一次函数的应用一、选择题1.（2022天津3分）一家电信公司给顾客提供两种上网收费方式：方式A以每分0.1元的价格按上网所用时间计算；方式B除收月基费20元外．再以每分0．05元的价格按上网所用时间计费。若上网所用时问为分．计费为元，如图．是在同一直角坐标系中．分别描述两种计费方式的函救的图象，有下列结论：①图象甲描述的是方式A：②图象乙描述的是方式B；③当上网所用时间为500分时，选择方式B省钱．其中，正确结论的个数是(A)3(B)2(C)1(D)0【答案】A。【考点】一次函数的图象和性质。【分析】①方式A以每分0.1元的价格按上网所用时间计算，函数关系式为=0.1，与图象甲描述的是方式相同，故结论正确；②方式B除收月基费20元外．再以每分0．05元的价格按上网所用时间计费，函数关系式为=0.05+20，与图象乙描述的是方式相同，故结论正确；③从图象观察可知，当>400时，乙<甲，所以当上网所用时间为500分时，选择方式B省钱，故结论正确。综上，选A。2．（2022重庆潼南4分）目前，全球淡水资源日益减少，提倡全社会节约用水．据测试：拧不紧的水龙头每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升．小康同学洗手后，没有把水龙头拧紧，水龙头以测试的速度滴水，当小康离开分钟后，水龙头滴出毫升的水，请写出与之间的函数关系式是A、=0.05B、=5C、=100D、=0.05+100【答案】B。【考点】根据实际问题列一次函数关系式。【分析】每分钟滴出100滴水，每滴水约0.05毫升，则一分钟滴水100×0.05毫升，则分钟可滴100×0.05x毫升，据此得=100×0.05=5。故选B。3.（2022浙江绍兴4分）小敏从A地出发向B地行走，同时小聪从B地出发向A地行走，如图所示，相交于点P的两条线段l1、l2分别表示小敏、小聪离B地的距离（km）与已用时间（h）之间的关系，则小敏、小聪行走的速度分别是A、3km/h和4km/h B、3km/h和3km/h
C、4km/h和4km/h D、4km/h和3km/h【答案】D。【考点】一次函数的应用。【分析】设小敏的速度为，函数式为。由图知，小敏经过两点（1.6，4.8）和（2.8，0），代入得，解得，由实际问题得小敏的速度为4km/h。设小聪的速度为，函数式为-69-\n。由图知，小聪经过点（1.6，4.8）代入得4.8=1.6，解得则=3，即小聪的速度为3km/h。故选D。4.（2022浙江杭州3分）一个矩形被直线分成面积为，的两部分，则与之间的函数关系只可能是【答案】A。【考点】一次函数的图象和应用。【分析】因为矩形的面积是一定值，即+=，整理得=－+。由此可知是的一次函数，图象经过二、一、四象限；又、都不能为0，即＞0，y＞0，图象位于第一象限。所以只有A符合要求。故选A。5.（2022广西梧州3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=x－与矩形ABCD的边OC、BC分别交于点E、F，已知OA=3，OC=4，则△CEF的面积是（A）6（B）3（C）12（D）【答案】B。【考点】一次函数的应用，矩形的性质，点的坐标与方程的关系。【分析】根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，先求出点E、F的坐标，即可求出CE、CF的长度，从而求出△CEF的面积：在y＝x－中，令y＝0，得x＝1；令x＝4，得y＝2。OE＝1，CF＝2，从而CE＝4－1＝3。因此△CEF的面积为。故选B。6.（2022湖南永州3分）某市打市电话的收费标准是：每次3分钟以内（含3分钟）收费元，以后每分钟收费元（不足1分钟按1分钟计）．某天小芳给同学打了一个6分钟的市话，所用电话费为元；小刚现准备给同学打市电话6分钟，他经过思考以后，决定先打3分钟，挂断后再打3分钟，这样只需电话费元．如果你想给某同学打市话，准备通话10分钟，则你所需要的电话费至少为-69-\nA．元B．元C．元D．元【答案】B。【考点】一次函数的应用。【分析】由已知通过分析可得：根据小刚通话的方式进行，需要电话费最少，即先打3分钟，挂断后再打3分钟，再挂断打（10－3－3）分钟，则费用为：0.2＋0.2＋0.2＋0.1=0.7。故选B。7.（2022山东日照4分）在平面直角坐标系中，已知直线与轴、轴分别交于A、B两点，点C（0，n）是轴上一点．把坐标平面沿直线AC折叠，使点B刚好落在轴上，则点C的坐标是A、（0，）B、（0，）C、（0，3）D、（0，4）【答案】B。【考点】一次函数综合题，翻折变换（折叠问题）的性质，直线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，角平分线的性质。【分析】过C作CD⊥AB于D，交AO于B′，根据点在直线上点的坐标满足方程的关系，在中分别令＝0和＝0求出A，B的坐标，分别为（4，0），（0，3）。从而得OA＝4，OB＝3，根据勾股定理得AB＝5。再根据折叠对称的性质得到AC平分∠OAB，得到CD＝CO＝n，DA＝OA＝4，则DB＝5－4＝1，BC＝3－n。从而在Rt△BCD中，DC2＋BD2＝BC2，即n2＋12＝（3－n）2，解得n＝，因此点C的坐标为（0，）。故选B。8.（2022山东淄博4分）下列各个选项中的网格都是边长为1的小正方形，利用函数的图象解方程，其中正确的是【答案】A。【考点】一次函数的图象，方程的解与直线的交点的关系。-69-\n【分析】利用函数的图象解方程，就是求直线交点的横坐标。由于两直线，从而选项C，D错误。再令，求出两直线与轴交点的横坐标分别是，从而选项B错误。故选A。9.（2022广东台山3分）如果一个定值电阻R两端所加电压为5伏时，通过它的电流为1安培，那么通过这一电阻的电流I随它的两端电压U变化的图像是【答案】D。【考点】正比例函数的图象。【分析】根据电流电压电阻三者关系：，其中R为定值，电流I随它的两端电压U变化是正比例函数的关系，所以它的图象为过原点的直线。故选C。10.（2022湖北黄石3分）已知梯形ABCD的四个顶点的坐标分别为A（－1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），直线将梯形分成面积相等的两部分，则的值为A.B.C.D.【答案】A。【考点】一次函数综合题。【分析】根据题目提供的点的坐标求得梯形的面积，利用直线将梯形分成相等的两部分，求得直线与梯形的边围成的三角形的面积，从而求得其解析式即可：∵梯形ABCD的四个顶点的坐标分別为A（－1，0），B（5，0），C（2，2），D（0，2），∴梯形的面积为：。∵直线将梯形分成面积相等的两部分，∴直线与AD、AB围成的三角形的面积为4。设直线与轴交与点（，0），-69-\n∴，∴=3。∴直线与轴的交点为（3，0）∴0=3+2，解得=。故选A。11.（2022湖北黄冈、鄂州3分）如图，把Rt△ABC放在直角坐标系内，其中∠CAB=90°，BC=5，点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），将△ABC沿轴向右平移，当点C落在直线=2﹣6上时，线段BC扫过的面积为A、4B、8C、16D、8【答案】C。【考点】一次函数综合题，一次函数图象上点的坐标特征，平移的性质，勾股定理，平行四边形的性质。【分析】如图所示，根据已知和勾股定理，求得点C的坐标（1，4），当△ABC向右平移时，根据平移的性质，点C的纵坐标不变，代入直线=2﹣6求得平移后点C（即C1）的横坐标，从而求得其平移的距离，计算平行四边形的面积即可：∵点A、B的坐标分别为（1，0）、（4，0），∴AB=3，BC=5。∵∠CAB=90°，∴AC=4。∴点C的坐标为（1，4）。当点C落在直线=2﹣6上时，令=4，得到4=2﹣6，解得=5。∴平移的距离为5﹣1=4。∴线段BC扫过的面积为平行四边形的面积（如图CC1B1B）：4×4=16。故选C。二、填空题1.（2022四川攀枝花4分）如图，已知直线l1：与直线l2：相交于点C，直线l1、l2分别交轴于A、B两点，矩形DEFG的顶点D、E分别在l1、l2上，顶点F、G都在轴上，且点G与B点重合，那么S矩形DEFG：S△ABC= ▲．【答案】8：9。【考点】一次函数综合题，直线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组。【分析】由，得=﹣4，∴A点坐标为（﹣4，0），由，得=8，∴B点坐标为（8，0）。∴AB=8－（－4）=12。由，解得。∴C点的坐标为（5，6）。∴S△ABC=AB•C=×12×6=36。-69-\n∵点D在l1上且D=B=8，∴。∴D点坐标为（8，8）。又∵点E在l2上且E=D=8，∴﹣2E+16=8，∴E=4，∴E点坐标为（4，8）。∴DE=8－4=4，EF=8。∴S矩形DEFG=4×8=32。∴S矩形DEFG：S△ABC=32：36=8：9。三、解答题1.（2022浙江舟山、嘉兴8分）目前“自驾游”已成为人们出游的重要方式．“五一”节，林老师驾轿车从舟山出发，上高速公路途经舟山跨海大桥和杭州湾跨海大桥到嘉兴下高速，其间用了4.5小时；返回时平均速度提高了10千米／小时，比去时少用了半小时回到舟山．嘉兴舟山东海（1）求舟山与嘉兴两地间的高速公路路程；（2）两座跨海大桥的长度及过桥费见下表：大桥名称舟山跨海大桥杭州湾跨海大桥大桥长度48千米36千米过桥费100元80元我省交通部门规定：轿车的高速公路通行费（元）的计算方法为：，其中（元／千米）为高速公路里程费，（千米）为高速公路里程（不包括跨海大桥长），（元）为跨海大桥过桥费．若林老师从舟山到嘉兴所花的高速公路通行费为295.4元，求轿车的高速公路里程费．【答案】解：（1）设舟山与嘉兴两地间的高速公路路程为s千米，由题意得，，解得，s=360。所以舟山与嘉兴两地间的高速公路路程为：360千米；（2）轿车的高速公路通行费y（元）的计算方法为：，根据表格和林老师的通行费可知，高速公路通行费295.4元，高速公路里程=360﹣48﹣36=276，跨海大桥过桥费=100+80=180，将它们代入中得。所以轿车的高速公路里程费为：0.4元/千米．【考点】一次函数的应用，一元一次方程的应用。【分析】（1）根据往返的时间、速度和路程可得到一个一元一次方程，解此方程可得舟山与嘉兴两地间的高速公路路程。（2）根据表格和林老师从舟山到嘉兴所花的高速公路通行费可以将解析式-69-\n转换成一个含有未知数的一元一次方程，解此方程可得轿车的高速公路里程费。2.（2022浙江绍兴10分）在平面直角坐标系中．过一点分別作坐标轴的垂线，若与坐标轴围成矩形的周长与面积相等，则这个点叫做和谐点．例如．图中过点P分別作轴，轴的垂线．与坐标轴围成矩形OAPB的周长与面积相等，则点P是和谐点．（1）判断点M（l，2），N（4，4）是否为和谐点，并说明理由；（2）若和谐点P（，3）在直线（为常数）上，求的值．【答案】解：（1）∵1×2≠2×（1＋2），4×4=2×（4＋4），∴点M不是和谐点，点N是和谐点。（2）解：由题意得：当＞0时，（＋3）×2=3，∴=6。点P（6，3）在直线上，代入得：=9。当＜0时，（－＋3）×2=－3，∴=－6。点P（－6，3）在直线上，代入得：=－3。∴=6，b=9或=－6，=－3。【考点】一次函数综合题，一次函数图象上点的坐标特征。【分析】（1）计算1×2≠2×（1+2），4×4=2×（4+4）即可。（2）当＞0时，根据（＋3）×2=3，求出，从而求出；当＜0时，根据（－＋3）×2=－3求出，从而求出。3.（2022浙江金华、丽水10分）某班师生组织植树活动，上午8时从学校出发，到植树地点植树后原路返校，如图为师生离校路程s与时间t之间的图象．请回答下列问题：（1）求师生何时回到学校？（2）如果运送树苗的三轮车比师生迟半小时出发，与师生同路匀速前进，早半小时到达植树地点，请在图中，画出该三轮车运送树苗时，离校路程s与时间t之间的图象，并结合图象直接写出三轮车追上师生时，离学校的路程；（3）如果师生骑自行车上午8时出发，到植树地点后，植树需2小时，要求14时前返回到学校，往返平均速度分别为每时10km、8km．现有A、B、C、D四个植树点与学校的路程分别是13km、15km、17km、19km，试通过计算说明哪几个植树点符合要求．【答案】解：（1）设师生返校时的函数解析式为，如图所示，把（12，8）、（13，3）代入上式中得，，解得，。∴。当s=0时，t=13.6=13时36分。∴师生在13时36分回到学校。-69-\n（2）该三轮车运送树苗时，离校路程s与时间t之间的图象如图所示：由图象得，当三轮车追上师生时，离学校4km；（3）设符合学校要求的植树点与学校的路程为（km），由题意得：＜14，解得，。答：A、B、C植树点符合学校的要求。【考点】一次函数的应用。【分析】（1）先根据师生返校时的路程与时间之间的关系列出函数解析式，然后看图将两组对应s与t的值代入可得到一个二元一次方程组，解此方程组可得函数解析式．当返回学校时就是s为0时，t的值。（2）根据题意直接画出该三轮车运送树苗时，离校路程s与时间t之间的图象，看图可得三轮车追上师生时，离学校的路程。（3）先设符合学校要求的植树点与学校的路程为（km），然后根据往返的平均速度、路程和时间得到一个不等式，解此不等式可得到的取值范围，再确定植树点是否符合要求。4.（2022辽宁大连10分）如图1，某容器由A、B、C三个长方体组成，其中A、B、C的底面积分别为25cm2、10cm2、5cm2，C的容积是容器容积的（容器各面的厚度忽略不计）．现以速度v（单位：cm3/s）均匀地向容器注水，直至注满为止．图1是注水全过程中容器的水面高度h（单位：cm）与注水时间t（单位：s）的函数图象．⑴在注水过程中，注满A所用时间为______s，再注满B又用了_____s；⑵求A的高度hA及注水的速度v；⑶求注满容器所需时间及容器的高度．【答案】（1）10s，8s。（2）根据题意和函数图象得，，解得，。∴A的高度hA为4cm，注水的速度为10cm3/s（3）设C的容积为cm3，则由C的容积是容器容积的，有，4＝10＋8＋将＝10代入计算得，＝60。∴容器C的高度为：60÷5=12（cm）。∴这个容器的高度是：12+12=24（cm）。∴注满C的时间是：60÷v=60÷10=6（s）。∴注满这个容器的时间为：10+8+6=24（s）。【考点】一次函数的应用，解二元一次方程组。【分析】（1）看函数图象可知，注满A所用时间为10s，再注满B又用了8s。-69-\n（2）根据函数图象所给时间和高度列出一个含有hA及的二元一次方程组，解此方程组可得答案。（3）根据C的容积和总容积的关系求出C的容积，再求C的高度及注满C的时间，就可以求出注满容器所需时间及容器的高度。5．（2022辽宁丹东10分）某食品加工厂需要一批食品包装盒，供应这种包装盒有两种方案可供选择：方案一：从包装盒加工厂直接购买，购买所需的费用与包装盒数x满足如图l所示的函数关系．方案二：租赁机器自己加工，所需费用(包括租赁机器的费用和生产包装盒的费用)与包装盒数x满足如图2所示的函数关系。根据图象同答下列问题：（1）方案一中每个包装盒的价格是多少元？（2）方案二中租赁机器的费用是多少元？生产一个包装盒的费用是多少元？（3）请分别求出，与x的函数关系式．（4）如果你是决策者，你认为应该选择哪种方案更省钱？并说明理由．【答案】解：（1）∵500÷100＝5，∴方案一中每个包装盒的价格是5元。（2）根据函数的图象可以知道方案二中租赁机器的费用为20000元，又∵（30000－20000）÷4000＝2.5，∴方案二中生产一个包装盒的费用是2.5元。（3）设与的函数关系式为：，由图象知函数经过点（100，500），∴500＝100，解得=5。∴与的函数关系式为：。设与的函数关系式为：，-69-\n由图象知道函数的图象经过点（0，20000）和（4000，30000）∴，解得：。∴与的函数关系式为：。（4）令5＝2.5＋20000，解得＝8000。∴当＝8000时，两种方案同样省钱；当＜8000时，方案一所需的费用低于方案二所需费用，故选择方案一；当＞8000时，方案二所需的费用低于方案一所需费用，故选择方案二。【考点】一次函数的应用，待定系数法，点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组。【分析】（1）根据图1可知100个盒子共花费500元，据此可以求出盒子的单价。（2）根据图2可以知道租赁机器花费20000元，根据图象所经过的点的坐标求出生产一个包装盒的费用即可。（3）根据图象经过的点的坐标用待定系数法求得函数的解析式即可。（4）求出当的值为多少时，两种方案同样省钱，并据此分类讨论最省钱的方案即可。6.（2022辽宁抚顺12分）某商场新进一批商品，每个成本价25元，销售一段时间发现销售量y(个)与销售单价x(元/个)之间成一次函数关系，如下表：x(元/个)3050y(个)190150(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若该商品的销售单价在45元～80元之间浮动，①销售单价定为多少元时，销售利润最大？此时销售量为多少？②商场想要在这段时间内获得4550元的销售利润，销售单价应定为多少元？【答案】解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b(k≠0)，由题意得：解得∴y与x之间的函数关系式为 y＝－2x＋250。(2)①设该商品的利润为W元。∴ W＝(－2x＋250)·(x－25)＝－2x2＋300x－6250＝－2（x－75）2＋5000。∵ －2＜0，∴ 当x＝75时，W最大，此时销量为y＝－2×75＋250＝100(个)。②由题意得：－2（x－75）2＋5000＝4550，即（x－75）2＝225，即x－75＝±15，∴ x1＝60，x2＝90。∵ x＜80，∴ x＝60。答：商场想要在这段时间内获得4550元的销售利润，销售单价应定在60元。【考点】待定系数法求一次函数关系式，点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组，二次函数的性质，解一元二次方程。【分析】(1)由已知，根据点在直线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法可求一次函数关系式。（2）①应用二次函数最大值的性质，可求销售利润最大时的销售单价，代入y与x之间的函数关系式即可求得此时销售量。②将W＝4-69-\n550代入W＝－2（x－75）2＋5000，解此一元二次方程即可求解。7.（2022吉林长春10分）．甲、乙两组工人同时加工某种零件，乙组工作中有一次停产更换设备，更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍．两组各自加工零件的数量(件)与时间(时)的函数图象如图所示．（1）求甲组加工零件的数量y与时间之间的函数关系式．（2）求乙组加工零件总量的值．（3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不计，求经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？【答案】解：（1）设甲组加工的零件数量与时间的函数关系式为。根据题意，得，解得。∴甲组加工的零件数量与时间的函数关系式为。（2）当时，。∵换设备后，乙组工作效率是原来的2倍，∴。解得。（3）乙组更换设备后，乙组加工的零件的个数与时间x的函数关系式为。∴乙组加工的零件的个数y与时间的函数关系式为当0≤≤2时，，得，舍去；当2<≤2.8时，，得，舍去；当2.8<≤4.8时，，得；∴经过3小时恰好装满第1箱。当3<≤4.8时，，，舍去。当4.8<≤6时．，得。-69-\n∵5－3=2。∴再经过2小时恰好装满第2箱。【考点】一次函数的应用，待定系数法，点的坐标与方程的关系。【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可。（2）利用更换设备后，乙组工作效率是原来的2倍列方程即可求解。（3）列出乙组加工的零件的个数与时间的函数关系式，分时间进行讨论求解。8.（2022黑龙江大庆7分）如图，制作一种产品的同时，需将原材料加热，设该材料温度为yºC，从加热开始计算的时间为xmin．据了解，该材料在加热过程中温度y与时间x成一次函数关系．已知该材料在加热前的温度为15ºC，加热5min达到60ºC并停止加热；停止加热后，材料温度逐渐下降，这时温度y与时间x成反比例函数关系．(1)分别求出该材料加热和停止加热过程中y与x的函数关系，并写出x的取值范围；(2)根据工艺要求，在材料温度不低于30ºC的这段时间内，需要对该材料进行特殊处理，那么对该材料进行特殊处理所用的时间是多少？【答案】解：（1）设加热过程中一次函数表达式为∵该函数图像经过点（0，15），（5，60），∴，解得。∴一次函数表达式为。设加热停止后反比例函数表达式为，该函数图像经过点（5，60），∴，得。∴反比例函数表达式为。（2）由题意得：，解得；解得则。所以对该材料进行特殊处理所用的时间为分钟。【考点】反比例函数和一次函数的应用，待定系数法，点的坐标与方程的关系。-69-\n【分析】（1）确定两个函数后，找到函数图象经过的点的坐标，用待定系数法求得函数的解析式即可。（2）分别令两个函数的函数值为30，解得两个的值相减即可得到答案。9.（2022黑龙江龙东五市8分）汶川灾后重建工作受到全社会的广泛关注，全国各省对口支援四川省受灾市县。我省援建剑阁县，建筑物资先用火车源源不断的运往距离剑阁县180千米的汉中市火车站，再由汽车运往剑阁县。甲车在驶往剑阁县的途中突发故障，司机马上通报剑阁县总部并立即检查和维修。剑阁县总部在接到通知后第12分钟时，立即派出乙车前往接应。经过抢修，甲车在乙车出发第8分钟时修复并继续按原速行驶，两车在途中相遇。为了确保物资能准时运到，随行人员将物资全部转移到乙车上（装卸货物时间和乙车掉头时间忽略不计），乙车按原速原路返回，并按预计时间准时到达剑阁县。下图是甲、乙两车离剑阁县的距离y（千米）与时间x（小时）之间的函数图象。请结合图象信息解答下列问题：（1）请直接在坐标系中的()内填上数据。（2）求直线CD的函数解析式，并写出自变量的取值范围。（3）求乙车的行驶速度。【答案】解：（1）（2）作DK⊥X轴于点K。由（1）可得K点的坐标为（2.1，0）。由题意得：120－（2.1－1－）×60＝74。∴点D坐标为（2.1，74）。设直线CD的解析式为，∵C（，120），D（2.1，74），∴，解得。∴直线ＣＤ的解析式为：。（3）由题意得：V乙＝74÷（3－2.1）＝（千米/时），∴乙车的速度为（千米/时）。-69-\n【考点】一次函数的图象和应用，待定系数法，点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组。【分析】（1）根据已知和函数图象，可知确保物资能准时运到，甲车需3小时，因此可求出甲车的速度，从而求出图中B点的纵坐标，即180－＝120，那么F点的横坐标为1+＝1.2，那么D点的横坐标为：1.2＋（3－1.2）÷2＝2.1。（2）作DK⊥X轴于点K，由（1）得出点D的坐标，从而用待定系数法求出函数解析式及自变量的取值范围。（3）根据（2）求出的点D的坐标求出乙车的行驶速度。10.（2022黑龙江省绥化、齐齐哈尔、黑河、大兴安岭、鸡西8分）某单位准备印制一批证书，现有两个印刷厂可供选择，甲厂费用分为制版费和印刷费两部分，乙厂直接按印刷数量收取印刷费．甲、乙两厂的印刷费用（千元）与证书数量x（千个）的函数关系图象分别如图中甲、乙所示．（1）请你直接写出甲厂的制版费及y甲与的函数解析式，并求出其证书印刷单价．（2）当印制证书8千个时，应选择哪个印刷厂节省费用，节省费用多少元？（3）如果甲厂想把8千个证书的印制工作承揽下来，在不降低制版费的前提下，每个证书最少降低多少元？【答案】解：（1）甲厂的制版费为1千元；甲与的函数解析式为y甲=+1；证书单价为（元/个）。（2）把=6代入y甲=+1中得y=4。当≥2时，由图象可设乙与的函数关系式为乙=k+b，由已知得，解得，∴乙与的函数关系式为乙=+。当=8时，甲=×8＋1=5，乙=×8＋=。5－=0.5（千元）∴即当印制8千张证书时，选择乙厂，节省费用500元。-69-\n（3）设甲厂每个证书的印刷费用应降低元，∵8000=500，∴=0.0625。答：甲厂每个证书印刷费单价最少降低0.0625元。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组。【分析】（1）结合图象便可看出是关于的一次函数，从图中可以观察出甲厂的制版费为1千元，由单价＝（印刷费用－制版费）÷证书数量可求出其证书印刷单价。（2）分别求出甲乙两车的费用关于证书个数的函数，将=8分别代入两个函数，可得出选择乙厂课节省500元。（3）根据实际情况甲厂只有降价500元才能将印制工作承揽下来，这样每个证书要降价0.0625元。11.（2022黑龙江牡丹江8分）甲、乙两车在连通A、B、C三地的公路上行驶，甲车从A地出发匀速向C地行驶，同时乙车从C地出发匀速向B地行驶，到达B地并在B地停留1小时后，按原路原速返回到C地．在两车行驶的过程中，甲、乙两车距B地的路程(千米)与行驶时间(小时)之间的函数图象如图所示，请结合图象回答下列问题：(1)求甲、乙两车的速度，并在图中()内填上正确的数；(2)求乙车从B地返回到C地的过程中，与之间的函数关系式；(3)当甲、乙两车行驶到距B地的路程相等时，甲、乙两车距B地的路程是多少?【答案】解：(1)由图象知，甲的速度为（600＋200）÷8=100（千米km/小时），乙的速度为（200×2）÷（9-1）=150（千米/小时），图中()内的时间为600÷100=6（小时）。（2）设乙车从B地返回到C地的函数关系式为，∵图象经过(5，0)，(9，200)两点)．∴，解得。∴乙车从B地返回到C地的函数关系式为。（3）设甲车从A地到B地的函数关系式为，∵图象经过（0，600），（6，0）两点，∴，解得。∴甲车从A地到B地的函数关系式为。设甲车从B地到C地的函数关系式为，∵图象经过（8，200），（6，0）两点，∴，解得。∴甲车从B地到C地的函数关系式为。-69-\n由和解得，=（千米）和=100（千米）。∴甲、乙两车行驶到距B地的路程相等时，甲、乙两车距B地的路程是千米和100千米。【考点】一次函数的应用，待定系数法，点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组。【分析】（1）由已知图象求出甲、乙的速度和甲到达B地的时间。（2）由图象上的点，根据点要直线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出乙车从B地返回到C地的函数关系式。（3）再求出甲车从A地到B地的函数关系式和甲车从B地到C地的函数关系式，分别与乙车从B地返回到C地的函数关系式联立求出的交点的纵坐标即可。12.（2022湖南岳阳8分）某工厂有一种材料，可加工甲、乙、丙三种型号机械配件共240个．厂方计划由20个工人一天内加工完成，并要求每人只加工一种配件．根据下表提供的信息，解答下列问题：配件种类甲乙丙每人可加工配件的数量（个）161210每个配件获利（元）685（1）设加工甲种配件的人数为，加工乙种配件的人数为，求与之间的函数关系式．（2）如果加工每种配件的人数均不少于3人，那么加工配件的人数安排方案有几种？并写出每种安排方案．（3）要使此次加工配件的利润最大，应采用（2）中哪种方案？并求出最大利润值．【答案】解：（1）∵厂方计划由20个工人一天内加工完成，∴加工丙种配件的人数为（20﹣﹣）人，∴16+12+10（20﹣﹣）=240，∴=﹣3+20。（2）设加工丙种配件的人数为=（20﹣﹣）人，当=3时，=11，=6；当=4时，=8，=8；当=5时，=5，=10。其他都不符合题意，∴加工配件的人数安排方案有三种：方案一：=3，=11，=6；方案二：=4，=8，=8；方案三：=5，=5，=10。（3）由图表得：方案一利润为：3×16×6+11×12×8+10×6×5=1644元；方案二利润为：4×16×6+8×12×8+10×8×5=1552元；方案三利润为：5×16×6+5×12×8+10×10×5=1460元。∴应采用（2）中方案一，最大利润为1644元。【考点】一次函数的应用。【分析】（1）根据图表得出16+12y+10（20﹣﹣）=240，从而求出与的关系式即可；（2）利用（1）中关系式即可得出方案。（3）分别求出（2）中方案的利润即可。13.(江苏无锡10分)-69-\n张经理到老王的果园里一次性采购一种水果，他俩商定：张经理的采购价y(元／吨)与采购量x(吨)之间函数关系的图象如图中的折线段ABC所示(不包含端点A，但包含端点C)．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)已知老王种植水果的成本是2800元／吨，那么张经理的采购量为多少时，老王在这次买卖中所获的利润w最大?最大利润是多少?【答案】解：(1)由图像知，(2)∵利润＝收入－成本＝采购价×采购量－成本，即∴由(1)有。是一次函数一段，且，∴最大值为5200×20=104000；是二次函数一段，且，∴当时，有最大值。因此综上所述，张经理的采购量为23吨时，老王在这次买卖中所获的利润w最大，最大利润是105800元。【考点】一次函数、二次函数的性质和应用。【分析】(1)由图像知时,函数值为8000得；时，函数图象经过（20，8000），（40，4000）,由待定系数法可求得。(2)由利润、收入、成本的关系可推得的关系式，分析一次函数和二次函数的最大值可解。14.（2022江苏南京7分）小颖和小亮上山游玩，小颖乘会缆车，小亮步行，两人相约在山顶的缆车终点会合．已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖在小亮出发后50min才乘上缆车，缆车的平均速度为180m/min．设小亮出发min后行走的路程为m．图中的折线表示小亮在整个行走过程中与的函数关系．⑴小亮行走的总路程是____________m，他途中休息了________min．⑵①当时，求与的函数关系式；②当小颖到达缆车终点为时，小亮离缆车终点的路程是多少？【答案】解：⑴3600，20。⑵①当时，设与的函数关系式为，根据题意，当时，；当，。-69-\n∴，解得。∴与的函数关系式为。②缆车到山顶的路线长为3600÷2＝1800（），缆车到达终点所需时间为1800÷180＝１0（），小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10＋50＝60（）。把代入，得＝55×60—800＝2500．∴当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是3600－2500＝1100（）。【考点】一次函数的图象和应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】⑴看图可知，小亮行走的总路程是3600，他途中休息了50－30＝20。⑵当时，求y与x的函数关系式,看图可知,点(50，1950)，(80,，600)在函数图像上,坐标满足函数关系式,用待定系数法可求。由路程、速度和时间的关系求出缆车到达终点所需时间，从而求出小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间。代入函数关系式即得小亮离缆车终点的路程。15.（2022江苏泰州10分）小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2400m的邮局办事，小明出发的同时，他的爸爸以96m/min速度从邮局同一条道路步行回家，小明在邮局停留2min后沿原路以原速返回，设他们出发后经过tmin时，小明与家之间的距离为s1m，小明爸爸与家之间的距离为s2m，图中折线OABD、线段EF分别表示s1、s2与t之间的函数关系的图象。s(m)AODCBt(min)24001012F（1）求s2与t之间的函数关系式；（2）小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？【答案】解：(1)由题意得t＝2400÷96＝25。设s1＝kt＝b,将（0，2400）和（25，0）代入得：解得：。∴s2与t之间的函数关系式为：s2＝－96t＋2400。（2）由题意得D为（22，0）设直线BD的函数关系式为：s＝mt＋n，得：，解得：。∴直线BD的函数关系式为：s＝－240t＋5280由－96t＋2400＝－240t＋5280解得：t＝20。当t＝20时，s＝480。答：小明从家出发，经过20min在返回途中追上爸爸，这时他们距离家还有480m。-69-\n【考点】待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组。【分析】（1）首先由小明的爸爸以96m/min速度从邮局同一条道路步行回家，求得小明的爸爸用的时间，即可得点D的坐标，然后由E（0，2400），F（25，0），利用待定系数法即可求得答案。（2）首先求得直线BD的解析式，然后求直线BD与EF的交点，即可求得答案。16.（2022江苏扬州12分）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）．现将甲槽的水匀速注入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度（厘米）与注水时间（分钟）之间的关系如图2所示．根据图象提供的信息，解答下列问题：（1）图2中折线ABC表示________槽中水的深度与注水时间的关系，线段DE表示_______槽中水的深度与注水时间之间的关系（以上两空选填“甲”或“乙”），点B的纵坐标表示的实际意义是________________________________；（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积；（4）若乙槽中铁块的体积为112立方厘米，求甲槽底面积（壁厚不计）．（直接写出结果）甲槽乙槽图1y（厘米）1914122O46BCDAEx（分钟）图2【答案】解：（1）乙，甲，铁块的高度为14cm。（2）设线段DE的函数关系式为则，解得。∴DE的函数关系式为。设线段AB的函数关系式为，则，解得。∴AB的函数关系式为。由题意得，解得。∴注水2分钟时，甲、乙两水槽中水的深度相同。（3）∵水由甲槽匀速注入乙槽，∴乙槽前4分钟注入水的体积是后2分钟的2倍。设乙槽底面积与铁块底面积之差为S，则。解得-69-\n∴铁块底面积为。∴铁块的体积为。（4）甲槽底面积为。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，圆柱体体积。【分析】（1）折线ABC表示槽中水的深度与注水时间的关系是随时间逐步加深，体现了乙槽中水的深度与注水时间的关系；线段DE表示槽中水的深度与注水时间的关系是随时间逐步变浅，体现了甲槽中水的深度与注水时间的关系；点B的纵坐标表示槽中水的深度14厘米，实际意义是铁块的高度为14cm。（2）线段DE与线段AB交点的横坐标即为所求，故求出线段DE与线段AB的函数关系式，联立求解即可。（3）要求乙槽中铁块的体积，只要利用图上乙槽前4分钟注入水的体积是后2分钟的2倍这一条件，求出乙槽底面积与铁块底面积之差，再求乙槽中铁块的体积即可。（4）∵铁块的体积为，∴铁块底面积为。设甲槽底面积为，则注水的速度为。由题意得，解得。∴甲槽底面积为。17.（2022江苏淮安12分）小华观察钟面（图1），了解到钟面上的分针每小时旋转360度，时针每小时旋转30度.他为了进一步研究钟面上分针与时针的旋转规律，从下午2:00开始对钟面进行了一个小时的观察.为了研究方便，他将分针与分针原始位置OP（图2）的夹角记为1度，时针与原始位置OP的夹角记为2度（夹角是指不大于平角的角），旋转时间记为分钟，观察结束后，他利用所得的数据绘制成图象（图3），并求出了1与t的函数关系式：请你完成：（1）求出图3中2与的函数关系式；（2）直接写出A、B两点的坐标，并解释这两点的实际意义；（3）若小华继续观察一小时，请你在图3中补全图象.【答案】解：（1）由图3可知：2的图象经过点（0，60）和（60，90），-69-\n设，则，解得。∴图3中2与的函数关系式为：。（2）。它的实际意义是经过分钟时，分针和时针重合，它们与分针原始位置OP的夹角为度。。它的实际意义是经过分钟时，分针和时针与分针原始位置OP的夹角均为度，分针在OP的左侧，时针在OP的左侧。（3）补全图象如右图：【考点】待定系数法，点的坐标与方程的关系，一次函数的图象，交点坐标（二元一次方程组）的求解。【分析】（1）利用待定系数法设列一次函数关系式，把已知两点代入其中，求出待定系数。据此即可列出函数解析式。（2）联立二元一次方程组，求出两个函数的交点坐标即可。注意分两段分别联立。（3）分针会再转一圈，与第一个小时的情况相同，是一个循环，而时针OP的夹角增大的速度与第一个小时相同，即函数图象向右延伸。18.（2022江苏宿迁10分）某通讯公司推出①、②两种通讯收费方式供用户选择，其中一种有月租费，另一种无月租费，且两种收费方式的通讯时间（分钟）与收费（元）之间的函数关系如图所示．（1）有月租费的收费方式是▲（填①或②），月租费是▲元；-69-\n（2）分别求出①、②两种收费方式中y与自变量x之间的函数关系式；（3）请你根据用户通讯时间的多少，给出经济实惠的选择建议．【答案】解：（1）①；30。（2）设，，由题意得，解得；，解得。故所求的解析式为；。（3）由＝，得0.2＝0.1＋30，解得＝300。∴当＝300时，＝60。∴由图可知当通话时间在300分钟内，选择通话方式②实惠；当通话时间超过300分钟时，选择通话方式①实惠；当通话时间在300分钟时，选择通话方式①、②一样实惠。【考点】一次函数的图象，待定系数法，直线上的点与方程的关系，解一元一次方程。【分析】⑴从图可直接得出结论。（2）各由待定系数法解得。（3）联立方程得交点，进行分析。19.（2022山东日照9分）某商业集团新进了40台空调机，60台电冰箱，计划调配给下属的甲、乙两个连锁店销售，其中70台给甲连锁店，30台给乙连锁店．两个连锁店销售这两种电器每台的利润（元）如下表：空调机电冰箱甲连锁店200170乙连锁店160150设集团调配给甲连锁店台空调机，集团卖出这100台电器的总利润为（元）．（1）求关于的函数关系式，并求出的取值范围；（2）为了促销，集团决定仅对甲连锁店的空调机每台让利元销售，其他的销售利润不变，并且让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，问该集团应该如何设计调配方案，使总利润达到最大？【答案】解：（1）根据题意知，调配给甲连锁店电冰箱（70－）台，调配给乙连锁店空调机（40－）台，电冰箱（－10）台，则＝200＋170（70－）＋160（40－）＋150（－10），即＝20＋16800。∵，∴10≤≤40。∴关于的函数关系式为＝20＋16800（10≤≤40）。（2）按题意知：＝（200－）＋170（70－）＋160（40－）＋150（－10），即＝（20－）＋16800。-69-\n∵200﹣＞170，∴＜30。当0＜＜20时，∵函数＝（20－）＋16800随增加而增加，∴＝40时，最大，即调配给甲连锁店空调机40台，电冰箱30台，乙连锁店空调0台，电冰箱30台；当=20时，∵函数＝（20－）＋16800＝16800，即的取值在10≤≤40内的所有方案利润相同；当20＜＜30时，∵函数＝（20－）＋16800随增加而减小，∴＝10时，最大，即调配给甲连锁店空调机10台，电冰箱60台，乙连锁店空调30台，电冰箱0台。【考点】一次函数的应用（优选方案问题），解一元一次不等式组，一次函数的性质。【分析】（1）首先由已知，得调配给甲连锁店电冰箱（70﹣）台，调配给乙连锁店空调机（40﹣）台，电冰箱（﹣10）台，列出总利润的函数关系式，然后列出不等式组求解的取值范围即可。（2）由（1）关系式，结合让利后每台空调机的利润仍然高于甲连锁店销售的每台电冰箱的利润，列不等式解答，根据的不同取值范围，根据一次函数的性质解答。20.（2022广东茂名8分）某学校要印制一批《学生手册》，甲印刷厂提出：每本收1元印刷费，另收500元制版费；乙印刷厂提出：每本收2元印刷费，不收制版费．（1）分别写出甲、乙两厂的收费甲（元）、乙（元）与印制数量（本）之间的关系式；（2）问：该学校选择哪间印刷厂印制《学生手册》比较合算？请说明理由．【答案】解：（1）甲=+500，乙=2；（2）当甲＞乙时，即+500＞2，则＜500，当甲=乙时，即+500=2，则=500，当甲＜乙时，即+500＜2，则＞500，∴该学校印制学生手册数量小于500本时应选择乙厂合算，当印制学生手册数量大于500本时应选择甲厂合算，当印制学生手册数量等于500本时选择两厂费用都一样。【考点】一次函数的应用。【分析】（1）利用题目中提供的收费方式列出函数关系式即可。（2）求出当两种收费方式费用相同的值，并以此为界作出正确的方案即可。21.（2022广东台山10分）据某气象中心观察和预测：发生于M地的沙尘暴一直向正南方向移动，其移动速度V（km/h）与时间（h）的函数图象如图所示，过线段OC上一点T（,O）作横轴的垂线L，梯形OABC在直线L左侧部分的面积即为（h）内沙尘暴所经过的路程S.(1)当=4时，求S的值；（2）将S随变化的规律用数学关系式表示出来；（3）若N城位于M地正南方向，且距M地650km，试判断这场沙尘暴是否会侵袭到N城，如果会，在沙尘暴发生后多长时间它将侵袭到N城？如果不会，请说明理由。【答案】解：（1）∵OA所在直线的方程为，此时。∴当=4时，（km）。-69-\n（2）依图形，得当时，（1）已经求出：；当时，；当时，BC所在直线的方程为，∴S随变化的规律用数学关系式为：S＝。（3）∵当＝20时，，∴S＝650时，，解之得，1＝30，2＝40（不合舍去）答：这场沙尘暴会侵袭到N城，并在沙尘暴发生后30h它将侵袭到N城。【考点】列函数关系式，求函数值，求自变量值，解一元二次方程。【分析】（1）因为＝4时，速度V是直线OA所在直线。故先求出OA所在直线的方程，再求＝4时，S的值：以4为底，12为高的三角形面积。（2）分段列式：当时，（1）已经求出；当时，S是：一个以10为底，30为高的三角形面积，加上一个长30，宽－10的长方形面积；当时，S是：一个以10为底，30为高的三角形面积，加上一个长30，宽10的长方形面积，再加上一个上底－2＋70，下底30，高－20的梯形面积。（3）考虑S=650时，适用哪一段函数即可求出。22．（2022河北省9分）已知A、B两地的路程为240千米．某经销商每天都要用汽车或火车将吨保鲜品一次性由A地运往B地．受各种因素限制，下一周只能采用汽车和火车中的一种进行运输，且须提前预订．现有货运收费项目及收费标准表、行驶路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数图象（如图1）、上周货运量折线统计图（如图2）等信息如下：货运收费项目及收费标准表运输工具运输费单价：元/（吨•千米）冷藏费单价：元/（吨•时）固定费用：元/次汽车25200火车1.652280-69-\n（1）汽车的速度为60千米/时，火车的速度为100千米/时：（2）设每天用汽车和火车运输的总费用分别为汽（元）和火（元），分别求汽、火与的函数关系式（不必写出的取值范围），及为何值时汽＞火（总费用=运输费+冷藏费+固定费用）（3）请你从平均数、折线图走势两个角度分析，建议该经销商应提前为下周预定哪种运输工具，才能使每天的运输总费用较省？【答案】解：（1）根据图表上点的坐标为：（2，120），（2，200），∴汽车的速度为60千米/时，火车的速度为100千米/时，（2）依据题意得出：汽=240·2+·5+200=500+200；火=240·1.6+·5+2280=396+2280。若汽＞火，得500+200＞396+2280，∴＞20。∴当＞20时，汽＞火。（3）∵上周货运量=（17+20+19+22+22+23+24）÷7=21＞20，∴从平均数分析，建议预定火车费用较省。又从折线图走势分析，上周货运量周四（含周四）后大于20且呈上升趋势，建议预订火车费用较省。【考点】一次函数的应用，折线统计图，算术平均数。【分析】（1）根据点的坐标为：（2，120），（2，200），直接得出两车的速度即可。（2）根据图表得出货运收费项目及收费标准表、行驶路程s（千米）与行驶时间t（时）的函数图象，得出关系时即可。（3）根据平均数的求法以及折线图走势两个角度分析得出运输总费用较省方案。23.（2022湖北黄石8分）今年，号称“千湖之省”的湖北正遭受大旱，为提高学生环境意识，节约用水，某校数学教师编制了一道应用题：为了保护水资源，某市制定一套节水的管理措施，其中对居民生活用水收费作如下规定：月用水量（吨）单价（元/吨）不大于10吨部分1.5大于10吨不大于吨部分()2-69-\n大于吨部分3（1）若某用户六月份用水量为18吨，求其应缴纳的水费；（2）记该用户六月份用水量为吨，缴纳水费为元，试列出与的函数式；（3）若该用户六月份用水量为40吨，缴纳水费元的取值范围为，试求的取值范围。【答案】解：（1）六月份应缴纳的水费为：（元）。（2）当时，当时，当时，∴。（3）当时，元，满足条件；当时，，则，∴。综上得，【考点】一次函数的应用。【分析】（1）用水18吨交费时包括两部分：10吨以内和超过10吨部分。（2）利用水费的不同阶段的收费标准列出函数关系式即可。（3）用40代替上题求得的函数的解析式，利用缴纳水费元的取位范围求解。24.（2022湖北十堰7分）今年我省部分地区遭遇严重干旱，为鼓励市民节约用水，我市自来水公司按分段收费标准收费，右图反映的是每月收水费(元)与用水量(吨)之间的函数关系。（1）小聪家五月份用水7吨，应交水费元；（2）按上述分段收费标准，小聪家三、四月份分别交水费29元和19.8元，问四月份比三月份节约用水多少吨？【答案】解：（1）15.4。(2)由图可得10吨内每吨2.2元，当=19.8时，知<10,∴=19.8×=9。当≥10时，设与x的关系为:，可知，当=10时，=22，=20时，=57，∴，解得。∴与之间的函数关系式为。-69-\n∴当=29时，知>10，有29=3.5－13，解得=12。∴四月份比三月份节约用水；12－9=3（吨）。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）从函数图象可知10吨水以内的价格是每吨2.2元，小聪家五月份用水7吨，应交水费可计算得到：7×2.2=15.4。（2）先设函数解析式，然后看图将对应值代入其中求出常数项，即可得到函数解析式，根据函数解析式求出四月份的水量，三月份水量可直接求，那么四月份比三月份节约用水多少可求出。25.（2022湖北宜昌7分）某市实施“限塑令”后，2022年大约减少塑料消耗约4万吨．调查分析结果显示，从2022年开始，五年内该市因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量（万吨）随若时间（年）逐年成直线上升，与之间的关系如图所示．（1）求与之间的关系式；（2）请你估计，该市2022年因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量为多少？【答案】解：（1）设，由题意，得，解得。∴＝－2022。（2）当＝2022时，＝2022－2022＝7。∴估计该市2022年因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量为7万吨。【考点】一次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据函数图象经过的点的坐标代入函数的解析式利用待定系数法求得函数的解析式即可。（2）将2022代入上题求得的函数解析式，求得自变量的值即可。26.（2022湖北襄阳10分）为发展旅游经济，我市某景区对门票釆用灵活的售票方法吸引游客．门票定价为50元/人，非节假日打折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即m人以下（含m人）的团队按原价售票；超过m人的团队，其中m人仍按原价售票，超过m人部分的游客打折售票．设某旅游团人数为人，非节假日购票款为1（元），节假日购票款为y2（元）．1与2之间的函数图象如图所示．（1）观察图象可知：=；=；m=；（2）直接写出1，2与之间的函数关系式；（3）某旅行社导游王娜于5月1日带A团，5月20日（非节假日）带B团都到该景区旅游，共付门票款1900元，A，B两个团队合计50人，求A，B两个团队各有多少人？【答案】解：（1）6，8，10、（2）设，当=10时，=300，代入其中得，=30。∴的函数关系式为：。-69-\n同理可得，当0≤≤10时，，当＞10时，。（3）设A团有n人，则B团有（50﹣n）人，当0≤n≤10时，50n+30（50﹣n）=1900解得，n=20，这与n≤10矛盾；当n＞10时，40n+100+30（50﹣n）=1900，解得，n=30，50﹣30=20。答：A团有30人，B团有20人。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据原票价和实际票价可求、的值，m的值可看图得到；门票定价为50元/人，那么10人应花费500元，而从图可知实际只花费300元，是打6折得到的价格，所以=6；从图可知10人之外的另10人花费400元，而原价是500元，可以知道是打8折得到的价格，所以=8；看图可知m=10。（2）先列函数解析式，然后将图中的对应值代入其中求出常数项，即可得到解析式。（3）分两种情况讨论，即不多于10和多于10人，找出等量关系，列出关于人数的n的一元一次方程，解此可得人数。27.（2022湖北黄冈、鄂州8分随州9分）今年我省干旱灾情严重，甲地急需抗旱用水15万吨，乙地13万吨．现有两水库决定各调出14万吨水支援甲、乙两地抗旱．从A地到甲地50千米，到乙地30千米；从B地到甲地60千米，到乙地45千米（1）设从A水库调往甲地的水量为万吨，完成下表（2）请设计一个调运方案，使水的调运总量尽可能小．（调运量=调运水的重量×调运的距离，单位：万吨•千米）【答案】解：（1）（2）设调运量是=50+30（14﹣）+60（15﹣）+45（﹣1），即y=5+1275，又，解得：1≤≤14，∵随的增大而增大，∴当=1时，y最小。-69-\n则由A到甲1吨，到乙13吨；由B到甲14吨，到乙0吨，水的调运总量尽可能小。【考点】一次函数的应用。【分析】（1）根据由A到甲和乙的总和是14吨，即可表示出由A到乙是14﹣吨；由到甲的总和是15吨，即可表示由B到甲是15﹣；由到乙的总和是13吨，即可表示由B到乙是﹣1吨。（2）首先用表示出调运量的和与的取值范围，根据一次函数的性质，即可确定的值，从而确定方案。28.（2022四川乐山10分）某学校的复印任务原来由甲复印社承接，其收费（元）与复印页数（页）的关系如下表：(页)1002004001000…(元)4080160400若与满足初中学过的某一函数关系，求函数的解析式；现在乙复印社表示：若学校先按每月付给200元的承包费，则可按每页0.15元收费。则乙复印社每月收费（元）与复印页数（页）的函数关系为；在给出的坐标系内画出（1）、（2）中的函数图象，并回答每月复印页数在1200左右应选择哪个复印社？【答案】解：（1）设解析式为，由=100，=40和=200，=80代入∴，解得。∴。当=400时，；当=1000时，。与已知相同。故即为所求函数的解析式。（2）乙复印社每月收费（元）与复印页数（页）的函数关系为：。（3）作图如下：-69-\n由图形可知每月复印页数在1200左右应选择乙复印社。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，一次函数的图象。【分析】（1）待定系数法设一次函数关系式，把任意两点代入，求得相应的函数解析式，看其余点的坐标是否适合即可。（2）根据乙复印社每月收费=承包费+按每页0.15元的复印费用，可得相应的函数解析式。（3）先画出函数图象，找到交点坐标，即可作出判断。29.（2022四川广元8分）小李师傅驾车到某地办事，汽车出发前油箱有油50升，行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩余油量(升)与行驶时间(小时)之间的关系如图所示．(1)请问汽车行驶多少小时后加油？中途加油多少升？(2)求加油前油箱剩余油量与行驶时间之间的函数关系式；(3)已知加油前后汽车都以70千米/小时的速度匀速行驶，如果加油站距目的地210千米，要到达目的地，问油箱中的油是否够用？请说明理由．【答案】解：（1）由图中可见，汽车行驶3小时后加油，中途加油45－14=31升。（2）设与的函数关系式是，依题意，得，解得。∴加油前油箱剩油量与行驶时间的函数关系式是：。（3）由图可知汽车每小时用油（50﹣14）÷3=12（升），∴汽车要准备油210÷70×12=36（升）。∵45升＞36升，∴邮箱中的油够用。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）由题中图象即可看出，加油的时间和加油量；（2）设函关系式，将（0，50）（3，14）代入即可求解。（3）由路程和速度算出时间，再求出每小时的用油量，判断油是否够用。30.（2022陕西省8分）2022年4月28日，以“天人长安，创意自然一一城市与自然和谐共生”为主题的世界园艺博览会在西安隆重开园，这次园艺会的门票分为个人票和团体票两大类，其中个人票设置有三种：票得种类夜票（A）平日普通票（B）指定日普通票（C）单价（元/张）60100150-69-\n某社区居委会为奖励“和谐家庭”，欲购买个人票100张，其中B种票的张数是A种票张数的3倍还多8张，设购买A种票张数为x，C种票张数为y（1）写出y与x之间的函数关系式；（2）设购票总费用为w元，求出w（元）与x（张）之间的函数关系式；（3）若每种票至少购买1张，其中购买A种票不少于20张，则有几种购票方案？并求出购票总费用最少时，购买A，B，C三种票的张数．【答案】解：（1）∵A种票张数为x，B种票数为：3x＋8，则y=100－x－（3x＋8），即y=－4x＋92。∴y与x之间的函数关系式为：y=－4x＋92。（2）w=60x＋100（3x＋8）＋150（－4x＋92），即w=－240x＋14600。∴购票总费用w与x（张）之间的函数关系式为：w=－240x＋14600。（3）由题意得，解得，20≤x＜23。∵x是正整数，∴x可取20、21、22。∴共有3种购票方案。由函数关系式w=﹣240x+14600可以看出w随x的增大而减小，∴当x=22时，w的最值最小，即当A票购买22张时，购票的总费用最少。购票总费用最少时，购买A、B、C三种票的张数分别为22、74、4。【考点】优选方案问题，一次函数的应用，一元一次不等式组的应用，一次函数的增减性。【分析】（1）根据A、B、C三种票的数量关系列出y与x的函数关系式。（2）根据三种票的张数、价格分别算出每种票的费用，再算出总数w，即可求出W（元）与X（张）之间的函数关系式。（3）根据题意求出x的取值范围，根据取值可以确定有三种方案购票，再从函数关系式分析w随x的增大而减小从而求出最值，即购票的费用最少。31.（2022宁夏自治区10分）甲、乙两人分别乘不同的冲锋舟同时从A地逆流而上前往B地，甲所乘冲锋舟在静水中的速度为km/min，甲到达B地立即返回；乙所乘冲锋舟在静水中的速度为km/min．已知A、B两地的距离为20km，水流速度为km/min，甲、乙乘冲锋舟行驶的距离y(km)与所用时间x(min)之间的函数图象如图所示．(1)求甲所乘冲锋舟在行驶的整个过程中，y与x(min)之间的函数关系式；(2)甲、乙两人同时出发后，经过多长时间相遇？【答案】解：（1）甲由A到B时的函数解析式是：，即。甲到达B所用时间是：20÷=24分钟，甲由B到A所用时间是：20÷=20分钟。-69-\n∴设由B到A函数解析式是：y=kx+b，∵点（24，20）与（44，0）在此函数图象上，∴，解得。∴由B到A函数解析式是：y=﹣x+44。综上所述，甲所乘冲锋舟在行驶的整个过程中，y与x(min)之间的函数关系式为y=。（2）乙由A到B时的函数解析式是：，即。根据题意得：，解得：。∴甲、乙两人同时出发后，经过小时相遇。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组。【分析】（1）分别求出甲乙两人的速度，依据路程=速度×时间，即可列出函数解析式。（2）求乙的函数解析式与甲由B到A的函数解析式组成的方程组即可。32.（2022新疆乌鲁木齐10分）小王从A地前往B地，到达后立刻返回，他与A地的距离（千米）和所用的时间（小时）之间的函数关系如图所示。（1）小王从B地返回A地用了多少小时？（2）求小王出发6小时后距A地多远？（3）在A、B之间有一C地，小王从去时途经C地，到返回时路过C地，共用了2小时20分，求A、C两地相距多远？【答案】解：（1）从图可知，小王从B地返回A地用了4小时。（2）小王出发6小时，可知小王此时在返回途中。设DE所在直线的解析式为，由图象可得：，解得。∴DE所在直线的解析式为。当x=6时，有。∴小王出发6小时后距A地60千米。（3）设AD所在直线的解析式为，由D（3，240）可得。-69-\n∴AD所在直线的解析式为。设小王从C到B用了小时，则去时C距A的距离为，返回时，从B到C用了（）小时，这时C距A的距离为。由，解得故C距A的距离为（米）。【考点】一次函数和一元一次方程的应用（行程问题），待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）从图可知，小王从B地返回A地用的时间。（2）用待定系数法求出DE所在直线的解析式，即可求出小王出发6小时后距A地的距离。（3）利用去时C距A的距离=返回时C距A的距离列方程求解。33.（2022辽宁葫芦岛10分）甲、乙两列火车分别从A、B两城同时匀速驶出，甲车开往B城，乙车开往A城．由于墨迹遮盖，图中提供的只是两车距B城的路程s甲(千米)、s乙(千米)与行驶时间t(时)的函数图象的一部分．(1)乙车的速度为________千米/时；(2)分别求出s甲、s乙与t的函数关系式(不必写出t的取值范围)；(3)求出两城之间的路程，及t为何值时两车相遇；(4)当两车相距300千米时，求t的值．【答案】解：(1)120。(2)设s甲与t的函数关系为s甲＝k1t＋b，∵图象过点(3，60)与(1，420)，∴解得∴s甲与t的函数关系式为s甲＝－180t＋600。设s乙与t的函数关系式为s乙＝k2t，∵图象过点(1，120)，∴k2＝120。∴s乙与t的函数关系式为s乙＝120t。(3)∵当t＝0，s甲＝600，∴两城之间的路程为600千米。∵s甲＝s乙，即－180t＋600＝120t，解得t＝2。∴当t＝2小时时，两车相遇。(4)当相遇前两车相距300千米时，s甲－s乙＝300，即－180t＋600－120t＝300，解得t＝1。-69-\n当相遇后两车相距300千米时，s乙－s甲＝300，即120t＋180t－600＝300.解得t＝3。综上所述，两车相距300千米时，t＝1小时或t＝3。【考点】一次函数的应用，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）由图象可知，对于乙车，t＝1时s乙＝120，故乙车的速度为120÷1＝120（千米/时）。（2）由图象上点的坐标，用待定系数法可分别求两直线的函数关系式。（3）两城之间的路程可由s乙＝120t当t＝0时求出。两车相遇的时间即求s甲＝s乙时t的值。（4）分两车相遇前后两情况讨论。34.（2022辽宁辽阳10分）甲、乙两名自行车爱好者准备在一段长为3500米的笔直公路上进行比赛，比赛开始时乙在起点，甲在乙的前面．他们同时出发，匀速前进，已知甲的速度为12米/秒，设甲、乙两人之间的距离为s(米)，比赛时间为t(秒)，图中的折线表示从两人出发至其中一人先到达终点的过程中s(米)与t(秒)的函数关系．根据图中信息，回答下列问题：(1)乙的速度为________米/秒；(2)当乙追上甲时，求乙距起点多少米．(3)求线段BC所在直线的函数关系式．【答案】解：(1)14。(2)由图象可知乙用了150秒追上甲，∴14×150＝2100(米)。∴当乙追上甲时，乙距起点2100米。(3)乙从出发到终点的时间为150＋＝250(秒)。此时甲、乙的距离为(250－150)(14－12)＝200(米)。∴C(250，200)。又B(150，0)，设BC所在直线的函数关系式为s＝kt＋b，将B、C两点坐标代入，得解得∴BC所在直线的函数关系式为s＝2t－300。【考点】一次函数的图象，待定系数法，直线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）由甲的速度为12米/秒，则甲用150秒行进了12×150＝1800米，因此由乙用150秒追上甲，即乙用150秒行进了1800＋300＝2100米，从而乙的速度为2100÷150＝14米/秒。（2）由（1）可知。（3）求出B、C的坐标，用待定系数法即可求出线段BC所在直线的函数关系式。35.（2022辽宁营口12分）某家电商场计划用44000元购进“家电下乡”指定产品中的电视机、冰箱、洗衣机共20台．三种家电的进价和售价如下表所示： 价格种类 进价(元/台)售价(元/台)电视机20002100冰箱24002500洗衣机16001700其中购进电视机的数量和冰箱的数量相同，洗衣机的数量不大于电视机数量的一半.-69-\n国家规定：农民购买家电后，可根据商场售价的13%领取补贴.设购进电视机的数量为x台，三种家电国家财政共需补贴农民y元．(1)求出y与x之间的函数关系式；(2)在不超出现有资金的前提下，商场有哪几种进货方案？(3)在(2)的条件下，如果这20台家电全部销售给农民，国家财政最多需补贴农民多少元？【答案】解：(1)根据题意，得y＝13%×，∴y＝156x＋4420。(2)根据题意，得解得8≤x≤10。∵x是非负整数，∴x分别等于8，9，10。∴共有三种进贷方案：电视机冰箱洗衣机方案1884方案2[992方案310100(3)由(1)y＝156x＋4420，∵k＝156＞0，∴y随着x的增大而增大。∴当x＝10时，y最大＝156×10＋4420＝5980(元)。答：国家财政最多补贴农民5980元。【考点】一元一次不等式组和一次函数的应用，一次函数的增减性。【分析】（1）由购进电视机、冰箱、洗衣机共20台和购进电视机的数量和冰箱的数量相同，即知购进电视机和冰箱的数量为x台，洗衣机的数量为20－x台。从而根据售价的13%领取补贴即可得到y与x之间的函数关系式。（2）不等式（组）的应用解题关键是找出不等量关系，列出不等式求解。本题不等量关系为：①洗衣机的数量不大于电视机数量的一半，②不超出现有资金44000元。（3）由一次函数的增减性即可求解。36.（2022贵州黔南9分）北京时间2022年3月11日46分，日本东部海域发生9级强烈地震并引发海啸．在其灾区，某药品的需求量急增．如图所示，在平常对某种药品的需求量（万件）．供应量（万件）与价格（元∕件）分别近似满足下列函数关系式：，，需求量为0时，即停止供应．当时，该药品的价格称为稳定价格，需求量称为稳定需求量．（1）求该药品的稳定价格与稳定需求量．（2）价格在什么范围内，该药品的需求量低于供应量？（3）由于该地区灾情严重，政府部门决定对药品供应方提供价格补贴来提高供货价格，以提高供应量．根据调查统计，需将稳定需求量增加6万件，政府应对每件药品提供多少元补贴，才能使供应量等于需求量．【答案】解:（1）由题意得,-69-\n当＝时,即－＋70＝2－38，∴3＝108,＝36.∴当＝36时,＝＝34。所以该药品的稳定价格为36元/件，稳定需求量为34万件。（2）令＝0,得＝70,由图象可知,当药品每件价格在大于36小于70时,该药品的需求量低于供应量。（3）设政府对该药品每件补贴元，则有,解得。∴政府部门对该药品每件应补贴9元1【考点】一次函数的应用。【分析】（1）令需求量与供应量相等，联立两函数关系式求解即可。（2）由图象可以看出，价格在稳定价格到需求量为0的价格这一范围内，需求量低于供应量。（3）通过对供应量和需求量相等时，需求量增至34+6（万件），对供应量的价格补贴元，联立两方程即可求解。37.（2022福建三明12分）海崃两岸林业博览会连续六届在三明市成功举办，三明市的林产品在国内外的知名度得到了进一步提升．现有一位外商计划来我市购买一批某品牌的木地板，甲、乙两经销商都经营标价为每平方米220元的该品牌木地板．经过协商，甲经销商表示可按标价的9.5折优惠；乙经销商表示不超过500平方米的部分按标价购买，超过500平方米的部分按标价的9折优惠．（1）设购买木地板x平方米，选择甲经销商时，所需费用为y1元，选择乙经销商时，所需费用为y2元，请分别写出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）请问该外商选择哪一经销商购买更合算？【答案】解：（1）y1＝0.95×220x＝209x当0＜x≤500时，y2＝220x，当x＞500时，y2＝220×500＋0.9×220（x－500），即y2＝198x＋11000。（2）当0＜x≤500时，209x＜220x，选择甲经销商；当x＞500时，由y1＜y2即209x＜198x＋11000，得x＜1000；由y1＝y2即209x＝198x＋11000，得x＝1000；由y1＞y2即209x＞198x＋11000，得x＞1000。综上所述：当0＜x＜1000时，选择甲经销商；当x＝1000时，选择甲、乙经销商一样；当x＞1000时，选择乙经销商。【考点】一次函数的应用。【分析】（1）y1=0.95×220x；对于y2要分类讨论：当0＜x≤500时，不打折y2=220x，当0＜x≤500时，超过500平方米的部分按标价的9折优惠y2=220×500+0.9×220（x﹣500）。-69-\n（2）当0＜x≤500时自然选择甲经销商；当x＞500时，分别计算出当y1＜y2，y1=y2，y1＞y2时对应的x的范围，然后综合即可得到当0＜x＜1000时，选择甲经销商购买合算；当x=1000时，选择甲、乙经销商一样合算；当x＞1000时，选择乙经销商购买合算。38.（2022福建龙岩12分）周六上午8：O0小明从家出发，乘车1小时到郊外某基地参加社会实践活动，在基地活动2.2小时后，因家里有急事，他立即按原路以4千米/时的平均速度步行返回．同时爸爸开车从家出发沿同一路线接他，在离家28千米处与小明相遇。接到小明后保持车速不变，立即按原路返回．设小明离开家的时间为x小时，小名离家的路程y(干米)与x(小时)之间的函致图象如图所示，(1)小明去基地乘车的平均速度是________千米/小时，爸爸开车的平均速度应是________千米/小时；(2)求线段CD所表示的函敛关系式；(3)问小明能否在12：00前回到家？若能，请说明理由：若不能，请算出12：00时他离家的路程，【答案】解：（1）30，56。
（2）∵C点的横坐标为：1+2.2+2÷4=3.7，∴C（3.7，28）。∵D点横坐标是：1+2.2+2÷4×2=4.2，∴D（4.2，0）。设线段CD所表示的函数关系式为y=kx＋b（3.7≤x≤4.2），将C、D两点的坐标代入函数解析式，，得，解得。∴线段CD的表达式：y=－56x＋235.2（3.7≤x≤4.2）。（3）不能。理由如下：∵小明从家出发到回家一共需要时间：1+2.2+2÷4×2=4.2（小时），从8：00经过4.2小时已经过了12：00，∴小明不能在12：00前回家，此时离家的距离：56×0.2=11.2（千米）。【考点】一次函数的应用（工程问题）。【分析】（1）仔细观察图象可知：小明去基地乘车1小时后离基地的距离为30千米，因此小明去基地乘车的平均速度是30千米/小时；在返回时小明以4千米/时的平均速度步行，行驶2千米后遇到爸爸，故他爸爸在0.5小时内行驶了28千米，故爸爸开车的平均速度应是56千米/小时，（2）先设一次函数的解析式，然后将两点坐标代入解析式即可得出线段CD所表示的函敛关系式。（3）根据图象和解析式可知小明从出发到回家一共需要4.2小时，故12：00前不能回到家。12：00时他离家的路程=速度×时间=56×0.2=11.2。39.（2022福建莆田10分）某高科技公司根据市场需求，计划生产A、B两种型号的医疗器械，其部分信息如下：信息一：A、B两种型号的医疔器械共生产80台．信息二：该公司所筹生产医疗器械资金不少于1800万元，但不超过1810万元．且把所筹资金全部用于生产此两种医疗器械．信息三：A、B两种医疗器械的生产成本和售价如下表：型号AB成本（万元/台）2025-69-\n售价（万元/台）2430根据上述信息．解答下列问题：（1）（6分）该公司对此两种医疗器械有哪-几种生产方案？哪种生产方案能获得最大利润？（2）（4分）根据市场调查，-每台A型医疗器械的售价将会提高万元（）．每台A型医疗器械的售价不会改变．该公司应该如何生产可以获得最大利润？(注：利润=售价成本)【答案】解：（1）设该公司生产A钟中医疗器械台，则生产B钟中医疗器械（80－）台，依题意得，，解得38≤≤40。取整数得=38，39，40。∴该公司有3钟生产方案：方案一：生产A钟器械38台，B钟器械42台；方案二：生产A钟器械39台，B钟器械41台；方案三：生产A钟器械40台，B钟器械40台。公司获得利润：W=（24－20）＋（30－25）（80－）=－+400。∵利润W随的增大而减少，∴当=38时，W有最大值。∴当生产A钟器械38台，B钟器械42台时获得最大利润。（2）依题意得，W=（4＋）＋5（80－）=（－1）＋400当－1＞0，即＞1时，生产A钟器械40台，B钟器械40台，获得最大利润；当－1=0，即=1时，（1）中三种方案利润都为400万元；当－1＜0，即0＜＜1时，生产A钟器械38台，B钟器械42台，获得最大利润。【考点】一次函数的应用，一元一次不等式组的应用。【分析】（1）利用题目提供的信息列出有关的一元一次不等式组，解得有关医疗器械的取值范围，得到方案即可。（2）求出利润函数，分类讨论得到最大利润方案即可。40.（2022福建南平10分）为落实校园“阳光体育”工程，某校计划购买篮球和排球共20个．已知篮球每个80元，排球每个60元．设购买篮球x个，购买篮球和排球的总费用y元．（1）求y与x之间的函数关系式；（2）如果要求篮球的个数不少于排球个数的3倍，应如何购买，才能使总费用最少？最少费用是多少元？【答案】解：（1）y＝80x＋60(20－x)＝1200＋20x。（2）x≥3(20－x)解得x≥15要使总费用最少，x必须取最小值15y＝1200＋20×15＝1500答：购买篮球15个，排球5个，才能使总费用最少．最少费用是1500元。-69-\n【考点】一次函数的应用。【分析】（1）设购买篮球x个，购买篮球和排球的总费用y元，根据某校计划购买篮球和排球共20个，已知篮球每个80元，排球每个60元可列出函数式．（2）设购买篮球x个，，根据篮球的个数不少于排球个数的3倍，求出篮球的个数的最小值，从而可求出解。（2022，湖北孝感，23，10分）为提醒人们节约用水，及时修好漏水的水龙头，两名同学分别做了水龙头漏水实验，他们用于接水的量筒最大容量为100毫升．实验一：小王同学在做水龙头漏水实验时，每隔10秒观察量筒中水的体积，记录的数据如下表（漏出的水量精确到1毫升）：时间t（秒）10203040506070漏出的水量V(毫升)25811141720（1）在图1的坐标系中描出上表中数据对应的点；（2分）（2）如果小王同学继续实验，请求出多少秒后量筒中的水会满面溢出；（精确到1秒）(4分)（3）按此漏水速度，一小时会漏水_______千克（精确到0.1千克）（2分）实验二：小李同学根据自己的实验数据画出的图象如图2所示，为什么图象中会出现与横轴“平行”的部分？（2分）【解析】（1）根据题意直接描点；（2）根据表格和图象，任取两对应点代入到一次函数的解析式求出V与t的函数关系式，再根据题意列出不等式即可．【答案】解：实验一：（1）画图象如图所示：（2）设V与t的函数关系式为V=kt+b，根据表中数据知：-69-\n当t=10时，V=2；当t=20时，V=5；∴，解得：，∴V与t的函数关系式为．由题意得：，解得，∴337秒后，量筒中的水会满面开始溢出．（3）1.1千克实验二：因为小李同学接水的量筒装满后并开始溢出【点评】本题考查了一次函数的应用，解决此类题目最关键的地方是经过认真审题，从中整理出一次函数模型，用一次函数的知识解决此类问题．(2022广安中考试题第22题，8分)某学校为了改善办学条件，计划购置一批电子白板和一批笔记本电脑。经投标，购买1块电子白板比买3台笔记本电脑多3000元，购买4块电子白板和5台笔记本电脑共需8万元。（1）求购买1块电子白板和一台笔记本电脑各需多少元？（2）根据该校实际情况，需购买电子白板和笔记本电脑的总数为396，要求购买的资金不超过2700000元，并且购买笔记本电脑的台数不超过电子白板数量的3倍。该校有哪几种购买方案？（3）上面的哪种购买方案最省钱？按最省钱方案购买需要多少钱？思路导引：根据题目信息，构造方程组或者是不等式组确定未知数的解，以及范围，注意题目中的未知数个数是正整数的条件，确定所有可能的方案，寻找最少，方法多种，可以从两种商品总个数一定，396个，两种商品价位大小差别，找出最少的方案，也可以运用一次函数的性质，进行确定，再者，当所有方案个数不多时，可以分别计算，再进行比较.解：（1）方法一：构造方程组：设购买一台笔记本电脑需x元，购买1块电子白板和需y元，所以得到方程组，解得x=4000,y=15000,所以购买买一台笔记本电脑需4000元，购买1块电子白板和需15000元，方法二：构造一元一次方程（2）设购买电子白板z台，所以笔记本电脑台数是（396－z）台，所以得出不等式组，解得：，∵z是正整数，∴z的正整数值是99、100、101，（396－z）的值分别是297、296、295，∴该校有3种购买方案：方案一：即是购买电子白板与电脑分别是297与99，方案二：即是购买电子白板与电脑分别是296与100，方案三：-69-\n即是购买电子白板与电脑分别是295与101，（3）方法一：直接判断最少的方案：上面的购买方案最省钱的方案是总数是396的情况下，购买电子白板最少的情况，因此是方案三：即是购买电子白板与电脑分别是295与101，最省钱方案购买需要钱数是：15000×396＋4000×101=2673000（元），方法二：分别计算，比较数额大小；方法三：运用一次函数性质，确定最少的方案：点评：方程（组）与一元一次不等式组、一次函数构造的方案设计问题，分别结合题目中的信息，构造方程或者是方程组确定未知数的值，构造不等式组确定某个两的范围，得出所有方案，结合数据特点、或者是函数性质寻找最佳方案.（2022湖北咸宁，22，10分）某景区的旅游线路如图1所示，其中A为入口，B，C，D为风景点，E为三岔路的交汇点，图1中所给数据为相应两点间的路程（单位：km）．甲游客以一定的速度沿线路“A→D→C→E→A”步行游览，在每个景点逗留的时间相同，当他回到A处时，共用去3h．甲步行的路程s（km）与游览时间t（h）之间的部分函数图象如图2所示．（第22题）图20．8Os/(km)t/(h)1．81．632．61234A1DCBE0．80．41．3图1（1）求甲在每个景点逗留的时间，并补全图象；（2）求C，E两点间的路程；（3）乙游客与甲同时从A处出发，打算游完三个景点后回到A处，两人相约先到者在A处等候，等候时间不超过10分钟．如果乙的步行速度为3km/h，在每个景点逗留的时间与甲相同，他们的约定能否实现？请说明理由．【解析】（1）根据图2得到甲从A步行到D，用了0．8h，步行了1．6km，可计算出甲步行的速度＝＝2（km/h），从图象中可得甲步行到C共用了1．8h，步行了2．6km，于是甲在D景点逗留的时间＝1．8－0．8－＝0．5（h），即得知甲在每个景点逗留的时间；同时可知甲在C景点逗留0．5h，从2．3h开始步行到3h，步行了（3－2．3）×2＝1．4（km），即回到A处时共步行了4km，然后依此补全图象；（2）由（1）得甲从C到A步行了（3－2．3）×2＝1．4（km），由图1得C到A的路程为0．8km，则C，E两点间的路程为1．4－0．8＝0．6（km）；（3）由于走E－B－E－C的路程为0．4＋0．4＋0．6＝1．4（km），走E－B－C的路程为0．4＋1．3＝1．7（km），则乙游览的最短线路为：A→D→C→E→B→E→A（或A→E→B→E→-69-\nC→D→A），总行程为1．6＋1＋0．6＋0．4×2＋0．8＝4．8（km），于是可计算出乙游完三个景点后回到A处的总时间＝3×0．5＋＝3．1（h），即可得到乙比甲晚0．1小时，即6分钟到A处．【答案】（1）解法一：由图2可知甲步行的速度为（km/h）1分因此甲在每个景点逗留的时间为（h）3分解法二：甲沿A→D步行时s与t的函数关系式为．1分设甲沿D→C步行时s与t的函数关系式为．则．∴．∴．2分当时，，．因此甲在每个景点逗留的时间为（h）．3分补全图象如下：5分（2）解法一：甲步行的总时间为（h）．∴甲的总行程为（km）．7分∴C，E两点间的路程为（km）．8分解法二：设甲沿C→E→A步行时s与t的函数关系式为．-69-\n则．∴．∴．6分当时，．7分∴C，E两点间的路程为（km）．8分（3）他们的约定能实现．乙游览的最短线路为：A→D→C→E→B→E→A（或A→E→B→E→C→D→A），总行程为（km）．9分∴乙游完三个景点后回到A处的总时间为（h）．∴乙比甲晚6分钟到A处．10分（说明：图象的第四段由第二段平移得到，第五段与第一、三段平行，且右端点的横坐标为3，如果学生补全的图象可看出这些，但未标出2．3也可得2分．第3问学生只说能实现约定，但未说理由不给分．）【点评】本题主要考查了一次函数的实际应用：根据一次函数图象的性质能从一次函数图象中获取实际问题中的相关数据，同时能用一次函数图象表示实际问题中变化情况．（2022年吉林省，第18题、5分．）在如图所示的三个函数图像中，有两个函数图像能近似地刻画如下a、b两个情境：情境a：小芳离开家不久，发现把作业本忘在家里，于是返回家里找到了作业本再去学校；情境b:小芳从家出发，走了一段路程后，为了赶时间，以更快的速度前进．情境a，b所对应的函数图像分别为_______,______.(填写序号)请你为剩下的函数图像写出一个适合的情境．【解析】（1）根据如图所示图③符合情境a小芳的行程；图①符合情境b的小芳的行程．（2）图像②所显示的是小芳离开家走了一段路程后，中途停止了一段时间行走．接着又返回家中．【答案】（1）③①（2）小芳离开家走了一段路程后来到一个报亭，在报亭读了一段时间报后，按原速回家了．（答案不唯一）【点评】主要考查学生的观察图象的能力，同时也考查了学生的叙述能力，用了数形结合思想，题型比较好，但是一道比较容易出错的题目-69-\n（2022年吉林省，第24题、7分．）如图1，A,B,C为三个超市，在A通往C的道路（粗实线部分）上有一D点，D与B有道路（细实线部分）相通．A与D，D与C，D与B之间的路程分别为25km，10km，5km．现计划在A通往C的道路上建一个配货中心H,每天有一辆货车只为这三个超市送货．该货车每天从H出发，单独为A送货1次，为B送货1次，为C送货2次．货车每次仅能给一家超市送货，每次送货后均返回配货中心H.设H到A的路程为xkm．这辆货车每天行驶的路程为ykm.(1)用含x的代数式填空：当0≤x≤25时，货车从H到A往返1次的路程为2xkm.货车从H到B往返1次的路程为_______km.货车从H到C往返2次的路程为_______km.这辆货车每天行驶的路程y=__________.当25<x≤35时，这辆货车每天行驶的路程y=_________;(2)请在图2中画出y与x（0≤x≤35）的函数图像；(3)配货中心H建在哪段，这辆货车每天行驶的路程最短？【解析】（1）当0≤x≤25时，从H到D的路程为25-x,从D到B的路程为5cm所以从H到B往返1次的路程为2（25-x+5）,即60-2x；从H到D的路程为25-x,D到C的路程是10km,所以从H到C的往返2次的路程是4（25-x+10）,即140-4x.因此，这辆货车每天行驶的路程y=60-2x+2x+140-4x=200-4x.当25＜x≤35时，C到H的路程为35-x；D到H的路程为x-25;所以y=4(35-x)+2x+2(x-25+5)=100作出分段函数的图像．即0≤x≤25和25＜x≤35时的图像．从图像中可以看出，当H点修在CD段时货车每天行驶的路程最短．【答案】（1）60-2x140-4x200-4x（2）根据0≤x≤25时，y=-4x+200，-69-\nx=0，y=200，x=25，y=100，25＜x≤35时，y=100；作出图像．当H建在CD段时，这辆货车每天所行驶的路程最短．【点评】此题主要考查了一次函数的应用以及画函数图象和列代数式，利用已知分别表示出从H到A，B，C距离是解题关键．26.（2022四川泸州，26，8分）如图，直线y=kx-6经过点A（4，0），直线y=-3x+3与x轴交于点B，且两直线交于点C.（1）求k的值；（2）求△ABC的面积.解析：（1）将点A（4，0）代入数学表达式y=kx-6求出k；（2）先求出点B坐标，再求出线段AB长与点C坐标既可求出△ABC面积.解：（1）∵直线y=kx-6经过点A（4，0），∴4k-6=0，即k=；（2）∵直线y=-3x+3与x轴交于点B，根据在x轴上的点纵坐标y=0，在y轴上的点横坐标x=0.∴-3x+3=0，解得x=1.点B坐标为（1，0）.由于两直线交于点C，所以有，解得.∴点C坐标为（2，-3）.∴△ABC面积为：=（或4.5）答：△ABC的面积为（或4.5）.-69-\n点评：本题考察了一次函数图象及其性质综合运用.待定系数法求直线解析式与两直线交点中体现了数形结合与方程思想方法.（2022陕西20，8分）如图，小明想用所学的知识来测量湖心岛上的迎宾槐与岸上的凉亭间的距离，他先在湖岸上的凉亭处测得湖心岛上的迎宾槐处位于北偏东方向，然后，他从凉亭处沿湖岸向正东方向走了100米到处，测得湖心岛上的迎宾槐处位于北偏东方向（点在同一水平面上）．请你利用小明测得的相关数据，求湖心岛上的迎宾槐处与湖岸上的凉亭处之间的距离（结果精确到1米）．（参考数据：，）【解析】作于点.在Rt△和Rt△中，用AC的代数式表示出AD、BD、CD，再由AB+BD=AD列出方程求解.【答案】解：如图，作交的延长线于点，则．在Rt△和Rt△中，设，则，．∴．∴（米）．答：湖心岛上的迎宾槐处与凉亭处之间距离约为207米．【点评】本题考查了解直角三角形的应用，解题的关键是根据给定角的三角函数表示出相关的量，列出关于所求量为未知数的方程.难度中等.（2022陕西21，8分）科学研究发现，空气含氧量（克/立方米）与海拔高度（米）之间近似地满足一次函数关系．经测量，在海拔高度为0米的地方，空气含氧量约为299克/立方米；在海拔高度为2000米的地方，空气含氧量约为235克/立方米．（1）求出与的函数表达式；（2）已知某山的海拔高度为1200米，请你求出该山山顶处的空气含氧量约为多少？-69-\n【解析】（1）设出一次函数解析式，由条件得方程组求解；（2）把代入所求的函数关系式求出y即可.【答案】解：（1）设，则有解之，得∴．（2）当时，（克/立方米）．∴该山山顶处的空气含氧量约为260.6克/立方米．【点评】此题主要考查待定系数求函数解析式以及一次函数的应用.难度中等.（2022南京市，23，7）看图说故事.请你别写一个故事，使故事情景中出现一对变量x、y满足图示的函数关系，要求：①指出变量x、y的含义；②利用图像中的数据说明这对图像变化过程的实际意义，其中须涉及“速度”这个量.解析：根据情景说明函数关系，注意只有两变量，涉及其它的量必须是常量.答案：（1）略.（2）如：公共汽车从A站出发，5分钟内速度由0逐渐增加到2m/s,然后匀速运动，到11分钟时开始减速第15分钟停靠B站.点评：此类题目属于开放性问题，答案不唯一，考察学生知识应用的情况.18.1 变量与函数（2022四川成都，2，3分）函数中，自变量的取值范围是（）A．B．C．D．解析：在函数解析式中，自变量的取值范围就是使函数解析有意义范围，因为本题的解析式是一个分式，所以，要使分母不为0，即，所以。答案：选C。点评：函数自变量的取值范围一般要考虑两个因素：一是自变量要有意义；二是实际问题要有意义。考虑第一个因素时，除了要使分母不为0外，还要注意使被开方数是非负数。-69-\n（2022山东省聊城，5，3分）函数中，自变量x取值范围是（）A.x＞2B.x＜2C.x≠2D.x≥2解析：式子要有意义，则x≥2，由于在函数中的分母处，所以x≠2.因此函数的自变量取值范围是x＞2.答案：A点评：在没有表示实际问题时，若函数表达式是整式，自变量取值范围是全体实数；若函数表达式是分式，自变量取值范围是分母不能为0；函数表达式是二次式，自变量取值范围是被开方数为非负数；若函数表达式既有分式又有二次根式，要两者兼顾.(2022四川省南充市，8，3分)在函数中，自变量x的取值范围是（）A．x≠B．C．x<D．解析：要使函数有意义，则，所以.答案：C点评：对复杂的函数解析式，要使其有意义，既要保证分子的二次根式有意义，还要考虑分母不能为零。（2022湖南湘潭，3，3分）下列函数中，自变量的取值范围是≥的是A．B.C.D.【解析】的自变量的取值范围是≠；的自变量的取值范围是＞；的自变量的取值范围是为一切实数；的自变量的取值范围是≥。【答案】选D。【点评】此题考查函数的自变量的取值范围，要注意，分母不能为0，二次根式的被开方数为非负数。]（2022浙江省衢州，4，3分）函数y＝的自变量x的取值范围在数轴上可表示为()-69-\nA.B.C.D.【解析】根据二次根式的性质，被开方数大于或等于0，即可以求出x的范围．【答案】D【点评】本题主要考查了函数自变量的范围的确定．一般从三个方面考虑：（1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数；（2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为0；（3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负．(2022重庆，8，4分)2022年“国际攀岩比赛”在重庆举行．小丽从家出发开车前去观看，途中发现忘了带门票，于是打电话让妈妈马上从家里送来，同时小丽也往回开，遇到妈妈后聊了一会儿，接着继续开车前往比赛现场．设小丽从家出发后所用时间为t，小丽与比赛现场的距离为S．下面能反映S与t的函数关系的大致图象是()解析：注意此题中的s代表小丽与比赛场地的距离，根据每一阶段，她与比赛场地距离的变化趋势，即可求出答案。答案：最初小丽开车前往比赛场地，说明这一阶段时间她离比赛场地越来越近，在坐标系里应为直线从左往右是向下的，途中发现忘带门票，车往回开，此时，她离比赛场地越来越远，在坐标系里应为直线从左往右是向上的，和妈妈聊天，此时，和比赛场地距离没变，此时，在坐标系里应为直线从左往右是水平的，接着继续开车前往比赛现场，这一阶段，她和比赛场地的距离是越来越近的，在坐标系里应为直线从左往右是向下的。故选B点评：对照图形联系题意是解答此类问题的关键。（2022湖南益阳，8，4分）在一个标准大气压下，能反映水在均匀加热过程中，水的温度（T）随加热时间（t）变化的函数图象大致是（ ）A．B．C．D．-69-\n【解析】有水在一个标准大气压下的最高温度只能到100度，故排除A、C，再有，在均匀加热过程中，水温逐渐升高，故选择B.【答案】B【点评】此题是一个生活中常见的现象，但还是会有一部分考生对生活不够细心而把它做错，特别是在均匀加热时，会有考生认为没有升温，而错选D。本题体现了数学来源于生活，而又指导生活的理念。（2022浙江省绍兴，14，5分）小明的父母出去散步，从家走了20分钟到一个离家900米的报亭，母亲随即按原速度返回家.父亲在报亭看了10分报纸后，用15分钟返回家.则表示父亲、母亲离家距离与时间之间的关系的图象分别是▲（只需填写序号）.【解析】从小明的父母散步的时间段看，分为0-20分钟散步，然后母亲随即按原速度返回家也需要20分钟，父亲20-30分钟在报亭看了10分报，然后用15分钟返回家．所以表示父亲、母亲离家距离与时间之间的关系的图象分别是④，②．【答案】④，②【点评】本题考查利用函数的图象解决实际问题．正确理解函数图象横纵坐标表示的意义，理解问题的过程，就能够通过图象得到函数问题的相应解决．（2022浙江丽水4分，14题）甲、乙两人以相同路线前往学校12千米的地方参加植树活动，图中l甲、l乙分别表示甲、乙两人前往目的地所行驶路程S（千米）随时间t（分）变化的函数图象，则每分钟乙比甲多行驶_______千米.【解析】：甲每分钟行驶=（千米），乙每分钟行驶=1（千米），所以每分钟乙比甲多行驶1-=（千米）.【答案】：【点评】：本题主要考查从函数图象中获取信息的能力.读懂函数图象是解题的关键.（2022四川省资阳市，7，3分）如图所示的球形容器上连接着两根导管，容器中盛满了不溶于水的比空气重的某种气体，现在要用向容器中注水的方法来排净里面的气体．水从左导管匀速地注入，气体从右导管排出，那么，容器内剩余气体的体积与注水时间的函数关系的大致图象是-69-\nABDC（第7题图）【解析】由于球形容器中盛满了不溶于水的比空气重的某种气体，结合物理学知识：从左导管匀速注入的水的体积与右导管中排出的气体的体积是相等的，且被匀速的排出，即单位时间内排出的体积是相等的，再由刚开始的最大体积到最后的最小体积，故选C．【答案】C【点评】本题把实际问题与函数图像结合起来，在解决这类问题是首先要看清横轴与纵轴分别表示的是哪一个变量，结合实际生活背景来解决.难度中等.（2022四川内江，7，3分）函数y＝＋的图象在A．第一象限B．第一、三象限C．第二象限 D．第二、四象限【解析】由二次根式及分式的定义，得出x＞0，则y＞0，故函数图象上任意点的横、纵坐标均为正数，所以该函数图象在第一象限．【答案】A【点评】二次根式要求被开方数非负，分式要求分母不能等于0，先由这两点确定自变量x的取值范围，再得出y的正负性即可作出判断，这当中渗透了点动成线的运动变化的数学思想．（2022江苏盐城，9，3分）若二次根式有意义，则x的取值范围是.【解析】本题考查了二次根式有意义时x的取值范围.掌握二次根式有意义的条件是关键.二次根式有意义的条件是被开方数必须为非负数.【答案】自变量的取值范围就是使代数式有意义的未知数的值，因此中自变量x的取值范围x+1≥0，所以x≥-1.【点评】函数中自变量的取值范围是通过函数表达式中每个部分都有意义而共同确定的．考查函数自变量的取值范围，这是一道很常见的试题，属于基础题．（2022湖北随州，12,4分）函数中，自变量x的取值范围是___________________。解析：要使函数中的二次根式有意义，则2x+5≥0，即x≥。答案：-69-\n点评：本题考查了自变量的取值范围。当函数关系式中含有二次根式时，二次根式的被开方数要为非负数。18.2 正比例函数与一次函数(2022四川省南充市，4，3分)下列函数中，是正比例函数的是（）A．y=-8xB．y=C．D．y=-0.5x-1解析：B、y=，自变量次数不为-1，故本选项错误；C、，自变量次数为2，故本选项错误；D、y=-0.5x-1是一次函数，但K=-1，故不是正比例函数。D、y=-(2+1)x3，符合正比例函数的含义，故本选项正确．答案：A点评：正确理解正比例函数意义是解答本题的关键，要明确正比例函数是截距为0的一次函数。（湖南株洲市3,12）一次函数的图像不经过第象限.【解析】因为一次函数y=x+2可知k>0,b>0,所以一次函数图象经过一、二、三象限，所以不经过第四象限.【答案】四【点评】对于一次函数的图象所经过的象限与k、b的值有关系，当k>0,b>0时,一次函数图象经过一、二、三象限；当k>0,b<0时,一次函数图象经过一、三、四象限;当k<0,b>0时,一次函数图象经过一、二、四象限；当k<0,b<0时,一次函数图象经过二、三、四象限（2022浙江省嘉兴市，10，4分）如图,正方形ABCD的边长为a,动点P从点A出发,沿折线A→B一D→C→A的路径运动,回到点A时运动停止.设点P运动的路程长为x,AP长为y,则y关于x的函数图象大致是()【解析】点P从点A出发,在A→B的过程中,是匀加速运动,y与x的函数图象是一条线段;在B一D的过程中,y随x的变化出现了先减后增的变化,图象呈抛物线形;在D→C的过程中,y随x的增加而增加,,图象呈上升趋势;在C→A的过程中,又是匀减速运动,y与x的函数图象是一条线段.故选D.【答案】D.【点评】本题考查函数图象的识别.-69-\n18.3一次函数的图象（2022浙江省温州市，4，4分）一次函数的图象与轴的交点坐标是（）A.（0，4）B.（4，0）C.（2，0）D.（0，2）【解析】一次函数的图象与轴的交点横坐标为0.令x=0，代入方程即可求解。【答案】A【点评】本题是一次函数的简单应用，关键要把握坐标轴上的点的坐标特征，题的难度较小18.4一次函数的性质（2022贵州贵阳，13，4分）在正比例函数y=-3mx中，函数y的值随x的值的增大而增大，则P(m,5)在第象限.解析：由函数y的值随x的值的增大而增大，得-3m>0,解不等式得m<0,故点P(m,5)在第二象限内.答案：二.点评：本题虽然是一道填空题，但涉及一次函数的性质、不等式的解法、点的坐标与位置的关系等，较综合，易错点多（三个知识点都是易错点），应注意.18.5一次函数的应用（2022山东省荷泽市，17(1),7）(1)如图，一次函数y=的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90∘，求过B、C两点直线的解析式.【解析】利用三角形全等求出C点的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式【答案】(1)解：y=与x轴、y轴的交点坐标为(3,0),(0,2)。如图，从C作CD⊥x轴，因为Rt△ABC是等腰三角形，所以AB=AC，轩为∠BAO+∠CAD=90∘，∠BAO+∠ABO=90∘，所以∠CAD=∠ABO，∠BOA=∠CDA=90∘，所以△AOB≌△CDA，所以AO=CD=3，BO=AD=2，所以OD=5,即C（5，3）把B（0，2）与C（5，3）代入y=kx+b得，，解之得：，所以直线解析式-69-\n【点评】求一点的坐标，就是求该点到x轴、y轴的距离，求函数的解析式常用的方法是待定系数法，就是把点的坐标代入关系式，组成关于k、b的方程组，求出k、b的值即可以确定关系式.18.6一次函数与一元一次方程（2022浙江省湖州市，15，4分）一次函数（k.b为常数，且k≠0）的图象如图所示，根据图象信息可求得关于x的方程kx+b=4的解为。【解析】由函数图象得，直线经过（0,1），（2,3）两点，根据待定系数法求得一次函数解析式，将y=4代入所求的解析式，即求得x值。【答案】∵一次函数过（0,1），（2,3），∴，解得，∴一次函数解析式为，当y=4时，x=3.【点评】本题主要考查一次函数解析式的求法及已知函数值求自变量的值，处理问题的关键是从图象中挖掘信息（点的坐标），应用待定系数法求得函数解析式，是基础题。（2022贵州贵阳，7，3分）如图，一次函数y=k1x+b1的图象l1与y=k2x+b2的图象l2相交于点P,则方程组的解是（）yxl1L2PO-23第7题图-69-\nA.B. C.D.解析：由图可知，P点坐标是（-2，3），所以方程组的解是解答：选A．点评：本题主要考查一次函数与一次方程（组）的关系，两个函数的图象的交点坐标就是联立这两个函数所得方程组的解.同时，本题的求解也体现了数形结合思想，即通过看交点的坐标确定方程组的解.10.（2022四川攀枝花，10，3分）如图3，直角梯形AOCD的边OC在轴上，O为坐标原点，CD垂直于轴，D（5,4），AD=2.若动点同时从点O出发，点沿折线运动，到达点时停止；点沿运动，到达点时停止，它们运动的速度都是每秒１个单位长度。设运动秒时，△的面积为（平方单位），则关于的函数图象大致为（ ）【解析】D（5,4）AD=2，A（3，4），AO=OC=5，所以当点E到达点A时，点F到达点C且停止运动。当x≤5时，OE=OF=x，EG=，-69-\n，故A、B不对。当点E在CD上运动时，点F与点C重合，此时EC=11–x，，故C正确。【答案】C【点评】本题考查了动点问题。点动与面积变化之间的函数关系。18.5一次函数的应用 17.（2022山东省荷泽市，17(1),7）(1)如图，一次函数y=的图象分别与x轴、y轴交于点A、B，以线段AB为边在第一象限内作等腰Rt△ABC，∠BAC=90∘，求过B、C两点直线的解析式.【解析】利用三角形全等求出C点的坐标，然后利用待定系数法求出直线的解析式【答案】(1)解：y=与x轴、y轴的交点坐标为(3,0),(0,2)如图，从C作CD⊥x轴，因为Rt△ABC是等腰三角形，所以AB=AC，轩为∠BAO+∠CAD=90∘，∠BAO+∠ABO=90∘，所以∠CAD=∠ABO，∠BOA=∠CDA=90∘，所以△AOB≌△CDA，所以AO=CD=3，BO=AD=2，所以OD=5,即C（5，3）把B（0，2）与C（5，3）代入y=kx+b得，，解之得：，所以直线解析式-69-\n【点评】求一点的坐标，就是求该点到x轴、y轴的距离，求函数的解析式常用的方法是待定系数法，就是把点的坐标代入关系式，组成关于k、b的方程组，求出k、b的值即可以确定关系式.18.6一次函数与一元一次不等式 （2022山东省潍坊市，题号11，分值3）11、若直线与直线的交点在第三象限，则的取值范围是（）A． B．C．或 D．考点：一次函数的图像、二元一次方程组的解和解一元一次不等式组。解答：因为直线与直线的交点坐标是就是二元一次方程组解得因为交点在第三象限所以解得所以本题正确答案是A.点评：本题考查了“一次函数的图像、二元一次方程组的解和解一元一次不等式组”。根据已知条件得到方程组和一元一次不等式组是解决本题的关键。（2022湖北襄阳，24，10分）根据国家发改委实施“阶梯电价”的有关文件要求，某市结合地方实际，决定从2022年5月1日起对居民生活用电试行“阶梯电价”收费，具体收费标准见下表：一户居民一个月用电量的范围电费价格（单位：元/千瓦时）不超过150千瓦时的a超过150千瓦时，但不超过300千瓦时的部分b超过300千瓦时的部分a＋0.32022年5月份，该市居民甲用电100千瓦时，交电费60元；居民乙用电200千瓦时，交电费122.5元．设该市一户居民在2022年5月以后，某月用电x千瓦时，当月交电费y元．（1）上表中，a＝________；b＝________；（2）请直接写y与x之间的函数关系式；（3）试行“阶梯电价”收费以后，该市一户居民月用电多少千瓦时时，其当月的平均电价每千瓦时不超过0.62元？【解析】（1）由100＜150，得100a＝60，解得a＝0.6；由150＜200＜300，得150×0.6＋(200－150)×b＝122.5，解得b＝0.65．（2）分x≤150，150＜x≤300，x＞300三种情况列函数关系式．（3）分别用（2）中的三个函数关系式与当月总电费建立不等式求解．【答案】解：（1）a＝0.6；b＝0.65．（2）当x≤150时，y＝0.6x．当150＜x≤300时，y＝0.65x－7.5．-69-\n当x＞300时，y＝0.9x－82.5．（3）当居民月用电量x≤150时，0.6x≤0.62x，故x≥0.当居民月用电量x满足150＜x≤300时，0.65x－7.5≤0.62x，解得x≤250．当居民月用电量x满足x＞300时，0.9x－82.5≤0.62x，解得x≤．综上所述，试行“阶梯电价”后，该市一户居民月用电量不超过250千瓦时时，其月平均电价每千瓦时不超过0.62元．【点评】本题主要考查学生的阅读理解能力和应用数学的意识，属于方程、一次函数、不等式综合应用题，并涉及到分段函数，有较大的难度．解答关键是根据用电数和钱数，看看在哪个阶段，然后求出解．可以先根据条件列出关于字母系数的方程，解方程求解，接着可求得函数解析式．当已知函数解析式时，再分情况建立不同的不等式解答．其实问题（3）就是已知函数值的范围求自变量的范围．（2022四川攀枝花，20，8分）（8分）煤炭是攀枝花的主要矿产资源之一，煤炭生产企业需要对煤炭运送到用煤单位所产生的费用进行核算并纳入企业生产计划。某煤矿现有1000吨煤炭要全部运往A、B两厂，通过了解获得A、B两厂的有关信息如下表（表中运费栏“元/”表示：每吨煤炭运送一千米所需的费用）：厂别运费（元/）路程（）需求量（）A0.45200不超过600B150不超过800（1）写出总运费（元）与运往厂的煤炭量（）之间的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）请你运用函数有关知识，为该煤矿设计总运费最少的运送方案，并求出最少的总运费（可用含的代数式表示）【解析】（1）根据总费用=运往A厂的费用+运往B厂的费用．经化简后可得出y与x的函数关系式，（2）根据图表中给出的判定吨数的条件，算出自变量的取值范围，然后根据函数的性质来算出所求的方案．【答案】解：（1）若运往A厂x吨，则运往B厂为（1000-x）吨．依题意得：y=200×0.45x+150×a×（1000-x）=90x-150ax+150000a=（90-150a）x+150000a依题意得：解得：200≤x≤600．∴函数关系式为y=（90-150a）x+150000a，（200≤x≤600）．（2）当0＜a＜0.6时，90-150a＞0，∴当x=200时，y最小=（90-150a）×200+150000a=120000a+18000．此时，1000-x=1000-200=800．当a＞0.6时，90-150a＜0，又因为运往A厂总吨数不超过600吨，-69-\n∴当x=600时，y最小=（90-150a）×600+150000a=60000a+54000．此时，1000-x=1000-600=400．答：当0＜a＜0.6时，运往A厂200吨，B厂800吨时，总运费最低，最低运费120000a+18000元．当a＞0.6时，运往A厂600吨，B厂400吨时，总运费最低，最低运费60000a+54000．【点评】本题考查了利用一次函数的有关知识解答实际应用题，一次函数是常用的解答实际问题的数学模型，是中考的常见题型，同学们应重点掌握．（2022湖北黄石，23，8分）某楼盘一楼是车库（暂不出售），二楼至二十三楼均为商品房（对外销售）．商品房售价方案如下：第八层售价为3000元/米2，从第八层起每上升一层，每平方米的售价增加40元；反之，楼层每下降一层，每平方米的售价减少20元．已知商品房每套面积均为120平方米．开发商为购买者制定了两种购房方案：方案一：购买者先交纳首付金额（商品房总价的30%），再办理分期付款（即贷款）．方案二：购买者若一次付清所有房款，则享受8%的优惠，并免收五年物业管理费（已知每月物业管理费为a元）⑴请写出每平方米售价y（元/米2）与楼层x（2≤x≤23，x是正整数）之间的函数解析式．⑵小张已筹到120000元，若用方案一购房，他可以购买哪些楼层的商品房呢？⑶有人建议老王使用方案二购买第十六层，但他认为此方案还不如不免收物业管理费而直接享受9%的优惠划算．你认为老王的说法一定正确吗？请用具体数据阐明你的看法．【解析】⑴注意到2≤x≤23，分2≤x≤8与9≤x≤23两种情况考虑．⑵就2≤x≤8与9≤x≤23两种情况下，从首付款方面运用不等式知识解决．⑶列出方案二与老王想法两种情形下所交房款的代数表达式，并比较两种情形下所交房款的多少，得出结论．【答案】（1）①当2≤x≤8时，每平方米的售价应为：3000－（8－x）×20＝20x＋2840(元／平方米)②当9≤x≤23时，每平方米的售价应为：3000＋（x－8）·40＝40x＋2680(元／平方米)∴，x为正整数（2）由（1）知：①当2≤x≤8时，小张首付款为（20x＋2840）·120·30%＝36（20x＋2840）≤36（20·8＋2840）＝108000元＜120000元∴2～8层可任选②当9≤x≤23时，小张首付款为（40x＋2680）·120·30%＝36（40x＋2680）元36（40x＋2680）≤120000，解得：x≤∵x为正整数，∴9≤x≤16综上得：小张用方案一可以购买二至十六层的任何一层．（3）若按方案二购买第十六层，则老王要实交房款为：y1＝(40·16＋2680)·120·92%－60a（元）若按老王的想法则要交房款为：y2＝(40·16＋2680)·120·91%（元）∵y1－y2＝3984－60a-69-\n∴当y1＞y2即y1－y2＞0时，解得0＜a＜66．4，此时老王想法正确；当y1≤y2即y1－y2≤0时，解得a≥66．4，此时老王想法不正确．【点评】此题考查了用一次函数、一元一次不等式(组)来解决实际问题，渗透了分类讨论思想．难点主要是对文字的阅读理解，分段函数．难度较大．（2022湖南娄底，24，10分）已知二次函数y=x2-(m2-2)x-2m的图象与x轴交于点A（x1，0）和点B（x2，0），x1<x2，与y轴交于点C，且满足+=.（1）求这个二次函数的解析式；（2）探究：在直线y=x+3上是否存在一点P，使四边形PACB为平行四边形？如果有，求出点P的坐标；如果没有，请说明理由.xOy图12【解析】（1）当y=0时，则x2-(m2-2)x-2m=0的两根为x1，x2，由一元二次方程根与系数的关系得，x1+x2=m2-2，x1x2=-2m，根据+=得关于m的方程，从而求出m,得二次函数的解析式。（2）求出平行四边形PACB的点P的坐标，判断是否在y=x+3上即可。【答案】(2)y=0时，则x2-(m2-2)x-2m=0的两根为x1，x2，由一元二次方程根与系数的关系得，x1+x2=m2-2，x1x2=-2m，因为+=，=，所以，解得m=-2或m=1,当m=-2时二次函数y=x2-(m2-2)x-2m的图象与x轴无交点，所以m=1,二次函数的解析式为y=x2+x-2.（2）由y=x2+x-2可得A（-2，0），C（0-2），B（1，0），当四边形PACB为平行四边形时，点P坐标为（-1，2），当x=-1时，y=2,所以在在直线y=x+3上是否存在一点P（-1，2），使四边形PACB为平行四边形.【点评】考查了二次函数、一元二次方程根与系数的关系、坐标条求点的坐标及平行四边形的有关问题，求二次函数系数时，要注意验证函数图象与x轴必须有交点，同时注意四边形PACB顶点字母的顺序性。（2022北京，17，5）如图，在平面直角坐标系中，函数的图象与一次函数的图象的交点为.-69-\n（1）求一次函数的解析式；（2）设一次函数的图象与轴交于点，若是轴上一点，且满足的面积是4，直接写出点的坐标．【解析】反比例函数、一次函数【答案】解（1）把A（m,–2）代入解得m=2,即A（2，–2）把A（2，–2）代入，解得k=2，即y=2x–2(2)y=2x–2与y轴交于点BB（0，–2）S△PAB=PC（yA–yB）=PC×4=2PC=4∴PC=2∴P1（–1，0），P2（3，0）【点评】本题考查了利用反比例函数的知识求点的坐标，并利用点的坐标求出一次函数的解析式。第二小题中利用割的方法表示出三角形的面积，并求出底的长，从而得到点P的坐标。函数中自变量x的取值范围是__________.【解析】有意义的条件是，所以解不等式得。【答案】【点评】本题主要考查根式有意义的条件是：被开方数大于或等于0.(2022山东省临沂市，24，10分）小明家今年种植的“红灯”樱桃喜获丰收，采摘上市20天全部销售完，小明对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量y（单位：千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图1所示，樱桃价格z（单位：元/千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图2所示。（1）观察图象，直接写出日销售量的最大值；-69-\n（2）求李明家樱桃的日销售量y与上市时间x的函数解析式；（3）试比较第10天与第12天的销售金额哪天多？【解析】（1）观察图象1，可直接得出第12天时，日销售量最大120千克；（2）观察图象1可得，日销售量y与上市时间x的函数关系式存在两种形式，根据直线所经过点的坐标，利用待定系数法直接求得函数解析式；（3）观察图象1，根据（2）求出的函数解析式，分别求出第10天和第12天的日销售量，再根据图象2，求出第10天和第12天的销售单价，求出第10天和第12天的销售金额，最后比较。解：（1）120千克；（2）当0≤x≤12时，函数图象过原点和（12,120）两点，设日销售量y与上市时间x的函数解析式为y=kx,由待定系数法得，120=12k,∴k=10,即日销售量y与上市时间x的函数解析式为y=10x；当12≤x≤20时，函数图象过（20,0）和（12,120）两点，设日销售量y与上市时间x的函数解析式为y=kx+b,由待定系数法得，,解得，即日销售量y与上市时间x的函数解析式为y=-15x+300；（3）由函数图象2可得，第10天和第12天在第5天和第15天之间，当5＜x≤15时，直线过（5,32），（15,12）两点，设樱桃价格z与上市时间x的函数解析式为z=kx+b,由待定系数法得，，解得，即樱桃价格z与上市时间x的函数解析式为z=-2x+42，∴当x=10时，日销售量y=100千克，樱桃价格z=22元，销售金额为22×100=2200元；当x=12时，日销售量y=120千克，樱桃价格z=18元，销售金额为18×120=2160元；∵2200＞2160，∴第10天的销售金额多.【点评】本题考查了一次函数的应用，此类题是近年中考中的热点问题．题目还考查了二元一次方程组的解法，特别是应用待定系数法求一次函数的解析式时，此函数是一个分段函数，同时应注意自变量的取值范围．（2022湖北随州，24,12分）一列快车由甲地开往乙地，一列慢车由乙地开往甲地，两车同时出发，匀速运动。快车离乙地的路程(km)与行驶的时间x（h）之间的函数关系，如图中线段AB所示。慢车离乙地的路程(km)与行驶的时间x（h）之间的函数关系，如图中线段OC所示。根据图象进行以下研究。解读信息：（1）甲、乙两地之间的距离为_________km；（2）线段AB的解析式为___________________________；线段OC的解析式为____________________________；问题解决：（3）设快、慢车之间的距离为y(km)，求y与慢车行驶时间x(h)的函数关系式，并画出函数的图象。-69-\n解析：由图可知，甲、乙两地距离为450km，线段AB经过点A(0,450)、B（3,0），所以代入两点坐标即可求出函数解析式；图象OC经过原点是正比例函数，所以直接代入点(6,450)即可求得解析式。（要注意自变量的取值范围，应保证图象有意义）答案：（1）甲、乙两地之间的距离为450km;（2）问题解决：线段AB的解析式为y1=450－150x(0≤x≤3)；线段OC的解析式为y2=75x(0≤x≤6)；(3)y=其图象为折线图AE-EF-FC点评：实际问题中的函数的取值范围，不仅要使函数解析式有意义，另外还要符合客观实际。（2022浙江省衢州，22，10分）在社会主义新农村建设中，衢州某乡镇决定对A，B两村之间的公路进行改造，并由甲工程队从A村向B村方向修筑，乙工程队从B村向A村方向修筑.已知甲工程队先施工3天，乙工程队再开始施工.乙工程队施工几天后因另有任务提前离开，余下的任务由甲工程队单独完成，直到公路修通.下图是甲乙两个工程队修公路的长度y(米)与施工时间x(天)之间的函数图象，请根据图象所提供的信息解答下列问题：（1）乙工程队每天修公路多少米？（2）分别求甲、乙工程队修公路的长度y(米)与施工时间x(天)之间的函数关系式.（3）若该工程由甲、乙两工程队一直合作施工，需几天完成？-69-\n【解析】（1）乙工程队一共修公路720米，总共修了(9－3)天；（2）观察图象，用待定系数法求修公路的长度y(米)与施工时间x(天)之间的函数关系式.（3）列出一元一次方程求解.【答案】解：（1）∵720÷(9－3)＝120∴乙工程队每天修公路120米.（2）设y乙＝kx+b，则∴∴y乙＝120x－360当x＝6时，y乙＝360设y甲＝kx，则360=6k，k＝60，∴y甲＝60x（3）当x＝15时，y甲＝900，∴该公路总长为：720+900＝1620(米)设需x天完成，由题意得，(120+60)x＝1620解得x＝9答：需9天完成【点评】本题考查了函数的图象和一次函数的应用，培养学生观察图象的能力，分析解决问题的能力，要培养学生视图知信息的能力．解决此类题目最关键的地方是经过认真审题，从中整理出一次函数模型，用一次函数的知识解决此类问题．（2022湖南湘潭，21，6分）已知一次函数图象过点，且与两坐标轴围成的三角形面积为，求此一次函数的解析式.【解析】根据三角形面积确定一次函数图象在X轴的交点为（2，0）或（—2，0），将两点坐标代入一次函数中求出系数k、b的值。【答案】解：设一次函数图象与X轴交点为D（d,0）,因一次函数图象过点，且与两坐标轴围成的三角形面积为，则×2-69-\n=2，得d=±2。将两点坐标（0，2）（2，0）代入一次函数中，得b=2，2k+b=0，k=—1。此一次函数的解析式为Y=—x+2.将两点坐标（0，2）（—2，0）代入一次函数中，b=2，—2k+b=0，k=1。此一次函数的解析式为Y=x+2.【点评】此题考查一次函数的图象、性质与几何知识的应用，点、图形、点的坐标、方程几者之间的关系。点在图形上，点的坐标就满足这个解析式（方程），利用待定系数法得到方程组，通过解方程组最终解决问题.(2022山东省聊城，23，8分）直线AB与x轴交于点A（1，0），与y轴交于点B（0，-2）.（1）求直线AB的解析式；（2）若直线AB上一点C在第一象限，且，求点C坐标.解析：（1）将A（1，0），B（0，-2）两点代入一次函数y=kx+b，先求出k、b值；（2）设点c坐标为（m，n），结合点C在直线上与面积值为2即可解题.解（1）设直线AB解析式为y=kx+b，∵A（1，0），B（0，-2）在直线AB上，∴，即.∴直线AB解析式为y=2x-2.（2）设点C（m，n），该点在直线y=2x-2上，∴n=2m-2.∵，∴，即.解此方程得（舍去）.∴n=2×2-2=2，点C坐标为（2，2）.-69-\n点评：本题以一此函数图像为背景，考察了用待定系数法求一次函数解析式，一元二次方程等知识，突显函数与方程结合，同时把数形结合思想融为一体.（2022广州市，23，12分）某城市居民用水实行阶梯收费，每户每月用水量如果未超过20吨，按每吨1.9元收费：每户每月如果超过20吨，未超过的部分按每吨1.9元收费，超过的部分则按每吨2.8元收费，设某户每月用水量为x吨，应收水费为y元。{1}分别写出每月用水量未超过20吨和超过20吨时，y与x间的函数关系式：若该城市某户5月份水费平均为每吨2.2元，求该户5月份用水多少吨？【解析】（1）把函数关系式按照自变量的取值范围分为两段，（2）分析得到5月份的用水量超过20吨，代入相应关系式可求解。【答案】（1）即：（2）由于5月份水费平均为每吨2.2元，超过1.9元，用水超过20吨，于是有2.8x－18=2.2×x,解得x=30吨。答：5月份用水30吨.【点评】本题考查了分段函数，按照自变量分为小于20和大于等于20吨两段分别列出解析式；（2）代入相应的解析式列方程求解。（2022浙江省义乌市，22，10分）周末,小明骑自行车从家里出发到野外郊游．从家出发0.5小时后到达甲地,游玩一段时间后按原速前往乙地.小明离家1小时20分钟后,妈妈驾车沿相同路线前往乙地,如图是他们离家的路程y（km）与小明离家时间x（h）的函数图象．已知妈妈驾车的速度是小明骑车速度的3倍．（1）求小明骑车的速度和在甲地游玩的时间；（2）小明从家出发多少小时后被妈妈追上？此时离家多远？（3）若妈妈比小明早10分钟到达乙地,求从家到乙地的路程.x(h)y(km)O0.5110【解析】（1）由图易知小明前0.5小时匀速行驶，可求出其速度。（2）由小明和妈妈骑车的速度，即两图象在x＞1时的斜率，可分别设出两个对应的函数关系式，再分别将（1,10），（，0）代入相应函数解析式即可．（3）本题可先设出E、C的坐标，再由二者横坐标的关系，列方程求出二者坐标即可。也可根据路程与速度时间的关系及时间差，求出从家到乙地的路程。-69-\ny(km)解：（1）小明骑车速度：在甲地游玩的时间是0.5（h），CE（2）妈妈驾车速度：20×3=60（km/h）F设直线BC解析式为y=20x＋b1，把点ABB（1,10）代入得b1=－10∴y=20x－10D1010.5O设直线DE解析式为y=60x＋b2，把点D（，0）x(h)代入得b2=－80∴y=60x－80∴解得∴交点F（1.75,25）答：小明出发1.75小时（105分钟）被妈妈追上，此时离家25km.（3）方法一：设从家到乙地的路程为m（km）则点E（x1，m），点C（x2，m）分别代入y=60x－80，y=20x－10得：，∵∴∴m=30方法二：设从妈妈追上小明的地点到乙地的路程为n（km），由题意得：∴n=5∴从家到乙地的路程为5＋25=30（km）(其他解法酌情给分)【点评】本题考查了求函数解析式的方法，及分段函数与实际问题中的应用，解答此题要注意自变量的取值范围．(2022山东德州中考,22,10,)现从A，B向甲、乙两地运送蔬菜，A，B两个蔬菜市场各有蔬菜14吨，其中甲地需要蔬菜15吨，乙地需要蔬菜13吨，从A到甲地运费50元/吨，到乙地30元/吨；从B地到甲运费60元/吨，到乙地45元/吨．（1）设A地到甲地运送蔬菜吨，请完成下表：运往甲地(单位：吨)运往乙地(单位：吨)AxB（2）设总运费为W元，请写出W与的函数关系式．（3）怎样调运蔬菜才能使运费最少？【解析】-69-\n（1）A处共有14吨，运到甲地x吨，则乙地（14-x）吨，甲地共需15吨，A运x吨，则B运(15-x)吨，乙地需要蔬菜13吨，A运了（14-x）吨，B需要运13-（14-x）=(x-1)吨．（2）每吨的运费分别乘以相应的吨数即可（3）由于A，B到两地运送的蔬菜为非负数，据此可求出x的取值范围．再根据W随x的增减性代入相应的x求最小值即可．运往甲地(单位：吨)运往乙地(单位：吨)AxB解：（1）（2）由题意，得整理得，．（3）∵A，B到两地运送的蔬菜为非负数，∴解不等式组，得在中，随增大而增大，∴当x最小为1时，有最小值1280元．【点评】此题考查了一次函数在实际问题中的应用，解答此题要注意运往各地的数量要表示准确，不要忘记自变量的取值范围要有限制．(2022山东省临沂市，24，10分）小明家今年种植的“红灯”樱桃喜获丰收，采摘上市20天全部销售完，小明对销售情况进行了跟踪记录，并将记录情况绘成图象，日销售量y（单位：千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图1所示，樱桃价格z（单位：元/千克）与上市时间x（单位：天）的函数关系如图2所示。（1）观察图象，直接写出日销售量的最大值；（2）求李明家樱桃的日销售量y与上市时间x的函数解析式；（3）试比较第10天与第12天的销售金额哪天多？【解析】（1）观察图象1，可直接得出第12天时，日销售量最大120千克；（2）观察图象1可得，日销售量y与上市时间x的函数关系式存在两种形式，根据直线所经过点的坐标，利用待定系数法直接求得函数解析式；-69-\n（3）观察图象1，根据（2）求出的函数解析式，分别求出第10天和第12天的日销售量，再根据图象2，求出第10天和第12天的销售单价，求出第10天和第12天的销售金额，最后比较。解：（1）120千克；（2）当0≤x≤12时，函数图象过原点和（12,120）两点，设日销售量y与上市时间x的函数解析式为y=kx,由待定系数法得，120=12k,∴k=10,即日销售量y与上市时间x的函数解析式为y=10x；当12≤x≤20时，函数图象过（20,0）和（12,120）两点，设日销售量y与上市时间x的函数解析式为y=kx+b,由待定系数法得，,解得，即日销售量y与上市时间x的函数解析式为y=-15x+300；（3）由函数图象2可得，第10天和第12天在第5天和第15天之间，当5＜x≤15时，直线过（5,32），（15,12）两点，设樱桃价格z与上市时间x的函数解析式为z=kx+b,由待定系数法得，，解得，即樱桃价格z与上市时间x的函数解析式为z=-2x+42，∴当x=10时，日销售量y=100千克，樱桃价格z=22元，销售金额为22×100=2200元；当x=12时，日销售量y=120千克，樱桃价格z=18元，销售金额为18×120=2160元；∵2200＞2160，∴第10天的销售金额多.【点评】本题考查了一次函数的应用，此类题是近年中考中的热点问题．题目还考查了二元一次方程组的解法，特别是应用待定系数法求一次函数的解析式时，此函数是一个分段函数，同时应注意自变量的取值范围．-69-
