（2022四川凉山州，21，8分）如图，与关于点中心对称，点、在线段上，且。求证：。【思路分析】要证明的两条线段分别在两个三角形中，只要证明这两个三角形全等，利用全等三角形的性质就可证明。【解】证明：如图，∵与关于点中心对称，∴≌。∴OA=OD，OB=OD。∵，∴OA-AF=OC-CE。即OF=OE.∵∠FOD=∠EOB,∴△FOD≌△EOB,∴FD=BE.【方法指导】证明线段相等时,如果在一个三角形中可证明这个三角形是等腰三角形,如果没有在一个三角形中,可以证明这两条线段所在的两个三角形全等,还可以通过这两条线段都与第三条线段相等,从而证明这两打线段.在遇到问题.18．(2022四川成都，17，8分)如图，在边长为1的小正方形组成的方格纸上，将△ABC绕着点A顺时针旋转90°．(1)画出旋转后的△AB′C′；(2)求线段AC在旋转过程中所扫过的扇形的面积．【思路分析】点A是旋转中心，旋转前后点A的位置不变．点C依题意旋转后在点A左边两个单位处；然后根据点B，C的位置关系(即∠C＝90°且BC＝1)确定点B旋转后的位置．【解】(1)如图1；(2)线段AC在旋转过程中所扫过的扇形的面积＝S扇形ACC′＝＝π．【方法指导】旋转图形有三个要素：(1)旋转点；(2)旋转方向；(3)旋转角．画旋转图形的关键是确定各顶点旋转后的位置．旋转前后各顶点相互之间的位置关系保持不变．利用这种不变性，可快速确定某些顶点旋转后的位置．42
