平移、旋转、轴对称一、选择题1.（2022·江苏省盐城市一模，5，3）图中的两个三角形是位似图形，它们的位似中心是（）A．点B．点C．点D．点OPMN【答案】A2.（2022·广东省深圳市一模，4，3）下列图形中，不是轴对称图形的为（）Ａ Ｂ Ｃ D【答案】A3.（2022·山东省青州市一模，6，3）把一张矩形纸片（矩形ABCD）按如图方式折叠，使顶点B和点D重合，折痕为EF．若AB=3cm，BC=5cm，则重叠部分△DEF的面积是（）A、7.5cmB、5.1cmC、5.2cmD、7.2cmABCFE′第6题图（）D【答案】B4.（2022·山东省青州市一模，12，3）如图，直径AB为6的半圆，绕A点逆时针旋转60°，此时点B到了点B’，则图中阴影部分的面积是（）A、6pB、5pC、4pD、3p。\nABB’【答案】A5.（2022·上海市静安区一模，6，4）下列图形中，可能是中心对称图形的是【答案】D6.（2022·湖南省一模，2，3）如果一个四边形ABCD是中心对称图形，那么这个四边形一定是（ ）A．等腰梯形 B．矩形 C．菱形 D．平行四边形【答案】D7.（2022·湖北省天门市一模，2，4）2.边长为1的正方形ABCD绕点A逆时针旋转30°得到正方形AB′C′D′，两图叠成一个“蝶形风筝”（如图所示阴影部分），则这个风筝的面积是（）。A．2－B．C．2－D．2【答案】A8.（2022·湖北省天门市一模，6，4）如图所示，在完全重合放置的两张矩形纸片ABCD中，AB=4,BC=8,将上面的矩形纸片折叠，使点C与点A重合，折痕为EF，点D的对应点为G，连接DG,,则图中阴影部分的面积为（）A.B.6C.D.\n【答案】C9.（2022·湖北省天门市麻洋三模，1，3）4张扑克牌如图（1）所示放在桌子上，小新把其中一张旋转180°后得到如图（2）所示，那么他所旋转的牌从左起是（）A．第一张、第二张B．第二张、第三张C．第三张、第四张D．第四张、第一张（1）（2）【答案】A10．（2022·甘肃省兰州市一模诊断，13，4）如图，已知矩形纸片ABCD，点E是AB的中点，点G是BC上的一点，∠BEG>60°，现沿直线EG将纸片折叠，使点B落在纸片上的点H处，连接AH，则与∠BEG相等的角的个数为（）A．4B．3C．2D．1【答案】B11.（2022·江苏省苏州市一模1，4，3）如图2所示，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转20°，点B落在B'位置，点A落在A'位置，若AC⊥A'B'，则∠BAC的度数是()A．50°B．60°C．70°D．80°【答案】C\n12.（2022·江苏省苏州市一模5，3，3）下列四个图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是()A．①②B．①③C．②③D．①②③【答案】B13.（2022·江苏省苏州市一模4，4，3）在下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()【答案】C14.（2022·上海市杨浦区一模，4，4）下列图形中，是中心对称图形的是（▲）【答案】B15.（2022·上海市静安区二模，6，4）．下列图形中，可能是中心对称图形的是【答案】D16.（2022·山东省菏泽市一模，2，3）2.下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）ABDC【答案】D17.（2022·江苏省南通市启东中学一模，3，3）下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是()A．等腰三角形B．直角三角形C．平行四边形D．菱形\n【答案】D18.（2022·湖北省黄冈市黄冈一模，10，3）如图，将三角形向右平移2个单位长度，再向上平移3个单位长度，则平移后三个顶点的坐标是（）． A．(1,7),(－2,2),(3,4)B．(1,7),(-2,2),(4,3)C．(1,7),(2,2),(3,4)D．(1,7),(2,－2),(3,3)10题图-4(-1,4)2-1-24123xOy(1,1)(-4,-1)-11-2-3【答案】A19.（2022·河南省一模，5，3）5．如图，在平面直角坐标系中，其中一个三角形是由另一个三角形绕着某点旋转一定的角度得到的，则其旋转中心可能是【】A．（0，1）B．（0，2）C．（−1，1）D．（−1，2）【答案】D20．（2022·浙江省杭州市二模，5，3）下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ▲ ）A.B.C.D.【答案】C21．（2022·浙江省杭州市一模，8，3）如图，方格纸的两条对称轴相交于点，对图分别作下列变换：①先以直线为对称轴作轴对称图形，再向上平移4格；②先以点为中心旋转，再向右平移1格；③先以直线为对称轴作轴对称图形，再向右平移4格，其中能将图变换成图的是（ ）\nA．①②B．①③C．②③D．③（第８题图）【答案】Ｄ22．（2022·质量检测，6，3）如下图，将一个等腰直角三角形按图示方式依次进行翻折，若DE＝a，则下列说法：①DC’平分∠BDE；②BC长为（＋2）a；③△BDC’是等腰三角形；④△CED的周长等于BC的长，正确的个数有（）A．1个B.2个C.3个D.4个【答案】C23.（2022·黑龙江省大庆市月考，4，3）4．下列图形中既是轴对称图形又是中心对称图形的是（）A．B．C．D．【答案】B24.（2022·湖北省枝江市十校联考，6，3）6、平面直角坐标系中，点A的坐标为（4，3），将线段OA绕原点O顺时针旋转得到，则点的坐标是(▲)A．（，3）B．（，4）C．（3，）D．（4，）【答案】C25.（2022·湖北省荆州市一模，6，3）(2022年天津)下列图形中，既可以看作是轴对称图形，又可以看作是中心对称图形的为()\n（A）（B）（C）（D）【答案】B第7题图26.（2022·湖北省荆州市一模，7，3）（2022年恩施）如图5,EF是△ABC的中位线，将△AEF沿中线AD方向平移到△AEF的位置，使EF与BC边重合，已知△AEF的面积为7，则图中阴影部分的面积为（）A.7B.14C.21D.28【答案】B二、填空题1.（2022·上海市闵行区一模，18，4）已知：如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC，AB=6．如果将△ABC在直线AB上平行移动2个单位后得△A′B′C′，那么△CA′B的面积为▲．ABC（第18题图）【答案】6或12．2.（2022·山西省山西大学附中一模，3，3）点P(1,2)关于轴的对称点的坐标是.【答案】(1,－2)3.（2022·上海市静安区一模，18．，4）在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，△ABC绕着点C旋转后,点B落在AC边上的点B’，点A落在点A’，那么tan∠AA’B’的值为▲．【答案】4.（2022·北省黄冈市一模，9，3）9.如图，在Rt中，，．将绕直角顶点C按顺时针方向旋转，得，斜边分别与BC、AB相交于点D、E，直角边与AB交于点F．若，则至少旋转30°度才能得到，此时与的重叠部分（即四边形CDEF）的面积为．\n【答案】30、5.（2022·湖北省黄冈市一模，10，3）10．已知一个半圆形工件，未搬动前如图所示，直径平行于地面放置，搬动时为了保护圆弧部分不受损伤，先将半圆作如图所示的无滑动翻转，使它的直径紧贴地面，再将它沿地面平移50米，半圆的直径为4米，则圆心O所经过的路线长是_________．OOOOl【答案】6.（2022·湖北省天门市麻洋模2，13，3）现有一张矩形纸片ABCD(如图)，其中AB＝4cm，BC＝6cm，点E是BC的中点．将纸片沿直线AE折叠，点B落在四边形AECD内，记为点．则线段=BACDEE(第13题)【答案】解：连接BB'交AE于点O，由折线法及点E是BC的中点，∴EB=EB′=EC∴∠EBB′=∠EB′B，∠ECB′=∠EB′C又∵△BB'C三内角之和为180°∴∠BB'C=90°∵点B′是点B关于直线AE的对称点∴AE垂直平分BB′在Rt△AOB和Rt△BOE中，BO2=AB2-AO2=BE2－（AE－AO）2将AB=4，BE=3，AE==5代入，得AO=∴BO===\n∴BB′=2BO=′∴在Rt△BB'C中，B′C===．7.（2022·湖北省天门市麻洋一模，14，3）如图，一副三角板拼在一起，O为AD的中点，AB=a．将△ABO沿BO对折于△A′BO，M为BC上一动点，则A′M的最小值为．45°60°A′BMAODC【答案】8.（2022·湖北省黄冈市黄冈中学一模，10，3）如图，在平面直角坐标系中，已知△是等边三角形，点A的坐标是（0,3），点B在第一象限，点P是x轴上的一个动点，连结AP，并把△绕着点A逆时针方向旋转，使边AO与AB重合，得到△ABD。当点P运动到点时，此时点D的坐标为。【答案】9.（2022·湖北省天门市麻洋三模，12，3）如图所示，一般书本的纸张是在原纸张多次对开得到的.矩形沿对开后，再把矩形沿对开，依此类推.若各种开本的矩形都相似，那么=__________.【答案】\n10．（2022·江苏省苏州市一模，17，3）如图9所示，在平面直角坐标系中，△PQR是△ABC经过某种变换后得到的图形，观察点A与点P，点B与点Q，点C与点R的坐标之间的关系．在这种变换下，如果△ABC中任意一点M的坐标为(x，y)，那么它的对应点N的坐标是________．【答案】（－x，－y）11.（2022·江苏省苏州市一模，18，3）18．如图10所示，小明尝试着将矩形纸片ABCD(如图10a，AD>CD)沿过A点的直线折叠，使得B点落在AD边上的点F处，折痕为AE（如图10b）；再沿过D点的直线折叠，使得C点落在DA边上的点N处，E点落在AE边上的点M处，折痕为DG(如图10c)．如果第二次折叠后，M点正好在∠NDG的平分线上，那么矩形ABCD长与宽的比值为________．【答案】12.（2022·江苏省苏州市一模6，18，3）先将一矩形ABCD置于直角坐标系中，使点A与坐标系的原点重合，边AB、AD分别落在x轴、y轴上(如图(1))，再将此矩形在坐标平面内按逆时针方向绕原点旋转30°(如图(2))，若AB＝4，BC＝3，则图(1)中B点的坐标为______，C点的坐标为______；图(2)中B点的坐标为______，C点的坐标为______．【答案】（4，0）（4，3）（2，2）（，）13.（2022·上海市杨浦区一模，18，4）如图，EF是△ABC的中位线，将△AEF沿中线AD的方向平移到△A1E1F1，使线段E1F1落在BC边上，若△AEF的面积为7cm2，则图中阴影部分的面积是▲cm2.\n【答案】14ABCEFDA1E1F1(第18题图)14.(2022·上海市静安区二模,18,4)在△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=2，△ABC绕着点C旋转后,点B落在AC边上的点B’，点A落在点A’，那么tan∠AA’B’的值为．【答案】15.（2022·上海市奉贤区二模，18，4）如图，在等边△ABC中，，点在上，且，点是上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是▲．【答案】616.（2022·山东省菏泽市一模，3，3）平移二次函数的图象，使它经过原点，写出一个平移后所得图象表示的二次函数的解析式__________.【答案】DQCBPRA17.（2022·山东省菏泽市一模，4，3）在矩形中，，，点是边上的动点（点不与点，点重合），过点作直线，交边于点，再把沿着动直线对折，点的对应点是点，则=____________.DQCBPRA【答案】30°18.（2022·江苏省南通市启东中学一模2，17，3）如图6所示，将一块斜边长为12cm，∠B＝60°\n的直角三角板ABC，绕点C沿逆时针方向旋转90°至△A'B'C'的位置，再沿CB向右平移，使点B'刚好落在斜边AB上，那么此三角板向右平移的距离是_______cm．【答案】6-219.（2022·江苏省南通市启东中学一模2，18，3）如图7所示，在锐角△ABC中，AB＝4，∠BAC＝45°，∠BAC的平分线交BC于点D，M、N分别是AD和AB上的动点，则BM＋MN的最小值是_______．【答案】420．（2022·江苏省南通市启东中学一模3，17，3）17．如图7所示，矩形ABCD中，AB＝8，AD＝6，将矩形ABCD在直线l上按顺时针方向不滑动地每秒转动90°，转动3s后停止，则顶点A经过的路线长为_______．【答案】12π21．（2022·河南省一模，14，3）在矩形ABCD纸片中，AD=4，CD=3．限定点E在边AB上，点F在边BC上，将△BEF沿EF翻折后叠合在一起，则点B距点A的最小距离是___________．【答案】122.（2022·河南省一模，15，3）15．如图，点C在以AB为直径的半圆弧上，∠ABC=30°，沿直线CB将半圆折叠，直径AB和弧BC交于点D，已知AB=6，则图中阴影部分的面积和周长分别等于________________．【答案】，\n23.（2022·浙江省杭州市一模，15，4）将三角形纸片（△ABC）按如图所示的方式折叠，使点B落在边AC上，记为点B′，折痕为EF．已知AB＝AC＝6，BC＝8，若以点B′，F，C为顶点的三角形与△ABC相似，那么BF的长度是．【答案】4，24.（2022·浙江省杭州市一模，15，3）二次函数y=x2-2x-3的图象关于原点O（0，0）对称的图象的解析式是_________．【答案】Y=_-x2-2x+3（写成顶点式也对）25.（2022·质量检测，13，3）如图，△ABC是等腰直角三角形，BC是斜边，点P是△ABC内一点，△ABP绕点A逆时针旋转后与△ACP’重合，如果AP＝，那么P点走过的路线长为.【答案】26.（2022·上海市奉贤区二模，18，4）如图，在等边△ABC中，，点在上，且，点是上一动点，连结，将线段绕点逆时针旋转得到线段．要使点恰好落在上，则的长是▲．CODPBA第18题图【答案】6\n26.（2022·上海市毕业考试模拟1，18，4）18．在中，，，为边上一点，沿过点的一条直线折叠，使点落在射线上的点处.若∽，则的长为.ABCP′P（图2）【答案】．27.（2022·上海市卢湾区模拟1，18，4）18．在中，，是上的点，，将线段绕点旋转，使点落在线段的延长线上，记作点，已知，，则 ▲ ．【答案】2三、解答题1.（2022·广东省珠海市香洲区一模，21，9）已知，如图，在平行四边形ABCD中，AE是BC边上的高，将△ABE沿BC方向平移，使点E与点C重合，得△GFC.(1)求证：BE=DG；(2)∠若B=60°，当AB与BC满足什么数量关系时，四边形ABFG是菱形？证明你的结论.ADGCBFE【答案】证明：（1）∵四边形是平行四边形，∴．……1分∵是边上的高，且是由沿方向平移而成．∴．……2分∴．∵，∴．……3分∴．……4分(2）当时，四边形是菱形．……5分\n∵，，∴四边形是平行四边形．……6分∵中，，∴，∴．……7分∵，∴．∴．……8分∴四边形是菱形．……9分2.（2022·江苏省盐城市一模，23，8）图（1）、图（2）均为7×6的正方形网格，点A、B、C在格点上。（1）在图（1）中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为轴对称图形（画一个即可）；（2）在图（2）中确定格点D，并画出以A、B、C、D为顶点的四边形，使其为中心对称图形（画一个即可）。图（1）···ABC图（2）···ABC【答案】略3.（2022·江苏省盐城市一模，26，10）已知：如图所示，△ABC为任意三角形，若将△ABC绕点C顺时针旋转得到△DEC．（1）试猜想AE与BD有何关系？说明理由；（2）若△ABC的面积为4cm2，求四边形ABDE的面积；（3）请给△ABC添加条件，使旋转得到的四边形ABDE为矩形，并说明理由．\nCEBAD【答案】26、（1）互相平分（2）16（3）AC=BC4.（2022·湖南省长沙市一模，21，6）如图4—10，在网格中、建立了平面直角坐标系，每个小正方形的边长均为1个单位长度，将四边形ABCD绕坐标原点O按顺时针方向旋转180°后得到四边形A1B1C1D1．(1)写出点D1的坐标_________，点D旋转到点D1所经过的路线长__________；(2)请你在△ACD的三个内角中任选二个锐角，若你所选的锐角是________，则它所对应的正弦函数值是_________；(3)将四边形A1B1C1D1平移，得到四边形A2B2C2D2，若点D2(4，5)，画出平移后的图形．(友情提示：画图时请不要涂错阴影的位置哦!)【答案】解：(1)(3，一l)，π；(2)∠ACD，(或∠DAC，)(3)画出正确图形(见图D4－1)\n5.（2022·湖北省武汉市一模，21，7）（1）在平面直角坐标系中，将直线l：y=-2x+4绕坐标原点O顺时针旋转90°后得到直线l1，再将直线l1向上平移1个单位得到直线l2，直接写出直线l1，l2的解析式。（2）在平面直角坐标系中，将直线a:y=-2x+m绕坐标原点O顺时针旋转90°后得到直线a1，再将直线a1向上平移k个单位得到直线a2，直接写出直线a1、a2的解析式。（3）在平面直角坐标系中，将直线b:y=nx+m绕坐标原点O顺时针旋转90°后得到直线b1，再将直线b1沿竖直方向平移k个单位得到直线b2，直接写出直线b2的解析式。【答案】21.（1），（2），（3）6.（2022·湖北省天门市麻洋模2，21，9）已知：等腰三角形OAB在直角坐标系中的位置如图，点A的坐标为（），点B的坐标为（－6，0）.（1）若三角形OAB关于y轴的轴对称图形是三角形O，请直接写出A、B的对称点的坐标；（2）若将三角形沿x轴向右平移a个单位，此时点A恰好落在反比例函数的图像上，求a的值；（3）若三角形绕点O按逆时针方向旋转度（）.①当=时点B恰好落在反比例函数的图像上，求k的值．②问点A、B能否同时落在①中的反比例函数的图像上，若能，求出的值；若不能，请说明理由.【答案】（1）A（3，3）B（-6,0）；（2）3=6×，x=2，a=5；（3）A落到x轴上，B于A关于x轴对称，设B'（x，)；则k=9。7.（2022·湖北省天门市麻洋模2，24，9）如图，已知正方形在直角坐标系中，点分别在轴、轴的正半轴上，点在坐标原点.等腰直角三角板的直角顶点在原点，\n分别在上，且将三角板绕点逆时针旋转至的位置，连结（1）求证：（2）若三角板绕点逆时针旋转一周，是否存在某一位置，使得若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】【答案】（1）证明：∵四边形OABC为正方形，∴OC＝OA，∵三角板OEF是等腰直角三角形，∴OE1＝OF1，又三角板OEF绕O点逆时针旋转至OE1F1的位置时，∠AOE1＝∠COF1，∴△OAE1≌△OCF1；（2）存在，∵OE⊥OF，过点F与OE平行的直线有且只有一条，并且与OF垂直，又当三角板OEF绕O点逆时针旋转一周时，则点F与OF垂直的直线必是⊙O的切线，又点C为⊙O外一点，过点C与⊙O相切的直线只有2条，不妨设为CF1和CF2，此时，E点分别在E1和E2点，满足CF1∥OE1，CF2∥OE2，点切点F1在第二象限时，点E1在第一象限，在Rt△CF2O中，OC＝4，OF1＝2，cos∠COF1＝，∴∠COF1＝60°，∴∠AOE1＝60°，∴点E1的横坐标为2cos60°＝1，点E1的纵坐标为2sin60°＝，∴E1的坐标为（1，），当切点F2在第一象限时，点E2在第四象限，同理可求E2（1，－），∴三角板OEF绕O点逆时针旋转一周，存在两个位置，使得OE∥CF，此时点E的坐标分别为E1（1，）或者E2（1，－）．8.（2022湖北省天门市麻洋一模，24，10）如图1，在△ABC中，AB＝BC＝5，AC=6.△ECD是△ABC沿BC方向平移得到的，连接AE.AC和BE相交于点O.（1）判断四边形ABCE是怎样的四边形，说明理由；（2）如图2，P是线段BC上一动点（图2），（不与点B、C重合），连接PO并延长交线段AB于点Q，QR⊥BD，垂足为点R.①四边形PQED的面积是否随点P的运动而发生变化？若变化，请说明理由；若不变，求出四边形PQED的面积；②当线段BP的长为何值时，△PQR与△BOC相似？\nCOEDBA（备用图）1COEDBARPQCOEDBA（第24题图2）【答案】24（10分）解：（1）略（2）①四边形PQED的面积不发生变化，理由如下：由菱形的对称性知，△PBO≌△QEO，∴S△PBO＝S△QEO，∵△ECD是由△ABC平移得到得，∴ED∥AC，ED＝AC＝6，又∵BE⊥AC，∴BE⊥ED，∴S四边形PQED＝S△QEO＋S四边形POED＝S△PBO＋S四边形POED＝S△BED＝×BE×ED＝×8×6＝24.（第24题2）PQCROEDBA132G（第24题1）PQCHROEDBA②如图2，当点P在BC上运动，使△PQR与△COB相似时，∵∠2是△OBP的外角，∴∠2＞∠3，∴∠2不与∠3对应，∴∠2与∠1对应，即∠2＝∠1，∴OP=OC=3，过O作OG⊥BC于G，则G为PC的中点，△OGC∽△BOC，∴CG:CO＝CO:BC，即：CG:3＝3:5，∴CG=，∴PB＝BC－PC＝BC－2CG＝5－2×＝.∴BD＝PB＋PR＋RF＋DF＝x＋＋x＋＝10，x＝.\n9.（2022·湖北省黄冈市黄州中学3月考，20，8）如图，△ABC中，已知∠BAC＝45°，AD⊥BC于D，BD＝2，DC＝3，求AD的长．小萍同学灵活运用轴对称知识，将图形进行翻折变换，巧妙地解答了此题．请按照小萍的思路，探究并解答下列问题：⑴分别以AB、AC为对称轴，画出△ABD、△ACD的轴对称图形，D点的对称点为E、F，延长EB、FC相交于G点，证明四边形AEGF是正方形；⑵设AD=x，利用勾股定理，建立关于x的方程模型，求出x的值．BCAEGDF【答案】(1)证明：由题意可得：△ABD≌△ABE，△ACD≌△ACF∴∠DAB＝∠EAB，∠DAC＝∠FAC，又∠BAC＝45°，∴∠EAF＝90°又∵AD⊥BC∴∠E＝∠ADB＝90°∠F＝∠ADC＝90°又∵AE＝AD，AF＝AD∴AE＝AF∴四边形AEGF是正方形(2)解：设AD＝x，则AE＝EG＝GF＝x∵BD＝2，DC＝3∴BE＝2，CF＝3∴BG＝x－2，CG＝x－3在Rt△BGC中，BG2＋CG2＝BC2∴(x－2)2＋(x－3)2＝52化简得，x2－5x－6＝0解得x1＝6，x2＝－1（舍）所以AD＝x＝610．（2022·福建省福州市一模，17，7）在如图所示的平面直角坐标系中，△AOB的三个顶点坐标分别为O（0，0），A（1，－3），B（3，－2）⑴将△AOB绕原点O逆时针旋转90°，画出旋转后的△OA′B′；⑵求出点B到点B′所走过的路径的长。\n【答案】⑴略；⑵。11.（2022·北京市101中学一模，25，8）如图，△ABC为直角三角形，∠C=90°，BC=2cm，∠A=30°；四边形DEFG为矩形，DE=cm，EF=6cm，且点C、B、E、F在同一条直线上，点B与点E重合．备用图（1）求边AC的长；（2）将Rt△ABC以每秒1cm的速度沿矩形DEFG的边EF向右平移，当点C与点F重合时停止移动，设Rt△ABC与矩形DEFG重叠部分的面积为y，请求出重叠部分的面积y(cm2)与移动时间x(s)的函数关系式（时间不包含起始与终止时刻）；（3）在（2）的基础上，当Rt△ABC移动至重叠部分的面积为cm2时，将Rt△ABC沿边AB向上翻折，得到Rt△ABC′，请求出Rt△ABC′与矩形DEFG重叠部分的周长．【答案】25．解：（1）∵，，，∴，．………………………………………………………1分（2）\n①当时，，∴.∴．……………………………………2分②当时，．……………………………………3分③当时，，∴.在中，，∴.∴．∴……………………………………4分（3）①当，且时，即，解得（不合题意，舍去）．……………5分\n∴． 由翻折的性质，得，，． ∵∥，∴. ∵， ∴.∴重叠部分的周长＝.……………………………………………………………………………6分②解法与①类似，当，且时，即，解得（不合题意，舍去）．……7分重叠部分的周长＝．∴当时，重叠部分的周长为．……8分12.（2022·江苏省苏州市一模4，29，9）29．（本题9分）在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A＝60°，BC＝6，等边△DEF从初始位置（点E与点B重合，EF落在BC上，如图所示）在线段BC上沿BC方向以每秒1个单位的速度平移，DE、DF分别与AB相交于点M、N．当点F运动到点C时，△DEF终止运动，此时点D恰好落在AB上，设△DEF平移的时间为x．(1)求△DEF的边长；(2)求M点、N点在BA上的移动速度；(3)在△DEF开始运动的同时，如果点P以每秒2个单位的速度从D点出发沿DE→EF运动，最终运动到F点．若设△PMN的面积为y，求y与x的函数关系式，写出x的取值范围；并说明当P点在何处时，△PMN的面积最大？\n【答案】(1)3(2)M点：N点：(3)y与x的函数关系式x＝0，P在O点时，△PMN的面积最大13.（2022·上海市奉贤区二模，23，12）如图（1），在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠ECD＝，AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H．(1)求证:CF＝CH；（图1）（图2）第23题图DCBEAHMFEDCBAFHM(2)如图(2)，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．【答案】23.解:(1)证明:在△ACB和△ECD中∵∠ACB=∠ECD=∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB,∴∠1=∠2………………………………………………………（2分）又∵AC=CE=CB=CD,∴∠A=∠D=………………………………………………（2分）∴△ACB≌△ECD,∴CF=CH……………………………（2分）(2)答:四边形ACDM是菱形……………………………………………（1分）\n证明:∵∠ACB=∠ECD=,∠BCE=∴∠1=,∠2=又∵∠E=∠B=,∴∠1=∠E,∠2=∠B…………………………………………（2分）∴AC∥MD,CD∥AM,∴四边形ACDM是平行四边形………………………………（2分）又∵AC=CD,∴四边形ACDM是菱形……………………（2分）14.（2022·江苏省南通市启东中学一模1，28，13）如图17所示，已知点B(l，3)、C(l，0)，直线y＝x＋k经过点B，且与x轴交于点A，将△ABC沿直线AB折叠得到△ABD．(1)填空：A点坐标为(_______，_______)，D点坐标为（_______，_______）．(2)若抛物线y＝x2＋bx＋c经过C、D两点，求抛物线的解析式．(3)将(2)中的抛物线沿y轴向上平移，设平移后所得抛物线与y轴交点为E，点M是平移后的抛物线与直线AB的公共点，在抛物线平移过程中是否存在某一位置使得直线EM∥x轴？若存在，此时抛物线向上平移了几个单位？若不存在，请说明理由．[提示：抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴是x＝－，顶点坐标是()]．【答案】28．（1）A（－2，0）D（－2，3）（2）（3）抛物线向上平移个单位能使直线EM∥x轴15.（2022·江苏省南通市启东中学一模3，22，7）如图8所示，在Rt△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝AB＝6，将△OAB绕点O沿逆时针方向旋转90°得到△OA1B1．(1)线段OA1的长是_______，∠AOB1的度数是_______．(2)连接AA1，求证：四边形OAA1B1是平行四边形．(3)求四边形OAA1B1的面积．【答案】22．（1）6，135°（2）四边形OAA1B1是平行四边形（3）3616.（2022·江苏省南通市启东中学一模3，26，11）26．（本小题11分）如图11所示，在图11a至图11c中，直线MN与线段AB相交于点O，∠1＝∠2＝45°．(1)如图11a，若AO＝OB，请写出AO与BD的数量关系和位置关系．(2)将图11a中的MN绕点O顺时针旋转得到图11b，其中AO＝OB．求证：AC＝BD，AC⊥BD．\n(3)将图11b中的OB拉长为AO的k倍得到图11c，求的值．【答案】26．（1）AO=BD，AO⊥BD（2）略（3）=k17.（2022·江苏省南通市启东中学一模3，28，13）28．（本小题13分）如图13a所示，以矩形OABC的两边OA和OC所在的直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系，A点的坐标为(3，0)，C点的坐标为(0，4)．将矩形OABC绕O点逆时针旋转，使B点落在y轴的正半轴上，旋转后的矩形为OA1B1C1，BC、A1B1相交于点M．(1)求点B1的坐标与线段B1C的长．(2)将图13a中的矩形OA1B1C1沿y轴向上平移，如图13b所示，矩形PA2B2C2是平移过程中的某一位置，BC、A2B2相交于点M1，点P运动到C点停止，设点P运动的距离为x，矩形PA2B2C2与原矩形OABC重叠部分的面积为y，求y关于x的函数关系式，并写出x的取值范围．(3)如图13c所示，当点P运动到点C时，平移后的矩形为PA3B3C3，请你思考如何通过图形变换使矩形PA3B3C3与原矩形OABC重合，请简述你的做法．【答案】28．（1）B1的坐标为（0，5）B1C=1（2）当自变量x的取值范围为≤x≤4时，求得y=（或）（3）\n部分参考答案：①把矩阵形PA3B3C3沿∠BPA3的角平分线所在直线对折，②把矩形PA3B3C3绕C点顺时针旋转，使点A3与点B重合，再沿y轴向下平移4个单位长度．③把矩形PA3B3C3绕C点顺时针旋转，使点A3与点B重合，再沿BC所在的直线对折，④把矩形PA3B3C3沿y轴向下平移4个单位长度，再绕O点顺时针旋转使点A3与点A重合．（说明：本问只要求整体图形的重合，不必要求图形原对应点的重合．）18.（2022·江苏省南通市启东中学一模4，21，14）21．如图10所示，将三角形纸片ABC(AB>AC)沿过点A的直线折叠，使得AC落在AB边上，折痕为AD，展平纸片，如图10a；再次折叠该三角形纸片，使得点A与点D重合，折痕为EF，再次展平后连接DE、DF，如图10b，证明：四边形AEDF是菱形．【答案】略19.（2022·浙江省杭州市一模，9，6）9．（本小题满分6分）在如图的方格纸中，每个小正方形的边长都为l.（1）画出将△A1B1C1，沿直线DE方向向上平移5格得到的△A2B2C2；（2）要使△A2B2C2与△CC1C2重合，则△A2B2C2绕点C2顺时针方向旋转，至少要旋转多少度？（直接(第19题)写出答案）【答案】解：（1）图形正确……………2分结论……………1分（2）至少旋转90.…………3分\n20．（2022·广东省一模，20，9）有一个数学活动，其具体操作过程是：第一步：对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF，把纸片展开（如图1）；第二步：再一次折叠纸片，使点A落在EF上，并使折痕经过点B，得到折痕BM，同时得到线段BN（如图2）.(（图1）（图2）请解答以下问题：（1）如图2，若延长MN交线段BC于P，△BMP是什么三角形？请证明你的结论．（2）在图2中，若AB=a，BC=b，a、b满足什么关系，才能在矩形纸片ABCD上剪出符合（1）中结论的三角形纸片BMP？【答案】解：（1）△BMP是等边三角形.…………………………………………………1分证明：连结AN∵EF垂直平分AB∴AN=BN由折叠知AB=BN∴AN=AB=BN∴△ABN为等边三角形∴∠ABN=60°∴∠PBN=30°…………………………3分又∵∠ABM=∠NBM=30°，∠BNM=∠A=90°∴∠BPN=60°∠MBP=∠MBN+∠PBN=60°∴∠BMP=60°∴∠MBP=∠BMP=∠BPM=60°∴△BMP为等边三角形.…………………………………………………5分（2）要在矩形纸片ABCD上剪出等边△BMP，则BC≥BP……………………7分在Rt△BNP中，BN=BA=a，∠PBN=30°∴BP=∴b≥∴a≤b.\n∴当a≤b时，在矩形上能剪出这样的等边△BMP.……………………9分yAPBQCOx21.（2022·广东省一模，22，9）如图，在平面直角坐标系中，四边形为矩形，，，为直线上一动点，将直线绕点逆时针方向旋转交直线于点；（1）当点在线段上运动（不与重合）时，求证：OA·BQ=AP·BP；（2）在（1）成立的条件下，设点的横坐标为，线段的长度为，求出关于的函数解析式，并判断是否存在最小值，若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由。（3）直线上是否存在点，使为等腰三角形，若存在，请求出点的坐标；若不存在，请说明理由。22.（1）证明：∵四边形OABC为矩形∴∠OAP=∠QBP=90°,∵∠OPQ=90°,∴∠APO+∠BPQ=90=∠APO+∠AOP∴∠BPQ=∠AOP,∴△AOP∽△BPQ∴∴OA·BQ=AP·BP－－－－－3分(2)由（1）知OA·BQ=AP·BP∴3×BQ=m(4－m)∴BQ=∴CQ=3－=即L=(0＜m＜4)\n=∴当m=2时，L（最小）=－－－6分(图1)(3)∵∠OPQ=90°,∴要使△POQ为等腰三角形，则PO=PQ.当点P在线段AB上时，如图(1)△AOP≌△BPQ∴PB=AO=3△∴AP=4－3=1∴(1,3)当点P在线段AB的延长线上时，如图（2）此时△QBP≌△PAO∴PB=AO=3∴AP=4+3=7（图2）（图3）∴(7,3)当点P在线段AB的反向延长线上时，如图（3）此时∵PB＞AB＞AO,∴△PQB不可能与△OPA全等,即PQ不可能与PO相等,此时点P不存在.\n综上所述，知存在(1,3),(7,3).－－－－－9分22.（2022·河北省石家庄市一模4，18，10）已知，等腰Rt△ABC中，点O是斜边的中点，△MPN是直角三角形，固定△ABC，滑动△MPN，在滑动过程中始终保持点P在AC上，且PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为E、F．（1）如图1，当点P与点O重合时，OE、OF的数量和位置关系分别是______．（2）当△MPN移动到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）如图3，等腰Rt△ABC的腰长为6，点P在AC的延长线上时，Rt△MPN的边PM与AB的延长线交于点E，直线BC与直线NP交于点F，OE交BC于点H，且EH：HO=2：5，则BE的长是多少？图1ABCOMNEF(P)ABCOMNEFP图2ABCOMNEFP图3H【答案】（1）数量关系：相等，位置关系：垂直．（2）成立，易证△ＯＥＢ≌△ＯＦC； （３）．23.（2022·上海市卢湾区模拟1，24，12）已知：抛物线经过点，，且对称轴与轴交于点.（1）求抛物线的表达式；（2）如图，点、分别是轴、对称轴上的点，且四边形是矩形，点是上一点，将沿着直线翻折，点与线段上的点重合，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，点是对称轴上的点，直线交于点，，求点坐标.\n(第24题图)【答案】解（1）由题意得…………………………………………（1分）解，得∴.…………………………………………（3分）（2）∵与重合，，∴，，∴，又，∴，∵，∴∽，………（2分）∴，……………………………………………………（1分）∵四边形是矩形，∴，，设，则，∴，∴，解，得，∴，∴.…………（1分）（3）过点作，垂足为点.∵，∴，…………………………………（1分）∵，，∴∥，∴，∴，∴.……………………（1分）∴经过点，的直线的表达式为，……………（1分）∴.………………………………………………………………………（1分）\n24．（2022·上海市普陀区二模，25，14）直角三角板ABC中，∠A=30°，BC＝1.将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角（且≠90°），得到Rt△，（1）如图9，当边经过点B时，求旋转角的度数；（2）在三角板旋转的过程中，边与AB所在直线交于点D，过点D作DE∥交边于点E，联结BE.①当时，设，，求与之间的函数解析式及定义域；②当时，求的长.图9备用图备用图25．解：（1）在Rt△中，∵∠A=30°，∴．………………………………………………………（1分）由旋转可知：，，∴△为等边三角形．……………（2分）∴＝．……………（1分）（2）①当时，点D在AB边上（如图）.∵DE∥，∴.．…………………………………………………（1分）由旋转性质可知，CA=，CB=，∠ACD=∠BCE.∴，．…………………………………………………（1分）\n∴.∴△CAD∽△CBE.．………………………………………（1分）∴.∵∠A=30°∴.……………………………………………（1分）∴（0﹤﹤2）…………………………………………（2分）②当时，点D在AB边上AD=x，，∠DBE=90°.此时，.当S=时，.整理，得.解得，即AD=1.…………………………………（2分）当时，点D在AB的延长线上（如图）.仍设AD=x，则，∠DBE=90°...当S=时，.整理，得.解得，（负值，舍去）.即.…………………………………………………（2分）综上所述：AD=1或.\n
