二次函数的应用（几何问题）一、选择题1.（2022甘肃兰州4分）二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象如图所示，若|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，则k的取值范围是【】A．k＜－3B．k＞－3C．k＜3D．k＞3【答案】D。【考点】二次函数的图象和性质。【分析】根据题意得：y＝|ax2＋bx＋c|的图象如右图，∵|ax2＋bx＋c|＝k(k≠0)有两个不相等的实数根，∴k＞3。故选D。二、填空题三、解答题1.（2022天津市10分）已知抛物线y=ax2+bx+c（0＜2a＜b）的顶点为P（x0，y0），点A（1，yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）在该抛物线上．（Ⅰ）当a=1，b=4，c=10时，①求顶点P的坐标；②求的值；（Ⅱ）当y0≥0恒成立时，求的最小值．【答案】解：（Ⅰ）若a=1，b=4，c=10，此时抛物线的解析式为y=x2+4x+10。①∵y=x2+4x+10=（x+2）2+6，∴抛物线的顶点坐标为P（－2，6）。②∵点A（1，yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）在抛物线y=x2+4x+10上，∴yA=15，yB=10，yC=7。∴。（Ⅱ）由0＜2a＜b，得。72\n由题意，如图过点A作AA1⊥x轴于点A1，则AA1=yA，OA1=1。连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD=yB－yC，CD=1。过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x1，yE），交x轴于点F（x2，0）。则∠FAA1=∠CBD。∴Rt△AFA1∽Rt△BCD。∴，即。过点E作EG⊥AA1于点G，易得△AEG∽△BCD。∴，即。∵点A（1，yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）、E（x1，yE）在抛物线y=ax2+bx+c上，∴yA=a+b+c，yB=c，yC=a－b+c，yE=ax12+bx1+c，∴，化简，得x12＋x1－2=0，解得x1=－2（x1=1舍去）。∵y0≥0恒成立，根据题意，有x2≤x1＜－1。则1－x2≥1－x1，即1－x2≥3。∴的最小值为3。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质。【分析】（Ⅰ）将a=1，b=4，c=10代入解析式，即可得到二次函数解析式。①将二次函数化为顶点式，即可得到得到抛物线顶点坐标。②将A（1，yA）、B（0，yB）、C（－1，yC）分别代入解析式，即可求出yA、yB、yC的值，然后计算的值即可。（Ⅱ）根据0＜2a＜b，求出72\n，作出图中辅助线：点A作AA1⊥x轴于点A1，则AA1=yA，OA1=1．连接BC，过点C作CD⊥y轴于点D，则BD=yB－yC，CD=1．过点A作AF∥BC，交抛物线于点E（x1，yE），交x轴于点F（x2，0）。证出Rt△AFA1∽Rt△BCD，得到，，再根据△AEG∽△BCD得到，然后求出yA、yB、yC、yE的表达式，然后y0≥0恒成立，得到x2≤x1＜－1，从而利用不等式求出的最小值。2.（2022上海市12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），与y轴交于点C，点D在线段OC上，OD=t，点E在第二象限，∠ADE=90°，tan∠DAE=，EF⊥OD，垂足为F．（1）求这个二次函数的解析式；（2）求线段EF、OF的长（用含t的代数式表示）；（3）当∠ECA=∠OAC时，求t的值．【答案】解：（1）二次函数y=ax2+6x+c的图象经过点A（4，0）、B（﹣1，0），∴，解得。∴这个二次函数的解析式为：y=﹣2x2+6x+8。（2）∵∠EFD=∠EDA=90°，∴∠DEF+∠EDF=90°，∠EDF+∠ODA=90°。∴∠DEF=∠ODA。∴△EDF∽△DAO。∴。∵，∴。∵OD=t，∴，∴EF=。72\n同理，∴DF=2，∴OF=t﹣2。（3）∵抛物线的解析式为：y=﹣2x2+6x+8，∴C（0，8），OC=8。如图，连接EC、AC，过A作EC的垂线交CE于G点．∵∠ECA=∠OAC，∴∠OAC=∠GCA（等角的余角相等）。在△CAG与△OCA中，∵∠OAC=∠GCA，AC=CA，∠ECA=∠OAC，∴△CAG≌△OCA（ASA）。∴CG=AO=4，AG=OC=8。如图，过E点作EM⊥x轴于点M，则在Rt△AEM中，EM=OF=t﹣2，AM=OA+AM=OA+EF=4+，由勾股定理得：。在Rt△AEG中，由勾股定理得：。在Rt△ECF中，EF=，CF=OC﹣OF=10﹣t，CE=CG+EG=4+由勾股定理得：EF2+CF2=CE2，即。解得t1=10（不合题意，舍去），t2=6。∴t=6。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，锐角三角函数定义，全等三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）已知点A、B坐标，用待定系数法求抛物线解析式即可。（2）先证明△EDF∽△DAO，然后利用相似三角形对应边的比例关系以及三角形函数的定义求解。（3）通过作辅助线构造一对全等三角形：△CAG≌△OCA，得到CG、AG的长度；然后利用勾股定理求得AE、EG的长度（用含t的代数式表示）；最后在Rt△ECF中，利用勾股定理，得到关于t的无理方程，解方程求出t的值。72\n3.（2022广东广州14分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C．（1）求点A、B的坐标；（2）设D为已知抛物线的对称轴上的任意一点，当△ACD的面积等于△ACB的面积时，求点D的坐标；（3）若直线l过点E（4，0），M为直线l上的动点，当以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个时，求直线l的解析式．【答案】解：（1）在中，令y=0，即，解得x1=﹣4，x2=2。∵点A在点B的左侧，∴A、B点的坐标为A（﹣4，0）、B（2，0）。（2）由得，对称轴为x=﹣1。在中，令x=0，得y=3。∴OC=3，AB=6，。在Rt△AOC中，。设△ACD中AC边上的高为h，则有AC•h=9，解得h=。如图1，在坐标平面内作直线平行于AC，且到AC的距离=h=，这样的直线有2条，分别是L1和L2，则直线与对称轴x=﹣1的两个交点即为所求的点D。设L1交y轴于E，过C作CF⊥L1于F，则CF=h=，∴。72\n设直线AC的解析式为y=kx+b，将A（﹣4，0），B（0，3）坐标代入，得，解得。∴直线AC解析式为。直线L1可以看做直线AC向下平移CE长度单位（个长度单位）而形成的，∴直线L1的解析式为。则D1的纵坐标为。∴D1（﹣4，）。同理，直线AC向上平移个长度单位得到L2，可求得D2（﹣1，）。综上所述，D点坐标为：D1（﹣4，），D2（﹣1，）。（3）如图2，以AB为直径作⊙F，圆心为F．过E点作⊙F的切线，这样的切线有2条．连接FM，过M作MN⊥x轴于点N。∵A（﹣4，0），B（2，0），∴F（﹣1，0），⊙F半径FM=FB=3。又FE=5，则在Rt△MEF中，-ME=，sin∠MFE=，cos∠MFE=。在Rt△FMN中，MN=MN•sin∠MFE=3×，FN=MN•cos∠MFE=3×。则ON=。∴M点坐标为（，）。直线l过M（，），E（4，0），设直线l的解析式为y=k1x+b1，则有，解得。72\n∴直线l的解析式为y=x+3。同理，可以求得另一条切线的解析式为y=x﹣3。综上所述，直线l的解析式为y=x+3或y=x﹣3。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，勾股定理，直线平行和平移的性质，直线与圆的位置关系，直线与圆相切的性质，圆周角定理，锐角三角函数定义。【分析】（1）A、B点为抛物线与x轴交点，令y=0，解一元二次方程即可求解。（2）根据题意求出△ACD中AC边上的高，设为h．在坐标平面内，作AC的平行线，平行线之间的距离等于h．根据等底等高面积相等的原理，则平行线与坐标轴的交点即为所求的D点．从一次函数的观点来看，这样的平行线可以看做是直线AC向上或向下平移而形成．因此先求出直线AC的解析式，再求出平移距离，即可求得所作平行线的解析式，从而求得D点坐标。这样的平行线有两条。（3）本问关键是理解“以A、B、M为顶点所作的直角三角形有且只有三个”的含义．因为过A、B点作x轴的垂线，其与直线l的两个交点均可以与A、B点构成直角三角形，这样已经有符合题意的两个直角三角形；第三个直角三角形从直线与圆的位置关系方面考虑，以AB为直径作圆，当直线与圆相切时，根据圆周角定理，切点与A、B点构成直角三角形．从而问题得解。这样的切线有两条。4.（2022广东肇庆10分）已知二次函数图象的顶点横坐标是2，与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1﹤0﹤x2，与y轴交于点C，O为坐标原点，．（1）求证：；（2）求m、n的值；（3）当p﹥0且二次函数图象与直线仅有一个交点时，求二次函数的最大值．【答案】（1）证明：∵二次函数图象的顶点横坐标是2，∴抛物线的对称轴为x=2，即，化简得：n+4m=0。（2）解：∵二次函数与x轴交于A（x1，0）、B（x2，0），x1＜0＜x2，72\n∴OA=－x1，OB=x2；。令x=0，得y=p，∴C（0，p），∴OC=|p|。由三角函数定义得：。∵tan∠CAO－tan∠CBO=1，即，化简得：。将代入得：，化简得：。由（1）知n+4m=0，∴当n=1时，；当n=－1时，。∴m、n的值为：，n=－1（此时抛物线开口向上）或，n=1（此时抛物线开口向下）。（3）解：由（2）知，当p＞0时，n=1，，∴抛物线解析式为：。联立抛物线与直线y=x+3解析式得到：，化简得：＊。∵二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点，∴一元二次方程＊根的判别式等于0，即△=02+16（p－3）=0，解得p=3。∴抛物线解析式为：。当x=2时，二次函数有最大值，最大值为4。∴当p＞0且二次函数图象与直线y=x+3仅有一个交点时，二次函数的最大值为4。72\n【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根的判别式和根与系数的关系，锐角三角函数定义，二次函数的性质。【分析】（1）由题意可知抛物线的对称轴为x=2，利用对称轴公式，化简即得n+4m=0。（2）利用三角函数定义和抛物线与x轴交点坐标性质求解．特别需要注意的是抛物线的开口方向未定，所以所求m、n的值将有两组。（3）利用一元二次方程的判别式等于0求解．当p＞0时，m、n的值随之确定；将抛物线的解析式与直线的解析式联立，得到一个一元二次方程；由交点唯一可知，此一元二次方程的判别式等于0，据此求出p的值，从而确定了抛物线的解析式；最后由抛物线的解析式确定其最大值。5.（2022广东珠海7分）如图，二次函数y=（x﹣2）2+m的图象与y轴交于点C，点B是点C关于该二次函数图象的对称轴对称的点．已知一次函数y=kx+b的图象经过该二次函数图象上点A（1，0）及点B．（1）求二次函数与一次函数的解析式；（2）根据图象，写出满足kx+b≥（x﹣2）2+m的x的取值范围．72\n6.（2022浙江杭州12分）在平面直角坐标系内，反比例函数和二次函数y=k（x2+x﹣1）的图象交于点A（1，k）和点B（﹣1，﹣k）．（1）当k=﹣2时，求反比例函数的解析式；（2）要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，求k应满足的条件以及x的取值范围；（3）设二次函数的图象的顶点为Q，当△ABQ是以AB为斜边的直角三角形时，求k的值．【答案】解：（1）当k=﹣2时，A（1，﹣2），∵A在反比例函数图象上，∴设反比例函数的解析式为：。将A（1，﹣2）代入得：，解得：m=﹣2。∴反比例函数的解析式为：。（2）∵要使反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，∴k＜0。72\n∵二次函数y=k（x2+x﹣1）=，∴它的对称轴为：直线x=﹣。要使二次函数y=k（x2+x﹣1）满足上述条件，在k＜0的情况下，x必须在对称轴的左边，即x＜﹣时，才能使得y随着x的增大而增大。∴综上所述，k＜0且x＜﹣。（3）由（2）可得：Q。∵△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，（如图是其中的一种情况）∴原点O平分AB，∴OQ=OA=OB。作AD⊥OC，QC⊥OC，垂足分别为点C，D。∴。∵，∴，解得：k=±。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，反比例函数和二次函数的性质。【分析】（1）当k=﹣2时，即可求得点A的坐标，然后设反比例函数的解析式为：，利用待定系数法即可求得答案；（2）由反比例函数和二次函数都是y随着x的增大而增大，可得k＜0。又由二次函数y=k（x2+x﹣1）的对称轴为x=﹣，可得x＜﹣时，才能使得y随着x的增大而增大。（3）由△ABQ是以AB为斜边的直角三角形，A点与B点关于原点对称，利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可得OQ=OA=OB，又由Q72\n，A（1，k），即可得，从而求得答案。7.（2022浙江宁波12分）如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0），交y轴于C（0，﹣2），过A，C画直线．（1）求二次函数的解析式；（2）点P在x轴正半轴上，且PA=PC，求OP的长；（3）点M在二次函数图象上，以M为圆心的圆与直线AC相切，切点为H．①若M在y轴右侧，且△CHM∽△AOC（点C与点A对应），求点M的坐标；②若⊙M的半径为，求点M的坐标．【答案】解：（1）∵二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A（﹣1，0），B（2，0）∴设该二次函数的解析式为：y=a（x+1）（x﹣2），将x=0，y=﹣2代入，得﹣2=a（0+1）（0﹣2），解得a=1。∴抛物线的解析式为y=（x+1）（x﹣2），即y=x2﹣x﹣2。（2）设OP=x，则PC=PA=x+1，在Rt△POC中，由勾股定理，得x2+22=（x+1）2，解得，x=，即OP=。（3）①∵△CHM∽△AOC，∴∠MCH=∠CAO。（i）如图1，当H在点C下方时，∵∠MCH=∠CAO，∴CM∥x轴，∴yM=﹣2。∴x2﹣x﹣2=﹣2，解得x1=0（舍去），x2=1。∴M（1，﹣2）。（ii）如图2，当H在点C上方时，∵∠M′CH=∠CAO，∴PA=PC。72\n由（2）得，M′为直线CP与抛物线的另一交点，设直线CM′的解析式为y=kx﹣2，把P（，0）的坐标代入，得k﹣2=0，解得k=。∴y=x﹣2。由x﹣2=x2﹣x﹣2，解得x1=0（舍去），x2=。此时y=×。∴M′（）。②在x轴上取一点D，如图3，过点D作DE⊥AC于点E，使DE=，在Rt△AOC中，AC=。∵∠COA=∠DEA=90°，∠OAC=∠EAD，∴△AED∽△AOC，∴，即，解得AD=2。∴D（1，0）或D（﹣3，0）。过点D作DM∥AC，交抛物线于M，如图则直线DM的解析式为：y=﹣2x+2或y=﹣2x﹣6。当﹣2x﹣6=x2﹣x﹣2时，即x2+x+4=0，方程无实数根，当﹣2x+2=x2﹣x﹣2时，即x2+x﹣4=0，解得。∴点M的坐标为（）或（）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，平行的判定和性质，相似三角形的判定和性质，解一元二次方程。【分析】（1）根据与x轴的两个交点A、B的坐标，故设出交点式解析式，然后把点C的坐标代入计算求出a的值，即可得到二次函数解析式。（2）设OP=x，然后表示出PC、PA的长度，在Rt△POC中，利用勾股定理列式，然后解方程即可。72\n（3）①根据相似三角形对应角相等可得∠MCH=∠CAO，然后分（i）点H在点C下方时，利用同位角相等，两直线平行判定CM∥x轴，从而得到点M的纵坐标与点C的纵坐标相同，是-2，代入抛物线解析式计算即可；（ii）点H在点C上方时，根据（2）的结论，点M为直线PC与抛物线的另一交点，求出直线PC的解析式，与抛物线的解析式联立求解即可得到点M的坐标。②在x轴上取一点D，过点D作DE⊥AC于点E，可以证明△AED和△AOC相似，根据相似三角形对应边成比例列式求解即可得到AD的长度，然后分点D在点A的左边与右边两种情况求出OD的长度，从而得到点D的坐标，再作直线DM∥AC，然后求出直线DM的解析式，与抛物线解析式联立求解即可得到点M的坐标。8.（2022浙江温州14分）如图，经过原点的抛物线与x轴的另一个交点为A.过点作直线轴于点M，交抛物线于点B.记点B关于抛物线对称轴的对称点为C（B、C不重合）.连结CB,CP。（1）当时，求点A的坐标及BC的长；（2）当时，连结CA，问为何值时CA⊥CP？（3）过点P作PE⊥PC且PE=PC，问是否存在，使得点E落在坐标轴上？若存在，求出所有满足要求的的值，并写出相对应的点E坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）当m=3时，y=－x2＋6x。令y=0得－x2＋6x=0，解得，x1=0，x2=6。∴A（6，0）。当x=1时，y=5。∴B（1，5）。∵抛物线y=－x2＋6x的对称轴为直线x=3，且B，C关于对称轴对称，∴BC=4。（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）由已知得，∠ACP=∠BCH=90°，∴∠ACH=∠PCB。又∵∠AHC=∠PBC=90°，∴△AGH∽△PCB。72\n∴。∵抛物线y=－x2＋2mx的对称轴为直线x=m，其中m＞1，且B，C关于对称轴对称，∴BC=2（m－1）。∵B（1，2m－1），P（1，m），∴BP=m－1。又∵A（2m，0），C（2m－1，2m－1），∴H（2m－1，0）。∴AH=1，CH=2m－1，∴，解得m=。（3）存在。∵B，C不重合，∴m≠1。（I）当m＞1时，BC=2（m－1），PM=m，BP=m－1，（i）若点E在x轴上（如图1），∵∠CPE=90°，∴∠MPE+∠BPC=∠MPE+∠MEP=90°，PC=EP。∴△BPC≌△MEP，∴BC=PM，即2（m-1）=m，解得m=2。此时点E的坐标是（2，0）。（ii）若点E在y轴上（如图2），过点P作PN⊥y轴于点N，易证△BPC≌△NPE，∴BP=NP=OM=1，即m－1=1，解得，m=2。此时点E的坐标是（0，4）。（II）当0＜m＜1时，BC=2（1－m），PM=m，BP=1－m，（i）若点E在x轴上（如图3），易证△BPC≌△MEP，∴BC=PM，即2（1－m）=m，解得，m=。此时点E的坐标是（，0）。（ii）若点E在y轴上（如图4），过点P作PN⊥y轴于点N，易证△BPC≌△NPE，∴BP=NP=OM=1，即1－m=1，∴m=0（舍去）。综上所述，当m=2时，点E的坐标是（0，2）或（0，4），72\n当m=时，点E的坐标是（，0）。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质。【分析】（1）把m=3，代入抛物线的解析式，令y=0解方程，得到的非0解即为和x轴交点的横坐标，再求出抛物线的对称轴方程，从而求出BC的长。（2）过点C作CH⊥x轴于点H（如图1）由已知得∠ACP=∠BCH=90°，利用已知条件证明△AGH∽△PCB，根据相似的性质得到：，再用含有m的代数式表示出BC，CH，BP，代入比例式即可求出m的值。（3）存在。本题要分当m＞1时，BC=2（m-1），PM=m，BP=m－1和当0＜m＜1时，BC=2（1－m），PM=m，BP=1－m，两种情况分别讨论，再求出满足题意的m值和相对应的点E坐标。9.（2022江苏连云港12分）如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点O为坐标原点，点D为抛物线的顶点，点E在抛物线上，点F在x轴上，四边形OCEF为矩形，且OF＝2，EF＝3，(1)求抛物线所对应的函数解析式；(2)求△ABD的面积；(3)将△AOC绕点C逆时针旋转90°，点A对应点为点G，问点G是否在该抛物线上？请说明理由．【答案】解：(1)∵四边形OCEF为矩形，OF＝2，EF＝3，∴点C的坐标为(0，3)，点E的坐标为(2，3)．把x＝0，y＝3；x＝2，y＝3分别代入y＝－x2＋bx＋c，得，解得。∴抛物线所对应的函数解析式为y＝－x2＋2x＋3。72\n(2)∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4，∴抛物线的顶点坐标为D(1，4)。∴△ABD中AB边的高为4。令y＝0，得－x2＋2x＋3＝0，解得x1＝－1，x2＝3。∴AB＝3－(－1)＝4。∴△ABD的面积＝×4×4＝8。(3)如图，△AOC绕点C逆时针旋转90°，CO落在CE所在的直线上，由（1）(2)可知OA＝1，OC=3，∵点A对应点G的坐标为(3，2)。∵当x＝3时，y＝－32＋2×3＋3＝0≠2，∴点G不在该抛物线上。【考点】二次函数综合题，矩形的性质，曲线图上点的坐标与方程的关系，解一元二次方程，二次函数的性质，旋转的性质。【分析】(1)在矩形OCEF中，已知OF、EF的长，先表示出C、E的坐标，然后利用待定系数法确定该函数的解析式。(2)根据(1)的函数解析式求出A、B、D三点的坐标，以AB为底、D点纵坐标的绝对值为高，可求出△ABD的面积。(3)根据旋转条件求出点A对应点G的坐标，然后将点G的坐标代入抛物线的解析式中直接进行判定即可。10.（2022江苏南通14分）如图，经过点A(0，－4)的抛物线y＝x2＋bx＋c与x轴相交于点B(－0，0)和C，O为坐标原点．(1)求抛物线的解析式；(2)将抛物线y＝x2＋bx＋c向上平移个单位长度、再向左平移m(m＞0)个单位长度，得到新抛物线．若新抛物线的顶点P在△ABC内，求m的取值范围；(3)设点M在y轴上，∠OMB＋∠OAB＝∠ACB，求AM的长．72\n【答案】解：（1）将A（0，－4）、B（－2，0）代入抛物线y=x2+bx+c中，得：，解得，。∴抛物线的解析式：y=x2－x－4。（2）由题意，新抛物线的解析式可表示为：，即：。它的顶点坐标P（1－m，－1）。由（1）的抛物线解析式可得：C（4，0）。∴直线AB：y=－2x-4；直线AC：y=x－4。当点P在直线AB上时，－2（1－m）－4=－1，解得：m=；当点P在直线AC上时，（1－m）＋4=－1，解得：m=－2；又∵m＞0，∴当点P在△ABC内时，0＜m＜。（3）由A（0，-4）、B（4，0）得：OA=OC=4，且△OAC是等腰直角三角形。如图，在OA上取ON=OB=2，则∠ONB=∠ACB=45°。∴∠ONB=∠NBA+OAB=∠ACB=∠OMB+∠OAB，即∠ONB=∠OMB。如图，在△ABN、△AM1B中，∠BAN=∠M1AB，∠ABN=∠AM1B，∴△ABN∽△AM1B，得：AB2=AN•AM1；由勾股定理，得AB2=（－2）2+42=20，又AN=OA－ON=4－2=2，72\n∴AM1=20÷2=10，OM1=AM1－OA=10－4=6。而∠BM1A=∠BM2A=∠ABN，∴OM1=OM2=6，AM2=OM2－OA=6－4=2。综上，AM的长为6或2。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，平移的性质，二次函数的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理。【分析】（1）该抛物线的解析式中只有两个待定系数，只需将A、B两点坐标代入即可得解。（2）首先根据平移条件表示出移动后的函数解析式，从而用m表示出该函数的顶点坐标，将其代入直线AB、AC的解析式中，即可确定P在△ABC内时m的取值范围。（3）先在OA上取点N，使得∠ONB=∠ACB，那么只需令∠NBA=∠OMB即可，显然在y轴的正负半轴上都有一个符合条件的M点；以y轴正半轴上的点M为例，先证△ABN、△AMB相似，然后通过相关比例线段求出AM的长。11.（2022江苏泰州10分）如图，在平面直角坐标系xOy中，边长为2的正方形OABC的顶点A、C分别在x轴、y轴的正半轴上，二次函数的图象经过B、C两点．（1）求该二次函数的解析式；（2）结合函数的图象探索：当y>0时x的取值范围．72\n12.（2022湖北黄石10分）已知抛物线C1的函数解析式为，若抛物线C1经过点，方程的两根为，，且。（1）求抛物线C1的顶点坐标.（2）已知实数，请证明：≥,并说明为何值时才会有.（3）若抛物线先向上平移4个单位，再向左平移1个单位后得到抛物线C2，设，是C2上的两个不同点，且满足：，，.请你用含有的表达式表示出△AOB的面积S，并求出S的最小值及S取最小值时一次函数OA的函数解析式。（参考公式：在平面直角坐标系中，若，，则P，Q两点间的距离）72\n【答案】解：（1）∵抛物线过（０,－３）点，∴－3a＝－３。∴a＝１。 ∴ｙ＝x2＋bx－３ ∵x2＋bx－３=０的两根为x1，x2且，∴＝４且b＜０。∴b＝－２。∴。∴抛物线Ｃ１的顶点坐标为（１，－４）。（2）∵x＞０，∴∴。当时，即当x＝１时，有。（3）由平移的性质，得C2的解析式为：y＝x2。∴Ａ(m，m2)，B（n，n2）。∵ΔAOB为直角三角形，∴OA2＋OB2=AB2。∴m2＋m4＋n2＋n4＝（m－n）2＋（m2－n2）2，化简得：mn＝－１。∵ＳΔAOB=，mn＝－１，∴ＳΔAOB＝＝。∴ＳΔAOB的最小值为１，此时m＝１,Ａ(１,１)。∴直线OA的一次函数解析式为ｙ＝x。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，一元二次方程根与系数的关系，二次函数的性质，不等式的知识。【分析】（1）求抛物线的顶点坐标，即要先求出抛物线的解析式，即确定待定系数a、b的值．已知抛物线图象与y轴交点，可确定解析式中的常数项（由此得到a的值）；然后从方程入手求b的值，题目给出了两根差的绝对值，将其进行适当变形（转化为两根和、两根积的形式），结合根与系数的关系即可求出b的值。72\n（2）将配成完全平方式，然后根据平方的非负性即可得证。（3）结合（1）的抛物线的解析式以及函数的平移规律，可得出抛物线C2的解析式；在Rt△OAB中，由勾股定理可确定m、n的关系式，然后用m列出△AOB的面积表达式，结合不等式的相关知识可确定△OAB的最小面积值以及此时m的值，从而由待定系数法确定一次函数OA的解析式。别解：由题意可求抛物线C2的解析式为：y＝x2。∴Ａ(m，m2)，B（n，n2）。过点A、B作x轴的垂线，垂足分别为C、D，则由∽得，即。∴。∴。∴ＳΔAOB的最小值为１，此时m＝１,Ａ(１,１)。∴直线OA的一次函数解析式为ｙ＝x。13.（2022湖北武汉12分）如图1，点A为抛物线C1：的顶点，点B的坐标为(1，0)，直线AB交抛物线C1于另一点C．(1)求点C的坐标；(2)如图1，平行于y轴的直线x＝3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，平行于y轴的直线x＝a交直线AB于F，交抛物线C1于G，若FG：DE＝4∶3，求a的值；(3)如图2，将抛物线C1向下平移m(m＞0)个单位得到抛物线C2，且抛物线C2的顶点为点P，交x轴于点M，交射线BC于点N，NQ⊥x轴于点Q，当NP平分∠MNQ时，求m的值．72\n图1图2【答案】解：（1）∵当x=0时，y＝－2。∴A（0，－2）。设直线AB的解析式为，则，解得。∴直线AB的解析式为。∵点C是直线AB与抛物线C1的交点，∴，解得（舍去）。∴C（4，6）。（2）∵直线x＝3交直线AB于点D，交抛物线C1于点E，∴，∴DE=。∵FG：DE＝4∶3，∴FG=2。∵直线x＝a交直线AB于点F，交抛物线C1于点G，∴。∴FG=。解得。（3）设直线MN交y轴于点T，过点N作NH⊥y轴于点H。设点M的坐标为（t,0），抛物线C2的解析式为72\n。∴。∴。∴。∴P（0，）。∵点N是直线AB与抛物线C2的交点，∴，解得（舍去）。∴N（）。∴NQ=，MQ=。∴NQ=MQ。∴∠NMQ=450。∴△MOT，△NHT都是等腰直角三角形。∴MO=TO，HT=HN。∴OT=－t，。∵PN平分∠MNQ，∴PT=NT。∴，解得（舍去）。∴。∴。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元二次方程组，平移的性质，等腰直角三角形的判定和性质，勾股定理，角平分线的性质，平行的性质。【分析】（1）由点A在抛物线C1上求得点A的坐标，用待定系数法求得直线AB的解析式；联立直线AB和抛物线C1即可求得点C的坐标。（2）由FG：DE＝4∶3求得FG=2。把点F和点G的纵坐标用含a的代数式表示，即可得等式FG=，解之即可得a的值。（3）设点M的坐标为（t,0）和抛物线C2的解析式，求得t和m的关系。求出点P和点N的坐标（用t的代数式表示），得出△MOT，△NHT都是等腰直角三角形的结论。从而由角平分线和平行的性质得到PT=NT，列式求解即可求得t，从而根据t和m的关系式求出m的值。14.（2022湖北荆门10分）已知：y关于x的函数y=（k﹣1）x2﹣2kx+k+2的图象与x轴有交点．72\n（1）求k的取值范围；（2）若x1，x2是函数图象与x轴两个交点的横坐标，且满足（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2．①求k的值；②当k≤x≤k+2时，请结合函数图象确定y的最大值和最大值．【答案】解：（1）当k=1时，函数为一次函数y=﹣2x+3，其图象与x轴有一个交点。当k≠1时，函数为二次函数，其图象与x轴有一个或两个交点，令y=0得（k﹣1）x2﹣2kx+k+2=0．△=（﹣2k）2﹣4（k﹣1）（k+2）≥0，解得k≤2．即k≤2且k≠1。综上所述，k的取值范围是k≤2。（2）①∵x1≠x2，由（1）知k＜2且k≠1。由题意得（k﹣1）x12+（k+2）=2kx1（*），将（*）代入（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2中得：2k（x1+x2）=4x1x2。又∵x1+x2=，x1x2=，∴2k•=4•，解得：k1=﹣1，k2=2（不合题意，舍去）。∴所求k值为﹣1。②如图，∵k1=﹣1，y=﹣2x2+2x+1=﹣2（x﹣）2+，且﹣1≤x≤1，由图象知：当x=﹣1时，y最小=﹣3；当x=时，y最大=。∴y的最大值为，最小值为﹣3。【考点】抛物线与x轴的交点，一次函数的定义，一元二次方程根的判别式和根与系数物关系，二次函数的最值。【分析】（1）分两种情况讨论，当k=1时，可求出函数为一次函数，必与x轴有一交点；当k≠1时，函数为二次函数，若与x轴有交点，则△≥0。（2）①根据（k﹣1）x12+2kx2+k+2=4x1x2及根与系数的关系，建立关于k的方程，求出k的值。②充分利用图象，直接得出y的最大值和最小值。15.（2022湖北恩施8分）如图，已知抛物线y=﹣x2+bx+c与一直线相交于A（﹣1，0），C（2，3）两点，与y轴交于点N．其顶点为D．72\n（1）抛物线及直线AC的函数关系式；（2）设点M（3，m），求使MN+MD的值最小时m的值；（3）若抛物线的对称轴与直线AC相交于点B，E为直线AC上的任意一点，过点E作EF∥BD交抛物线于点F，以B，D，E，F为顶点的四边形能否为平行四边形？若能，求点E的坐标；若不能，请说明理由；（4）若P是抛物线上位于直线AC上方的一个动点，求△APC的面积的最大值．【答案】解：（1）由抛物线y=﹣x2+bx+c过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，，解得。∴抛物线的函数关系式为。设直线AC的函数关系式为y=kx+n，由直线AC过点A（﹣1，0）及C（2，3）得，解得。∴直线AC的函数关系式为y=x+1。（2）作N点关于直线x=3的对称点N′，令x=0，得y=3，即N（0，3）。∴N′（6，3）由得D（1，4）。设直线DN′的函数关系式为y=sx+t，则72\n，解得。∴故直线DN′的函数关系式为。根据轴对称的性质和三角形三边关系，知当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小，∴。∴使MN+MD的值最小时m的值为。（3）由（1）、（2）得D（1，4），B（1，2），①当BD为平行四边形对角线时，由B、C、D、N的坐标知，四边形BCDN是平行四边形，此时，点E与点C重合，即E（2，3）。②当BD为平行四边形边时，∵点E在直线AC上，∴设E（x，x+1），则F（x，）。又∵BD=2∴若四边形BDEF或BDFE是平行四边形时，BD=EF。∴，即。若，解得，x=0或x=1（舍去），∴E（0，1）。若，解得，，∴E或E。综上，满足条件的点E为（2，3）、（0，1）、、。（4）如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3）。72\n∴。∴。∵，∴当时，△APC的面积取得最大值，最大值为。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称的性质，三角形三边关系，平行四边形的判定和性质，二次函数的最值。【分析】（1）利用待定系数法求二次函数解析式、一次函数解析式。（2）根据轴对称的性质和三角形三边关系作N点关于直线x=3的对称点N′，当M（3，m）在直线DN′上时，MN+MD的值最小。（3）分BD为平行四边形对角线和BD为平行四边形边两种情况讨论。（4）如图，过点P作PQ⊥x轴交AC于点Q；过点C作CG⊥x轴于点G，设Q（x，x+1），则P（x，﹣x2+2x+3），求得线段PQ=﹣x2+x+2。由图示以及三角形的面积公式知，由二次函数的最值的求法可知△APC的面积的最大值。16.（2022湖北黄冈14分）如图，已知抛物线的方程C1:与x轴相交于点B、C，与y轴相交于点E，且点B在点C的左侧.(1)若抛物线C1过点M(2，2)，求实数m的值．(2)在(1)的条件下，求△BCE的面积．(3)在(1)的条件下，在抛物线的对称轴上找一点H，使BH+EH最小，并求出点H的坐标．(4)在第四象限内，抛物线C1上是否存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似?若存在，求m的值；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵抛物线C1过点M(2，2)，∴，解得m=4。72\n（2）由（1）得。令x=0，得。∴E（0，2），OE=2。令y=0，得，解得x1=－2，x=4。∴B（－2，，0），C（4，0），BC=6。∴△BCE的面积=。（3）由（2）可得的对称轴为x=1。连接CE，交对称轴于点H，由轴对称的性质和两点之间线段最短的性质，知此时BH+EH最小。设直线CE的解析式为，则，解得。∴直线CE的解析式为。当x=1时，。∴H（1，）。（4）存在。分两种情形讨论：①当△BEC∽△BCF时，如图所示。则，∴BC2=BE•BF。由（2）知B（－2，0），E（0，2），即OB=OE，∴∠EBC=45°，∴∠CBF=45°。作FT⊥x轴于点F，则BT=TF。∴令F（x，－x－2）（x＞0），又点F在抛物线上，∴－x－2=，∵x+2＞0（∵x＞0），∴x=2m，F（2m，－2m－2）。此时，又BC2=BE•BF，∴（m+2）2=•，解得m=2±。72\n∵m＞0，∴m=+2。②当△BEC∽△FCB时，如图所示。则，∴BC2=EC•BF。同①，∵∠EBC=∠CFB，△BTF∽△COE，∴。∴令F（x，－（x+2））（x＞0），又点F在抛物线上，∴－（x+2）=。∵x+2＞0（∵x＞0），∴x=m+2。∴F（m+2，－（m+4）），，BC=m+2。又BC2=EC•BF，∴（m+2）2=.整理得：0=16，显然不成立。综合①②得，在第四象限内，抛物线上存在点F，使得以点B、C、F为顶点的三角形与△BCE相似，m=+2。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短的性质，相似三角形的判定和性质。【分析】（1）将点（2，2）的坐标代入抛物线解析式，即可求得m的值。（2）求出B、C、E点的坐标，从而求得△BCE的面积。（3）根据轴对称以及两点之间线段最短的性质，可知点B、C关于对称轴x=1对称，连接EC与对称轴的交点即为所求的H点。（4）分两种情况进行讨论：①当△BEC∽△BCF时，如图所示，此时可求得+2。②当△BEC∽△FCB时，如图所示，此时得到矛盾的等式，故此种情形不存在。17.（2022湖南常德10分）如图，已知二次函数的图像过点A(－4，3），B(4，4).（1）求二次函数的解析式：（2）求证：△ACB是直角三角形；72\n（3）若点P在第二象限，且是抛物线上的一动点，过点P作PH垂直x轴于点H，是否存在以P、H、D、为顶点的三角形与△ABC相似？若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。【答案】解：（1）将A(－4，3），B(4，4)代人中，，整理得：解得∴二次函数的解析式为：，即：。（2）由整理得，解得。∴C（－2，0），D。∴AC2=4+9，BC2=36+16，AC2+BC2=13+52=65，AB2=64+1=65，∴AC2+BC2=AB2。∴△ACB是直角三角形。（3）设（x<0），则PH=，HD=。又∵AC=，BC=，①当△PHD∽△ACB时有：，即：，整理得，解得（舍去），此时，。72\n∴。②当△DHP∽△ACB时有：，即：，整理，解得（舍去），此时，。∴。综上所述，满足条件的点有两个即，。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理和逆定理的应用，相似三角形的判定性质，坐标系中点的坐标的特征，抛物线与x轴的交点，解一元二次方程和二元一次方程组。【分析】（1）求二次函数的解析式，也就是要求中a、b的值，只要把A(-4，3），B(4，4)代人即可。（2）求证△ACB是直角三角形，只要求出AC，BC，AB的长度，然后用勾股定理及其逆定理去考察。（3）分两种情况进行讨论，①△DHP∽△BCA，②△PHD∽△BCA，然后分别利用相似三角形对应边成比例的性质求出点P的坐标。18.（2022湖南怀化10分）]如图，抛物线m：与x轴的交点为A、B，与y轴的交点为C，顶点为,将抛物线m绕点B旋转，得到新的抛物线n,它的顶点为D.（1）求抛物线n的解析式；（2）设抛物线n与x轴的另一个交点为E，点P是线段ED上一个动点（P不与E、D重合），过点P作y轴的垂线，垂足为F，连接EF.如果P点的坐标为，△PEF的面积为S，求S与x的函数关系式，写出自变量x的取值范围，并求出S的最大值；（3）设抛物线m的对称轴与x轴的交点为G，以G为圆心，A、B两点间的距离为直径作⊙G，试判断直线CM与⊙G的位置关系，并说明理由.72\n【答案】解：（1）∵抛物线m的顶点为，∴m的解析式为=。∴。∵抛物线n是由抛物线m绕点B旋转得到，∴D的坐标为。∴抛物线n的解析式为：，即。（2）∵点E与点A关于点B中心对称，∴E。设直线ED的解析式为，则，解得。∴直线ED的解析式为。又点P的坐标为，∴S==。∴当时，S有最大值。但，∴△PEF的面积S没有最大值。（3）直线CM与⊙G相切。理由如下：∵抛物线m的解析式为，令得。∴72\n。∵抛物线m的对称轴与轴的交点为G，∴OC=4，OG=3，。∴由勾股定理得CG=5。又∵AB=10，∴⊙G的半径为5，∴点C在⊙G上。过M点作y轴的垂线，垂足为N，则。又，∴。∴根据勾股定理逆定理，得∠GCM=900。∴。∴直线CM与⊙G相切。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，旋转的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直线与圆的位置关系，勾股定理和逆定理。【分析】（1）由抛物线m的顶点坐标写出抛物线m的顶点式方程，化为交点式方程即可求出A、B两点的坐标，根据旋转的性质即可求出抛物线n的解析式。（2）求出直线ED的解析式，由点P在直线ED，可知P，从而求出△PEF的面积S的函数关系式，由点P在线段ED上得。从而根据二次函数最值的求法得出结果。（3）要判断直线CM与⊙G的位置关系首先要判断CG与⊙G半径的关系，由AB=10，得⊙G的半径为5。求出CG，知点C在⊙G上。由勾股定理和逆定理，得出。从而得出，得出直线CM与⊙G相切的结论。19.（2022湖南郴州10分）如图，已知抛物线经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点．（1）求抛物线的解析式及对称轴．（2）在抛物线的对称轴上找一点M，使得MA+MB的值最小，并求出点M的坐标．（3）在抛物线上是否存在一点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．72\n【答案】解：（1）∵抛物线经过A（4，0），B（2，3），C（0，3）三点，∴，解得。∴抛物线的解析式为：，其对称轴为：。（2）由B（2，3），C（0，3），且对称轴为x=1，可知点B、C是关于对称轴x=1的对称点。如图1所示，连接AC，交对称轴x=1于点M，连接MB，则MA＋MB=MA＋MC=AC，根据两点之间线段最短可知此时MA＋MB的值最小。设直线AC的解析式为y=kx＋b，∵A（4，0），C（0，3），∴，解得。∴直线AC的解析式为：y=x＋3。令x=1，得y=。∴M点坐标为（1，）。（3）结论：存在。如图2所示，在抛物线上有两个点P满足题意：①若BC∥AP1，此时梯形为ABCP1。由B（2，3），C（0，3），可知BC∥x轴，则x轴与抛物线的另一个交点P1即为所求。72\n在中令y=0，解得x1=-2，x2=4。∴P1（－2，0）。∵P1A=6，BC=2，∴P1A≠BC。∴四边形ABCP1为梯形。②若AB∥CP2，此时梯形为ABCP2。设CP2与x轴交于点N，∵BC∥x轴，AB∥CP2，∴四边形ABCN为平行四边形。∴AN=BC=2。∴N（2，0）。设直线CN的解析式为y=k1x+b1，则有：，解得。∴直线CN的解析式为：y=x+3。∵点P2既在直线CN：y=x+3上，又在抛物线：上，∴x+3=，化简得：x2－6x=0，解得x1=0（舍去），x2=6。∴点P2横坐标为6，代入直线CN解析式求得纵坐标为－6。∴P2（6，－6）。∵ABCN，∴AB=CN，而CP2≠CN，∴CP2≠AB。∴四边形ABCP2为梯形。综上所述，在抛物线上存在点P，使得以点A、B、C、P四点为顶点所构成的四边形为梯形，点P的坐标为（－2，0）或（6，－6）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，线段最短的性质，梯形的判定。【分析】（1）已知抛物线上三点A、B、C的坐标，利用待定系数法即可求出抛物线的解析式，再由对称轴公式求出对称轴。（2）如图1所示，连接AC，则AC与对称轴的交点即为所求之M点；已知点A、C的坐标，利用待定系数法求出直线AC的解析式，从而求出点M的坐标。（3）根据梯形定义确定点P，如图2所示：①若BC∥AP1，确定梯形ABCP1．此时P172\n为抛物线与x轴的另一个交点，解一元二次方程即可求得点P1的坐标；②若AB∥CP2，确定梯形ABCP2．此时P2位于第四象限，先确定CP2与x轴交点N的坐标，然后求出直线CN的解析式，再联立抛物线与直线解析式求出点P2的坐标。20.（2022湖南株洲10分）如图，一次函数分别交y轴、x轴于A、B两点，抛物线y=﹣x2+bx+c过A、B两点．（1）求这个抛物线的解析式；（2）作垂直x轴的直线x=t，在第一象限交直线AB于M，交这个抛物线于N．求当t取何值时，MN有最大值？最大值是多少？（3）在（2）的情况下，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，求第四个顶点D的坐标．【答案】解：（1）∵分别交y轴、x轴于A、B两点，∴A、B点的坐标为：A（0，2），B（4，0）。将x=0，y=2代入y=﹣x2+bx+c得c=2；将x=4，y=0代入y=﹣x2+bx+c得0=﹣16+4b+2，解得b=。∴抛物线解析式为：y=﹣x2+x+2。（2）如图1，设MN交x轴于点E，则E（t，0），BE=4﹣t。∵，∴ME=BE•tan∠ABO=（4﹣t）×=2﹣t。又∵N点在抛物线上，且xN=t，∴yN=﹣t2+t+2。72\n∴。∴当t=2时，MN有最大值4。（3）由（2）可知，A（0，2），M（2，1），N（2，5）．如图2，以A、M、N、D为顶点作平行四边形，D点的可能位置有三种情形。（i）当D在y轴上时，设D的坐标为（0，a），由AD=MN，得|a﹣2|=4，解得a1=6，a2=﹣2，从而D为（0，6）或D（0，﹣2）。（ii）当D不在y轴上时，由图可知D为D1N与D2M的交点，由D1（0，6），N（2，5）易得D1N的方程为y=x+6；由D2（0，﹣2），M（2，1）D2M的方程为y=x﹣2。由两方程联立解得D为（4，4）。综上所述，所求的D点坐标为（0，6），（0，﹣2）或（4，4）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，锐角三角函数定义，平行四边形的判定和性质。【分析】（1）首先求得A、B点的坐标，然后利用待定系数法求抛物线的解析式。（2）求得线段MN的表达式，这个表达式是关于t的二次函数，利用二次函数的极值求线段MN的最大值。（3）明确D点的可能位置有三种情形，如图2所示，不要遗漏．其中D1、D2在y轴上，利用线段数量关系容易求得坐标；D3点在第一象限，是直线D1N和D2M的交点，利用直线解析式求得交点坐标。21.（2022湖南湘潭10分）如图，抛物线的图象与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，已知B点坐标为（4，0）．（1）求抛物线的解析式；（2）试探究△ABC的外接圆的圆心位置，并求出圆心坐标；（3）若点M是线段BC下方的抛物线上一点，求△MBC的面积的最大值，并求出此时M点的坐标．72\n【答案】解：（1）∵B（4，0）在抛物线的图象上∴，即：。∴抛物线的解析式为：。（2）由（1）的函数解析式可求得：A（﹣1，0）、C（0，﹣2）。∴OA=1，OC=2，OB=4。∴。又∵OC⊥AB，∴△OAC∽△OCB。∴∠OCA=∠OBC。∴∠ACB=∠OCA+∠OCB=∠OBC+∠OCB=90°。∴△ABC为直角三角形，AB为△ABC外接圆的直径。∴该外接圆的圆心为AB的中点，且坐标为：（，0）。（3）已求得：B（4，0）、C（0，﹣2），可得直线BC的解析式为：y=x﹣2。设直线l∥BC，则该直线的解析式可表示为：y=x+b，当直线l与抛物线只有一个交点时，可列方程：x+b=，即：x2﹣4x﹣4﹣2b=0，且△=0。∴16﹣4×（﹣4﹣2b）=0，解得b=4。∴直线l：y=x﹣4。∵，当h最大（即点M到直线BC的距离最远）时，△ABC的面积最大。∴点M是直线l和抛物线的唯一交点，有：，解得：。∴M（2，﹣3）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，相似三角形的判定和性质，圆周角定理，一元二次方程根的判别式，解方程和方程组。【分析】（1）该函数解析式只有一个待定系数，只需将B点坐标代入解析式中即可。72\n（2）根据抛物线的解析式确定A点坐标，然后通过证明△ABC是直角三角形来推导出直径AB和圆心的位置，由此确定圆心坐标。（3）△MBC的面积可由表示，若要它的面积最大，需要使h取最大值，即点M到直线BC的距离最大，若设一条平行于BC的直线，那么当该直线与抛物线有且只有一个交点时，该交点就是点M。22.（2022四川资阳9分）抛物线的顶点在直线上，过点F（－2，2）的直线交该抛物线于点M、N两点（点M在点N的左边），MA⊥x轴于点A，NB⊥x轴于点B．（1）(3分)先通过配方求抛物线的顶点坐标（坐标可用含m的代数式表示），再求m的值；（2）(3分)设点N的横坐标为a，试用含a的代数式表示点N的纵坐标，并说明NF＝NB；（3）(3分)若射线NM交x轴于点P，且PA×PB＝，求点M的坐标．【答案】解：（1）∵，∴顶点坐标为(－2,)。∵顶点在直线上，∴－2+3=，解得。（2）∵点N在抛物线上，且点N的横坐标为a，∴点N的纵坐标为，即点N(a,)。过点F作FC⊥NB于点C，在Rt△FCN中，FC=a+2，NC=NB－CB=,∴。72\n而，∴NF2=NB2，NF=NB。（3）连接AF、BF，由NF=NB，得∠NFB=∠NBF，由（2）的结论知，MF=MA，∴∠MAF=∠MFA。∵MA⊥x轴，NB⊥x轴，∴MA∥NB。∴∠AMF+∠BNF=180°。∵△MAF和△NFB的内角总和为360°，∴2∠MAF+2∠NBF=180°，∠MAF+∠NBF=90°。∵∠MAB+∠NBA=180°，∴∠FBA+∠FAB=90°。又∵∠FAB+∠MAF=90°，∴∠FBA=∠MAF=∠MFA。又∵∠FPA=∠BPF，∴△PFA∽△PBF。∴，∴PF2=PA×PB＝。过点F作FG⊥x轴于点G。在Rt△PFG中，，∴PO=PG+GO=。∴P(－,0)。设直线PF：，把点F（－2,2）、点P(－,0)代入得，解得。∴直线PF：。解方程，得x=－3或x=2（不合题意，舍去）。当x=－3时，，∴M（－3,）。【考点】二次函数综合题，二次函的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，相似三角形的判定和性质。72\n【分析】（1）利用配方法将二次函数整理成顶点式即可，再利用点在直线上的性质得出答案即可。（2）首先利用点N在抛物线上，得出N点坐标，再利用勾股定理得出NF2=NC2+FC2，从而得出NF2=NB2，即可得出答案。（3）求点M的坐标，需要先求出直线PF的解析式．首先由（2）的思路得出MF=MA，然后连接AF、FB，通过证明△PFA∽△PBF，利用相关的比例线段将PA•PB的值转化为PF的值，从而求出点F的坐标和直线PF的解析式，即可得解。23.（2022四川泸州11分）如图，二次函数的图象与x轴相交于点A、B(点在点的左侧)，与y轴相交于点C，顶点D在第一象限.过点D作x轴的垂线，垂足为H。(1)当时，求tan∠ADH的值；(2)当60°≤∠ADB≤90°时，求m的变化范围；(3)设△BCD和△ABC的面积分别为S1、S2，且满足S1=S2，求点D到直线BC的距离。【答案】解：（1）)当时，。∴D。∴DH=。在中令，即，解得。∴A（－1，0）。∴AH=。∴tan∠ADH=。72\n（2）∵，∴D。∴DH=。在中令，即，解得。∵顶点D在第一象限，∴。∴∴A（－1，0）。∴AH=。当∠ADB=600时，∠ADH=300，tan∠ADH=。∴，解得（增根，舍去）。当∠ADB=900时，∠ADH=450，AH=DH，即，解得（不符合，舍去）。∴当60°≤∠ADB≤90°时，。（3）设DH与BC交于点M，则点M的横坐标为m，设过点B（，0），C（0，）的直线为，则，解得。∴直线BC为。当时，。∴M（m，）。∴DM=，AB=。∵S△BCD=DM·OB，S△ABC=AB·OC，S△BCD=S△ABC，72\n∴。又∵顶点D在第一象限，∴，解得。当时，A（－1，0），B（5，0），C（0，）。∴BC=，S△ABC=。设点D到BC的距离为d，∵S△DBC=，∴，解得。答：点D到直线BC的距离为。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，曲线上点的坐标与方程的关系，待定系数法，锐角三角函数定义，点到直线的距离，解二元一次方程组和一元二次方程。【分析】（1）求出顶点D和A的坐标，根据锐角三角函数定义即可求出tan∠ADH的值。（2）求出∠ADB=600和∠ADB=900时的m的值即可得出m的变化范围。（3）设点D到BC的距离为d，根据S△DBC=和S△BCD=S△ABC，求出BC和S△ABC即可求得点D到直线BC的距离d。24.（2022辽宁鞍山14分）如图，直线AB交x轴于点B（4，0），交y轴于点A（0，4），直线DM⊥x轴正半轴于点M，交线段AB于点C，DM=6，连接DA，∠DAC=90°．（1）直接写出直线AB的解析式；（2）求点D的坐标；（3）若点P是线段MB上的动点，过点P作x轴的垂线，交AB于点F，交过O、D、B三点的抛物线于点E，连接CE．是否存在点P，使△BPF与△FCE相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．72\n【答案】解：（1）设直线AB的解析式为y=kx+b，将A（0，4），B（4，0）两点坐标代入，得，解得。∴直线AB的解析式为y=﹣x+4。（2）过D点作DG⊥y轴，垂足为G，∵OA=OB=4，∴△OAB为等腰直角三角形。又∵AD⊥AB，∴∠DAG=90°﹣∠OAB=45°。∴△ADG为等腰直角三角形。∴DG=AG=OG﹣OA=DM﹣OA=5﹣4=2。∴D（2，6）。（3）存在。由抛物线过O（0，0），B（4，0）两点，设抛物线解析式为y=ax（x﹣4），将D（2，6）代入，得a=。∴抛物线解析式为y=x（x﹣4）。由（2）可知，∠B=45°，则∠CFE=∠BFP=45°，C（2，2）。设P（x，0），则MP=x﹣2，PB=4﹣x，①当∠ECF=∠BPF=90°时（如图1），△BPF与△FCE相似，过C点作CH⊥EF，此时，△CHE、△CHF、△PBF为等腰直角三角形。则PE=PF+FH+EH=PB+2MP=4﹣x+2（x﹣2）=x，将E（x，x）代入抛物线y=x（x﹣4）中，72\n得x=x（x﹣4），解得x=0或，∴P（，0）。②当∠CEF=∠BPF=90°时（如图2），此时，△CEF、△BPF为等腰直角三角形。则PE=MC=2，将E（x，2）代入抛物线y=x（x﹣4）中，得2=x（x﹣4），解得x=或。∴P（，0）。综上所述，点P的坐标为（，0）或（，0）。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，等腰直角三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质。1367104【分析】（1）根据A（0，4），B（4，0）两点坐标，可求直线AB的解析式。（2）作DG⊥y轴，垂足为G，由已知得OA=OB=4，△OAB为等腰直角三角形，而AD⊥AB，利用互余关系可知，△ADG为等腰直角三角形，则DG=AG=OG﹣OA=DM﹣OA=5﹣4=2，可求D点坐标。（3）存在。已知O（0，0），B（4，0），设抛物线的交点式，将D点坐标代入求抛物线解析式，由于对顶角∠CFE=∠BFP=45°，故当△BPF与△FCE相似时，分为：∠ECF=∠BPF=90°，∠CEF=∠BPF=90°两种情况，根据等腰直角三角形的性质求P点坐标。25.（2022辽宁朝阳14分）已知，如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的斜边BC在x轴上，直角顶点A在y轴的正半轴上，A（0，2），B（－1，0）。（1）求点C的坐标；（2）求过A、B、C三点的抛物线的解析式和对称轴；（3）设点P（m，n）是抛物线在第一象限部分上的点，△PAC的面积为S，求S关于m的函数关系式，并求使S最大时点P的坐标；（4）在抛物线对称轴上，是否存在这样的点M，使得△MPC（P为上述（3）问中使S最大时点）为等腰三角形？若存在，请直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由。72\n【答案】解：（1）∵A（0，2），B（－1，0），∴OA=2，OB=1。由Rt△ABC知Rt△ABO∽Rt△CAO，∴，即，解得OC=4。∴点C的坐标为（4，0）。（2）设过A、B、C三点的抛物线的解析式为，将A（0，2）代入，得，解得。∴过A、B、C三点的抛物线的解析式为，即。∵，∴抛物线的对称轴为。（3）过点P作x轴的垂线，垂足为点H。∵点P（m，n）在上，∴P。∴，，。∴。∵，∴当时，S最大。72\n当时，。∴点P的坐标为（2，3）。（4）存在。点M的坐标为（）或（）或（）或（）或（）。【考点】二次函数综合题，相似三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，等腰三角形的判定和性质。【分析】（1）由Rt△ABO∽Rt△CAO可得，从而求出点C的坐标。（2）设抛物线的交点式，用待定系数法求出抛物线的解析式；化为顶点式可得抛物线的对称轴。（3）过点P作x轴的垂线于点H，则由可得S关于m的函数关系式；化为顶点式可得S最大时点P的坐标。 另解：点A、C的坐标可求AC的解析式：，设过点P与AC平行的直线为。 由点P在和可得。 ∴，整理，得。 要使△PAC的面积最大，即要点P到AC的距离最大，即与只有一个交点，即的△＝0，即，解得。 将代入得，将代入得。 ∴当S最大时点P的坐标为（2，3）。（4）设点M（），∵C（4，0）,P（2，3）,∴PC=,72\nPM=,CM=。分三种情况讨论： ①当点M是顶点时，PM=CM，即，解得，。∴M1（）。 ②当点C是顶点时，PC=CM，即，解得，。∴M2（），M2（）。③当点P是顶点时，PC=PM，即，解得，。∴M4（），M5（）。 综上所述，当点M的坐标为（）或（）或（）或（）或（）时，△MPC为等腰三角形。26.（2022辽宁锦州14分）如图，抛物线交轴于点C，直线l为抛物线的对称轴，点P在第三象限且为抛物线的顶点.P到轴的距离为，到轴的距离为1.点C关于直线l的对称点为A，连接AC交直线l于B.（1）求抛物线的表达式；（2）直线与抛物线在第一象限内交于点D，与轴交于点F,连接BD交轴于点E，且DE:BE=4:1.求直线的表达式；（3）若N为平面直角坐标系内的点，在直线上是否存在点M，使得以点O、F、M、N为72\n顶点的四边形是菱形？若存在，直接写出点M的坐标；若不存在，请说明理由.【答案】解：（1）∵抛物线交轴于点C，∴C（0，-3）则OC=3。∵P到轴的距离为，P到轴的距离是1，且在第三象限，∴P（-1，-）。∵C关于直线l的对称点为A，∴A（-2，-3）。将点A（-2，-3），P（-1，-）代入得，，解得。∴抛物线的表达式为。（2）过点D做DG⊥轴于G，则∠DGE=∠BCE=90°。∵∠DEG=∠BEC，∴△DEG∽△BEC。∴。∵DE:BE=4:1，BC=1，∴,则DG=4。将=4代入，得=5。∴D（4,5）。∵过点D（4,5）,∴,则=2。∴所求直线的表达式为。72\n（3）存在。M1，M2，M3，M4。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定和性质，菱形的判定。【分析】（1）求出点A、P的坐标，用待定系数法即可求得抛物线的表达式。 （2）过点D做DG⊥轴于G，由△DEG∽△BEC求出点D的坐标，代入即可求得直线的表达式。 （3）存在。分三种情况讨论： ①当OF和FM都为菱形的边时， ∵点F在上，∴F（0，2），OF=2。设M，则FM=，由OF=FM解得。当时，，∴M1。当时，，∴M2。②当OF为菱形的对角线时，MN垂直平分OF，∴在中令，即，解得。∴M3。③当FM为菱形的对角线时，设M，则OM=，由OF=OM得解得（舍去）。，∴M4。综上所述，M1，M2，M3，M4。27.（2022山东东营11分）已知抛物线经过A（2，0）．设顶点为点P，与x轴的另一交点为点B．（1）求b的值，求出点P、点B的坐标；（2）如图，在直线72\n上是否存在点D，使四边形OPBD为平行四边形？若存在，求出点D的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在x轴下方的抛物线上是否存在点M，使△AMP≌△AMB？如果存在，试举例验证你的猜想；如果不存在，试说明理由．【答案】解：（1）∵抛物线经过A（2，0），∴，解得。∴抛物线的解析式为。∵，∴顶点P的坐标为（4，）。令y=0，得，解得。∴点B的坐标是（6，0）。（2）在直线上存在点D，使四边形OPBD为平行四边形。理由如下：设直线PB的解析式为，把B（6,0）,P(4,)分别代入，得，解得。∴直线PB的解析式为。又∵直线OD的解析式为∴直线PB∥OD。设直线OP的解析式为，把P(4,)代入，得72\n，解得。如果OP∥BD，那么四边形OPBD为平行四边形。设直线BD的解析式为，将B(6,0)代入，得，解得。∴直线BD的解析式为。联立方程组，解得。∴D点的坐标为（2,）。（3）符合条件的点M存在。验证如下：过点P作x轴的垂线，垂足为为C，则PC=，AC=2，由勾股定理，可得AP=4，PB=4。又∵AB=4，∴△APB是等边三角形。作∠PAB的平分线交抛物线于M点，连接PM,BM。∵AM=AM，∠PAM=∠BAM，AB=AP，∴△AMP≌△AMB.（SAS）。因此即存在这样的点M，使△AMP≌△AMB.。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，平行四边形的判定，勾股定理，等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定。【分析】（1）由抛物线经过A（2，0），代入即可求出b的值；从而得出抛物线的解析式，化为顶点式即可求出顶点P的坐标；令y=0，即可求出点B的坐标。（2）用待定系数法，求出直线PB、BD的解析式，联立和，解之即得点D的坐标。（3）由勾股定理求出AP、BP和AB的长，证出△APB是等边三角形，即可作BP的中垂线AM交BP于点M，点M即为所求。28.（2022山东莱芜12分）如图，顶点坐标为(2，－1)的抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与y轴交于点C(0，3)，72\n与x轴交于A、B两点．(1)求抛物线的表达式；(2)设抛物线的对称轴与直线BC交于点D，连接AC、AD，求△ACD的面积；(3)点E为直线BC上一动点，过点E作y轴的平行线EF，与抛物线交于点F．问是否存在点E，使得以D、E、F为顶点的三角形与△BCO相似？若存在，求点E的坐标；若不存在，请说明理由．=16(1+k2)2。∴MN=4(1+k2)。延长NP交于点Q，过点M作MS⊥交于点S，则MS＋NQ=y1＋2＋y2＋2=∴MS+NQ=MN，即M、N两点到距离之和等于线段MN的长。【考点】二次函数综合题，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，中点坐标的求法，直线与圆相切的条件，一元二次方程根与系数的关系，勾股定理。【分析】（1）根据点在曲线上，点的坐标满足方程的关系，用待定系数法即可求出抛物线对应二次函数的解析式。（2）要证以ON为直径的圆与直线相切，只要证ON的中点到直线的距离等于ON长的一半即可。（3）运用一元二次方程根与系数的关系，求出MN和M、N两点到直线的距离之和，相比较即可。32.（2022山东枣庄10分）在平面直角坐标系中，现将一块等腰直角三角板ABC放在第二象限，斜靠在两坐标轴上，点C为(－1，0)．如图所示，B点在抛物线y＝x2＋x－2图象上，过点B作BD⊥x轴，垂足为D，且B点横坐标为－3．（1）求证：△BDC≌△COA；（2）求BC所在直线的函数关系式；（3）抛物线的对称轴上是否存在点P，使△ACP是以AC为直角边的直角三角形？若存在，求出所72\n有点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）证明：∵∠BCD＋∠ACO＝90°，∠ACO＋∠OAC＝90°，∴∠BCD＝∠OAC。∵△ABC为等腰直角三角形，∴BC＝AC。在△BDC和△COA中，∠BDC＝∠COA＝90°，∠BCD＝∠OAC，BC＝AC，∴△BDC≌△COA（AAS）。（2）∵C点坐标为(－1，0)，∴BD＝CO＝1。∵B点横坐标为－3，∴B点坐标为(－3，1)。设BC所在直线的函数关系式为y＝kx＋b，∴，解得。∴BC所在直线的函数关系式为y＝－x－。（3）存在。∵y＝x2＋x－2＝(x＋)2x－，∴对称轴为直线x＝－。若以AC为直角边，点C为直角顶点，对称轴上有一点P1，使CP1⊥AC，∵BC⊥AC，∴点P1为直线BC与对轴称直线x＝－的交点。由题意可得：，解得，。∴P1（－，－）。若以AC为直角边，点A为直角顶点，对称轴上有一点P2，使AP2⊥AC，则过点A作AP2∥BC，交对轴称直线x＝－于点P2，∵CD＝OA，∴A（0，2）。72\n设直线AP2的解析式为：y＝－x＋m，把A（0，2）代入得m＝2。∴直线AP2的解析式为：y＝－x＋2。由题意可得：，解得，。∴P2（－，－）。∴P点坐标分别为P1（－，－）、P2（－，－）。【考点】二次函数综合题，平角定义，直角三角形两锐角的关系，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，抛物线的对称轴，直角三角形的判定。【分析】（1）由等腰直角三角形的性质，平角定义，直角三角形两锐角的关系，可由AAS证得。（2）求出点B的坐标，由点B、C的坐标，用待定系数法可求BC所在直线的函数关系式。（3）分点C为直角顶点和点A为直角顶点两种情况讨论即可。33.（2022云南省9分）如图，在平面直角坐标系中，直线交x轴于点P，交y轴于点A．抛物线的图象过点E（－1，0），并与直线相交于A、B两点．（1）求抛物线的解析式（关系式）；（2）过点A作AC⊥AB交x轴于点C，求点C的坐标；（3）除点C外，在坐标轴上是否存在点M，使得△MAB是直角三角形？若存在，请求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．72\n【答案】解：（1）∵一次函数交y轴于点A，∴令ｘ=0，得y=2。∴A（0，2）。∵A（0，2）、E（－1，0）是抛物线的图象上的点，∴，解得。∴抛物线的解析式是：。（2）∵一次函数交ｘ轴于点P，∴令y=0，得ｘ=6。∴P（6，0）。∵AC⊥AB，OA⊥OP，∴△AOC∽△POA。∴。∵AO=2，PO=6，∴。∴。∴点C的坐标为。（3）存在。设除点C外，在坐标轴上还存在点M，使得△MAB是直角三角形，即∠AMB=900或∠ABM=900。∵点B是直线和抛物线的交点，∴，解得。∴。①若∠AMB=900，那么点M是以AB为直径的圆与坐标轴的交点，这时点M会在x轴的正半轴上和y轴的正半轴上。72\n若交点在y轴的正半轴上（如图），则点M的纵坐标与点B的纵坐标相等，即。若交点在x轴的正半轴上（如图），设，过点B作BD⊥x轴于点D，则有△AOM∽△MDA。∴。∵AO=2，MD=，OM=m，DB=，∴，解得。∴或。⑵若∠ABM=900，即过B作BM⊥AP，这时M在x轴的正半轴上和y轴的负半轴上。若交点在x轴的正半轴上（如图），设，过点B作BD⊥x轴于点D，则有△BDM∽△PDB。∴。∵BD=，MD=，PD=，∴，解得。∴。若交点在y轴的负半轴上（如图），设，过B作BF垂直y轴于点F，则有△ABF∽△BMF。∴。∵BF=，AF=，MF=，∴，解得。∴。72\n34.（2022吉林长春10分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=－2x+42交x轴与点A,交直线y=x于点B,抛物线分别交线段AB、OB于点C、D，点C和点D的横坐标分别为16和4，点P在这条抛物线上．（1）求点C、D的纵坐标．（2）求a、c的值．（3）若Q为线段OB上一点，且P、Q两点的纵坐标都为5，求线段PQ的长．（4）若Q为线段OB或线段AB上的一点，PQ⊥x轴，设P、Q两点之间的距离为d（d＞0），点Q的横坐标为m，直接写出d随m的增大而减小时m的取值范围．（参考公式：二次函数图像的顶点坐标为）72\n【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，解二元一次方程组和一元二次方程，二次函数的性质。【分析】（1）点C在直线AB：y=－2x+42上，将C点的横坐标，代入即可求出C点的纵坐标，同理可知：D点在直线OB：y=x上，将D点的横坐标，代入解析式即可求出D点的纵坐标。（2）抛物线经过C、D两点，列出关于a和c二元二次方程组，解出a和c即可。（3）根据Q为线段OB上一点，P、Q两点的纵坐标都为5，则可以求出Q点的坐标，又知P点在抛物线上，求出P点的坐标即可，P、Q两点的横坐标的差的绝对值即为线段PQ的长。（4）根据PQ⊥x轴，可知P和Q两点的横坐标相同，求出抛物线的顶点坐标和B点的坐标，①当Q是线段OB上的一点时，结合图形写出m的范围，②当Q是线段AB上的一点时，结合图形写出m的范围即可：根据题干条件：PQ⊥x轴，可知P、Q两点的横坐标相同，72\n∵抛物线y=，∴顶点坐标为（8，2）。联立，解得点B的坐标为（14，14）。①当点Q为线段OB上时，如图所示，当0≤m＜4或12≤m≤14时，d随m的增大而减小；②当点Q为线段AB上时，如图所示，当14≤m＜16时，d随m的增大而减小。综上所述，当0≤m＜4或12≤m＜16时，d随m的增大而减小。35.（2022江西省10分）如图，已知二次函数L1：y=x2﹣4x+3与x轴交于A．B两点（点A在点B左边），与y轴交于点C．（1）写出二次函数L1的开口方向、对称轴和顶点坐标；（2）研究二次函数L2：y=kx2﹣4kx+3k（k≠0）．①写出二次函数L2与二次函数L1有关图象的两条相同的性质；②是否存在实数k，使△ABP为等边三角形？如果存在，请求出k的值；如不存在，请说明理由；③若直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，问线段EF的长度是否发生变化？如果不会，请求出EF的长度；如果会，请说明理由．【答案】解：（1）∵抛物线，∴二次函数L1的开口向上，对称轴是直线x=2，顶点坐标（2，﹣1）。（2）①二次函数L2与L1有关图象的两条相同的性质：对称轴为x=2；都经过A（1，0），B（3，0）两点。②存在实数k，使△ABP为等边三角形．72\n∵，∴顶点P（2，－k）．∵A（1，0），B（3，0），∴AB=2要使△ABP为等边三角形，必满足|－k|=，∴k=±。③线段EF的长度不会发生变化。∵直线y=8k与抛物线L2交于E、F两点，∴kx2﹣4kx+3k=8k，∵k≠0，∴x2﹣4x+3=8。解得：x1=﹣1，x2=5。∴EF=x2﹣x1=6。∴线段EF的长度不会发生变化。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，等边三角形的性质，解直角三角形。【分析】（1）抛物线y=ax2+bx+c中：a的值决定了抛物线的开口方向，a＞0时，抛物线的开口向上；a＜0时，抛物线的开口向下。抛物线的对称轴方程和顶点坐标，可化为顶点式或用公式求解。（2）①新函数是由原函数的各项系数同时乘以k所得，因此从二次函数的图象与解析式的系数的关系入手进行分析。②当△ABP为等边三角形时，P点必为函数的顶点，首先表示出P点纵坐标，它的绝对值正好是等边三角形边长的倍，由此确定k的值。③联立直线和抛物线L2的解析式，先求出点E、F的坐标，从而可表示出EF的长，若该长度为定值，则线段EF的长不会发生变化。36.（2022青海省12分）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=x2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，A点在原点的左侧，B点的坐标为（3，0），与y轴交于C（0，﹣3）点，点P是直线BC下方的抛物线上一动点．（1）求这个二次函数的表达式．（2）连接PO、PC，并把△POC沿CO翻折，得到四边形POP′C，那么是否存在点P，使四边形POP′C为菱形？若存在，请求出此时点P的坐标；若不存在，请说明理由．（3）当点P运动到什么位置时，四边形ABPC的面积最大并求出此时P点的坐标和四边形ABPC的最大面积．72\n【答案】解：（1）将B、C两点的坐标代入y=x2+bx+c得，解得。∴二次函数的表达式为：y=x2﹣2x﹣3。（2）存在点P，使四边形POP′C为菱形。设P点坐标为（x，x2﹣2x﹣3），PP′交CO于E，若四边形POP′C是菱形，则有PC=PO。连接PP′，则PE⊥CO于E。∴OE=EC=。∴x2﹣2x﹣3=，解得（不合题意，舍去）。∴P点的坐标为（）。（3）过点P作y轴的平行线与BC交于点Q，与OB交于点F，设P（x，x2﹣2x﹣3），设直线BC的解析式为y=kx+b，则，解得。∴直线BC的解析式为y=x﹣3。则Q点的坐标为（x，x﹣3）。∴72\n∴当时，四边形ABPC的面积最大，此时P点的坐标为，四边形ABPC的面积的最大值为。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，翻折的性质，菱形的判定和性质，二次函数最值。190187【分析】（1）将B、C的坐标代入抛物线的解析式中即可求得待定系数的值。（2）由于菱形的对角线互相垂直平分，若四边形POP′C为菱形，那么P点必在OC的垂直平分线上，据此可求出P点的纵坐标，代入抛物线的解析式中即可求出P点的坐标。（3）由于△ABC的面积为定值，当四边形ABPC的面积最大时，△BPC的面积最大；过P作y轴的平行线，交直线BC于Q，交x轴于F，易求得直线BC的解析式，可设出P点的横坐标，然后根据抛物线和直线BC的解析式求出Q、P的纵坐标，即可得到PQ的长，以PQ为底，B点横坐标的绝对值为高即可求得△BPC的面积，由此可得到关于四边形ACPB的面积与P点横坐标的函数关系式，根据函数的性质即可求出四边形ABPC的最大面积及对应的P点坐标。37.（2022内蒙古呼和浩特12分）如图，抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）与双曲线相交于点A，B，且抛物线经过坐标原点，点A的坐标为（﹣2，2），点B在第四象限内，过点B作直线BC∥x轴，点C为直线BC与抛物线的另一交点，已知直线BC与x轴之间的距离是点B到y轴的距离的4倍，记抛物线顶点为E．（1）求双曲线和抛物线的解析式；（2）计算△ABC与△ABE的面积；（3）在抛物线上是否存在点D，使△ABD的面积等于△ABE的面积的8倍？若存在，请求出点D的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）∵点A（﹣2，2）在双曲线上，72\n∴k=﹣4。∴双曲线的解析式为。∵BC与x轴之间的距离是点B到y轴距离的4倍，∴设B点坐标为（m，﹣4m）（m＞0）代入双曲线解析式得m=1。∴抛物线y=ax2+bx+c（a＜0）过点A（﹣2，2）、B（1，﹣4）、O（0，0）。∴，解得：。∴抛物线的解析式为。（2）∵抛物线的解析式为，∴顶点E（），对称轴为x=。∵B（1，﹣4），∴﹣x2﹣3x=﹣4，解得：x1=1，x2=﹣4。∴C（﹣4，﹣4）。∴S△ABC=×5×6=15，由A、B两点坐标为（﹣2，2），（1，﹣4）可求得直线AB的解析式为：y=﹣2x﹣2。设抛物线的对称轴与AB交于点F，则F点的坐标为（，1）。∴EF=。∴S△ABE=S△AEF+S△BEF=××3=。（3）S△ABE=，∴8S△ABE=15。∴当点D与点C重合时，显然满足条件，当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线CD，其直线解析式为y=﹣2x﹣12。令﹣2x﹣12=﹣x2﹣3x，解得x1=3，x2=﹣4（舍去）。当x=3时，y=﹣18，故存在另一点D（3，﹣18）满足条件。综上所述，可得点D的坐标为（3，﹣18）或（﹣4，﹣4）。72\n【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质，三角形的面积，平行的性质。【分析】（1）将点A的坐标代入双曲线方程即可得出k的值，设B点坐标为（m，﹣4m）（m＞0），根据双曲线方程可得出m的值，然后分别得出了A、B、O的坐标，利用待定系数法求解二次函数解析式即可。（2）根据点B的坐标，结合抛物线方程可求出点C的坐标，从而可得出△ABC的面积。先求出AB的解析式，然后求出点F的坐标，及EF的长，从而根据S△ABE=S△AEF+S△BEF可得△ABE的面积。（3）先确定符合题意的△ABD的面积，从而可得出当点D与点C重合时，满足条件；当点D与点C不重合时，过点C作AB的平行线CD，则可求出其解析式，求出其与抛物线的交点坐标即可得出点D的坐标。38.（2022内蒙古赤峰12分）如图，抛物线与x轴交于A．B两点（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，点C与点F关于抛物线的对称轴对称，直线AF交y轴于点E，|OC|：|OA|=5：1．（1）求抛物线的解析式；（2）求直线AF的解析式；（3）在直线AF上是否存在点P，使△CFP是直角三角形？若存在，求出P点坐标；若不存在，说明理由．【答案】解：（1）在y=x2﹣bx﹣5中令x=0，得y=5，∴|OC|=5。∵|OC|：|OA|=5：1，∴|OA|=1。∴A（﹣1，0）。把A（﹣1，0）代入y=x2﹣bx﹣5得（﹣1）2+b﹣5=0，解得b=4。∴抛物线的解析式为y=x2﹣4x﹣5。（2）∵y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9，∴抛物线的的对称轴为x=2。72\n∵点C与点F关于对称轴对称，C（0，﹣5）∴F（4，﹣5）。设直线AF的解析式为y=kx+b，把F（4，﹣5），A（﹣1，0），代入y=kx+b，得，解得。∴直线FA的解析式为y=﹣x﹣1。（3）存在。理由如下：①当∠FCP=90°时，点P与点E重合，∵点E是直线y=﹣x﹣1与y轴的交点，∴E（0，﹣1）。∴P（0，﹣1）。②当CF是斜边时，过点C作CP⊥AF于点P。设P（x1，﹣x1﹣1），∵∠ECF=90°，E（0，﹣1），C（0，﹣5），F（4，﹣5），∴CE=CF。∴EP=PF。∴CP=PF。∴点P在抛物线的对称轴上。∴x1=2。把x1=2代入y=﹣x﹣1，得y=﹣3。∴P（2，﹣3）。综上所述，直线AF上存在点P（0，﹣1）或（0，﹣1）使△CFP是直角三角形。【考点】二次函数综合题，二次函数的性质，待定系数法，曲线上点的坐标与方程的关系，直角三角形的判定，等腰直角三角形的性质。【分析】（1）根据抛物线解析式求出OC的长度，再根据比例求出OA的长度，从而得到点A的坐标，然后把点A的坐标代入抛物线解析式计算求出b，即可得到抛物线解析式。（2）由y=x2﹣4x﹣5=（x﹣2）2﹣9可得对称轴为x=2，根据点C、F关于对称轴对称可得点F的坐标，然后利用待定系数法求直线函数解析式求解即可。（3）分①点P与点E重合和②CF是斜边两种情况讨论即可。39.（2022内蒙古包头12分）已知直线y=2x+4与x轴、y轴分别交于A,D两点，抛物线经过点A,D，点B是抛物线与x轴的另一个交点。（1）求这条抛物线的解析式及点B的坐标；（2）设点M是直线AD上一点，且，求点M的坐标；（3）如果点C（2，y）在这条抛物线上，在y轴的正半轴上是否存在点P，使△BCP为等腰三角形？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由。72\n【答案】解：（1）在y=2x+4中，令y=0，得x=－2；令x=0，得y=4。∴A（－2，0），D（0，4）。将A（－2，0），D（0，4）代入，得，解得。∴这条抛物线的解析式为。令，解得。∴B（4，0）。（2）设M（m，2m+4），分两种情况：①当M在线段AD上时，由得，解得，。∴M1（）。②当M在线段DA延长线上时，由得，解得。∴M2（）。综上所述，点M的坐标为M1（），M2（）。72\n（3）存在。∵点C（2，y）在上，∴。∴C（2，4）。设P，根据勾股定理，得，，。分三种情况：①若PB=BC，则，解得，。∵点P在y轴的正半轴上，∴P1（0，2）。②若PB=PC，则，解得，。∴P2（0，）。③若BC=PC，则，解得，。∵点P在y轴的正半轴上，∴不符合要求。当时，B、C、P在一直线上，不构成三角形，也不符合要求。∴BC=PC时，在y轴的正半轴上是不存在点P，使△BCP为等腰三角形。综上所述，在y轴的正半轴上是存在点P1（0，2），P2（0，），使△BCP为等腰三角形。【考点】二次函数综合题，曲线上点的坐标与方程的关系，勾股定理，等腰三角形的判定。【分析】（1）求出点A，D的坐标，代入，即可求出抛物线的解析式。令y=0，即可求出点B的坐标。（2）分M在线段AD上和M在线段DA延长线上两种情况两种情况讨论。（3）P，由勾股定理，表示出各边长，分PB=BC，PB=PC，BC=PC三种情况讨论。40.（2022黑龙江绥化6分）如图，二次函数y=ax2－4x＋c的图象经过坐标原点，与x轴交于点A（－4，0）．72\n（1）求二次函数的解析式；（2）在抛物线上存在点P，满足S△AOP=8，请直接写出点P的坐标．【答案】解：（1）将O（0，0）A（－4，0）代入y=ax2－4x＋c得，解得。∴此二次函数的解析式为y=－x2－4x。（2）∵点A的坐标为（－4，0），∴AO=4。设点P到x轴的距离为h，则，解得h=4。①当点P在x轴上方时，－x2－4x=4，解得x=－2。∴点P的坐标为（－2，4）。②当点P在x轴下方时，－x2－4x=-4，解得。∴点P的坐标为（，－4）或（，－4），综上所述，点P的坐标是：（－2，4）、（，－4）、（，－4）。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数图象上点的坐标特征。【分析】（1）把点A原点的坐标代入函数解析式，利用待定系数法求二次函数解析式解答。（2）根据三角形的面积公式求出点P到AO的距离，然后分点P在x轴的上方与下方两种情况解答即可。41.（2022黑龙江黑河、齐齐哈尔、大兴安岭、鸡西6分）如图，抛物线与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，且OA=2，OC=3．(1)求抛物线的解析式．(2)若点D(2，2)是抛物线上一点，那么在抛物线的对称轴上，是否存在一点P，使得△BDP的周长最小，若存在，请求出点P的坐标，若不存在，请说明理由．72\n注：二次函数（≠0）的对称轴是直线=【答案】解：（1）∵OA=2，OC=3，∴A（－2，0），C（0，3）。将C（0，3）代入得c=3。将A（－2，0）代入得，，解得b=。∴抛物线的解析式为。（2）如图：连接AD，与对称轴相交于P，由于点A和点B关于对称轴对称，则即BP+DP=AP+DP，当A、P、D共线时BP+DP=AP+DP最小。设AD的解析式为y=kx+b，将A（-2，0），D（2，2）分别代入解析式得，，解得，，∴直线AD解析式为y=x+1。∵二次函数的对称轴为，∴当x=时，y=×+1=。∴P（，）。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，轴对称（最短路线问题）。【分析】（1）根据OC=3，可知c=3，于是得到抛物线的解析式为，然后将A（－2，0）代入解析式即可求出b的值，从而得到抛物线的解析式。（2）由于BD为定值，则△BDP的周长最小，即BP＋DP最小，由于点A和点B关于对称轴对称，则即BP+DP=AP+DP，当A、P、D共线时BP+DP=AP+DP最小。42.（2022黑龙江龙东地区6分）如图，抛物线y=x272\n＋bx＋c经过坐标原点，并与x轴交于点A（2，0）。（1）求此抛物线的解析式；（2）写出顶点坐标及对称轴；（3）若抛物线上有一点B，且，求点B的坐标。【答案】解：（1）把（0，0），（2，0）代入y=x2＋bx＋c得，解得。∴此抛物线的解析式为。
（2）∵∴顶点为（1，－1）；对称轴为：直线x=1。（3）设点B的坐标为（a，b），则由解得b=3或b=－3。∵顶点纵坐标为－1，－3＜－1，∴b=－3舍去。∴由x2－2x=3解得x1=3，x2=－1∴点B的坐标为（3，3）或（－1，3）。【考点】曲线上点的坐标与方程的关系，二次函数的性质。【分析】（1）直接把（0，0），（2，0）代入y=x2＋bx＋c中，列方程组求b、c的值即可。（2）将二次函数解析式写成顶点式，可求顶点坐标及对称轴。（3）设点B的坐标为（a，b），根据三角形的面积公式求b的值，再将纵坐标b代入抛物线解析式求a的值，确定B点坐标。72
