平面几何的综合、一、选择题1.（2022湖北鄂州3分）如图，四边形OABC为菱形，点A、B在以O为圆心的弧上，若OA=2，∠1=∠2，则扇形ODE的面积为【】A.B.C.D.【答案】A。【考点】菱形的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算。【分析】如图，连接OB．∵OA=OB=OC=AB=BC，∴∠AOB+∠BOC=120°。又∵∠1=∠2，∴∠DOE=120°。又∵OA=2，∴扇形ODE的面积为。故选A。2.（2022湖南岳阳3分）如图，AB为半圆O的直径，AD、BC分别切⊙O于A、B两点，CD切⊙O于点E，AD与CD相交于D，BC与CD相交于C，连接OD、OC，对于下列结论：①OD2=DE•CD；②AD+BC=CD；③OD=OC；④S梯形ABCD=CD•OA；⑤∠DOC=90°，其中正确的是【】A．①②⑤B．②③④C．③④⑤D．①④⑤【答案】A。【考点】切线的性质，切线长定理，相似三角形的判定与性质。105262950\n【分析】如图，连接OE，∵AD与圆O相切，DC与圆O相切，BC与圆O相切，∴∠DAO=∠DEO=∠OBC=90°，∴DA=DE，CE=CB，AD∥BC。∴CD=DE+EC=AD+BC。结论②正确。在Rt△ADO和Rt△EDO中，OD=OD，DA=DE，∴Rt△ADO≌Rt△EDO（HL）∴∠AOD=∠EOD。同理Rt△CEO≌Rt△CBO，∴∠EOC=∠BOC。又∠AOD+∠DOE+∠EOC+∠COB=180°，∴2（∠DOE+∠EOC）=180°，即∠DOC=90°。结论⑤正确。∴∠DOC=∠DEO=90°。又∠EDO=∠ODC，∴△EDO∽△ODC。∴，即OD2=DC•DE。结论①正确。而，结论④错误。由OD不一定等于OC，结论③错误。∴正确的选项有①②⑤。故选A。3.（2022四川乐山3分）如图，在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4，D是AB的中点，点E、F分别在AC、BC边上运动（点E不与点A、C重合），且保持AE=CF，连接DE、DF、EF．在此运动变化的过程中，有下列结论：①△DFE是等腰直角三角形；②四边形CEDF不可能为正方形；③四边形CEDF的面积随点E位置的改变而发生变化；④点C到线段EF的最大距离为．其中正确结论的个数是【】 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个【答案】B。50\n【考点】全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形，三角形中位线定理，勾股定理。【分析】①连接CD（如图1）。∵△ABC是等腰直角三角形，∴∠DCB=∠A=45°，CD=AD=DB。∵AE=CF，∴△ADE≌△CDF（SAS）。∴ED=DF，∠CDF=∠EDA。∵∠ADE+∠EDC=90°，∴∠EDC+∠CDF=∠EDF=90°。∴△DFE是等腰直角三角形。故此结论正确。②当E、F分别为AC、BC中点时，∵由三角形中位线定理，DE平行且等于BC。∴四边形CEDF是平行四边形。又∵E、F分别为AC、BC中点，AC=BC，∴四边形CEDF是菱形。又∵∠C=90°，∴四边形CEDF是正方形。故此结论错误。③如图2，分别过点D，作DM⊥AC，DN⊥BC，于点M，N，由②，知四边形CMDN是正方形，∴DM=DN。由①，知△DFE是等腰直角三角形，∴DE=DF。∴Rt△ADE≌Rt△CDF（HL）。∴由割补法可知四边形CEDF的面积等于正方形CMDN面积。∴四边形CEDF的面积不随点E位置的改变而发生变化。故此结论错误。④由①，△DEF是等腰直角三角形，∴DE=EF。当DF与BC垂直，即DF最小时，EF取最小值2。此时点C到线段EF的最大距离为。故此结论正确。故正确的有2个：①④。故选B。4.（2022四川广元3分）如图，A，B是⊙O上两点，若四边形ACBO是菱形，⊙O的半径为r，则点A与点B之间的距离为【】50\nA.B.C.rD.2r【答案】B。【考点】菱形的性质，垂径定理，等边三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】如图，连接AB，与OC交于点D，
∵四边形ACBO为菱形，∴OA=OB=AC=BC，OC⊥AB。又∵OA=OC=OB，∴△AOC和△BOC都为等边三角形，AD=BD。在Rt△AOD中，OA=r，∠AOD=60°，∴AD=OAsin60°=。∴AB=2AD=。故选B。5.（2022辽宁锦州3分）下列说法正确的是【】A.同位角相等B.梯形对角线相等C.等腰三角形两腰上的高相等D.对角线相等且垂直的四边形是正方形【答案】C。【考点】同位角、梯形、等腰三角形的性质，正方形的判定。【分析】根据同位角、梯形、等腰三角形的性质和正方形的判定逐一作出判断：A.两直线平行，被第三条直线所截，同位角才相等，说法错误；B.等腰梯形的对角线才相等，说法错误；C.根据等腰三角形等边对等角的性质，两腰上的高与底边构成的两直角三角形全等（用AAS），从而得出等腰三角形两腰上的高相等的结论，说法正确；D.对角线相等且垂直的四边形是不一定是正方形，还要对角线互相平分，说法错误。故选C。二、填空题1.（2022宁夏区3分）如图,在矩形ABCD中，对角线AC、BD相较于O,DE⊥AC于E，∠EDC∶∠EDA=1∶2，且AC=10，则DE的长度是▲．50\n【答案】。【考点】矩形的性质，三角形内角和定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】∵四边形ABCD是矩形，∴∠ADC=90°，AC=BD=10，OA=OC=AC=5，OB=OD=BD=5。∴OC=OD，∴∠ODC=∠OCD。∵∠EDC：∠EDA=1：2，∠EDC+∠EDA=90°，∴∠EDC=30°，∠EDA=60°。∵DE⊥AC，∴∠DEC=90°。∴∠DCE=90°－∠EDC=60°。∴∠ODC=∠OCD=60°。∴∠COD=60°。∴DE=OD•sin60°==。2.（2022浙江、舟山嘉兴5分）如图，在Rt△ABC中，∠ABC=90°，BA=BC．点D是AB的中点，连接CD，过点B作BG丄CD，分别交GD、CA于点E、F，与过点A且垂直于的直线相交于点G，连接DF．给出以下四个结论：①；②点F是GE的中点；③AF=AB；④S△ABC=5S△BDF，其中正确的结论序号是 ▲ ．【答案】①③。【考点】相似三角形的判定和性质，勾股定理，等腰直角三角形的性质。【分析】∵在Rt△ABC中，∠ABC=90°，∴AB⊥BC。又∵AG⊥AB，∴AG∥BC。∴△AFG∽△CFB。∴。∵BA=BC，∴。故①正确。∵∠ABC=90°，BG⊥CD，∴∠DBE+∠BDE=∠BDE+∠BCD=90°。∴∠DBE=∠BCD。50\n∵AB=CB，点D是AB的中点，∴BD=AB=CB。∴。又∵BG丄CD，∴∠DBE=∠BCD。∴在Rt△ABG中，。∵，∴FG=FB。故②错误。∵△AFG∽△CFB，∴AF：CF=AG：BC=1：2。∴AF=AC。∵AC=AB，∴AF=AB。故③正确。设BD=a，则AB=BC=2a，△BDF中BD边上的高=。∴S△ABC=，S△BDF∴S△ABC=6S△BDF，故④错误。因此，正确的结论为①③。3.（2022浙江丽水、金华4分）如图，在直角梯形ABCD中，∠A＝90°，∠B＝120°，AD＝，AB＝6．在底边AB上取点E，在射线DC上取点F，使得∠DEF＝120°．(1)当点E是AB的中点时，线段DF的长度是 ▲ ；(2)若射线EF经过点C，则AE的长是 ▲ ．【答案】6；2或5。【考点】直角梯形的性质，勾股定理，解直角三角形。【分析】(1)如图1，过E点作EG⊥DF，∴EG＝AD＝。∵E是AB的中点，AB＝6，∴DG＝AE＝3。∴∠DEG＝60°（由三角函数定义可得）。∵∠DEF＝120°，∴∠FEG＝60°。∴tan60°＝，解得，GF＝3。∵EG⊥DF，∠DEG＝∠FEG，∴EG是DF的中垂线。∴DF＝2GF＝6。50\n(2)如图2，过点B作BH⊥DC，延长AB至点M，过点C作CF⊥AB于F，则BH＝AD＝。∵∠ABC＝120°，AB∥CD，∴∠BCH＝60°。∴CH＝，BC＝。设AE＝x，则BE＝6－x，在Rt△ADE中，DE＝，在Rt△EFM中，EF＝，∵AB∥CD，∴∠EFD＝∠BEC。∵∠DEF＝∠B＝120°，∴△EDF∽△BCE。∴，即，解得x＝2或5。4.（2022浙江宁波3分）如图，△ABC中，∠BAC=60°，∠ABC=45°，AB=2，D是线段BC上的一个动点，以AD为直径画⊙O分别交AB，AC于E，F，连接EF，则线段EF长度的最小值为▲．【答案】。【考点】垂线段的性质，垂径定理，圆周角定理，解直角三角形，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】由垂线段的性质可知，当AD为△ABC的边BC上的高时，直径AD最短，此时线段EF=2EH=20E•sin∠EOH=20E•sin60°，当半径OE最短时，EF最短。如图，连接OE，OF，过O点作OH⊥EF，垂足为H。∵在Rt△ADB中，∠ABC=45°，AB=2，50\n∴AD=BD=2，即此时圆的直径为2。由圆周角定理可知∠EOH=∠EOF=∠BAC=60°，∴在Rt△EOH中，EH=OE•sin∠EOH=1×。由垂径定理可知EF=2EH=。5.（2022湖北十堰3分）如图，Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=12cm，以AC为直径的半圆O交AB于点D，点E是AB的中点，CE交半圆O于点F，则图中阴影部分的面积为 ▲ cm2．【答案】。【考点】含30度角直角三角形的性质，等边三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，扇形面积的计算。【分析】连接OD，OF。∵Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠B=30°，AB=12cm，∴AC=AB=6cm，∠BAC=60°。∵E是AB的中点，∴CE=AB=AE。∴△ACE是等边三角形。∴∠ECA=60°。又∵OA=OD，∴△AOD是等边三角形。∴∠DOA=60°。∴∠COD=120°。同理，∠COF=60°。∴∠DOA=∠COE=60°。∴，AD=CF。∴与弦AD围成的弓形的面积等于与弦CF围成的弓形的面积相等。∴。∵AC是直径，∴∠CDA=90°。50\n又∵∠BAC=60°，AC=6cm，∴。又∵△OCD中CD边上的高=,∴.又∵，∴。6.（2022四川宜宾3分）如图，在⊙O中，AB是直径，点D是⊙O上一点，点C是的中点，弦CE⊥AB于点F，过点D的切线交EC的延长线于点G，连接AD，分别交CF、BC于点P、Q，连接AC．给出下列结论：①∠BAD=∠ABC；②GP=GD；③点P是△ACQ的外心；④AP•AD=CQ•CB．其中正确的是▲（写出所有正确结论的序号）．【答案】②③④。【考点】切线的性质，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。【分析】①如图，连接BD，∵点C是的中点，∴∠ABC=∠CBD，即∠ABD=2∠ABC。又∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°。∴∠BAD＋∠ABD=900，即∠BAD＋2∠ABC=900。∴当∠ABC=300时，∠BAD=∠ABC；当∠ABC≠300时，∠BAD≠∠ABC。∴∠BAD与∠ABC不一定相等。所以结论①错误。②∵GD为圆O的切线，∴∠GDP=∠ABD。又∵AB为圆O的直径，∴∠ADB=90°。∵CE⊥AB，∴∠AFP=90°。∴∠ADB=∠AFP。又∵∠PAF=∠BAD，∴∠ABD=∠APF。又∵∠APF=∠GPD，∴∠GDP=∠GPD。∴GP=GD。所以结论②正确。50\n∵直径AB⊥CE，∴A为的中点，即。又∵点C是的中点，∴。∴。∴∠CAP=∠ACP。∴AP=CP。又∵AB为圆O的直径，∴∠ACQ=90°。∴∠PCQ=∠PQC。∴PC=PQ。∴AP=PQ，即P为Rt△ACQ斜边AQ的中点。∴P为Rt△ACQ的外心。所以结论③正确。④如图，连接CD，∵，∴∠B=∠CAD。又∠ACQ=∠BCA，∴△ACQ∽△BCA。∴，即AC2=CQ•CB。∵，∴∠ACP=∠ADC。又∠CAP=∠DAC，∴△ACP∽△ADC。∴，即AC2=AP•AD。∴AP•AD=CQ•CB。所以结论④正确。则正确的选项序号有②③④。7.（2022山东日照4分）如图1，正方形OCDE的边长为1，阴影部分的面积记作S1；如图2，最大圆半径r=1，阴影部分的面积记作S2，则S1▲S2（用“>”、“<”或“=”填空）.【答案】＜。【考点】轴对称的性质，正方形和圆的性质，勾股定理，实数的大小比较，【分析】结合图形发现：图1阴影部分的面积等于等于矩形ACDF的面积，图2每个阴影部分正好是它所在的圆的四分之一，则阴影部分的面积大圆面积的四分之一。计算出结果后再比较S1与S2的大小即可：∵正方形OCDE的边长为1，∴根据勾股定理得OD=，∴AO=。∴AC=AO－CO=－1。∴。50\n∵大圆面积=πr2=π∴。∵＜，∴S1＜S2。三、解答题1.（2022北京市5分）已知：如图，AB是⊙O的直径，C是⊙O上一点，OD⊥BC于点D，过点C作⊙O的切线，交OD的延长线于点E，连结BE．（1）求证：BE与⊙O相切；（2）连结AD并延长交BE于点F，若OB=9，，求BF的长．【答案】证明：（1）连接OC，
∵OD⊥BC，∴OC=OB，CD=BD（垂径定理）。∴△CDO≌△BDO（HL）。∴∠COD=∠BOD。在△OCE和△OBE中，∵OC=OB，∠COE=∠BOE，OE=OE，∴△OCE≌△OBE（SAS）。∴∠OBE=∠OCE=90°，即OB⊥BE。∴BE与⊙O相切。（2）过点D作DH⊥AB，∵OD⊥BC，∴△ODH∽△OBD，∴。又∵，OB=9，∴OD=6。∴OH=4，HB=5，DH=2。又∵△ADH∽△AFB，∴，即，解得FB=。【考点】垂径定理，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）连接OC，先证明△OCE≌△OBE，得出EB⊥OB，从而可证得结论。50\n（2）过点D作DH⊥AB，根据，可求出OD=6，OH=4，HB=5，然后由△ADH∽△AFB，利用相似三角形的性质得出比例式即可解出BF的长。2.（2022陕西省12分）如图，正三角形ABC的边长为．（1）如图①，正方形EFPN的顶点E、F在边AB上，顶点N在边AC上．在正三角形ABC及其内部，以A为位似中心，作正方形EFPN的位似正方形，且使正方形的面积最大（不要求写作法）；（2）求（1）中作出的正方形的边长；（3）如图②，在正三角形ABC中放入正方形DEMN和正方形EFPH，使得D、EF在边AB上，点P、N分别在边CB、CA上，求这两个正方形面积和的最大值及最小值，并说明理由．【答案】解：（1）如图①，正方形即为所求。（2）设正方形的边长为x．∵△ABC为正三角形，∴。∴。∴，即。（3）如图②，连接NE，EP，PN，则。设正方形DEMN和正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），它们的面积和为S，则，。∴.∴。延长PH交ND于点G，则PG⊥ND。50\n在中，。∵，即.∴。∴①当时，即时，S最小。∴。②当最大时，S最大，即当m最大且n最小时，S最大。∵，由（2）知，。∴。∴。【考点】位似变换，等边三角形的判定和性质，勾股定理，正方形的性质。【分析】（1）利用位似图形的性质，作出正方形EFPN的位似正方形E′F′P′N′，如答图①所示。（2）根据正三角形、正方形、直角三角形相关线段之间的关系，利用等式E′F′+AE′+BF′=AB，列方程求得正方形E′F′P′N′的边长（3）设正方形DEMN、正方形EFPH的边长分别为m、n（m≥n），求得面积和的表达式为：，可见S的大小只与m、n的差有关：①当m=n时，S取得最小值；②当m最大而n最小时，S取得最大值．m最大n最小的情形见第（1）（2）问。3.（2022广东肇庆8分）如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E.（1）求证：BD=BE；（2）若ÐDBC=30°，BO=4，求四边形ABED的面积.50\n【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是矩形，∴AC=BD，AB∥CD，∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形。∴AC=BE。∴BD=BE。
（2）解：∵在矩形ABCD中，BO=4，∴BD=2BO=2×4=8。∵∠DBC=30°，∴CD=BD=×8=4，BC=BD·cos∠DBC=8×。∵BD=BE，BC⊥DE，∴CE=CD=4，∴DE=8∴四边形ABED的面积=（AB+DE）·BC=×（4+8）×。【考点】矩形的性质，平行四边形的判定和性质，等腰三角形的性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）根据矩形的对角线相等可得AC=BD，然后证明四边形ABEC是平行四边形，再根据平行四边形的对边相等可得AC=BE，从而得证。（2）根据矩形的对角线互相平分求出BD的长度，根据30°角所对的直角边等于斜边的一半求出CD的长度，根据锐角三角函数求出BC的长（或用勾股定理求），并根据等腰三角形三线合一的性质求出DE的长，最后利用梯形的面积公式列式计算即可得解。4.（2022广东梅州8分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．（1）求证：△ADE∽△BCE；（2）如果AD2=AE•AC，求证：CD=CB．【答案】证明：（1）∵∠A与∠B都是弧所对的圆周角，∴∠A=∠B，又∵∠AED=∠BEC，∴△ADE∽△BCE。50\n（2）∵AD2=AE•AC，∴。又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD。∴∠AED=∠ADC。又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°。∴∠AED=90°。∴直径AC⊥BD，∴CD=CB。【考点】圆周角定理，对顶角的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线上点的性质。【分析】（1）由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠B，又由对顶角相等，可证得：△ADE∽△BCE。（2）由AD2=AE•AC，可得，又由∠A是公共角，可证得△ADE∽△ACD，又由AC是⊙O的直径，可求得AC⊥BD，由线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质可证得CD=CB。5.（2022广东肇庆10分）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于点E，交BC于点D，连结BE、AD交于点P.求证：（1）D是BC的中点；（2）△BEC∽△ADC；（3）AB×CE=2DP×AD．【答案】证明：（1）∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD⊥BC。∵AB=AC，∴D是BC的中点。
（2）∵AB是⊙O的直径，∴∠AEB=∠ADB=90°，即∠CEB=∠CDA=90°，∵∠C是公共角，∴△BEC∽△ADC。（3）∵△BEC∽△ADC，∴∠CBE=∠CAD。∵AB=AC，AD=CD，∴∠BAD=∠CAD。∴∠BAD=∠CBE。∵∠ADB=∠BEC=90°，∴△ABD∽△BCE。∴。∴。50\n∵BC=2BD，∴，即。∵∠BDP=∠BEC=90°，∠PBD=∠CBE，∴△BPD∽△BCE。∴。∴，即AB•CE=2DP•AD。【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由AB是⊙O的直径，可得AD⊥BC，又由AB=AC，由三线合一，即可证得D是BC的中点。（2）由AB是⊙O的直径，∠AEB=∠ADB=90°，又由∠C是公共角，即可证得△BEC∽△ADC。（3）易证得△ABD∽△BCE与△BPD∽△BCE，根据相似三角形的对应边成比例与BC=2BD，即可证得AB•CE=2DP•AD。6.（2022浙江台州12分）已知，如图1，△ABC中，BA=BC，D是平面内不与A、B、C重合的任意一点，∠ABC=∠DBE，BD=BE．（1）求证：△ABD≌△CBE；（2）如图2，当点D是△ABC的外接圆圆心时，请判断四边形BDCE的形状，并证明你的结论．50\n7.（2022浙江杭州12分）如图，AE切⊙O于点E，AT交⊙O于点M，N，线段OE交AT于点C，OB⊥AT于点B，已知∠EAT=30°，AE=3，MN=2．（1）求∠COB的度数；（2）求⊙O的半径R；（3）点F在⊙O上（是劣弧），且EF=5，把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有多少个？你能在其中找出另一个顶点在⊙O上的三角形吗？请在图中画出这个三角形，并求出这个三角形与△OBC的周长之比．【答案】解：（1）∵AE切⊙O于点E，∴AE⊥CE。又∵OB⊥AT，∴∠AEC=∠CBO=90°，又∵∠BCO=∠ACE，∴△AEC∽△OBC。50\n又∵∠A=30°，∴∠COB=∠A=30°。（2）∵AE=3，∠A=30°，∴在Rt△AEC中，tanA=tan30°=，即EC=AEtan30°=3。∵OB⊥MN，∴B为MN的中点。又∵MN=2，∴MB=MN=。连接OM，在△MOB中，OM=R，MB=，∴。在△COB中，∠BOC=30°，∵cos∠BOC=cos30°=，∴BO=OC。∴。又∵OC+EC=OM=R，∴。整理得：R2+18R﹣115=0，即（R+23）（R﹣5）=0，解得：R=﹣23（舍去）或R=5。∴R=5。（3）在EF同一侧，△COB经过平移、旋转和相似变换后，这样的三角形有6个，如图，每小图2个，顶点在圆上的三角形，如图所示：延长EO交圆O于点D，连接DF，如图所示，△FDE即为所求。∵EF=5，直径ED=10，可得出∠FDE=30°，50\n∴FD=5。则C△EFD=5+10+5=15+5，由（2）可得C△COB=3+，∴C△EFD：C△COB=（15+5）：（3+）=5：1。【考点】切线的性质，含30度角的直角三角形的性质，锐角三角函数定义，勾股定理，垂径定理，平移、旋转的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由AE与圆O相切，根据切线的性质得到AE⊥CE，又OB⊥AT，可得出两直角相等，再由一对对顶角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△AEC∽△OBC，根据相似三角形的对应角相等可得出所求的角与∠A相等，由∠A的度数即可求出所求角的度数。（2）在Rt△AEC中，由AE及tanA的值，利用锐角三角函数定义求出CE的长，再由OB⊥MN，根据垂径定理得到B为MN的中点，根据MN的长求出MB的长，在Rt△OBM中，由半径OM=R，及MB的长，利用勾股定理表示出OB的长，在Rt△OBC中，由表示出OB及cos30°的值，利用锐角三角函数定义表示出OC，用OE﹣OC=EC列出关于R的方程，求出方程的解得到半径R的值。（3）把△OBC经过平移、旋转和相似变换后，使它的两个顶点分别与点E，F重合．在EF的同一侧，这样的三角形共有6个。顶点在圆上的三角形，延长EO与圆交于点D，连接DF，△FDE即为所求。根据ED为直径，利用直径所对的圆周角为直角，得到△FDE为直角三角形，由∠FDE为30°，利用锐角三角函数定义求出DF的长，表示出△EFD的周长，再由（2）求出的△OBC的三边表示出△BOC的周长，即可求出两三角形的周长之比。8.（2022浙江湖州10分）已知，如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，DA=DC，以点D为圆心，DA长为半径的⊙D与AB相切于A，与BC交于点F，过点D作DE⊥BC，垂足为E．（1）求证：四边形ABED为矩形；（2）若AB=4，，求CF的长．50\n【答案】（1）证明：∵⊙D与AB相切于点A，∴AB⊥AD。∵AD∥BC，DE⊥BC，∴DE⊥AD。∴∠DAB=∠ADE=∠DEB=90°。∴四边形ABED为矩形。
（2）解：∵四边形ABED为矩形，∴DE=AB=4。∵DC=DA，∴点C在⊙D上。∵D为圆心，DE⊥BC，∴CF=2EC。∵，设AD=3k（k＞0）则BC=4k。∴BE=3k，EC=BC－BE=4k－3k=k，DC=AD=3k。由勾股定理得DE2＋EC2=DC2，即42＋k2=（3k）2，∴k2=2。∵k＞0，∴k=。∴CF=2EC=2。【考点】切线的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，待定系数法，垂径定理。【分析】（1）根据AD∥BC和AB切圆D于A，求出DAB=∠ADE=∠DEB=90°，即可推出结论。（2）根据矩形的性质求出AD=BE=AB=DE=4，根据垂径定理求出CF=2CE，设AD=3k，则BC=4k，BE=3k，EC=k，DC=AD=3k，在△DEC中由勾股定理得出一个关于k的方程，求出k的值，即可求出答案。9.（2022江苏南京8分）如图，在直角三角形ABC中，∠ABC=90°，点D在BC的延长线上，且BD=AB，过B作BEAC，与BD的垂线DE交于点E，（1）求证：△ABC≌△BDE（2）三角形BDE可由三角形ABC旋转得到，利用尺规作出旋转中心O（保留作图痕迹，不写作法）【答案】（1）证明：在Rt△ABC中，∵∠ABC=90°，∴∠ABE+∠DBE=90°。∵BE⊥AC，∴∠ABE+∠A=90°。∴∠A=∠DBE。∵DE是BD的垂线，∴∠D=90°。50\n在△ABC和△BDE中，∵∠A=∠DBE，AB=DB，∠ABC=∠D，∴△ABC≌△BDE（ASA）。
（2）如图，点O就是所求的旋转中心。【考点】三角形内角和定理，全等三角形的判定，作图（旋转变换），线段垂直平分线的性质。【分析】（1）利用已知得出∠A=∠DBE，从而利用ASA得出△ABC≌△BDE即可。（2）利用垂直平分线的性质可以作出，或者利用正方形性质得出旋转中心也可。10.（2022江苏扬州10分）如图，在四边形ABCD中，AB＝BC，∠ABC＝∠CDA＝90°，BE⊥AD，垂足为E．求证：BE＝DE．【答案】证明：作CF⊥BE，垂足为F，∵BE⊥AD，∴∠AEB＝90°。∴∠FED＝∠D＝∠CFE＝90°，∠CBE＋∠ABE＝90°，∠BAE＋∠ABE＝90°。∴∠BAE＝∠CBF。∴四边形EFCD为矩形。∴DE＝CF。∵在△BAE和△CBF中，∠CBE＝∠BAE，∠BFC＝∠BEA＝90°，AB＝BC，∴△BAE≌△CBF（AAS）。∴BE＝CF。又∵CF＝DE，∴BE＝DE。【考点】全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质。【分析】作CF⊥BE，垂足为F，得出矩形CFED，求出∠CBF＝∠A，根据AAS证△BAE≌△CBF，推出BE＝CF即可。50\n11.（2022广东河源7分）如图，AC是⊙O的直径，弦BD交AC于点E．(1)求证：△ADE∽△BCE；(2)若AD2＝AC·AE，求证：BC＝CD．【答案】证明：（1）∵∠A与∠B都是弧所对的圆周角，∴∠A=∠B，又∵∠AED=∠BEC，∴△ADE∽△BCE。（2）∵AD2=AE•AC，∴。又∵∠A=∠A，∴△ADE∽△ACD。∴∠AED=∠ADC。又∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC=90°。∴∠AED=90°。∴直径AC⊥BD，∴CD=CB。【考点】圆周角定理，对顶角的性质，相似三角形的判定和性质，线段垂直平分线上点的性质。【分析】（1）由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，即可得∠A=∠B，又由对顶角相等，可证得：△ADE∽△BCE。（2）由AD2=AE•AC，可得，又由∠A是公共角，可证得△ADE∽△ACD，又由AC是⊙O的直径，可求得AC⊥BD，由线段垂直平分线上的点到线段两端距离相等的性质可证得CD=CB。12.（2022湖北随州10分）如图，已知直角梯形ABCD,∠B=900。,AD∥BC,并且AD+BC=CD,O为AB的中点.(1)求证：以AB为直径的⊙O与斜腰CD相切；(2)若OC=8cm，OD=6cm,求CD的长.【答案】解：（1）在CD上取中点F，连接OF，∵O为AB的中点，∴由梯形中位线可知OF=(AD+BC)，OF∥AD∥BC。又∵AD+BC=CD，∴OF=CD=CF。∴∠FOC=∠FCO。又由OF∥BC得∠FOC=∠OCB，∴∠OCF=∠OCB。50\n在CD上取点E，使DE=DA，则CE=CB。在△OBC和△OEC中，∵CE=CB，∠OCB=∠OCE，OC=OC，∴△OBC≌△OEC（SAS）。∴∠B=∠OEC，OE=OD。∵∠B=900,∴∠OEC=90°。∴OE⊥CD。又∵O为AB的中点，∴OE=OD=OA为⊙O的半径。∴以AB为直径的⊙O与CD相切于E。（2）由（1）知，OF=CF=DF，∴O点在以CD为直径的⊙F上。∴∠COD=90°。在Rt△COD中，OD=6cm，OC=8cm，∴根据勾股定理得：。【考点】直角梯形的性质，梯形中位线定理，平行的性质，全等三角形的判定和性质，切线的判定和性质，圆周角定理，勾股定理。【分析】（1）在CD上取中点F，连接OF，由已知，根据梯形中位线定理和平行的性质，可由SAS得出△OBC≌△OEC，从而由∠B=900，证得OE⊥CD。由OE=OD=OA为⊙O的半径得出以AB为直径的⊙O与CD相切于E。（2）由（1）可知O点在以CD为直径的⊙F上，根据直径所对的圆周角为直角得到∠DOC为直角，在直角三角形COD中，由OD与OC的长，利用勾股定理即可求出CD的长。13.（2022湖北武汉8分）在锐角△ABC中，BC＝5，sinA＝．(1)如图1，求△ABC外接圆的直径；(2)如图2，点I为△ABC的内心，BA＝BC，求AI的长。【答案】解：（1）作△ABC的外接圆的直径CD，连接BD。则∠CBD=900，∠D=∠A。50\n∴。∵BC＝5，∴。∴△ABC外接圆的直径为。（2）连接BI并延长交AC于点H，作IE⊥AB于点E。∵BA=BC，∴BH⊥AC。∴IH=IE。在Rt△ABH中，BH=AB·sin∠BDH=4，。∵，∴，即。∵IH=IE，∴。在Rt△AIH中，。【考点】三角形外心和内心的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义，等腰三角形的性质，角平分线的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）作△ABC的外接圆的直径CD，连接BD，由直径所对圆周角是直角的性质得∠CBD=900，由同圆中同弧所对圆周角相等得∠D=∠A，从而由已知，根据锐角三角函数定义即可求得△ABC外接圆的直径。（2）连接BI并延长交AC于点H，作IE⊥AB于点E，由三角形内心的性质和角平分线的判定和性质，知IH=IE。在Rt△ABH中，根据锐角三角函数定义和勾股定理可求出BH=4和AH=3，从而由求得。在Rt△AIH中，应用勾股定理求得AI的长。14.（2022湖北荆门10分）如图所示为圆柱形大型储油罐固定在U型槽上的横截面图．已知图中ABCD为等腰梯形（AB∥DC），支点A与B相距8m，罐底最低点到地面CD距离为1m．设油罐横截面圆心为O，半径为5m，∠D=56°，求：U型槽的横截面（阴影部分）的面积．（参考数据：sin53°≈0.8，tan56°≈1.5，π≈3，结果保留整数）50\n【答案】解：如图，连接AO、BO．过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F．则OF⊥AB．∵OA=OB=5m，AB=8m，∴AF=BF=AB=4（m），∠AOB=2∠AOF，在Rt△AOF中，，∴∠AOF=53°，∴∠AOB=106°。∵（m），由题意得：MN=1m，∴FN=OM－OF+MN=3（m）。∵四边形ABCD是等腰梯形，AE⊥DC，FN⊥AB，∴AE=FN=3m，DC=AB+2DE。在Rt△ADE中，，∴DE=2m，DC=12m。∴（m2）。答：U型槽的横截面积约为20m2。【考点】解直角三角形的应用，垂径定理，勾股定理，等腰梯形的性质，锐角三角函数定义。【分析】连接AO、BO．过点A作AE⊥DC于点E，过点O作ON⊥DC于点N，ON交⊙O于点M，交AB于点F，则OF⊥AB。根据垂径定理求出AF，再在Rt△AOF中利用锐角三角函数的定义求出∠AOB，由勾股定理求出OF，根据四边形ABCD是等腰梯形求出AE的长，再由即可得出结果。15.（2022湖北宜昌8分）如图，△ABC和△ABD都是⊙O的内接三角形，圆心O在边AB上，边AD分别与BC，OC交于E，F两点，点C为的中点．（1）求证：OF∥BD；（2）若，且⊙O的半径R=6cm．①求证：点F为线段OC的中点；50\n②求图中阴影部分（弓形）的面积．【答案】（1）证明：∵OC为半径，点C为的中点，∴OC⊥AD。∵AB为直径，∴∠BDA=90°，BD⊥AD。∴OF∥BD。（2）①证明：∵点O为AB的中点，点F为AD的中点，∴OF=BD。∵FC∥BD，∴∠FCE=∠DBE。∵∠FEC=∠DEB，∴△ECF∽△EBD，∴，∴FC=BD。∴FC=FO，即点F为线段OC的中点。②解：∵FC=FO，OC⊥AD，∴AC=AO，又∵AO=CO，∴△AOC为等边三角形。∴根据锐角三角函数定义，得△AOC的高为。∴（cm2）。答：图中阴影部分（弓形）的面积为cm2。【考点】圆心角、弧、弦的关系，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，三角形中位线的性质，等边三角形的判定和性质，扇形面积的计算。【分析】（1）由垂径定理可知OC⊥AD，由圆周角定理可知BD⊥AD，从而证明OF∥BD。（2）①由OF∥BD可证△ECF∽△EBD，利用相似比证明BD=2CF，再证OF为△ABD的中位线，得出BD=2OF，即CF=OF，证明点F为线段OC的中点；②根据S阴=S扇形AOC﹣S△AOC，求面积。16.（2022湖北黄冈8分）如图，在△ABC中，BA=BC，以AB为直径作半圆⊙O，交AC于点D.连结DB，过点D作DE⊥BC，垂足为点E.（1）求证：DE为⊙O的切线；（2）求证：DB2=AB·BE.50\n【答案】证明：（1）连接OD、BD，则∠ADB=90°（圆周角定理），∵BA=BC，∴CD=AD（三线合一）。又∵AO=BO，∴OD是△ABC的中位线。∴OD∥BC。∵∠DEB=90°，∴∠ODE=90°，即OD⊥DE。∴DE为⊙O的切线。（2）∵∠BED=∠BDC=900，∠EBD=∠DBC，∴△BED∽△BDC，∴。又∵AB=BC，∴。∴BD2=AB•BE。【考点】切线的判定和性质，圆周角定理，等腰三角形的性质，三角形中位线的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）连接OD、BD，根据圆周角定理可得∠ADB=90°，从而得出点D是AC中点，判断出OD是△ABC的中位线，利用中位线的性质得出∠ODE=90°，这样可判断出结论。（2）根据题意可判断△BED∽△BDC，从而可得BD2=BC•BE，将BC替换成AB即可得出结论。17.（2022湖北鄂州10分）如图，梯形ABCD是等腰梯形，且AD∥BC，O是腰CD的中点，以CD长为直径作圆，交BC于E，过E作EH⊥AB于H。（1）求证：OE∥AB;（2）若EH＝CD，求证：AB是⊙O的切线；（3）若BE=4BH，求的值。【答案】解：（1）证明：在等腰梯形ABCD中，AB=DC，∴∠B=∠C。∵OE=OC，∴∠OEC=∠C，∴∠B=∠OEC。∴OE∥AB。50\n（2）证明：过点O作OF⊥AB于点F，过点O作OG∥BC交AB于点G。∵AB=DC，∴∠B=∠C。∴OC=OE，∴∠OEC=∠C。∴∠OEC=∠B。∴OE∥GB。又∵EH⊥AB，∴FO∥HE。∴四边形OEHF是平行四边形。∴OF=EH。又∵EH=CD，∴OF=CD，即OF是⊙O的半径。∴AB是⊙O的切线。（3）连接DE。∵CD是直径，∴∠DEC=90°。∴∠DEC=∠EHB。又∵∠B=∠C，∴△EHB∽△DEC。∴。∵BE=4BH，设BH=k，则BE=4k，，∴CD=2EH=2。∴。【考点】等腰梯形（三角形）的性质，平行线的判定和性质，平行四边形的判定和性质，切线的判定，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）判断出∠B=∠OEC，根据同位角相等得出OE∥AB。（2）过点O作OF⊥AB于点F，过点O作OG∥BC交AB于点G，证明OF是⊙O的半径即可。（3）求出△EHB∽△DEC，根据相似三角形的性质和勾股定理解答。18.（2022湖南长沙8分）如图，A，P，B，C是半径为8的⊙O上的四点，且满足∠BAC=∠APC=60°，（1）求证：△ABC是等边三角形；（2）求圆心O到BC的距离OD．50\n19.（2022湖南怀化10分）如图，已知AB是⊙O的弦，OB=4，，点C是弦AB上任意一点（不与点A、B重合），连接CO并延长CO交⊙O于点D，连接AD、DB.（1）当=时，求的度数；（2）若AC=，求证△ACD∽△OCB.【答案】解：（1）连接OA，∵OA=OB=OD，，=，∴∠OAB=∠OBC=30°，∠OAD=∠ADC=18°。∴∠DAB=∠DAO＋∠BAO=48°。由圆周角定理得：∠DOB=2∠DAB=96°。50\n（2）证明：过O作OE⊥AB于E，由垂径定理得：AE=BE。∵在Rt△OEB中，OB=4，∠OBC=30°，∴OE=OB=2。由勾股定理得：BE==AE，即AB=2AE=。∵AC=，∴BC=，即C、E两点重合。∴DC⊥AB。∴∠DCA=∠OCB=90°。∵DC=OD＋OC=2＋4=6，OC=2，AC=BC=。∴。∴△ACD∽△OCB（两边对应成比例，且夹角相等的两三角形相似）。【考点】圆周角定理，等腰三角形的性质，勾股定理，垂径定理，相似三角形的判定。【分析】（1）连接OA，根据OA=OB=OD，求出∠DAO、∠OAB的度数，求出∠DAB，根据圆周角定理求出即可。（2）过O作OE⊥AB于E，根据垂径定理求出AE和BE，求出AB，推出C、E重合，得出∠ACD=∠OCB=90°，求出DC长得出，根据相似三角形的判定推出即可。20.（2022湖南衡阳8分）如图，AB是⊙O的直径，动弦CD垂直AB于点E，过点B作直线BF∥CD交AD的延长线于点F，若AB=10cm．（1）求证：BF是⊙O的切线．（2）若AD=8cm，求BE的长．（3）若四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD为何种四边形？并说明理由．【答案】解：（1）证明：∵CD⊥AB，BF∥CD，∴BF⊥AB。又∵AB是⊙O的直径，∴BF是⊙O的切线。（2）如图1，连接BD。50\n∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°（直径所对的圆周角是直角）。又∵DE⊥AB，∴△ADE∽△ABD。∴。∴AD2=AE•AB。∵AD=8cm，AB=10cm，∴AE=6.4cm。∴BE=AB﹣AE=3.6cm。（3）若四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD是正方形。理由如下：连接BC。∵四边形CBFD为平行四边形，∴BC∥FD，即BC∥AD。∴∠BCD=∠ADC（两直线平行，内错角相等）。∵∠BCD=∠BAD，∠CAB=∠CDB，（同弧所对的圆周角相等），∴∠CAB+∠BAD=∠CDB+∠ADC，即∠CAD=∠BDA，又∵∠BDA=90°（直径所对的圆周角是直角），∴∠CAD=∠BDA=90°。∴CD是⊙O的直径，即点E与点O重合（或线段CD过圆心O）。在△OBC和△ODA中，∵OC=OD，∠COB=∠DOA=90°，OB=OA，∴△OBC≌△ODA（SAS）。∴BC=DA（全等三角形的对应边相等）。∴四边形ACBD是平行四边形（对边平行且相等的四边形是平行四边形），∵∠ACB=90°（直径所对的圆周角是直角），AC=AD，∴四边形ACBD是正方形。【考点】平行的判定，切线的判定，圆周角定理，相似和全等三角形的判定和性质，平行四边形的性质，正方形的判定。【分析】（1）欲证明BF是⊙O的切线，只需证明AB⊥BF即可。（2）连接BD，在直角三角形ABD中，利用△ADE∽△ABD【学过投影定理的直接应用】可以求得AE的长度，最后结合图形知BE=AB﹣AE。（3）连接BC，四边形CBFD为平行四边形，则四边形ACBD是正方形。根据平行四边形的对边平行、平行线的性质、圆周角定理以及同弧所对的圆周角相等可以推知∠CAD=∠BDA=90°，即CD是⊙O的直径，然后由全等三角形的判定与性质推知AC=BD，根据正方形的判定定理证得四边形ACBD是正方形。50\n21.（2022湖南株洲8分）如图，已知AD为⊙O的直径，B为AD延长线上一点，BC与⊙O切于C点，∠A=30°．求证：（1）BD=CD；（2）△AOC≌△CDB．【答案】证明：（1）∵AD为⊙O的直径，∴∠ACD=90°。又∵∠A=30°，OA=OC=OD，∴∠ACO=30°，∠ODC=∠OCD=60°。又∵BC与⊙O切于C，∴∠OCB=90°，∴∠BCD=30°。∴∠B=30°。∴∠BCD=∠B。∴BD=CD。（2）∵∠A=∠ACO=∠BCD=∠B=30°，∴AC=BC。在△AOC和△BDC中，∵∠A=∠B，AC=BC，∠ACO=∠BCD，∴△AOC≌△BDC（ASA）。【考点】圆周角定理，三角形内角和定理，切线的性质，等腰三角形的判定和性质，全等三角形的判定。【分析】（1）由AD为⊙O的直径，根据直径对的圆周角是直角，即可得∠ACD=90°，又由∠A=30°，OA=OC=OD，利用等边对等角与三角形外角的性质，即可求得∠ACO=30°，∠ODC=∠OCD=60°，又由BC与⊙O切于C点，根据切线的性质，即可求得∠B=∠BCD=30°，由等角对等边，即可证得BD=CD。（2）由（1）可知∠A=∠ACO=∠BCD=∠B=30°，即可得AC=BC，然后由ASA，即可证得△AOC≌△CDB。22.（2022四川泸州7分）“五一”节期间，小明和同学一起到游乐场游玩。如图为某游乐场大型摩天轮的示意图，其半径是20m，它匀速旋转一周需要24分钟，最底部点B离地面1m。小明乘坐的车厢经过点B时开始计时。(1)计时4分钟后小明离地面的高度是多少？(2)的旋转一周的过程中，小明将有多长时间连续保持在离地面31m以上的空中？50\n【答案】解：（1）设4分钟后小明到达点C，过点C作CD⊥OB于点D，DA即为小明离地的高度，∵∠COD=，∴OD=OC=×20=10。∴DA=20－10＋1=11（m）。答：计时4分钟后小明离地面的高度是11m。（2）设当旋转到E处时，小明离地面高度为31m。作弦EF⊥AO交AO的延长线于点H，连接OE，OF，此时EF离地面高度为HA。∵HA=31，∴OH=31－1－20=10。∴OH=OE。∴∠HOE=60°。∴∠FOE=120°。∵每分钟旋转的角度为：，∴由点E旋转到F所用的时间为：（分钟）。答：在旋转一周的过程中，小明将有8分钟的时间连续保持在离地面31m以上的空中。【考点】圆的综合题，垂径定理，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值。【分析】（1）设4分钟后小明到达点C，过点C作CD⊥OB于点D，根据旋转的时间可以求得旋转角∠COD，利用三角函数即可求得OD的长，从而求解。（2）设当旋转到E处时，小明离地面高度为31m。作弦EF⊥AO交AO的延长线于点H，连接OE，OF，此时EF离地面高度为HA，在直角△OEH中，利用三角函数求得∠HOE的度数，则∠EOF的度数即可求得，则旋转的时间即可求得。23.（2022四川成都10分）如图，AB是⊙O的直径，弦CD⊥AB于H，过CD延长线上一点E作⊙O的切线交AB的延长线于F．切点为G，连接AG交CD于K．（1）求证：KE=GE；（2）若=KD·GE，试判断AC与EF的位置关系，并说明理由；50\n（3）在（2）的条件下，若sinE=，AK=，求FG的长．【答案】解：（1）证明：如答图1，连接OG。∵EG为切线，∴∠KGE+∠OGA=90°。∵CD⊥AB，∴∠AKH+∠OAG=90°。又OA=OG，∴∠OGA=∠OAG。∴∠KGE=∠AKH=∠GKE。∴KE=GE。（2）AC∥EF，理由如下：连接GD，如答图2所示。∵KG2=KD•GE，∴。又∵∠KGE=∠GKE，∴△GKD∽△EGK。∴∠E=∠AGD。又∵∠C=∠AGD，∴∠E=∠C。∴AC∥EF。（3）连接OG，OC，如答图3所示。由（2）∠E=∠ACH，∴sinE=sin∠ACH=。∴可设AH=3t，则AC=5t，CH=4t。∵KE=GE，AC∥EF，∴CK=AC=5t。∴HK=CK﹣CH=t。在Rt△AHK中，根据勾股定理得AH2+HK2=AK2，即（3t）2+t2=（）2，解得t=。设⊙O半径为r，在Rt△OCH中，OC=r，OH=r﹣3t，CH=4t，由勾股定理得：OH2+CH2=OC2，即（r﹣3t）2+（4t）2=r2，解得r=t=。∵EF为切线，∴△OGF为直角三角形。在Rt△OGF中，OG=r=，tan∠OFG=tan∠CAH=，50\n∴FG=。【考点】切线的性质，勾股定理，垂径定理，圆周角定理，等腰三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，平行的判定，锐角三角函数定义。【分析】（1）如答图1，连接OG．根据切线性质及CD⊥AB，可以推出连接∠KGE=∠AKH=∠GKE，根据等角对等边得到KE=GE。（2）AC与EF平行，理由为：如答图2所示，连接GD，由∠KGE=∠GKE，及KG2=KD•GE，利用两边对应成比例且夹角相等的两三角形相似可得出△GKD与△EKG相似，又利用同弧所对的圆周角相等得到∠C=∠AGD，可推知∠E=∠C，从而得到AC∥EF。（3）如答图3所示，连接OG，OC．首先求出圆的半径，根据勾股定理与垂径定理可以求解；然后在Rt△OGF中，解直角三角形即可求得FG的长度。24.（2022四川乐山10分）如图，△ABC内接于⊙O，直径BD交AC于E，过O作FG⊥AB，交AC于F，交AB于H，交⊙O于G．（1）求证：OF•DE=OE•2OH；（2）若⊙O的半径为12，且OE：OF：OD=2：3：6，求阴影部分的面积．（结果保留根号）【答案】（1）证明：∵BD是直径，∴∠DAB=90°。∵FG⊥AB，∴DA∥FO。∴△FOE∽△ADE。∴，即OF•DE=OE•AD。∵O是BD的中点，DA∥OH，∴AD=2OH。∴OF•DE=OE•2OH。（2）解：∵⊙O的半径为12，且OE：OF：OD=2：3：6，∴OE=4，ED=8，OF=6。代入（1）中，得AD=12。∴OH=AD=6。在Rt△ABC中，OB=2OH，∴∠OBH=30°，∴∠BOH=60°。∴BH=BO•sin60°=12×。50\n∴S阴影=S扇形GOB﹣S△OHB=。【考点】圆周角定理，相似三角形的判定和性质；含30度角直角三角形的性质，三角形中位线定理，垂径定理，扇形面积的计算。【分析】（1）由BD是直径，根据圆周角定理，可得∠DAB=90°，又由FG⊥AB，可得FG∥AD，即可判定△FOE∽△ADE，根据相似三角形的对应边成比例，即可得，然后由O是BD的中点，DA∥OH，可得AD=2OH，则可证得OF•DE=OE•2OH。（2）由⊙O的半径为12，且OE：OF：OD=2：3：6，即可求得OE，DE，OF的长，由，求得AD的长，又由在Rt△ABC中，OB=2OH，可求得∠BOH=60°，继而可求得BH的长，又由S阴影=S扇形GOB﹣S△OHB，即可求得答案。25.（2022四川广安9分）如图，在△ABC中，∠ABC=∠ACB，以AC为直径的⊙O分别交AB、BC于点M、N，点P在AB的延长线上，且∠CAB=2∠BCP．（1）求证：直线CP是⊙O的切线．（2）若BC=2，sin∠BCP=，求点B到AC的距离．（3）在第（2）的条件下，求△ACP的周长．【答案】解：（1）∵∠ABC=∠ACB且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中，∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，∴2∠BCP+2∠BCA=180°。∴∠BCP+∠BCA=90°，即∠PCA=90°。又∵AC是⊙O的直径，∴直线CP是⊙O的切线。（2）如图，作BD⊥AC于点D，∵PC⊥AC，∴BD∥PC。∴∠PCB=∠DBC。∵C=2，sin∠BCP=50\n∴，解得：DC=2。∴由勾股定理得：BD=4。∴点B到AC的距离为4。（3）如图，连接AN，在Rt△ACN中，，又CD=2，∴AD=AC﹣CD=5﹣2=3。∵BD∥CP，∴△ABD∽△ACP。∴，即。∴。在Rt△ACP中，。∴△ACP的周长为。【考点】切线的判定和性质，三角形内角和定理，等腰三角形的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1））根据∠ABC=∠AC且∠CAB=2∠BCP，在△ABC中∠ABC+∠BAC+∠BCA=180°，得到2∠BCP+2∠BCA=180°，从而得到∠BCP+∠BCA=90°，证得直线CP是⊙O的切线。（2）作BD⊥AC于点D，得到BD∥PC，从而利用求得DC=2，再根据勾股定理求得点B到AC的距离为4。（3）先求出AC的长度，然后由BD∥PC求得△ABD∽△ACP，利用比例线段关系求得CP的长度，再由勾股定理求出AP的长度，从而求得△ACP的周长。26.（2022四川达州7分）如图，C是以AB为直径的⊙O上一点，过O作OE⊥AC于点E，过点A作⊙O的切线交OE的延长线于点F，连结CF并延长交BA的延长线于点P.（1）求证：PC是⊙O的切线.（2）若AF=1，OA=，求PC的长.50\n【答案】解：（1）证明：连结OC，∵OE⊥AC，∴AE=CE。∴FA=FC。∴∠FAC=∠FCA。∵OA=OC，∴∠OAC=∠OCA。∴∠OAC+∠FAC=∠OCA+∠FCA，即∠FAO=∠FCO。∵FA与⊙O相切，且AB是⊙O的直径，∴FA⊥AB。∴∠FCO=∠FAO=90°。又∵OC是⊙O的半径，∴PC是⊙O的切线。（2）∵PC是⊙O的切线，∴∠PCO=90°。而∠FPA=∠OPC，∠PAF=90°，∴△PAF∽△PCO。∴。∵CO=OA=，AF=1，∴PC=PA。设PA=x，则PC=在Rt△PCO中，由勾股定理得，，解得：。∴PC。【考点】切线的判定和性质，垂径定理，圆周角定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）连接OC，根据垂径定理，利用等角代换可证明∠FAC=∠FCA，然后根据切线的性质得出∠FAO=90°，然后即可证明结论。（2）先证明△PAF∽△PCO，利用相似三角形的性质得出PC与PA的关系，在Rt△PCO中，利用勾股定理可得出x的值，从而也可得出PC得长。27.（2022四川德阳14分）如图，已知点C是以AB为直径的⊙O上一点，CH⊥AB于点H，过点B作⊙O的切线交直线AC于点D，点E为CH的中点，连结并延交BD于点F，直线CF交AB的延长线于G.⑴求证：AE·FD=AF·EC；50\n⑵求证：FC=FB；⑶若FB=FE=2，求⊙O的半径r的长.【答案】（1）证明：∵BD是⊙O的切线，∴∠DBA=90°。∵CH⊥AB，∴CH∥BD。∴△AEC∽△AFD。∴。∴AE•FD=AF•EC。（2）证明：∵CH∥BD，∴△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF。∴。∵CE=EH（E为CH中点），∴BF=DF。∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=∠DCB=90°。∴CF=DF=BF，即CF=BF。（3）解：∵BF=CF=DF（已证），EF=BF=2，∴EF=FC。∴∠FCE=∠FEC。∵∠AHE=∠CHG=90°，∴∠FAH+∠AEH=90°，∠G+∠GCH=90°。∵∠AEH=∠CEF，∴∠G=∠FAG。∴AF=FG。∵FB⊥AG，∴AB=BG。连接OC，BC，∵BF切⊙O于B，∴∠FBC=∠CAB。∵OC=OA，CF=BF，∴∠FCB=∠FBC，∠OCA=∠OAC∴∠FCB=∠CAB。∵∠ACB=90°，∴∠ACO+∠BCO=90°。∴∠FCB+∠BCO=90°，即OC⊥CG。∴CG是⊙O切线。∵GBA是⊙O割线，FB=FE=2，由切割线定理得：（2+FG）2=BG×AG=2BG2，【注，没学切割线定理的可由△AGC∽△CGB求得】在Rt△BFG中，由勾股定理得：BG2=FG2﹣BF2，∴FG2﹣4FG﹣12=0。解得：FG=6，FG=﹣2（舍去）。50\n由勾股定理得：AB=BG=。∴⊙O的半径r是。【考点】切线的判定和性质，等腰三角形判定和的性质，直角三角形斜边上的中线性质，勾股定理，圆周角定理，切割线定理，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）由BD是⊙O的切线得出∠DBA=90°，推出CH∥BD，证△AEC∽△AFD，得出比例式即可。（2）证△AEC∽△AFD，△AHE∽△ABF，推出BF=DF，根据直角三角形斜边上中线性质得出CF=DF=BF即可。（3）求出EF=FC，求出∠G=∠FAG，推出AF=FG，求出AB=BG，连接OC，BC，求出∠FCB=∠CAB推出CG是⊙O切线，由切割线定理（或△AGC∽△CGB）得出（2+FG）2=BG×AG=2BG2，在Rt△BFG中，由勾股定理得出BG2=FG2﹣BF2，推出FG2﹣4FG﹣12=0，求出FG即可，从而由勾股定理求得AB=BG的长，从而得到⊙O的半径r。28.（2022四川泸州9分）如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O的直径，C是的弧AD中点，弦CE⊥AB于点H，连结AD，分别交CE、BC于点P、Q，连结BD。(1)求证：P是线段AQ的中点；(2)若⊙O的半径为5，AQ=，求弦CE的长。【答案】解：（1）证明：∵AB是⊙O的直径，弦CE⊥AB，∴。又∵C是弧的中点，∴。∴。∴∠ACP=∠CAP。∴PA=PC。∵AB是直径．∴∠ACB=90°。50\n∴∠PCQ=90°－∠ACP，∠CQP=90°－∠CAP。∴∠PCQ=∠CQP。∴PC=PQ。∴PA=PQ，即P是AQ的中点。（2）∵，∴∠CAQ=∠ABC。又∵∠ACQ=∠BCQ，∴△CAQ∽△CBA。∴。又∵AQ=，BA=10，∴。设AC=3k，BC=4k，则由勾股定理得，，解得k=2。∴AC=6，BC=8。根据直角三角形的面积公式，得：AC•BC=AB•CH，∴6×8=10CH。∴CH=。又∵CH=HE，∴CE=2CH=。【考点】圆的综合题，圆周角定理。垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）首先利用等角对等边证明：∠ACP=∠CAP得到：PA=PC，然再证明PC=PQ，即可得到P是AQ的中点。（2）首先证明：△CAQ∽△CBA，依据相似三角形的对应边的比相等求得AC、BC的长度，然后根据直角三角形的面积公式即可求得CH的长，则可以求得CE的长。29.（2022山东莱芜10分）)如图，在菱形ABCD中，AB＝2，∠A＝60º，以点D为圆心的⊙D与边AB相切于点E．(1)求证：⊙D与边BC也相切；(2)设⊙D与BD相交于点H，与边CD相交于点F，连接HF，求图中阴影部分的面积(结果保留)；(3)⊙D上一动点M从点F出发，按逆时针方向运动半周，当S△HDF＝S△MDF时，求动点M经过的弧长(结果保留)．50\n【答案】解：（1）证明：连接DE，过点D作DN⊥BC，垂足为点N。∵四边形ABCD是菱形，∴BD平分∠ABC。∵⊙D与边AB相切于点E，∴DE⊥AB。∴DN=DE。∴⊙D与边BC也相切。（2）∵四边形ABCD是菱形，AB＝2，∴AD＝AB＝2。又∵∠A＝60º，∴DE＝ADsin600＝3，即⊙D的半径是3。又∵∠HDF＝∠HADC＝60º，DH＝DF，∴△HDF是等边三角形。过点H作HG⊥DF，垂足为点G，则HG＝3sin600＝。∴。∴。（3）假设点M运动到点M1时，满足S△HDF＝S△MDF，过点M1作M1P⊥DF，垂足为点P，则，解得。∴。∴∠M1DF＝30º。此时动点M经过的弧长为：。过点M1作M1M2∥DF交⊙D于点M2，则满足，此时∠M2DF＝150º，动点M经过的弧长为：。综上所述，当S△HDF＝S△MDF时，动点M经过的弧长为或。【考点】菱形的性质，角平分线的性质，切线的判定和性质，锐角三角函数定义，特殊角的三角函数值，等边三角形的判定和性质，扇形的面积和弧长公式。50\n【分析】（1）连接DE，过点D作DN⊥BC，垂足为点N，则根据菱形的性质可得BD平分∠ABC，根据角平分线上的点到角的两边距离相等的性质可得DN=DE，即BC垂直于过⊙D上点N的半径，从而得到⊙D与边BC也相切的结论。（2）求出△HDF和扇形HDF即可求得阴影部分的面积。（3）根据S△HDF＝S△MDF求出圆心角即可求动点M经过的弧长。注意有两点。30.（2022甘肃白银10分）如图，点A，B，C，D在⊙O上，AB=AC，AD与BC相交于点E，，延长DB到点F，使，连接AF．（1）证明：△BDE∽△FDA；（2）试判断直线AF与⊙O的位置关系，并给出证明．【答案】解:（1）证明：在△BDE和△FDA中，∵FB＝BD，AE＝ED，∴。又∵∠BDE＝∠FDA，∴△BDE∽△FDA。（2）直线AF与⊙O相切。证明如下：连接OA，OB，OC，∵AB＝AC，BO＝CO，OA＝OA，∴△OAB≌△OAC（SSS）。∴∠OAB＝∠OAC。∴AO是等腰三角形ABC顶角∠BAC的平分线。∴AO⊥BC。∵△BDE∽FDA，得∠EBD＝∠AFD，∴BE∥FA。∵AO⊥BE，∴AO⊥FA。∴直线AF与⊙O相切。【考点】相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的性质，平行的判定和性质，切线的判定。【分析】（1）因为∠BDE公共，夹此角的两边BD：DF=ED：AD=2：3，由相似三角形的判定，可知△BDE∽△FDA。（2）连接OA、OB、OC，证明△OAB≌OAC，得出AO⊥BC．再由△BDE∽FDA，得出∠EBD=∠AFD，则BE∥FA，从而AO⊥FA，得出直线AF与⊙O相切。50\n31.（2022青海西宁10分）如图1，AB是⊙O的直径，C为⊙O上一点，直线CD与⊙O相切于点C，AD⊥CD，垂足为D．(1)求证：△ACD∽△ABC；(2)如图2，将直线CD向下平移与⊙O相交于点C、G，但其它条件不变．若AG＝4，BG＝3，求tan∠CAD的值．【答案】解：（1）证明：如图，连接OC，∵直线CD与⊙O相切于C，∴OC⊥CD。又∵AD⊥CD，∴AD∥OC。∴∠1=∠2。∵OC=OB，∴∠1=∠3。∴∠2=∠3。又∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB=90°。∴∠ADC=∠ACB。∴△ADC∽△ACB。（2）∵四边形ABGC为⊙O的内接四边形，∴∠B+∠ACG=180°。∵∠ACG+∠ACD=180°，∴∠ACD=∠B。∵∠ADC=∠AGB=90°，∴∠DAC=∠GAB。在Rt△ABG中，AG=4，BG=3，∴tan∠GAB=。∴tan∠DAC=。【考点】圆的综合题，切线的性质，平行的判定和性质，圆周角定理，相似三角形的判定，多边形式内角和定理，锐角三角函数定义。【分析】（1）连接OC，根据切线的性质得到OC⊥CD，而AD⊥CD，则AD∥OC，根据平行线的性质得∠1=∠2，易得∠1=∠3，则∠2=∠3，又根据圆周角定理的推论由AB为⊙O的直径得到∠ACB=90°，根据三角形相似的判定即可得到结论。50\n（2）由于四边形ABGC为⊙O的内接四边形，根据圆的内接四边形的性质得∠B+∠ACG=180°，易得∠ACD=∠B，又∠ADC=∠AGB=90°，利用等角的余角相等得到∠DAC=∠GAB，在Rt△ABG中，AG=4，BG=3，根据正切的定义得到tan∠GAB=，即可得到tan∠DAC的值。32.（2022内蒙古呼和浩特8分）如图，已知AB为⊙O的直径，PA与⊙O相切于点A，线段OP与弦AC垂直并相交于点D，OP与弧AC相交于点E，连接BC．（1）求证：∠PAC=∠B，且PA•BC=AB•CD；（2）若PA=10，sinP=，求PE的长．【答案】（1）证明：∵PA是⊙O的切线，AB是直径，∴∠PAO=90°，∠C=90°。∴∠PAC+∠BAC=90°，∠B+∠BAC=90°。∴∠PAC=∠B。又∵OP⊥AC，∴∠ADP=∠C=90°。∴△PAD∽△ABC，∴AP：AB=AD：BC，∵在⊙O中，AD⊥OD，∴AD=CD。∴AP：AB=CD：BC。∴PA•BC=AB•CD；（2）解：∵sinP=，且AP=10，∴。∴AD=6。∴AC=2AD=12。在Rt△ADP中，根据勾股定理得：。又∵△PAD∽△ABC，∴AP：AB=PD：AC。∴AB==15。∴AO=。在Rt△APO中，根据勾股定理得：。∴PE=OP﹣OE=﹣=5。【考点】切线的性质，勾股定理，圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义。【分析】（1）由PA为圆O的切线，利用切线的性质得到AP垂直于AB，可得出∠PAO为直角，得到∠PAD与∠DAO互余，再由AB为圆O的直径，根据直径所对的圆周角为直角，可得出∠ACB为直角，得到∠DAO与∠B互余，根据同角的余角相等可得出∠PAC=∠B，再由一对直角相等，利用两对对应角相等的两三角形相似可得出△APD与△ABC相似，由相似得比例，再由OD垂直于AC，利用垂径定理得到AD=CD，等量代换可得证。50\n（2）在Rt△APD中，由PA及sinP的值求出AD的长，再利用勾股定理求出PD的长，从而确定出AC的长，由（1）两三角形相似得到的比例式，将各自的值代入求出AB的上，求出半径AO的长，在Rt△APO中，由AP及AO的长，利用勾股定理求出OP的长，用OP﹣OE即可求出PE的长。 33.（2022内蒙古赤峰12分）如图，AB是⊙O的弦，点D是半径OA上的动点（与点A．O不重合），过点D垂直于OA的直线交⊙O于点E、F，交AB于点C．（1）点H在直线EF上，如果HC=HB，那么HB是⊙O的切线吗？请说明理由；（2）连接AE、AF，如果，并且CF=16，FE=50，求AF的长．【答案】解：（1）HB是⊙O的切线。理由如下：连接OB。∵HC=HB，∴∠HCB=∠HBC。又∵OB=OA，∴∠OAB=∠OBA。∵CD⊥OA，∴∠ADC=90°。∴∠ACD+∠OAB=90°。∵∠ACD=∠HCB，∴∠OBA+∠HBA=90°。∴HB⊥OB。∴HB是⊙O的切线。（2）∵，∴∠FAB=∠AEF。又∵∠AFE=∠CFA，∴△AFE∽△CFA。∴。∴AF2=CF•FE。∵CF=16，FE=50，∴AF=。【考点】圆的综合题，等腰三角形的性质，切线的判定，圆周角定理，相似三角形的判定和性质。50\n【分析】（1）连接HB，得出∠HCB=∠HBC，以及∠ACD+∠OAB=90°，∠OBA+∠HBA=90°，再根据切线的判定定理得出即可。（2）利用相似三角形的判定得出△AFE∽△CFA，即可得出，代值求出即可。34.（2022内蒙古包头10分）如图，已知AB为⊙O的直径，过⊙O上的点C的切线交AB的延长线于点E,AD⊥EC于点D且交⊙O于点F，连接BC,CF,AC。（1）求证：BC=CF；（2）若AD=6,DE=8，求BE的长；（3）求证：AF+2DF=AB。【答案】解：（1）证明：如图，连接OC，∵ED切⊙O于点C，∴CO⊥ED。∵AD⊥EC，∴CO∥AD。∴∠OCA=∠OCA。∴∠OAC=∠CAD。∴。∴BC=CF。（2）在Rt△ADE中，∵AD=6，DE=8，根据勾股定理得AE=10。∵CO∥AD，∴△EOC∽△EAD。∴。设⊙O的半径为r，∴OE=10＋r，∴。∴r=。∴BE=10－2r=。（3）证明：过C作CG⊥AB于G，∵∠OAC=∠CAD，AD⊥EC，∴CG=CD。在Rt△AGC和Rt△ADC中，∵CG=CD，AC=AC，∴Rt△AGC≌Rt△ADC（HL）。∴AG=AD。50\n在Rt△CGB和Rt△CDF中，∵BC=FC，CG=CD，∴Rt△CGB≌Rt△CDF（HL）。∴GB=DF。∵AG+GB=AB，∴AD+DF=AB。∴AF+2DF=AB。【考点】圆的综合题，切线的性质，平行线的判定和性质，圆周角定理，全等、相似三角形的判定和性质，【分析】（1）根据切线的性质首先得出CO⊥ED，再利用平行线的判定得出CO∥AD，从而利用圆周角定理得出BC=CF。（2）首先求出△EOC∽△EAD，进而得出r的长，即可求出BE的长。（3）利用全等三角形的判定得出Rt△AGC≌Rt△ADC，进而得出Rt△CGB≌Rt△CDF，即可求出AD+DF=AB得出答案即可。35.（2022黑龙江哈尔滨10分）已知：在△ABC中，∠ACB=900，点P是线段AC上一点，过点A作AB的垂线，交BP的延长线于点M，MN⊥AC于点N，PQ⊥AB于点Q，A0=MN．（1）如图l，求证：PC=AN；（2）如图2，点E是MN上一点，连接EP并延长交BC于点K，点D是AB上一点，连接DK，∠DKE=∠ABC，EF⊥PM于点H，交BC延长线于点F，若NP=2，PC=3，CK：CF=2：3，求DQ的长．【答案】解：（1）证明：∵BA⊥AM，MN⊥AP，∴∠BAM=ANM=90°。∴∠PAQ+∠MAN=∠MAN+∠AMN=90°，∴∠PAQ=∠AMN。∵PQ⊥ABMN⊥AC，∴∠PQA=∠ANM=90°。∴AQ=MN。∴△AQP≌△MNA（ASA）。∴AN=PQ，AM=AP。∴∠AMB=∠APM。∵∠APM=∠BPC∠BPC+∠PBC=90°，∠AMB+∠ABM=90°，∴∠ABM=∠PBC。∵PQ⊥AB，PC⊥BC，∴PQ=PC（角平分线的性质）。∴PC=AN。（2）∵NP=2PC=3，∴由（1）知PC=AN=3。∴AP=NC=5，AC=8。50\n∴AM=AP=5。∴。∵∠PAQ=∠AMN，∠ACB=∠ANM=90°，∴∠ABC=∠MAN。∴。∵，∴BC=6。∵NE∥KC，∴∠PEN=∠PKC。又∵∠ENP=∠KCP，∴△PNE∽△PCK。∴。∵CK：CF=2：3，设CK=2k，则CF=3k。∴，。过N作NT∥EF交CF于T，则四边形NTFE是平行四边形。∴NE=TF=，∴CT=CF－TF=3k－。∵EF⊥PM，∴∠BFH+∠HBF=90°=∠BPC+∠HBF。∴∠BPC=∠BFH。∵EF∥NT，∴∠NTC=∠BFH=∠BPC。∴。∴，。∴CT=。∴。∴CK=2×=3，BK=BC－CK=3。∵∠PKC+∠DKC=∠ABC+∠BDK，∠DKE=∠ABC，∴∠BDK=∠PKC。∴。∴tan∠BDK=1。过K作KG⊥BD于G。∵tan∠BDK=1，tan∠ABC=，∴设GK=4n，则BG=3n，GD=4n。∴BK=5n=3，∴n=。∴BD=4n+3n=7n=。∵，AQ=4，∴BQ=AB－AQ=6。∴DQ=BQ－BD=6－。【考点】相似形综合题，全等三角形的判定和性质，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，解直角三角形。50\n【分析】（1）确定一对全等三角形△AQP≌△MNA，得到AN=PQ；然后推出BP为角平分线，利用角平分线的性质得到PC=PQ；从而得到PC=AN。（2）由已知条件，求出线段KC的长度，从而确定△PKC是等腰直角三角形；然后在△BDK中，解直角三角形即可求得BD、DQ的长度。50
