二次函数的应用一、选择题1.（2022四川资阳3分）如图是二次函数的部分图象，由图象可知不等式的解集是【】A．B．C．且D．或【答案】D。【考点】二次函数与不等式（组），二次函数的性质。【分析】利用二次函数的对称性，可得出图象与x轴的另一个交点坐标，结合图象可得出的解集：由图象得：对称轴是x=2，其中一个点的坐标为（5，0），∴图象与x轴的另一个交点坐标为（－1，0）。由图象可知：的解集即是y＜0的解集，∴x＜－1或x＞5。故选D。二、填空题1.（2022浙江绍兴5分）教练对小明推铅球的录像进行技术分析，发现铅球行进高度y（m）与水平距离x（m）之间的关系为，由此可知铅球推出的距离是▲m。【答案】10。【考点】二次函数的应用。25\n【分析】在函数式中，令，得，解得，（舍去），∴铅球推出的距离是10m。2.（2022湖北襄阳3分）某一型号飞机着陆后滑行的距离y（单位：m）与滑行时间x（单位：s）之间的函数关系式是y=60x﹣1.5x2，该型号飞机着陆后滑行 ▲ m才能停下来．【答案】600。【考点】二次函数的应用。1028458【分析】根据飞机从滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函数的最大值。∵﹣1.5＜0，∴函数有最大值。∴，即飞机着陆后滑行600米才能停止。3.（2022山东济南3分）如图，济南建邦大桥有一段抛物线型的拱梁，抛物线的表达式为y=ax2+bx．小强骑自行车从拱梁一端O沿直线匀速穿过拱梁部分的桥面OC，当小强骑自行车行驶10秒时和26秒时拱梁的高度相同，则小强骑自行车通过拱梁部分的桥面OC共需▲秒．【答案】36。【考点】二次函数的应用【分析】设在10秒时到达A点，在26秒时到达B，∵10秒时和26秒时拱梁的高度相同，∴A，B关于对称轴对称。则从A到B需要16秒，从A到D需要8秒。∴从O到D需要10+8=18秒。∴从O到C需要2×18=36秒。三、解答题25\n1.（2022重庆市10分）企业的污水处理有两种方式，一种是输送到污水厂进行集中处理，另一种是通过企业的自身设备进行处理．某企业去年每月的污水量均为12000吨，由于污水厂处于调试阶段，污水处理能力有限，该企业投资自建设备处理污水，两种处理方式同时进行．1至6月，该企业向污水厂输送的污水量y1（吨）与月份x（1≤x≤6，且x取整数）之间满足的函数关系如下表：7至12月，该企业自身处理的污水量y2（吨）与月份x（7≤x≤12，且x取整数）之间满足二次函数关系式为y2=ax2+c(a≠0)．其图象如图所示．1至6月，污水厂处理每吨污水的费用：z1（元）与月份x之间满足函数关系式：，该企业自身处理每吨污水的费用：z2（元）与月份x之间满足函数关系式：；7至12月，污水厂处理每吨污水的费用均为2元，该企业自身处理每吨污水的费用均为1.5元．（1）请观察题中的表格和图象，用所学过的一次函数、反比例函数或二次函数的有关知识，分别直接写出y1，y2与x之间的函数关系式；（2）请你求出该企业去年哪个月用于污水处理的费用W（元）最多，并求出这个最多费用；（3）今年以来，由于自建污水处理设备的全面运行，该企业决定扩大产能并将所有污水全部自身处理，估计扩大产能后今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a﹣30）%，为鼓励节能降耗，减轻企业负担，财政对企业处理污水的费用进行50%的补助．若该企业每月的污水处理费用为18000元，请计算出a的整数值．（参考数据：≈15.2，≈20.5，≈28.4）【答案】解：（1）根据表格中数据可以得出xy=定值，25\n则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系：。将（1，12000）代入得：k=1×12000=12000，∴（1≤x≤6，且x取整数）。根据图象可以得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，代入y2=ax2+c得：，解得：。∴y2=x2+10000（7≤x≤12，且x取整数）。（2）当1≤x≤6，且x取整数时：=﹣1000x2+10000x﹣3000=﹣1000（x﹣5）2+2200。∵a=﹣1000＜0，1≤x≤6，∴当x=5时，W最大=22000（元）。当7≤x≤12时，且x取整数时：W=2×（12000﹣y1）+1.5y2=2×（12000﹣x2﹣10000）+1.5（x2+10000）=﹣x2+1900。∵a=﹣＜0，对称轴为x=0，当7≤x≤12时，W随x的增大而减小，∴当x=7时，W最大=18975.5（元）。∵22000＞18975.5，∴去年5月用于污水处理的费用最多，最多费用是22000元。（3）由题意得：12000（1+a%）×1.5××（1﹣50%）=18000，设t=a%，整理得：10t2+17t﹣13=0，解得：。∵≈28.4，∴t1≈0.57，t2≈﹣2.27（舍去）。∴a≈57。答：a整数值是57。【考点】二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，解一元二次方程。25\n【分析】（1）利用表格中数据可以得出xy=定值，则y1与x之间的函数关系为反比例函数关系，求出即可。再利用函数图象得出：图象过（7，10049），（12，10144）点，求出二次函数解析式即可。（2）利用当1≤x≤6时，以及当7≤x≤12时，分别求出处理污水的费用，即可得出答案。（3）利用今年每月的污水量都将在去年每月的基础上增加a%，同时每吨污水处理的费用将在去年12月份的基础上增加（a一30）%，得出等式12000（1+a%）×1.5××（1-50%）=18000，进而求出即可。2.（2022安徽省14分）如图，排球运动员站在点O处练习发球，将球从O点正上方2m的A处发出，把球看成点，其运行的高度y（m）与运行的水平距离x(m)满足关系式y=a(x-6)2+h.已知球网与O点的水平距离为9m，高度为2.43m，球场的边界距O点的水平距离为18m。（1）当h=2.6时，求y与x的关系式（不要求写出自变量x的取值范围）（2）当h=2.6时，球能否越过球网？球会不会出界？请说明理由；（3）若球一定能越过球网，又不出边界，求h的取值范围。【答案】解：（1）把x=0，y=,及h=2.6代入到y=a(x-6)2+h，即2=a(0－6)2+2.6，∴∴当h=2.6时，y与x的关系式为y=(x－6)2+2.6（2）当h=2.6时，y=(x－6)2+2.6∵当x=9时，y=(9－6)2+2.6=2.45＞2.43，∴球能越过网。∵当y=0时，即(18－x)2+2.6=0，解得x=＞18，∴球会过界。（3）把x=0,y=2,代入到y=a(x-6)2+h得。x=9时，y=(9－6)2+h＞2.43①25\nx=18时，y=(18－6)2+h=≤0②由①②解得h≥。∴若球一定能越过球网，又不出边界，h的取值范围为h≥。【考点】二次函数的性质和应用。【分析】（1）利用h=2.6，将（0，2）点，代入解析式求出即可。（2）利用h=2.6，当x=9时，y=(9－6)2+2.6=2.45与球网高度比较；当y=0时，解出x值与球场的边界距离比较，即可得出结论。（3）根据球经过点（0，2）点，得到a与h的关系式。由x=9时球一定能越过球网得到y＞2.43；由x=18时球不出边界得到y≤0。分别得出h的取值范围，即可得出答案。3.（2022浙江嘉兴、舟山12分）某汽车租赁公司拥有20辆汽车．据统计，当每辆车的日租金为400元时，可全部租出；当每辆车的日租金每增加50元，未租出的车将增加1辆；公司平均每日的各项支出共4800元．设公司每日租出工辆车时，日收益为y元．（日收益=日租金收入一平均每日各项支出）（1）公司每日租出x辆车时，每辆车的日租金为 元（用含x的代数式表示）；（2）当每日租出多少辆时，租赁公司日收益最大？最大是多少元？（3）当每日租出多少辆时，租赁公司的日收益不盈也不亏？25\n4.（2022浙江台州12分）某汽车在刹车后行驶的距离s（单位：米）与时间t（单位：秒）之间的关系得部分数据如下表：时间t（秒）00.20.40.60.81.01.2…行驶距离s（米）02.85.27.28.81010.8…（1）根据这些数据在给出的坐标系中画出相应的点；（2）选择适当的函数表示s与t之间的关系，求出相应的函数解析式；（3）①刹车后汽车行驶了多长距离才停止？②当t分别为t1，t2（t1＜t2）时，对应s的值分别为s1，s2，请比较与的大小，并解释比较结果的实际意义．25\n【答案】解：（1）描点图所示：（2）由散点图可知该函数为二次函数。设二次函数的解析式为：s=at2＋bt＋c，∵抛物线经过点（0，0），∴c=0。又由点（0.2，2.8），（1，10）可得：，解得：。经检验，其余各点均在s=－5t2+15t上。∴二次函数的解析式为：。（3）①汽车刹车后到停止时的距离即汽车滑行的最大距离。∵，∴当t=时，滑行距离最大，为。因此，刹车后汽车行驶了米才停止。②∵，∴。∴。25\n∵t1＜t2，∴。∴。其实际意义是刹车后到t2时间内的平均速到t1时间内的度小于刹车后平均速度。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质和应用，不等式的应用。【分析】（1）描点作图即可。（2）首先判断函数为二次函数。用待定系数法，由所给的任意三点即可求出函数解析式。（3）将函数解析式表示成顶点式（或用公式求），即可求得答案。（4）求出与，用差值法比较大小。5.（2022江苏常州7分）某商场购进一批L型服装（数量足够多），进价为40元/件，以60元/件销售，每天销售20件。根据市场调研，若每件每降1元，则每天销售数量比原来多3件。现商场决定对L型服装开展降价促销活动，每件降价x元（x为正整数）。在促销期间，商场要想每天获得最大销售利润，每件降价多少元？每天最大销售毛利润为多少？（注：每件服装销售毛利润指每件服装的销售价与进货价的差）【答案】解：根据题意，商场每天的销售毛利润Z=（60－40－x）（20＋3x）=－3x2＋40x+400∴当时，函数Z取得最大值。∵x为正整数，且，∴当x=7时，商场每天的销售毛利润最大，最大销售毛利润为－3·72＋40·7+400=533。答：商场要想每天获得最大销售利润，每件降价7元，每天最大销售毛利润为533元。【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。【分析】求出二次函数的最值，找出x最接近最值点的整数值即可。6.（2022江苏无锡8分）如图，在边长为24cm25\n的正方形纸片ABCD上，剪去图中阴影部分的四个全等的等腰直角三角形，再沿图中的虚线折起，折成一个长方体形状的包装盒（A．B．C．D四个顶点正好重合于上底面上一点）．已知E、F在AB边上，是被剪去的一个等腰直角三角形斜边的两个端点，设AE=BF=x（cm）．（1）若折成的包装盒恰好是个正方体，试求这个包装盒的体积V；（2）某广告商要求包装盒的表面（不含下底面）面积S最大，试问x应取何值？【答案】解：（1）根据题意，知这个正方体的底面边长a=x，EF=a=2x，∴x+2x+x=24，解得：x=6。则a=6，∴V=a3=（6）3=432（cm3）；（2）设包装盒的底面边长为acm，高为hcm，则a=x，，∴S=4ah+a2=。∵0＜x＜12，∴当x=8时，S取得最大值384cm2。【考点】二次函数的应用。【分析】（1）根据已知得出这个正方体的底面边长a=x，EF=a=2x，再利用AB=24cm，求出x即可得出这个包装盒的体积V。（2）利用已知表示出包装盒的表面，从而利用函数最值求出即可。7.（2022江苏盐城12分）知识迁移：当且时，因为≥,所以≥,从而≥(当25\n时取等号).记函数,由上述结论可知：当时,该函数有最小值为.直接应用：已知函数与函数,则当_________时,取得最小值为_________.变形应用：已知函数与函数,求的最小值,并指出取得该最小值时相应的的值.实际应用：已知某汽车的一次运输成本包含以下三个部分：一是固定费用,共元；二是燃油费,每千米为元；三是折旧费,它与路程的平方成正比,比例系数为.设该汽车一次运输的路程为千米,求当为多少时,该汽车平均每千米的运输成本最低？最低是多少元？25\n【分析】直接运用：可以直接套用题意所给的结论，即可得出结果：∵函数,由上述结论可知：当时,该函数有最小值为，∴函数与函数，则当时，取得最小值为。变形运用：先得出的表达式，然后将看做一个整体，再运用所给结论即可。实际运用：设该汽车平均每千米的运输成本为元，则可表示出平均每千米的运输成本，利用所给的结论即可得出答案。8.（2022江苏扬州12分）已知抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－1，0)、B(3，0)、C(0，3)三点，直线l是抛物线的对称轴．(1)求抛物线的函数关系式；(2)设点P是直线l上的一个动点，当△PAC的周长最小时，求点P的坐标；25\n(3)在直线l上是否存在点M，使△MAC为等腰三角形？若存在，直接写出所有符合条件的点M的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵A(－1，0)、B(3，0)经过抛物线y＝ax2＋bx＋c，∴可设抛物线为y＝a（x＋1）（x－3）。又∵C(0，3)经过抛物线，∴代入，得3＝a（0＋1）（0－3），即a=－1。∴抛物线的解析式为y＝－（x＋1）（x－3），即y＝－x2＋2x＋3。（2）连接BC，直线BC与直线l的交点为P。则此时的点P，使△PAC的周长最小。设直线BC的解析式为y＝kx＋b，将B(3，0)，C(0，3)代入，得：，解得：。∴直线BC的函数关系式y＝－x＋3。当x－1时，y＝2，即P的坐标(1，2)。（3）存在。点M的坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，线段中垂线的性质，三角形三边关系，等腰三角形的性质。【分析】（1）可设交点式，用待定系数法求出待定系数即可。（2）由图知：A、B点关于抛物线的对称轴对称，那么根据抛物线的对称性以及两点之间线段最短可知：若连接BC，那么BC与直线l的交点即为符合条件的P点。25\n（3）由于△MAC的腰和底没有明确，因此要分三种情况来讨论：①MA＝AC、②MA＝MC、②AC＝MC；可先设出M点的坐标，然后用M点纵坐标表示△MAC的三边长，再按上面的三种情况列式求解：∵抛物线的对称轴为：x=1，∴设M(1，m)。∵A(－1，0)、C(0，3)，∴MA2＝m2＋4，MC2＝m2－6m＋10，AC2＝10。①若MA＝MC，则MA2＝MC2，得：m2＋4＝m2－6m＋10，得：m＝1。②若MA＝AC，则MA2＝AC2，得：m2＋4＝10，得：m＝±。③若MC＝AC，则MC2＝AC2，得：m2－6m＋10＝10，得：m＝0，m＝6，当m＝6时，M、A、C三点共线，构不成三角形，不合题意，故舍去。综上可知，符合条件的M点，且坐标为(1，)，(1，－)，(1，1)，(1，0)。9.（2022福建莆田8分）如图，某种新型导弹从地面发射点Ｌ处发射，在初始竖直加速飞行阶段，导弹上升的高度y(km)与飞行时间x(s)之间的关系式为．发射3s后，导弹到达A点，此时位于与L同一水平面的R处雷达站测得AR的距离是2km，再过3s后，导弹到达B点．(1)(4分)求发射点L与雷达站R之间的距离；(2)(4分)当导弹到达B点时，求雷达站测得的仰角(即∠BRL)的正切值．【答案】解：(1)把x＝3代入，得y＝1，即AL＝1。在Rt△ARL中，AR＝2，∴ LR＝。(2)把x＝3＋3＝6代入，得y＝3，即BL＝3。∴tan∠BRL＝。答：发射点L与雷达站R之间的距离为km，雷达站测得的仰角的正切值。25\n【考点】二次函数的应用，解直角三角形的应用（仰角俯角问题），勾股定理，锐角三角函数定义。【分析】（1）在解析式中，把x=3代入函数解析式，即可求得AL的长，在直角△ALR中，利用勾股定理即可求得LR的长。（2）在解析式中，把x=6代入函数解析式，即可求得AL的长，在直角△BLR中，根据正切函数的定义即可求解。10.（2022湖北武汉10分）如图，小河上有一拱桥，拱桥及河道的截面轮廓线由抛物线的一部分ACB和矩形的三边AE，ED，DB组成，已知河底ED是水平的，ED＝16m，AE＝8m，抛物线的顶点C到ED的距离是11m，以ED所在的直线为x轴，抛物线的对称轴为y轴建立平面直角坐标系．(1)求抛物线的解析式；(2)已知从某时刻开始的40h内，水面与河底ED的距离h(单位：m)随时间t(单位：h)的变化满足函数关系且当水面到顶点C的距离不大于5m时，需禁止船只通行，请通过计算说明：在这一时段内，需多少小时禁止船只通行？【答案】解：（1）设抛物线的为y=ax2+11，由题意得B（8，8），∴64a+11=8，解得。∴抛物线的解析式y=x2+11。
（2）画出的图象：25\n水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h≥6，当h=6时，，解得t1=35，t2=3。∴35－3=32（小时）。答：需32小时禁止船只通行。【考点】二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系。【分析】（1）根据抛物线特点设出二次函数解析式，把B坐标代入即可求解。（2）水面到顶点C的距离不大于5米时，即水面与河底ED的距离h至多为6，把6代入所给二次函数关系式，求得t的值，相减即可得到禁止船只通行的时间。11.（2022湖北黄冈12分）某科技开发公司研制出一种新型产品，每件产品的成本为2400元，销售单价定为3000元．在该产品的试销期间，为了促销，鼓励商家购买该新型产品，公司决定商家一次购买这种新型产品不超过10件时，每件按3000元销售；若一次购买该种产品超过10件时，每多购买一件，所购买的全部产品的销售单价均降低10元，但销售单价均不低于2600元．(1)商家一次购买这种产品多少件时，销售单价恰好为2600元?(2)设商家一次购买这种产品x件，开发公司所获的利润为y元，求y(元)与x(件)之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围．(3)该公司的销售人员发现：当商家一次购买产品的件数超过某一数量时，会出现随着一次购买的数量的增多，公司所获的利润反而减少这一情况.为使商家一次购买的数量越多，公司所获的利润越大，公司应将最低销售单价调整为多少元?(其它销售条件不变)【答案】解：（1）设件数为x，依题意，得3000－10（x－10）=2600，解得x=50。答：商家一次购买这种产品50件时，销售单价恰好为2600元。（2）当0≤x≤10时，y=（3000－2400）x=600x；当10＜x≤50时，y=x，即y=－10x2+700x；当x＞50时，y=（2600－2400）x=200x。25\n∴。（3）由y=－10x2+700x可知抛物线开口向下，当时，利润y有最大值，此时，销售单价为3000－10（x－10）=2750元，答：公司应将最低销售单价调整为2750元。【考点】二次函数的应用。【分析】（1）设件数为x，则销售单价为3000-10（x-10）元，根据销售单价恰好为2600元，列方程求解。（2）由利润y=销售单价×件数，及销售单价均不低于2600元，按0≤x≤10，10＜x≤50，x＞50三种情况列出函数关系式。（3）由（2）的函数关系式，利用二次函数的性质求利润的最大值，并求出最大值时x的值，确定销售单价。12.（2022湖南岳阳10分）我们常见的炒菜锅和锅盖都是抛物线面，经过锅心和盖心的纵断面是两端抛物线组合而成的封闭图形，不妨简称为“锅线”，锅口直径为6dm，锅深3dm，锅盖高1dm（锅口直径与锅盖直径视为相同），建立直接坐标系如图①所示，如果把锅纵断面的抛物线的记为C1，把锅盖纵断面的抛物线记为C2．（1）求C1和C2的解析式；（2）如图②，过点B作直线BE：y=x﹣1交C1于点E（﹣2，﹣），连接OE、BC，在x轴上求一点P，使以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，求出P点的坐标；（3）如果（2）中的直线BE保持不变，抛物线C1或C2上是否存在一点Q，使得△EBQ的面积最大？若存在，求出Q的坐标和△EBQ面积的最大值；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵抛物线C1、C2都过点A（﹣3，0）、B（3，0），25\n∴设它们的解析式为：y=a（x﹣3）（x+3）。∵抛物线C1还经过D（0，﹣3），∴﹣3=a（0﹣3）（0+3），解得a=。∴抛物线C1：y=（x﹣3）（x+3），即y=x2﹣3（﹣3≤x≤3）。∵抛物线C2还经过A（0，1），∴1=a（0﹣3）（0+3），a=﹣∴抛物线C2：y=﹣（x﹣3）（x+3），即y=﹣x2+1（﹣3≤x≤3）。（2）∵直线BE：y=x﹣1必过（0，﹣1），∴∠CBO=∠EBO（tan∠CBO=tan∠EBO=）。∵由E点坐标可知：tan∠AOE≠，即∠AOE≠∠CBO，∴它们的补角∠EOB≠∠CBx。若以点P、B、C为顶点的△PBC与△BOE相似，只需考虑两种情况：①∠CBP1=∠EBO，且OB：BE=BP1：BC，由已知和勾股定理，得OB=3，BE=，BC=。∴3：=BP1：，得：BP1=，OP1=OB﹣BP1=。∴P1（，0）②∠P2BC=∠EBO，且BC：BP2=OB：BE，即：：BP2=3：，得：BP2=，OP2=BP2﹣OB=。∴P2（﹣，0）．综上所述，符合条件的P点有：P1（，0）、P2（﹣，0）。（3）如图，作直线l∥直线BE，设直线l：y=x+b。①当直线l与抛物线C1只有一个交点时：x+b=x2﹣3，即：x2﹣x﹣（3b+9）=0。由△=（－1）2＋4（3b+9）=0。得。此时，。∴该交点Q2（）。25\n过点Q2作Q2F⊥BE于点F，则由BE：y=x﹣1可用相似得Q2F的斜率为－3，设Q2F：y=－3x＋m。将Q2（）代入，可得。∴Q2F：y=－3x。联立BE和Q2F，解得。∴F（）。∴Q2到直线BE：y=x﹣1的距离Q2F：。②当直线l与抛物线C2只有一个交点时：x+b=﹣x2+1，即：x2+3x+9b﹣9=0。由△=32＋4（9b－9）=0。得。此时，。∴该交点Q1（）。同上方法可得Q1到直线BE：y=x﹣1的距离：。∵，∴符合条件的Q点为Q1（）。∴△EBQ的最大面积：。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式，点到直线的距离，平行线的性质。【分析】（1）已知A、B、C、D四点坐标，利用待定系数法即可确定两函数的解析式。13.（2022四川达州8分）问题背景若矩形的周长为1，则可求出该矩形面积的最大值.我们可以设矩形的一边长为x，面积为s，则s与x的函数关系式为：，利用函数的图象或通过配方均可求得该函数的最大值.提出新问题若矩形的面积为1，则该矩形的周长有无最大值或最小值？若有，最大（小）值是多少？25\n分析问题若设该矩形的一边长为x，周长为y，则y与x的函数关系式为：，问题就转化为研究该函数的最大（小）值了.解决问题借鉴我们已有的研究函数的经验，探索函数的最大（小）值.（1）实践操作：填写下表，并用描点法画出函数的图象：x···1234···y（2）观察猜想：观察该函数的图象，猜想当x=时，函数有最值（填“大”或“小”），是.（3）推理论证：问题背景中提到，通过配方可求二次函数的最大值，请你尝试通过配方求函数的最大（小）值，以证明你的猜想.〔提示：当时，〕【答案】解：（1）填表如下：x123425\n······y···545···（2）1，小，4。（3）证明：∵，∴当时，y的最小值是4，即x=1时，y的最小值是4。【考点】二次函数的最值，配方法的应用。【分析】（1）分别把表中x的值代入所得函数关系式求出y的对应值填入表中，并画出函数图象即可。（2）根据（1）中函数图象的顶点坐标直接得出结论即可。（3）利用配方法把原式化为平方的形式，再求出其最值即可。14.（2022四川巴中9分）某商品的进价为每件50元，售价为每件60元，每个月可卖出200件。如果每件商品的售价上涨1元，则每个月少卖10件（每件售价不能高于72元）。设每件商品的售价上涨x元（x为整数），每个月的销售利润为y元，（1）求y与x的函数关系式，并直接写出x的取值范围；25\n（2）每件商品的售价定为多少元时，每个月可获得最大利润？最大月利润是多少元？【答案】解：（1）设每件商品的售价上涨x元（x为正整数），则每件商品的利润为：（60－50＋x）元，总销量为：（200-10x）件，商品利润为：y=（60－50＋x）（200－10x）=－10x2＋100x＋2000。∵原售价为每件60元，每件售价不能高于72元，∴0＜x≤12。（2）∵y=－10x2＋100x＋2000=－10（x－5）2+2250，∴当x=5时，最大月利润y=2250。答：每件商品的售价定为5元时，每个月可获得最大利润，最大月利润是2250元。【考点】二次函数的应用，二次函数的最值。【分析】（1）根据题意，得出每件商品的利润以及商品总的销量，即可得出y与x的函数关系式。（2）根据题意利用配方法得出二次函数的顶点形式（或用公式法），从而得出当x=5时得出y的最大值。15.（2022辽宁锦州10分）某商店经营儿童益智玩具，已知成批购进时的单价是20元.调查发现：销售单价是30元时，月销售量是230件，而销售单价每上涨1元，月销售量就减少10件，但每件玩具售价不能高于40元.设每件玩具的销售单价上涨了x元时（x为正整数），月销售利润为y元.（1）求y与x的函数关系式并直接写出自变量x的取值范围.（2）每件玩具的售价定为多少元时，月销售利润恰为2520元？（3）每件玩具的售价定为多少元时可使月销售利润最大？最大的月利润是多少？【答案】解：（1）依题意得自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数。（2）当y=2520时，得，解得x1=2,x2=11（不合题意，舍去）。当x=2时，30+x=32。∴每件玩具的售价定为32元时，月销售利润恰为2520元。25\n（3）∵a=-10＜0∴当x=6.5时，y有最大值为2722.5。∵0＜x≤10且x为正整数，∴当x=6时，30+x=36,y=2720，当x=7时，30+x=37,y=2720。∴每件玩具的售价定为36元或37元时，每个月可获得最大利润。最大的月利润是2720元。【考点】二次函数的应用，二次函数的最值，解一元二次方程。【分析】（1）根据销售利润=销售量×销售单价即可得y与x的函数关系式。因为x为正整数，所以x＞0；因为每件玩具售价不能高于40元，所以x≤40－30=10。故自变量x的取值范围是：0＜x≤10且x为正整数。（2）求出函数值等于2520时自变量x的值即可。（3）将函数式化为顶点式即可求。16.（2022河北省9分）某工厂生产一种合金薄板（其厚度忽略不计），这些薄板的形状均为正方形，边长（单位：cm）在5～50之间．每张薄板的成本价（单位：元）与它的面积（单位：cm2）成正比例，每张薄板的出厂价（单位：元）由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的．浮动价与薄板的边长成正比例．在营销过程中得到了表格中的数据．薄板的边长（cm）2030出厂价（元/张）5070（1）求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式；（2）已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润为26元（利润=出厂价-成本价），①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式．②当边长为多少时，出厂一张薄板所获得的利润最大？最大利润是多少？参考公式：抛物线：y=ax2＋bx＋c（a≠0）的顶点坐标为-【答案】解：（1）设一张薄板的边长为xcm，它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元，则y=kx+n。25\n由表格中的数据，得，解得。∴一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数关系式为y=2x+10。。（2）①设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx2元，由题意，得：p=y－mx2=2x＋10－mx2，将x=40，p=26代入p=2x＋10－mx2中，得26=2×40+10－m×402，解得m=。∴一张薄板的利润与边长之间满足的函数关系式为。②∵a=－＜0，∴当x=（在5～50之间）时，p最大值=。∴出厂一张边长为25cm的薄板，获得的利润最大，最大利润是35元。【考点】二次函数的应用，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的最值。【分析】（1）利用待定系数法求一次函数解析式即可得出答案。（2）①首先假设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx2元，由题意，得：p=y-mx2，进而得出m的值，求出函数解析式即可。②利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可。17.（2022黑龙江大庆6分）将一根长为16厘米的细铁丝剪成两段．并把每段铁丝围成圆，设所得两圆半径分别为和.（1）求与的关系式，并写出的取值范围；（2）将两圆的面积和S表示成的函数关系式，求S的最小值．【答案】解：（1）由题意，有2πr1+2πr2=16π，则r1+r2=8。∵r1＞0，r2＞0，∴0＜r1＜8。∴r1与r2的关系式为r1+r2=8，r1的取值范围是0＜r1＜8厘米。（2）∵r1+r2=8，∴r2=8﹣r1。25\n又∵，∴当r1=4厘米时，S有最小值32π平方厘米。【考点】二次函数的应用。119281【分析】（1）由圆的周长公式表示出半径分别为r1和r2的圆的周长，再根据这两个圆的周长之和等于16π厘米列出关系式即可。（2）先由（1）可得r2=8﹣r1，再根据圆的面积公式即可得到两圆的面积和S表示成r1的函数关系式，然后根据函数的性质即可求出S的最小值。18.（2022黑龙江哈尔滨6分）小磊要制作一个三角形的钢架模型，在这个三角形中，长度为x(单位：cm)的边与这条边上的高之和为40cm，这个三角形的面积S(单位：cm2)随x(单位：cm)的变化而变化．（1）请直接写出S与x之间的函数关系式(不要求写出自变量x的取值范围)；（2）当x是多少时，这个三角形面积S最大?最大面积是多少?25
