图形的变换（图形的平移、旋转与轴对称）一、选择题1、（2022年安徽凤阳模拟题二）下列电视台图标中，属于中心对称图形的是（）A.B.C.D.答案：D.第1题图2、(2022年湖北荆州模拟6)如图，已知一张纸片□，，点是的中点，点是上的一个动点，沿将纸片折叠，使点落在纸片上的点处，连结，则下列各角中与不一定相等的是（ ▲ ）A.∠FEGB.∠EAF C.∠AEFD.∠EFA答案：C3、（2022年聊城莘县模拟）下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）．ABCD答案：D4、（2022届宝鸡市金台区第一次检测）将下列图形绕其对角线的交点逆时针旋转90°，所得图形一定与原图形重合的是（）A．平形四边形B．矩形C．菱形D．正方形答案：D5、（2022年上海长宁区二模)下列图形中，中心对称图形是（）答案：B38\n6、（2022浙江东阳吴宇模拟题）下列图形中，为轴对称图形的是（）(A)(B)(C)(D)答案：D7、ABCA'B'C'MNO（第1题）(2022年江苏南京一模)如图，若△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，BB'交MN于点O，则下列说法中不一定正确的是A．AC＝A'C'B．AB∥B'C'C．AA'⊥MND．BO＝B'O答案：B8、如图，在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于点D，F，下列结论：①∠CDF=；②A1E=CF；③DF=FC；④BE=BF．其中正确的有（c）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③9.下列电视台图标中，属于中心对称图形的是（D）A.B.C.D.10.在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是(A)A.B.C.D.11.如图，D是等腰Rt△ABC内一点，BC是斜边，如果将△ABD绕点A逆时针方向旋转到△ACD′的位置，则∠ADD′的度数是(D)38\n(A)25°．(B)30°．(C)35°．(D)45°．12.如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转45°后得到△A′OB′，若∠AOB＝15°，则∠AOB′的度数是（B）．A.25°B.30°C.35° D.40°13、（2022杭州江干区模拟）下列各组图形，可以经过平移变换由一个图形得到另一个图形的是A．B．C．D．【答案】A14.（2022杭州江干区模拟）如图，在△ABC中，∠ACB=100°，∠B=60°．在同一平面内，将△ABC绕点C旋转到△A′B′C的位置，设旋转角为（0°<<180°）．若∥AB，则旋转角的度数为第7题图【答案】D3.（2022云南勐捧中学模拟）下列图形中,既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A.等边三角形B.平行四边形C.等腰梯形D.菱形【答案】D15、（2022年广州省惠州市模拟）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（ ）38\n(c)（A）（B）(D)答案：B16、（2022年广东省珠海市一模）将点P（﹣4，3）先向左平移2个单位，再向下平移2个单位得点P′，则点P′的坐标为 A．（﹣2，5）B．（﹣6，1）C．（﹣6，5）D．（﹣2，1）答案：B17、（2022年广东省珠海市一模）下面的图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是 A．B．C．D．答案：C18、(2022年广东省中山市一模)在下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()答案：C19、（2022年广东省珠海市一模）如图，P为平行四边形ABCD的对称中心，以P为圆心作圆，过P的任意直线与圆相交于点M，N．则线段BM，DN的大小关系是 A．BM＞DNB．BM＜DNC．BM=DND．无法确定题7图题10图答案：C20、(2022浙江永嘉一模)（第1题图）10．如图，在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC，BC于点D，F，下列结论：①∠CDF=；②A1E=CF；③DF=FC；④BE=BF．其中正确的有（▲）A．②③④B．①③④C．①②④D．①②③【答案】C38\n21、（2022重庆一中一模）3．下面图形中，是中心对称图形的是A．B．C．D．【答案】D22、（2022重庆一中一模）12．如图，平面直角坐标系中，在轴上，，点的坐标为（1，2），将绕点逆时针旋转，点的对应点恰好落在双曲线上，则的值为A．2B．3C．4D．6【答案】B23、（2022山东德州特长展示）如图，把一个长方形的纸片对折两次，然后剪下一个角，为了得到一个钝角为100° 的菱形，剪口与折痕所成的角的度数应为（ ）A．25°或50°B．20°或50°C．40°或50°D．40°或80°C24、（2022凤阳县县直义教教研中心）．下列图形既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（）．ABCDD25、(2022年福州市初中毕业班质量检查)下列学习用具中，不是轴对称图形的是12340123401234056ABCD38\nC26、（2022河南沁阳市九年级第一次质量检测）如图，把△ABC绕着点C顺时针旋转30°，得到△A′B′C，A′B′交AC于点D，若∠A′DC＝90°，则∠A的度数是【】A.30°B.50°C.60°D.80°C27．（2022年上海静安区二摸）一个图形沿一条直线翻折后再沿这条直线的方向平移，我们把这样的图形运动称为图形的翻移，这条直线称为翻移线．如图△是由△沿直线翻移后得到的．在下列结论中，图形的翻移所具有的性质是（A）各对应点之间的距离相等CAA2B2C2BA1C1B1（B）各对应点的连线互相平行（C）对应点连线被翻移线平分（D）对应点连线与翻移线垂直答案：C（第6题图）28．（2022年上海浦东新区二摸）下列图形中，是旋转对称但不是中心对称图形的是（A）线段；（B）正五边形；（C）正八边形；（D）圆．答案：B29、（2022年唐山市二模）已知平面直角坐标系中两点(－1，O)、B(1，2)．连接AB，平移线段A8得到线段，若点A的对应点的坐标为(2，一1)，则B的对应点B1的坐标为（）A.(4，3)B．(4，1)C．(一2，3)D．(一2，1)答案：B38\n30、（2022年湖北宜昌调研）下列图形中，中心对称图形是（）（A）（B）（C）（D）答案：D二、填空题1、(2022年湖北荆州模拟6)下面图形：正三角形、正方形、等腰梯形、平行四边形、圆，从中任取一个图形一定既是轴对称图形，又是中心对称图形的概率是 ▲ ．答案：0.42、（2022年上海奉贤区二模）如图，在中，，，，点M是AB边的中点，将绕着点M旋转，使点C与点A重合，点A与点D重合，点B与点E重合，得到，且AE交CB于点P，那么线段CP的长是▲；答案：3.、（2022年上海长宁区二模)如图所示，将边长为2的正方形纸片折叠，折痕为EF，顶点A恰好落在CD边上的中点P处，B点落在点Q处，PQ与CF交于点G.设C1为△PCG的周长，C2为△PDE的周长，则C1:C2=.38\n答案：4:34、（2022年上海长宁区二模)若将抛物线沿着x轴向左平移1个单位，再沿y轴向下平移2个单位，则得到的新抛物线的顶点坐标是.答案：(0,－2)5、（2022沈阳一模）如图，在平面直角坐标系中，△ABC经过平移后点A的对应点为点A′,则平移后点B的对应点B′的坐标为.答案：（﹣2，1）(第15题图)6.（2022浙江锦绣·育才教育集团一模）如图，已知点A(1，0)、B(7，0)，⊙A、⊙B的半径分别为1和2，当⊙A与⊙B相切时，应将⊙A沿轴向右平移▲个单位.答案：3或5或7或9（第1题）BCD（A）Oxy7、(2022年江苏南京一模)如图，在平面直角坐标系中，□ABCD的顶点A、B、D的坐标分别是（0，0）、（5，0）、（2，3），则点C的坐标是▲．答案：（7，3）38\n8、(2022年广东省佛山市模拟)如图，将含30°角的直角三角尺ABC绕点B顺时针旋转150°后得到△EBD，连结CD.若AB=4cm.则△BCD的面积为 （模拟改编）答案：9、(2022年福州市初中毕业班质量检查)如图，边长为6的等边三角形ABC中，E是对称轴AD上的一个动点，连接EC，将线段EC绕点C逆时针旋转60°得到FC，连接DF．则在点E运动过程中，DF的最小值是____.1.5ABCDEF方形ABCD沿直线EF折叠，则图中阴影部分的周长为（）A．8B．4C．8D．6答案：C、13.（2022年上海静安区二摸）在△ABC中，∠A＝40º，△ABC绕点A旋转后点C落在边AB上的点C’，点B落到点B’，如果点C、C’、B’在同一直线上，那么∠B的度数是▲．答案：14．（2022年上海闵行区二摸）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=50°，点D、E分别在边AB、BC上，将△BDE沿直线DE翻折，点B与点F重合，如果∠ADF=45°，那么∠CEF=▲度．ACBDEF（第18题图）38\n答案：3515．（2022年上海浦东新区二摸）如图，将面积为12的△ABC沿BC方向平移至△DEF的位置，平移的距离是边BC长的两倍，那么图中的四边形ACED的面积为▲．第17题图答案：3616、（2022年广西梧州地区一模）如图，△ABC的3个顶点都在5×5的网格（每个小正方形的边长均为1个单位长度）的格点上，将△ABC绕点B顺时针旋转到△的位置，且点、仍落在格点上，则线段AB扫过的图形面积是★平方单位（结果保留π）。答案：（13/4）π17、（2022年吉林沈阳模拟）如图，四边形ABCD中，∠BAD＝120°，∠B＝∠D＝90°，在BC、CD上分别找一点M、N，使△AMN周长最小时，则∠AMN＋∠ANM的度数是.38\n答案：120°18.如图，在平面直角坐标系中，△ABC经过平移后点A的对应点为点A′,则平移后点B的对应点B′的坐标为.答案：（﹣2，1）三、解答题1、（2022年湖北荆州模拟题）如图，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC于ACBDENM点D，将△ADC绕点A顺时针旋转，使AC与AB重合，点D落在点E处，AE的延长线交CB的延长线于点M，EB的延长线交AD的延长线于点N．请猜想线段ＡＭ与ＡＮ的数量关系，并加以证明．解：猜想ＡＭ＝ＡＮ证明：∵△AEB由△ADC旋转而得，∴△AEB≌△ADC．∴∠EAB＝∠CAD，∠EBA＝∠C．∵AB＝AC，AD⊥BC，∴∠BAD＝∠CAD，∠ABC＝∠C．∴∠EAB＝∠DAB，∠EBA＝∠DBA．∵∠EBM＝∠DBN，∴∠MBA＝∠NBA．又∵AB＝AB，∴△AMB≌△ANB．∴AM＝AN．2、（2022年安徽模拟二）在如图所示的方格图中．根据图形，解决下面的问题：ABCba第2题图（1）把以为中心，顺时针方向旋转38\n，再向右平移5小格得到，画出（不写作法）；（2）如果以直线为坐标轴建立平面直角坐标系后，点的坐标为，请写出各顶点的坐标．解：（1）作图（略）；（2）．3.（2022年安徽凤阳模拟题二）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，按要求画出△A1B1C1和△A2B2C2；（1）先作△ABC关于直线成轴对称的图形，再向上平移1个单位，得到△A1B1C1；（2）以图中的O为位似中心，将△A1B1C1作位似变换且放大到原来的两倍，得到△A2B2C2．解：如图：每个图形4分。38\n4.（2022年安徽凤阳模拟题三）、如图所示，正方形网格中，为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．（1）把沿方向平移后，点移到点，在网格中画出平移后得到的；（2）把绕点按逆时针方向旋转，在网格中画出旋转后的；（3）如果网格中小正方形的边长为1，求点经过（1）、（2）变换的路径总长．ABCA1解：图（略）（2）解：图（略）（3）解：点所走的路径总长．5.（2022年北京龙文教育一模）阅读下面材料：问题：如图①，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=45°，DC=2．求BD的长．小明同学的解题思路是：利用轴对称，把△ADC进行翻折，再经过推理、计算使问题得到解决．38\n（1）请你回答：图中BD的长为；（2）参考小明的思路，探究并解答问题：如图②，在△ABC中，D是BC边上的一点，若∠BAD=∠C=2∠DAC=30°，DC=2，求BD和AB的长．图①图②答案：解：（1）.……………………………………………………………………1分（2）把△ADC沿AC翻折，得△AEC，连接DE，∴△ADC≌△AEC.∴∠DAC=∠EAC，∠DCA=∠ECA，DC＝EC.∵∠BAD=∠BCA=2∠DAC=30°，∴∠BAD=∠DAE=30°，∠DCE=60°.∴△CDE为等边三角形.……………………2分∴DC＝DE.在AE上截取AF＝AB，连接DF，∴△ABD≌△AFD.∴BD＝DF.在△ABD中，∠ADB=∠DAC＋∠DCA=45°，∴∠ADE=∠AED=75°，∠ABD=105°.∴∠AFD=105°.∴∠DFE=75°.∴∠DFE=∠DEF.∴DF＝DE.∴BD＝DC＝2.…………………………………………………………………3分作BG⊥AD于点G，∴在Rt△BDG中，.……………………………………………4分∴在Rt△ABG中，.……………………………………………5分38\n6．（2022年北京龙文教育一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，tan∠BAC=.点D在边AC上（不与A，C重合），连结BD，F为BD中点.（1）若过点D作DE⊥AB于E，连结CF、EF、CE，如图1．设，则k=；（2）若将图1中的△ADE绕点A旋转，使得D、E、B三点共线，点F仍为BD中点，如图2所示．求证：BE-DE=2CF；（3）若BC=6，点D在边AC的三等分点处，将线段AD绕点A旋转，点F始终为BD中点，求线段CF长度的最大值．答案：解：（1）k=1；…………………1分（2）如图2，过点C作CE的垂线交BD于点G，设BD与AC的交点为Q.由题意，tan∠BAC=，∴.∵D、E、B三点共线，∴AE⊥DB.∵∠BQC=∠AQD，∠ACB=90°,∴∠QBC=∠EAQ.∵∠ECA+∠ACG=90°，∠BCG+∠ACG=90°，∴∠ECA=∠BCG.∴.∴.∴GB=DE.∵F是BD中点，38\n∴F是EG中点.在中，,∴..……………4分（3）情况1：如图，当AD=时，取AB的中点M，连结MF和CM，∵∠ACB=90°，tan∠BAC=，且BC=6,∴AC=12，AB=.∵M为AB中点，∴CM=,∵AD=，∴AD=.∵M为AB中点，F为BD中点，∴FM==2.∴当且仅当M、F、C三点共线且M在线段CF上时CF最大，此时CF=CM+FM=..…………………………….……………………………5分情况2：如图，当AD=时，取AB的中点M，连结MF和CM，类似于情况1，可知CF的最大值为.………6分综合情况1与情况2，可知当点D在靠近点C的三等分点时，线段CF的长度取得最大值为.7分7、(2022年安徽省模拟六)如图的网格中，每个小正方形的边长均为1，⊿ABC的顶点A的坐标是（0，2），B点的坐标是（－2，1）.（1）根据A、B两点的坐标建立直角坐标系.（2）在网格中作出⊿ABC围绕着坐标原点O顺时针旋转90°后的⊿A1B1C1，并写出点A1的坐标.（3）在网格中作出⊿A1B1C1以原点O为位似中心的位似图形⊿A2B2C238\n，位似比为1:2，并写出点A2的坐标.答案：解：（1）作图如图所示.（2分）（2）作图如图所示，A1（2，0）.（4分）（3）作图如图所示，A2（4，0）或A2（－4，0）.（8分）8、(2022年安徽省模拟七)每个小方格是边长为1个单位长度的小正方形，菱形OABC在平面直角坐标系的位置如图所示．（1）以O为位似中心，在第一象限内将菱形OABC放大为原来的2倍得到菱形OA1B1C1，请画出菱形OA1B1C1，并直接写出点B1的坐标；（2）将菱形OABC绕原点O顺时针旋转90°菱形OA2B2C2，请画出菱形OA2B2C2，并求出点B旋转到点B2的路径长．第2题图第2题答案图答案：解析：（1）如图所示：由点B1在坐标系中的位置可知，B1（8，8）；（3分）（2）如图所示：（5分）38\n∵OB=，∴BB2的弧长=答：点B旋转到点B2的路径长为．（8分）9、(2022年安徽省模拟八)①如图,在每个小方格都是边长为1个单位长度的正方形方格纸中有△OAB,请将△OAB绕点O顺时针旋转900,画出旋转后的△OA′B′②折纸:有一张矩形纸片如图,要将点D沿某直线翻折1800,恰好落在BC边上的D′处,请在图中作出该直线.第3题图ADBCD′ABO答案：①如图△OA′B′即是旋转900后的图形，②折痕为直线DD′的垂直平分线EF.第3题解答图ADBFD′ABOA′B′E10、(2022年湖北荆州模拟5)（本题满分8分）将两块斜边长度相等的等腰直角三角纸板如图(1)摆放，若把图(1)中的△BCN逆时针旋转90°，得到图(2)，图(2)中除△ABC≌△CED、△BCN≌△ACF外，你还能找到一对全等的三角形吗?写出你的结论并说明理由．答案：答案：解：△FCM≌△NCM，理由如下：第4题图∵把图中的△BCN逆时针旋转90°，∴∠FCN=90°，CN=CF，∵∠MCN=45°，38\n∴∠FCM=90°-45°=45°，在△FCM和△NCM中∵CM=CM，∠FCM=∠NCM，FC=CN∴△FCM≌△NCM（SAS）．11、(2022年湖北荆州模拟6)（本题满分8分）如图，正方形ABCD和BEFG在直线AB的同侧，连接AG、EC,易证AG=EC，现在将正方形BEFG顺时针旋转30°，那么AG=EC还成立吗？请作出旋转后的图形，并证明你的结论.答案：解：成立.理由如下：在ΔABG与ΔCBE中，∴ΔABG≌ΔCBE∴AG=CE第5题解答图第5题图第3题图12、(2022年江苏南京一模)（8分）如图，正方形网格中每个小正方形的边长均为1，△ABC的三个顶点都在格点上，现将△ABC绕着格点O顺时针旋转90°．ABCO（1）画出△ABC旋转后的△A'B'C'；（2）求点C旋转过程中所经过的路径长；（3）点B'到线段A'C'的距离为▲．（第1题）答案：（本题8分）ABCOA'B'C'（1）38\n……………………………………………………………………………3分（2）CO＝＝，点C旋转过程中所经过的路径长为：＝π．…………………6分（3）．……………………………………………………………………8分13、如图，在平面直角坐标系中，对Rt△OAB依次进行旋转变换、位似变换和平移变换，得到△。设M（x，y）为Rt△OAB边上任意一点，点M的对应点的坐标依次为：M（x,y）→(-x,-y)→(-2x,-2y)→(-2x+3,-2y+6).（1）在网格图中（边长为单位1），画出这几次变换的相应图形；（2）△能否由△通过一次位似变换得到？若可以，请指出位似中心的坐标.（1）作图如图所示.（2）能.如图，分别连接△OAB与△O’A’B’的对应顶点，其连线交于C（1，2），点C即为位似中心.38\n14.本题6分)如图1、图2分别是10×6的正方形网格，网格中每个小正方形的边长均为1，线段AB的端点A、B均在小正方形的顶点上.（1）在图1中以AB为边作锐角三角形ABC，使其为轴对称图形（点C在小正方形的顶点上）（画一个即可）;（2）在图2中以AB为边作四边形ABDE（非正方形，点D、E均在小正方形的顶点上），使其为轴对称图形且面积为20（画一个即可）.解;略15、（2022杭州江干区模拟）（本小题12分）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，过点C作CD⊥AB于点D，小明把一个三角板的直角顶点放置在点D处两条直角边分别交线段BC于点E，交线段AC于点F，在三角板绕着点D旋转的过程中他发现了线段BE,CE,CF,AF之间存在着某种数量关系.(1)旋转过程中，若点E是BC的中点，点F也是AC的中点吗?请说明理由；(2)旋转过程中，若DE⊥BC，那么成立吗?请说明理由；(3)旋转过程中，若点E是BC上任意一点，(2)中的结论还成立吗?(第22题)（第22题备用图）38\n【答案】解：（1）∵CD⊥AB，E是BC中点∴DE=CE=BE∴∠DCE=∠EDC1分∵∠ACB=∠FDE=90°∴∠FCD=∠FDC∴∠FAD=∠FDA（等角的余角相等）2分∴AF=FD=FC即F也是AC中点1分（2）DE⊥BC则四边形DECF为矩形，1分所以DE=CF，FD=CE，1分(第22题)由△DEB∽△AFD得，1分则成立1分（3）由△DEB∽△DFC，△DEC∽△DFA，1分得，，2分则成立1分16、（2022河南南阳市模拟）(10分)如图，△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，∠BAC=∠EDF=90°，△DEF的顶点E与△ABC的斜边BC的中点重合．将△DEF绕点E旋转，旋转过程中，线段DE与线段AB相交于点P，线段EF与射线CA相交于点Q．（1）如图①，当点Q在线段AC上，且AP=AQ时，求证：△BPE≌△CQE；（2）如图②，当点Q在线段CA的延长线上时，求证：△BPE∽△CEQ；并求当BP=a，CQ=时，P、Q两点间的距离（用含a的代数式表示）．第22题图【答案】（1）证明：∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠B=∠C=45°，AB=AC，∵AP=AQ，∴BP=CQ，∵E是BC的中点，∴BE=CE，在△BPE和△CQE中，∵，∴△BPE≌△CQE（SAS）；（2）解：∵△ABC和△DEF是两个全等的等腰直角三角形，38\n∴∠B=∠C=∠DEF=45°，∵∠BEQ=∠EQC+∠C，即∠BEP+∠DEF=∠EQC+∠C，∴∠BEP+45°=∠EQC+45°，∴∠BEP=∠EQC，∴△BPE∽△CEQ，∴，∵BP=a，CQ=a，BE=CE，∴BE=CE=a，∴BC=3a，∴AB=AC=BC•sin45°=3a，∴AQ=CQ﹣AC=a，PA=AB﹣BP=2a，连接PQ，在Rt△APQ中，PQ==a．17、（2022年广州省惠州市模拟）将两块大小相同的含30°角的直角三角板（∠BAC＝∠B′A′C＝30°）按图①方式放置，固定三角板A′B′C，然后将三角板ABC绕直角顶点C顺时针方向旋转（旋转角小于90°）至图②所示的位置，AB与A′C交于点E，AC与A′B′交于点F，AB与A′B′相交于点O．（1）求证：△BCE≌△B′CF；（2）当旋转角等于30°时，AB与A′B′垂直吗？请说明理由．第18题图解：（1）因∠B＝∠B/，BC＝B/C，∠BCE＝∠B/CF，所以△BCE≌△B′CF；（3分）（2）AB与A′B′垂直，理由如下：旋转角等于30°，即∠ECF＝30°，所以∠FCB/＝60°，又∠B＝∠B/＝60°，根据四边形的内角和可知∠BOB/的度数为360°－60°－60°－150°＝90°，所以AB与A′B′垂直（7分）第18题图38\n18、（2022浙江台州二模）ABCA118．如图所示，正方形网格中，为格点三角形（即三角形的顶点都在格点上）．（1）把沿方向平移后，点移到点，在网格中画出平移后得到的；（2）把绕点按逆时针方向旋转，在网格中画出旋转后的；ABCA1B1C1B2C2（3）如果网格中小正方形的边长为1，求点经过（1）、（2）变换的路径总长．【答案】（1）画图正确．……2分ABCA1B1C1B2C2（2）画图正确．……2分（3）……1分弧的长．……1分点所走的路径总长．……2分19、(2022浙江永嘉一模)19．（本题8分）图①，图②（图在答题卷上）均为的正方形网格，点A，B，C在格点（小正方形的顶点）上．（1）在图①中确定格点D，并画出一个以A，B，C，D为顶点的四边形，使其为轴对称图形；（2）在图②中确定格点E，并画出一个以A，B，C，E为顶点的四边形，使其为中心对称图形．【答案】解：（1）有以下答案供参考：ABDABCDC……………4分38\n（2）有以下答案供参考：ABCEABCE……………4分20、（2022山东德州特长展示）（本小题满分12分）已知：如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，BC=3，tan∠BAC=，将∠ABC对折，使点C的对应点H恰好落在直线AB上，折痕交AC于点O，以点O为坐标原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系（1）求过A、B、O三点的抛物线解析式；（2）若在线段AB上有一动点P，过P点作x轴的垂线，交抛物线于M，设PM的长度等于d，试探究d有无最大值，如果有，请求出最大值，如果没有，请说明理由．（3）若在抛物线上有一点E，在对称轴上有一点F，且以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形，试求出点E的坐标．BACOHxy解：（1）在Rt△ABC中，∵BC=3，tan∠BAC=，∴AC=4．∴AB=．设OC=m，连接OH，如图，由对称性知，OH=OC=m，BH=BC=3，∠BHO=∠BCO=90°，∴AH=AB－BH=2，OA=4－m．38\n∴在Rt△AOH中，OH2+AH2=OA2，即m2+22=(4－m)2，得m=．∴OC=，OA=AC－OC=，∴O（0，0）A（，0），B（－，3）．…………………………………………2分设过A、B、O三点的抛物线的解析式为：y=ax（x－）．把x=，y=3代入解析式，得a=．∴y=x（x－）=．即过A、B、O三点的抛物线的解析式为y=．…………………………4分（2）设直线AB的解析式为y=kx+b，根据题意得：－解之得k=－，b=．∴直线AB的解析式为y=．………………………………………………6分设动点P（t，），则M（t，）．………………………………7分∴d=（）—（）=—=∴当t=时，d有最大值，最大值为2．………………………………………………8分yBACOHxE2E1E3D(3)设抛物线y=的顶点为D．∵y==，∴抛物线的对称轴x=，顶点D（，－）．根据抛物线的对称性，A、O两点关于对称轴对称．①当AO为平行四边形的对角线时，抛物线的顶点D以及点D关于x轴对称的点F与A、O四点为顶点的四边形一定是平行四边形．这时点D即为点E，所以E点坐标为（）．……………………………………………………………………………10分38\n①当AO为平行四边形的边时，由OA=，知抛物线存在点E的横坐标为或，即或，分别把x=和x=代入二次函数解析式y=中，得点E（，）或E（－，）．所以在抛物线上存在三个点：E1（，－），E2（，），E3（－，），使以O、A、E、F为顶点的四边形为平行四边形．……………………………………………12分21、（2022凤阳县县直义教教研中心）如图，已知的三个顶点的坐标分别为、、．第18题图OxyACB（1）经过怎样的平移，可使的顶点A与坐标原点O重合，并直接写出此时点C的对应点坐标；（不必画出平移后的三角形）（2）将绕坐标原点逆时针旋转90°，得到△A′B′C′，画出△A′B′C′.解：（1）（1，-3）；………………………………………………………………(3分)（2）图形略；………………………………………………………………………(8分)22、（2022凤阳县县直义教教研中心）如图1，△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，D、F分别在AB、AC边上，此时BD＝CF，BD⊥CF成立.（1）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转θ（）时，如图2，BD＝CF成立吗？若成立，请证明；若不成立，请说明理由.（2）当正方形ADEF绕点A逆时针旋转45°时，如图3，延长BD交CF于点G.①求证：BD⊥CF；②当AB＝4，AD＝时，求线段BG的长.38\n图1图2图3解（1）BD＝CF成立.理由：∵△ABC是等腰直角三角形，四边形ADEF是正方形，∴AB=AC，AD=AF，∠BAC=∠DAF=90°,∵∠BAD=，∠CAF=，∴∠BAD=∠CAF，∴△BAD≌△CAF.∴BD＝CF.……………………………………………………………………（4分）（2）①证明：设BG交AC于点M.∵△BAD≌△CAF（已证），∴∠ABM＝∠GCM.∵∠BMA＝∠CMG，∴△BMA∽△CMG.∴∠BGC＝∠BAC＝90°.∴BD⊥CF.……………………………………（7分）②过点F作FN⊥AC于点N.∵在正方形ADEF中，AD＝，∴AN＝FN＝.∵在等腰直角△ABC中，AB＝4，∴CN＝AC－AN＝3，BC＝.Rt△FCN∽Rt△ABM，∴∴AM＝.∴CM＝AC－AM＝4－＝，.……（9分）38\n∵△BMA∽△CMG，∴.∴.∴CG＝.……………………………………（11分）∴在Rt△BGC中，.……………………..（12分）23、（2022河南沁阳市九年级第一次质量检测）（9分）在如图所示的方格纸中，每个小方格都是边长为1个单位的正方形，△ABO的三个顶点都在格点上．⑴以O为原点建立直角坐标系，点B的坐标为（－3，1），则点A的坐标为；⑵画出△ABO绕点O顺时针旋转90°后的△OA1B1，并求线段AB扫过的面积.解答：（1）（-2，3）1分（2）图略5分ABO9分24、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）（本题满分7分）如图，在△ABC中，A(-2，-3)，B(-3，-1)，C(-1，-2)．（1）画图：①画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；②画出将△ABC向上平移4个单位长度后的△A2B2C2；③画出将△ABC绕原点O旋转180°后的△A3B3C3．（2）填空：①B1的坐标为，B2的坐标为，B3的坐标为；②在△A1B1C1，△A2B2C2，△A3B3C3中：△与△成轴对称，对称轴是．解：⑴略,⑵①（3，-1）(-3,3)(3,1)②△A1B1C1..△A3B3C3x轴38\n25、（2022年湖北省武汉市中考全真模拟）（本题满分12分）如图1，抛物线：与直线AB：交于x轴上的一点A，和另一点B(3，n)．(1)求抛物线的解析式；(2)点P是抛物线上的一个动点（点P在A，B两点之间，但不包括A，B两点），PM⊥AB于点M，PN∥y轴交AB于点N，在点P的运动过程中，存在某一位置，使得△PMN的周长最大，求此时P点的坐标，并求△PMN周长的最大值；(3)如图2，将抛物线绕顶点旋转180°后，再作适当平移得到抛物线，已知抛物线的顶点E在第四象限的抛物线上，且抛物线与抛物线交于点D，过D点作轴的平行线交抛物线于点F，过E点作轴的平行线交抛物线于点G，是否存在这样的抛物线，使得四边形DFEG为菱形？若存在，请求E点的横坐标；若不存在请说明理由．、解：⑴由题意得：A(-1,0)、B(3,2)∴解得:∴抛物线的解析式为y=-x+x+2⑵设AB交y轴于D，则D（0，），∴OA=1，OD=，AD=，∴=，∵PN∥y轴,∴∠PNM=∠CDN=∠ADO,∴Rt△ADO∽Rt△PNM.∴.∴=×PN=PN.∴当PN取最大值时,取最大值.设P(m,-m+m+2)N(m,m+).则PN=-m+m+2-(m+)=-m+m+.∵-1﹤m﹤3.∴当m=1时,PN取最大值.38\n∴△PNM周长的最大值为×2=.此时P(1,3).⑶设E(n,t),由题意得:抛物线为：y=-(x-)+,为：y=(x-n)+t.∵E在抛物线上，∴t=-(n-)+.∵四边形DFEG为菱形.∴DF=FE=EG=DG连ED,由抛物线的对称性可知,ED=EF.∴△DEG与△DEF均为正三角形.∴D为抛物线的顶点.∴D(,).∵DF∥x轴,且D、F关于直线x=n对称.∴DF=2（n-）.∵DEF为正三角形.∴-=×2(n-).解得：n=.∴t=-.∴存在点E，坐标为E(,-).26.（2022郑州外国语预测卷）某数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，等腰直角△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，小敏将一块三角板中含45°角的顶点放在A上，从AB边开始绕点A逆时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．（1）小敏在线段BC上取一点M，连接AM，旋转中发现：若AD平分∠BAM，则AE也平分∠MAC．请你证明小敏发现的结论；（2）当0°＜α≤45°时，小敏在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2+CE2=DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的想法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）；小亮的想法：将△ABD绕点A顺时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）；请你从中任选一种方法进行证明；（3）小敏继续旋转三角板，在探究中得出当45°＜α＜135°且α≠90°时，等量关系BD2+CE2=DE2仍然成立，先请你继续研究：当135°＜α＜180°时（如图4），等量关系BD2+CE2=DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．38\n答案：解：（1）证明：∵∠BAC＝90º，∠DAE＝∠DAM＋∠MAE＝45º，∴∠BAD＋∠EAC＝45º。又∵AD平分∠MAB，∴∠BAD＝∠DAM。∴∠MAE＝∠EAC。∴AE平分∠MAC。（2）证明小颖的方法：∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，∴AF＝AB，∠AFD＝∠B＝45º，∠BAD＝∠FAD。又∵AC=AB，∴AF＝AC。由（1）知，∠FAE＝∠CAE。在△AEF和△AEC中，∵AF＝AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE，∴△AEF≌△AEC（SAS）。∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45º。∴∠DFE＝∠AFD＋∠AFE＝90º。在Rt△OCE中，DE2＋FE2＝DE2，∴BD2＋CE2＝DE2。（3）当135º＜＜180º时，等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立。证明如下：如图，按小颖的方法作图，设AB与EF相交于点G。∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，∴AF＝AB，∠AFD＝∠ABC＝45º，∠BAD＝∠FAD。又∵AC=AB，∴AF＝AC。又∵∠CAE＝900－∠BAE＝900－（45º－∠BAD）＝45º＋∠BAD＝45º＋∠FAD＝∠FAE。在△AEF和△AEC中，∵AF＝AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE，∴△AEF≌△AEC（SAS）。∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45º。又∵在△AGF和△BGE中，∠ABC＝∠AFE＝45º，∠AGF＝∠BGE，∴∠FAG＝∠BEG。又∵∠FDE＋∠DEF=∠FDE＋∠FAG＝（∠ADB＋∠DAB）＝∠ABC＝90º。∴∠DFE＝90º。在Rt△OCE中，DE2＋FE2＝DE2，∴BD2＋CE2＝DE2。38\n27.（2022江西饶鹰中考模拟）某校九年级（1）班数学兴趣小组开展了一次活动，过程如下：如图1，在等腰直角△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，小明将一块直角三角板的直角顶点放在斜边边的中点上，从BC边开始绕点A顺时针旋转，其中三角板两条直角边所在的直线分别AB、AC于点E、F．（1）小明在旋转中发现：在图1中，线段与相等。请你证明小明发现的结论；（2）小明将一块三角板中含45°角的顶点放在点A上，从BC边开始绕点A顺时针旋转一个角α，其中三角板斜边所在的直线交直线BC于点D，直角边所在的直线交直线BC于点E．当0°＜α≤45°时，小明在旋转中还发现线段BD、CE、DE之间存在如下等量关系：BD2＋CE2＝DE2．同组的小颖和小亮随后想出了两种不同的方法进行解决：小颖的方法：将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，连接EF（如图2）；小亮的方法：将△ABD绕点A逆时针旋转90°得到△ACG，连接EG（如图3）．请你从中任选一种方法进行证明；AOBEFABCDEG图3ABCDEF图238\n（3）小明继续旋转三角板，在探究中得出：当45°＜α＜135°且α≠90°时，等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立．现请你继续探究：当135°＜α＜180°时（如图4），等量关系BD2＋CE2＝DE2是否仍然成立？若成立，给出证明；若不成立，说明理由．ABC图4答案：（1）连接AO.∵∠ABC=90°,AB=AC且O是BC的中点，∴AO=BO,∠OAE=∠C=45°∵∠AOE+∠AOF=∠AOF+∠COF=90°,∴∠AOE=∠COF,∴△AOE≌△COF,∴AE=CF（2）证明小颖的方法：∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，∴AF＝AB，∠AFD＝∠B＝45º，∠BAD＝∠FAD。又∵AC=AB，∴AF＝AC。由（1）知，∠FAE＝∠CAE。在△AEF和△AEC中，∵AF＝AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE，∴△AEF≌△AEC（SAS）。∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45º。38\n∴∠DFE＝∠AFD＋∠AFE＝90º。在Rt△OCE中，DE2＋FE2＝DE2，∴BD2＋CE2＝DE2。（3）当135º＜＜180º时，等量关系BD2＋CE2＝DE2仍然成立。证明如下：如图，按小颖的方法作图，设AB与EF相交于点G。∵将△ABD沿AD所在的直线对折得到△ADF，∴AF＝AB，∠AFD＝∠ABC＝45º，∠BAD＝∠FAD。又∵AC=AB，∴AF＝AC。又∵∠CAE＝900－∠BAE＝900－（45º－∠BAD）＝45º＋∠BAD＝45º＋∠FAD＝∠FAE。在△AEF和△AEC中，∵AF＝AC，∠FAE＝∠CAE，AE＝AE，∴△AEF≌△AEC（SAS）。∴CE＝FE，∠AFE＝∠C＝45º。又∵在△AGF和△BGE中，∠ABC＝∠AFE＝45º，∠AGF＝∠BGE，∴∠FAG＝∠BEG。又∵∠FDE＋∠DEF=∠FDE＋∠FAG＝（∠ADB＋∠DAB）＝∠ABC＝90º。∴∠DFE＝90º。在Rt△OCE中，DE2＋FE2＝DE2，∴BD2＋CE2＝DE2。28.（2022辽宁葫芦岛一模）如图，已知A(5，0)，B(3，0)，点C在轴的正半轴上，，，．点P从点Q(8，0)出发，沿轴向左以每秒1个单位长的速度运动，运动时间为秒．（1）求点D的坐标；（2）当∠CPB=120°时，求的值；（3）以点P为圆心，PC为半径的⊙P随点P的运动而变化，当⊙P与四边形的边（或边所在的直线）相切时，求的值．38\n解：（1）如图，，∴△CBO是等腰直角三角形，故，∴，又∵A(5，0)，，，∴D(5，3)；………………3分（2）∵∠CPB=120°，∴∠PCO=30°，在Rt中，，∴；………………5分（3）以点为圆心，为半径的随点的运动而变化，与四边形的边相切，有三种情况：①与边相切时，是切点，如图1，此时，，，∴△PBC为等腰直角三角形，∴,∴,∴；………………7分②与边相切时，是切点，如图2，此时，重合，∴，∴；…………9分③与边相切时，是切点，如图3，此时，，设，则在中，由勾股定理得：，，∴，∴，．38\n综上所述，满足条件的值共有三个，即，11，或8，或6.4．………………12分29.（2022年唐山市二模）x第20题图ABCOy如图，方格纸中每个小正方形的边长都是单位1，△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示。（1）将△ABC向右平移4个单位后，得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1，并直接写出点C1的坐标。（2）作出△A1B1C1关于x轴的对称图形△A2B2C2，并直接写出点A2的坐标。（3）请由图形直接判断以点C1、C2、B2、B1为顶点的四边形是什么四边形？并求出它的面积。解：（1）正确画出向右平移4个单位的图形…………………..1分C1（1，4）．．．．．．．．．．．．．．1分（2）正确画出图形．．．．．．．．．．．．．．．1分A2（1，－1）……………….1分（3）四边形C1C2B2B1是等腰梯形．．．．．．．１分 由图可得：Ｂ１Ｂ２＝２，Ｃ１Ｃ２＝８，A1B1=2∴梯形的面积===10．．．．１分30．（2022年杭州拱墅区一模）如图，正方形ABCD的边长为3，将正方形ABCD绕点A顺时针旋转角度α（0°＜α＜90°），得到正方形AEFG，FE交线段DC于点Q，FE的延长线交线段BC于点P，连结AP、AQ．（1）求证：△ADQ≌△AEQ；（2）求证：PQ＝DQ＋PB；（3）当∠1=∠2时，求PQ的长．（1）∵ABCD是正方形，∴在Rt△ADQ和Rt△AEQ中，38\n有AD＝AE，AQ＝AQ，∴△ADQ≌△AEQ（HL）------------------3分（2）同理可证得△AEP≌△ABP--------------------------------------------1分∴PB＝PE，由（1）QD＝QE，∴PQ＝QE＋PE＝DQ＋PB------------2分（3）当∠1=∠2时，Rt△ADQ∽Rt△PCQ，∴∠3＝∠4，又∵∠3＝∠5∴∠3＝∠4＝∠5，且∠3＋∠4＋∠5＝180°，∴∠3＝60°--------------1分∴Rt△ADQ中，AD＝3，DQ＝-------------------------------------------1分∴QC＝3―，∴PQ＝2QC＝6―2------------------------------------2分31、（2022年湖北武汉模拟）（本题满分7分）在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，平面直角坐标系和图形ABCD的位置如图所示．（1）将图形ABCD关于y轴作轴对称变换，得到图形形A1B1C1D1，请在网格中画出图形A1B1C1D1；（2）将图形A1B1C.D1绕坐标原点O按顺时针方向旋转90°后得到图形A2B2C2D2，请直接写出点D2的坐标为___，点D1旋转到点D2所经过的路径长为____．答案：略38
