21全等三角形一、选择题1.（2022江西省宜春市1模，5，3）如图，AB=AC，要说明△ADC≌△AEB，需添加的条件不能是（）A．∠B=∠CB．AD=AEC．∠ADC=∠AEBD．DC=BE【答案】D2.（2022浙江1模，10，3）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC＝EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（）BBS习题改编ABCDFOGHE①OH＝BF；②∠CHF＝45°；③GH＝BC；④DH2＝HE·HBA.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C3．（2022重庆市一中，10，4）如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，∠ADC＝900，BC＝CD，E为梯形内一点，∠BEC＝900，将△BEC绕C点旋转900，使BC与DC重合，得到△DCF，连接EF交CD于点M．给出以下5个命题：①DM:MC=MF:ME；②BE⊥DF；\n③若sin,则；④若tan,则点D到直线CE的距离为1；⑤若M为EF中点，则点B、E、D三点在同一直线上．则正确命题的个数()A.2B.3C.4D.5【答案】D【答案】C二、填空题1.（2022江西省预测1，15，3）如图，等边三角形中，、分别为、边上的点，，与交于点，于点，则的值为.【答案】第1题DCAFBEG第（2）题ACDBEF图3ABDCFE第4题图2.（2022江西省预测5，113，3）如图，已知，，点A、D、B、F在一条直线上，要使△≌△，还需添加一个条件，这个条件可以是．【答案】也可以是或（答案不惟一）3．（2022上海普陀区1模，15,4）如图3，已知，在不添加任何辅助线的前提下，要使还需添加一个条件，这个条件可以是．(只需写出一个)【答案】或或∠D＝∠B4．（2022上海青浦区1模，14,4）如图，E、F是矩形ABCD对角线AC上的两点，试添加一个条件：___________，使得△ADF≌△CBE．【答案】AF=CE或AF∥等答案不唯一，只要写一个5．（2022重庆市綦江县，16，3）如图，C为线段AE上一动点（不与点A，E重合），在AE同侧分别作正三角形ABC和正三角形CDE，AD与BE交于点O，AD与BC交于点P，BE与CD交于点Q，连结PQ.以下五个结论：①AD=BE；②△EQC≌△DPC；③AP=BQ；④DE=DP；\n⑤∠AOB=60°.恒成立的结论有（将你认为正确的序号都填上）.【答案】1、2、3、56．（2022南京市秦淮县，16，2）．如图，正方形ABCD中，点E在边AB上，点G在边AD上，且∠ECG＝45°，点F在边AD的延长线上，且DF=BE．则下列结论：①∠ECB是锐角，；②AE＜AG；③△CGE≌△CGF；④EG=BE＋GD中一定成立的结论有▲(写出全部正确结论)．【答案】①③④7．（2022江苏省泰州市，16，3）如图，过正方形的顶点作直线，过作的垂线，垂足分别为．若，，则的长度为．【答案】8．（2022海南省，17，3）如图9，点P在∠AOB的平分线上，若使△AOP≌△BOP，则需添加的一个条件是（只写一个即可，不添加辅助线）;图9【答案】答案不唯一，如：OA=OB等三、解答题1.（2022江西省预测3，24，9）如图所示，在边长为1的正方形ABCD中，一直角三角尺PQR的直角顶点P在对角线AC上移动，直角边PQ经过点D，另一直角边与射线BC交于点E.⑴试判断PE与PD的大小关系，并证明你的结论；⑵连接PB，试证明：△PBE为等腰三角形；⑶设AP＝x，△PBE的面积为y，①求出y关于x函数关系式；\n②当点P落在AC的何处时，△PBE的面积最大，此时最大值是多少？【答案】ABCPDEFG123证：（1）过点P作GF∥AB，分别交AD、BC于G、F.如图所示.∵四边形ABCD是正方形，∴四边形ABFG和四边形GFCD都是矩形，△AGP和△PFC都是等腰直角三角形………1分∴GD=FC=FP，GP=AG=BF，∠PGD=∠PFE=90°又∵∠1+∠3=∠2+∠3=90°∴∠1=∠2………2分又PF=GD，∠PFE=∠PGD=90°∴Rt△EFP≌Rt△PGD（ASA）.∴PE=PD………3分（2）∵AD=AB∠PAB=∠PAD=45°AP=AP∴△APB≌△APD（SAS）………4分∴PB=PD∴PE=PB∴△PBE为等腰三角形………6分（3）①∵AP=x∴,………7分∴.即()………8分②.\n∵，∴当时,………9分2.（2022江西省预测4，17，6）如图，矩形中，与交于点，⊥，⊥，垂足分别为，．试比较．BE与CF的大小，并说明理由ABCDEFO【思路分析】证明BE、CF两个线段所在的两个三角形全等， 即三角形BEO与三角形CFO全等，应用AAS判定。【答案】证明：在矩形ABCD中，OB=OC，．．．．．．．．．．．．．．．．．．１分⊥，⊥，．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．５分．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．６分3．（2022江西省预测5，17，6）如图（1），在⊿ABC和⊿EDC中，AC=CE=CB=CD，∠ACB=∠ECD=90°，AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H.(1)试探究CF、CH的数量关系，并说明理由；(2)如图（2），⊿ABC不动，将⊿EDC绕点C旋转到∠BCE=45° 时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论。【思路分析】通过对△ACB和△ECD的全等得到CF=CH；四边形ACDM是菱形。\n【答案】解：（1）CF=CH．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１分证明：△ACB和△ECD中∵∠ACB=∠ECD=90°∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB∴∠1=∠2又∵AC=CE=CB=CD∴∠A=∠D=45°∴△ACF≌△DCH∴CF=CH．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分（2）答：四边形ACDM是菱形证法一：∵∠ACB=∠ECD=90°，∠BCE=45°，∴∠1=45°，∠2=45°又∵∠E=∠B=45°，∴∠1=∠E，∠2=∠B．．．．．．．．．．．４分∴AC//MD，CD//AM．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．５分又∵AC=CD∴ACDM是菱形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．６分4．（2022上海市奉贤区1模，23,12）如图（1），在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠ECD＝，AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H．(1)求证:CF＝CH；（图1）（图2）第4题图DCBEAHMFEDCBAFHM(2)如图(2)，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．\n【答案】证明:在△ACB和△ECD中∵∠ACB=∠ECD=∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB,∴∠1=∠2………………………………………………………（2分）又∵AC=CE=CB=CD,∴∠A=∠D=………………………………………………（2分）∴△ACB≌△ECD,∴CF=CH……………………………（2分）(2)答:四边形ACDM是菱形……………………………………………（1分）证明:∵∠ACB=∠ECD=,∠BCE=∴∠1=,∠2=又∵∠E=∠B=,∴∠1=∠E,∠2=∠B…………………………………………（2分）∴AC∥MD,CD∥AM,∴四边形ACDM是平行四边形………………………………（2分）又∵AC=CD,∴四边形ACDM是菱形……………………（2分）5．（2022上海市闵行区1模，23,12）已知：如图，在直角梯形ABCD中，AD//BC，AB⊥AD，BC=CD，BE⊥CD，垂足为点E，点F在BD上，联结AF、EF．（1）求证：AD=ED；（2）如果AF//CD，求证：四边形ADEF是菱形．\nABCDEF【答案】证明：（1）∵BC=CD，∴∠CDB=∠CBD．……………………………（1分）∵AD//BC，∴∠ADB=∠CBD．∴∠ADB=∠CDB．………………………………………………（1分）又∵AB⊥AD，BE⊥CD，∴∠BAD=∠BED=90°．………（1分）于是，在△ABD和△EBD中，∵∠ADB=∠CDB，∠BAD=∠BED，BD=BD，∴△ABD≌△EBD．………………………………………………（2分）∴AD=ED．………………………………………………………（1分）（2）∵AF//CD，∴∠AFD=∠EDF．……………………………（1分）∴∠AFD=∠ADF，即得AF=AD．…………………………（1分）又∵AD=ED，∴AF=DE．…………………………………（1分）于是，由AF//DE，AF=DE，得四边形ADEF是平行四边形．……………………………………（2分）又∵AD=ED，∴四边形ADEF是菱形．…………………………………………（1分）6．（2022上海市松江区1模，23,12）如图，已知在Rt△ABC中，∠C=90°，点O为边AC的中点，点D为边AB上一点，过点C作AB的平行线，交DO的延长线于点E．（1）证明：四边形ADCE为平行四边形；（2）当四边形ADCE为怎样的四边形时，AD=BD，并加以证明．EDCBAO【答案】（1）证明：∵点O为边AC中点，∴AO=CO………………………………1分又∵CE∥AB，∴∠DAC=∠ECA，∠ADE=∠CED…………………………2分∴△ADO≌△CEO，∴OD=OE…………………………………………………2分∴四边形ADCE为平行四边形…………………………………………………1分\n（2）当四边形ADCE为菱形时，AD=BD，………………………………………1分∵四边形ADCE为菱形，∴AD=CD，∴∠BAC=∠ACD……………………2分∵∠BAC+∠B=90°，∠BCD+∠ACD=90°，………………………………1分∴∠B=∠BCD，∴CD=BD，∴AD=BD…………………………………………2分已知△ABC中，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，连FE、ED，BF的延长线交ED的延长线于点G，联结GC。求证：四边形CEFG为梯形。7．（2022上海市杨浦区1模，22,10）已知△ABC中，点D、E、F分别是线段AC、BC、AD的中点，连FE、ED，BF的延长线交ED的延长线于点G，联结GC。求证：四边形CEFG为梯形。ABCDEFG【答案】证明：∵点D、E分别是线段AC、BC的中点，∴DE//AB，-------------1分∴∠A=∠FDG，∠ABF=∠FGD------------------------------------------------------2分∵F是线段AD的中点，∴AF=FD∴△ABF≌△DGF，---------------------------------------------------------------------1分∴BF=FG------------------------------------------------------------------------------------1分∴-----------------------------------------------------------------------------------1分∵E为BC中点，∴BC=EC，∴，-----------------------------------------1分∴------------------------------------------------------------------------------1分∴EF//CG------------------------------------------------------------------------------------1分而GF与CE交于点A，∴四边形CEFG为梯形------------------------------------1分8．（2022上海市宝山、嘉定区1模，22,10）如图8，已知是线段上一点，和都是正方形，联结、．\n(1)求证：=；(2)设与的交点为P，求证：.ABCDEFGP(图8)【答案】证明：（1）∵四边形和是正方形∴，，（3分）∴△≌△（1分）∴（1分）（2）∵∥∴，（2分）∵，∴，（2分）∴（1分）9．（2022上海市黄浦区1模，23,12）（本题12分）如图8,在菱形ABCD中，AE⊥BC，AF⊥CD，垂足为E、F.（1）求证：△ABE≌△ADF；（2）若∠BAE=∠EAF，求证：AE=BE；（3）若对角线BD与AE、AF交于点M、N，且BM=MN（如图9）.FEDCBANMFEDCBA求证：∠EAF=2∠BAE.（图8）（图9）【答案】解：（1）∵菱形ABCD，\n∴AB=AD，∠ABE=∠ADF，————————————（2分）又∵AE⊥BC，AF⊥CD，∴∠AEB=∠AFD，————————————————（1分）∴△ABE≌△ADF.————————————————（1分）（2）∵菱形ABCD，∴AB‖CD，又∵AF⊥CD，∴AF⊥AB，∴∠BAF=,又∠BAE=∠EAF，∴∠BAE=，∠AEB=,———————————（2分）∴∠B==∠BAE，———————————————（1分）∴AE=BE.———————————————————（1分）(3)∵△ABE≌△ADF，∴∠BAE=∠DAF，AB=AD，∴∠ABM=∠ADN，∴△ABM≌△ADN.∴AM=AN，———————————————————（1分）又∵∠BAN=,BM=MN，∴AM=MN=AN，∴∠MAN=,——————————————————（1分）∴∠MAB=,——————————————————（1分）∴∠EAF=2∠BAE.————————————————（1分）10．（2022上海市浦东新区1模，23,12）已知：如图，在△ABC中，M是边AB的中点，D是边BC延长线上一点，，DN∥CM，交边AC于点N．（1）求证：MN∥BC；（2）当∠ACB为何值时，四边形BDNM是等腰梯形？并证明你的猜想．ABMN（第10题图）DC【答案】（1）证法一：取边BC的中点E，联结ME．………………………………………（1分）∵BM=AM，BE=EC，∴ME∥AC．………………………………………（1分）∴∠MEC=∠NCD．∵，∴．∵DN∥CM，∴∠MCE=∠D．∴△MEC≌△NCD．………………………………………………………（1分）\n∴．………………………………………………………………（1分）又∵CM∥DN，∴四边形MCDN是平行四边形．………………………（1分）∴MN∥BC．…………………………………………………………………（1分）证法二：延长CD到F，使得，联结AF．…………………………（1分）∵，，∴．………………………………（1分）∵，∴MC∥AF．………………………………………………（1分）∵MC∥DN，∴ND∥AF．…………………………………………………（1分）又∵，∴．……………………………………………（1分）∴MN∥BC．…………………………………………………………………（1分）（2）解：当∠ACB=90°时，四边形BDNM是等腰梯形．…………………………（1分）证明如下：∵MN∥BD，BM与DN不平行，∴四边形BDNM是梯形．……………（2分）∵∠ACB=90°，，∴．…………………（2分）∵，∴BMDN．………………………………………………（1分）∴四边形BDNM是等腰梯形．11．（2022上海市闸北区1模，22,10）已知四边形ABCD，点E是CD上的一点，连接AE、BE.(1)给出四个条件:①AE平分∠BAD,②BE平分∠ABC,③AE⊥EB,④AB=AD+BC．请你以其中三个作为命题的条件,写出一个能推出AD∥BC的正确命题,并加以证明；(2)请你判断命题“AE平分∠BAD,BE平分∠ABC,点E是CD的中点,则AD∥BC”是否正确？图５【答案】(1)解：如:①②④AD∥BC………………………………………………………(1分)证明：在AB上取点M,使AM＝AD，联结EM,……………………………………(1分)∵AE平分∠BAD∴∠MAE＝∠DAE又∵AM＝ADAE＝AE，∴△AEM≌△AED∴∠D=∠AME………………………………………………(2分)又∵AB=AD+BC∴MB=BC，∴△BEM≌△BCE∴∠C=∠BME………………………………………………(2分)故∠D+∠C＝∠AME+∠BME＝180°∴AD∥BC…………………………………(2分)（2）不正确…………………………………………………………………………………(2分)12．（2022浙江省慈溪市1模，21,8）已知△ABC(如图)，∠B=∠C=30°。请设计二种不同的分法，将△ABC分割成四个三角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似\n但不全等的直角三角形．请画出分割线段，标出能够说明分法的所得三角形的顶点和内角度数(或记号)，并在各种分法的空格线上填空。(画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法)注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．如图①和②为同一种分法。图②图①分法一：（不能拼成与图①或②的形式）分割后所得的四个三角形中△≌△，Rt△∽Rt△分法二：（不能拼成与图①或②的形式）分割后所得的四个三角形中△≌△，Rt△∽Rt△【答案】解：参考分法如下所示：每一个分割、填空正确得4分\n13．（2022辽宁省大连市1模，19,12）．如图，在等腰梯形中，为底的中点，连结、．\n求证：．ADCBE（第19题）【答案】证明：四边形是等腰梯形，．（6分）为的中点，OBECAD（第22题图）．（10分）．（12分）14.（2022·黑龙江省哈尔滨市调研，23，6）如图，在矩形ABCD中，E是BC上的点，AE=BC,DE⊥AE，垂足为F，连接DE，证明：AB=DF【答案】15.（2022河北省三河市1模，20，7）如图，正方形中,点F在边BC上，E在边BA的延长线上.（1）若按顺时针方向旋转后恰好与重合.则旋转中心是点；最少旋转了度；（2）在（1）的条件下，若,求四边形的面积.\nABCDEF【答案】解：（1）D；.…………………………………………4分（2），...…………………………………………7分16.（2022河南省1模，17，9）如图，点B在AD上，AC=CB，CD=CE，∠ACB=∠DCE=90°．试判断线段AD和BE的大小和位置关系，并给予证明．ADCBE【答案】．解：相等，垂直．△ACD≌△BCE（SAS）．AD=BE，∠EBC=∠DAC=45°．17.（2022河南省郑州市1模，17，9）如图，在△中，∠ACB=．（1）根据要求作图(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)：①作的平分线交AB于D；②过D点作DE⊥BC，垂足为E．（2）在（1）的基础上写出一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形：△≌△；△∽△．请选择其中一对加以证明．\n【答案】解：（1）①正确作出角平分线CD；②正确作出DE．（2）△BDE≌△CDE；△ADC∽△ACB．选择△BDE≌△CDE进行证明：∵DC平分∠ACB∴∠DCE∠ACB又∵∠ACB2∠B∴∠B∠ACB∴∠DCE∠B∵DE⊥BC∴∠DEC∠DEB90°又∵DEDE∴△BDE≌△CDE（AAS）或选择△ADC∽△ACB进行证明：∵DC平分∠ACB∴∠ACD∠ACB又∵∠ACB2∠B∴∠B∠ACB∴∠ACD∠B又∵∠A∠A∴△ADC∽△ACB18.（2022湖北省恩施州1模，19，8）【答案】\n19．（2022湖北省黄冈市红安县1模，18，7）已知如图在平行四边形ABCD中，E、F分别为边AB、CD的中点，BD是对角线，AG∥BD交CB的延长线于G.（1）求证：△ADE≌△CBF；（2）若四边形BEDF是菱形，则四边形AGBD是什么特殊四边形？并证明你的结论。EGBCFDA【答案】（1）由AD=BC，∠DAE=∠BCF，AE=CF，证△ADE≌△CBF…………2分（2）四边形AGBD是矩形…………3分由题意可知：AE=DE=BE，∴∠DAE=∠ADE，∠EDB=∠EBD，∴∠ADE+∠EDB=，又由AD∥BG，AG∥BD，∴四边形AGBD是矩形…………7分20．（2022湖北省黄冈市张榜中学1模，18，6）已知：如图，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，点C、D、E三点在同一直线上，连结BD.\nABCDE求证：(1)△BAD≌△CAE；(2)试猜想BD、CE有何特殊位置关系，并证明.【答案】（1）AB＝AC，易证∠BAD＝∠CAE，AD＝AE，所以△BAD≌△CAE（SAS）。…3分（2）BD⊥CE，证明略。…………………………………………………………………6分21。（2022江西省宜春市1模，20,8）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE．（1）求证：△ABE≌△ACE；（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．【答案】(1)证明：因为AB=AC且D是BC的中点所以AD垂直平分BC………………………………………….1分所以BE=CE………………………………………….2分又因为AE=AE所以△ABE≌△ACE………………………………………….4分（2）当AE=2AD时，四边形ABEC是菱形，………………………………………….5分理由如下：因为AE=2AD，AD垂直平分BC所以BC垂直平分AE，………………………………………….…………………….6分所以对角线AE与BC互相垂直平分…………………………….…………………….7分所以四边形ABEC是菱形…………………………….…………………….…………8分22。（2022江苏省江阴市1模，26,10）图1,在△ABC中，∠ACB=90°，∠CAB=30°,△ABD是等边三角形，E是AB的中点，连结CE并延长交AD于F.（1）求证：①△AEF≌△BEC；②四边形BCFD是平行四边形；（2）如图2，将四边形ACBD折叠,使D与C重合，HK为折痕，求sin∠ACH的值.\n图1ABCDEF30°图2ABCDKH30°【答案】（1）求证：①△AEF≌△BEC；∠ABC=90°，E是AB的中点，AE=BE,∠FAB=∠EBC=60°，∠FEB=∠BEC所以△AEF≌△BEC；-----------------------------------------3分②四边形BCFD是平行四边形；可得DF∥BC,FC∥DB,或DF∥BC，且DF=BC均可------------------------6分（2）设BC=1，则AC=,AD=AB=2设DH=x,由折叠得DH=CH=x,(2-x)+3=xX=所以Sin∠ACH=-----------------------------------------10分23。（2022福建省晋江市1模，21,9）如图，与都是等腰直角三角形，，连结、.求证:≌.【答案】证明：与都是等腰直角三角形…………（4分）又即……………………（8分）∴≌……………………（9分）24。（2022湖北省荆州市1模，19）将Rt△ABC绕点A逆时针旋转90°得到△ADF,BC的延长线交DF于点E，连接BD.已知BC=2EF。求证：△BEF≌△BED。\n【答案】证明：∵∠ABC＋∠ACB=90°∴∠ABC＋∠F=90°∴∠FEB=90°∵BC=FDBC=2EF∴EF=DE在△BEF和△BED中BE=BE∠BEF=∠BED=90°EF=DE∴Rt△BEF≌Rt△BED25。（2022广东省深圳市1模，20,7）如图，正方形ABCD的边长是6，点F在AD上，点E在AB的延长线上，，且△CEF的面积是24.（1）求证：△CDF≌△CBE；（2）求DF的长度.DCAFBE【答案】（1）证明：是正方形，，≌………………………………………3分\n（2）解：由（1）得由的面积是24，可得…………………………5分在中，………………………7分26。（2022河北省石家庄52中市1模，24,10）已知，等腰Rt△ABC中，点O是斜边的中点，△MPN是直角三角形，固定△ABC，滑动△MPN，在滑动过程中始终保持点P在AC上，且PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为E、F．（1）如图1，当点P与点O重合时，OE、OF的数量和位置关系分别是______．（2）当△MPN移动到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）如图3，等腰Rt△ABC的腰长为6，点P在AC的延长线上时，Rt△MPN的边PM与AB的延长线交于点E，直线BC与直线NP交于点F，OE交BC于点H，且EH：HO=2：5，则BE的长是多少图1ABCOMNEF(P)ABCOMNEFP图2ABCOMNEFP图3H【答案】（1）数量关系：相等，位置关系：垂直．（2）成立，易证△ＯＥＢ≌△ＯＦC；（３）．27。（2022山东省泰安市1模，26,10）如图（1），在△ABC和△EDC中，AC＝CE＝CB＝CD，∠ACB＝∠ECD＝，AB与CE交于F，ED与AB、BC分别交于M、H．(1)求证:CF＝CH；(2)如图(2)，△ABC不动，将△EDC绕点C旋转到∠BCE=时，试判断四边形ACDM是什么四边形？并证明你的结论．（图1）（图2）\n【答案】解:(1)证明:在△ACB和△ECD中∵∠ACB=∠ECD=∴∠1+∠ECB=∠2+∠ECB,∴∠1=∠2…………………………2分又∵AC=CE=CB=CD,∴∠A=∠D=………………………3分∴△ACB≌△ECD,……………………4分∴CF=CH……………………5分(2)答:四边形ACDM是菱形…………………………6分证明:∵∠ACB=∠ECD=,∠BCE=∴∠1=,∠2=………………………7分又∵∠E=∠B=,∴∠1=∠E,∠2=∠B∴AC∥MD,CD∥AM,∴ACDM是平行四边形……………………9分又∵AC=CD,∴ACDM是菱形………10分28．（2022江苏省扬州市1模，23,10）如图，F为正方形ABCD的对角线AC上一点，FE⊥AD于点E，M为CF的中点．（1）求证：MB=MD；（2）求证：ME=MB．\n【答案】N证明：（1）∵四边形ABCD是正方形∴AB=AD∠BAM=∠DAM……2分在△BAM与△DAM中，∴△BAM≌△DAM…………3分∴MB=MD……………………4分（2）取线段DE的中点N，连结MN。…………………5分∵FE⊥ADCD⊥AD∴EF∥CD……………………6分∵M为CF的中点∴MN是梯形EFCD的中位线………7分∴MN∥EF……………………………………………………8分∴MN⊥AD……………………………………………………9分∴ME=MD∴ME=MB……………………………………10分29.（2022浙江省舟山市1模，22，10）如图，已知Rt△，，的平分线交于点，的垂直平分线分别交于点，．（1）请以图中的点为顶点（不增加其他的点）分别构造两个菱形和两个等腰梯形．那么，构成菱形的四个顶点是▲或▲；构成等腰梯形的四个顶点是▲或▲；（2）请你各选择其中一个图形加以证明。\n【答案】解：（1）构成菱形的四个顶点是B、E、D、F或E、D、C、G；2分构成等腰梯形的四个顶点是B、E、D、C或E、D、G、F；2分（2）证出一个得3分（ⅰ）∵垂直平分（ⅱ）∵菱形∴，∴∥………1分∴∵∵平分∴………1分∴∴四边形是等腰梯形．……1分∵∴≌∴…………2分∴………1分∴四边形是菱形．或（ⅲ）∵等腰梯形（ⅳ）∵菱形，∴∴∵∵∴∴∵∥∵∴四边形是平行四边形∴≌∵∴∴四边形是菱形．∵∥∴四边形是等腰梯形．30.（2022重庆市名校联考，23，10）已知，如图，在平行四边形ABCD中，E、F分别是边AB、CD的中点，连接DE、BF、BD.（1）求证：△ADE≌△CBF（2）若AD⊥BD,则四边形DFBE是什么特殊的四边形？请说明你的理由。【答案】\n（1）证明：（1）∵四边形ABCD是平行四边形∴AD=BC,DC=ABDC∥AB∠A＝∠C……1分又∵E、F分别是边AB、CD的中点∴AE=BE=DF=CF……….2分在△ADE和△CBF中∵AD＝BC∠A＝∠CAE＝CF………4分∴△ADE≌△CBF（SAS）……………5分（2）四边形DFBE是菱形。……………………………6分理由：∵DF∥BE且DF=BE∴四边形DFBE是平行四边形……………………8分又∵AD⊥BD且E是AB的中点∴DE=AB=BE…………………9分∴平行四边形DFBE是菱形………………10分31.（2022重庆市綦江县，19，6）19.如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=.（1）在边CD上找一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明；（2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F.①求证：点B平分线段AF；②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到？若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由.【答案】（1）当E为CD中点时，EB平分∠AEC由∠D=900，DE=1，AD=，推得DEA=600，同理，∠CEB=600，从而∠AEB=∠CEB=600，即EB平分∠AEC（2）①∵CE∥BF，∴==∴BF=2CE∵AB=2CE，∴点B平分线段AF\n②能证明：∵CP=，CE=1，∠C=900，∴EP=。在Rt△ADE中，AE==2，∴AE=BF，又∵PB=，∴PB=PE∵∠AEP=∠BP=900，∴△PAS≌△PFB∴△PAE可以△PFB按照顺时针方向绕P点旋转而得到.∴旋转度数为120033．（2022重庆市一中，24，6）如图，∠C＝∠D，CE＝DE．求证：AE=BE．【答案】证：在△AEC和△BED中……3分∴△AEC≌△BED∴AE=BE……6分34．（2022重庆市一中，24，10）直角梯形ABCD中，AB//CD，∠C＝900，AB＝BC，M为BC边上一点．（1）若∠DMC＝450，求证：AD＝AM．（2）若∠DAM＝450，AB＝7，CD＝4，求BM的值．\n【答案】（1）证：作AE⊥CD交延长线于点E.E∵∠DMC＝450，∠C＝900N∴CM=CD又∵∠B=∠C=∠E=900,AB＝BC∴四边形ABCE为正方形∴BC＝CE∴BM＝DE在Rt△ABM和Rt△AED中∴△ABM≌△AED∴AD＝AM……5分（2）把Rt△ABM绕点A顺时针旋转900,使AB与AE重合，得Rt△AEN.∵∠DAM=450,∴∠1+∠2=450由旋转知∠1＝∠3,∴∠2+∠3＝450，即∠DAM＝∠DAN由旋转知AM＝AN，∴△ADM≌△ADN，∴DM＝DN设BM=x，∵AB＝BC＝CE＝7,∴CM＝7-x又∵CD＝4,∴DE＝3,BM＝EN＝x，∴MD＝DN＝3+x,在Rt△CDM中，(7-x)2+42=(3+x)2∴BM的值为……10分35．（2022广东省佛山市，19，6）已知四边形ABCD的对角线AC与BD交于点O,给出下列四个论断：①OA=OC②AB=CD③∠BAD=∠DCB④AD∥BC请你从中选择两个论断作为条件，以“四边形ABCD为平行四边形”作为结论，完成下列各题；（1）构造一个真命题，画图并给出证明；（2）构造一个假命题，举反例加以说明.\n【答案】解:（1）①④为论断时(③④也可)：∵AD∥BC，∴∠DAC=∠BCA，∠ADB=∠DBC．………1分又∵OA=OC，∴△AOD≌△COB．………1分∴AD=BC．………1分∴四边形ABCD为平行四边形．………1分（2）②④为论断时，此时一组对边平行，另一组对边相等，可以构成等腰梯形．…2分36．（2022广东省佛山市，22，10）如图,AD∥BC,∠A=,E是AB上一点，AD=BE,F是CD中点.(1)Rt△ADE与Rt△BEC全等吗?如果是请说明理由;若不全等请添加一个合适条件使其全等并说明理由.(2)若Rt△ADE与Rt△BEC全等,说明△CED是直角三角形.【答案】解:（1）不全等.添加EF⊥CD,……1分(此处不唯一)则Rt△ADE与Rt△BEC全等∵F是CD中点且EF⊥CD∴CE=DE……1分∵AD∥BC,∠A=∴∠B=∠A=……2分∵AD=BE，CE=DE∴Rt△ADE≌Rt△BEC……1分（2）直角三角形∵Rt△ADE≌Rt△BEC∴∠AED=∠BCE……1分∵∠BCE+∠BEC=∴∠AED+∠BEC=……2分\n∴∠CED=……1分∴△CED是直角三角形……1分37．（2022福建省福州市，17（2），8）如图，□ABCF中，，延长CF到E，使，过E作BC的垂线，交BC延长线于点D。求证：ABCDEF第17（2）题图【答案】38．（2022甘肃省酒泉市，18，9）如图，梯形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，P为梯形ABCD外一点，PA、PD分别交线段BC于点E、F，且PA＝PD。（1）写出图中三对你认为全等的三角形（不再添加辅助线）；（2）选择你在（1）中写出的全等三角形中的任意一对进行证明。\n【答案】①△ABP≌△DCP；②△ABE≌△DCF；③△BEP≌△CFP；④△BFP≌△CEP；（答对三对即可）（2）以△ABP≌△DCP全等为例：证明：∵AD∥BC，AB＝DC，∴梯形ABCD为等腰梯形，∴∠BAD＝∠CDA，又∵PA＝PD，∴∠PAD＝∠PDA，∴∠BAP＝∠CDP，在△ABP和△DCP中，∵，∴△ABP≌△DCP。39．（2022湖南省长沙市，22，6）．如图4—9，在□ABCD中，点E，F在对角线AC上，且AE=CF，请你以点F为一个端点，和图中已标有字母的某一点连成一条新线段，猜想并证明它和图中已有的某一线段相等．(只需证明一组线段相等即可)①连结___________________，②猜想:_______=_______．【答案】①BF②BF=DE证明：∵在□ABCD中，AD∥BC，AD=BC，∴∠DAC=∠BCA．又∵AE=CF，\n∴△AED≌△CFB．∴DE=BF．40．（2022湖北省黄冈市1模，18，7）【答案】41。（2022河北省石家庄1模，24,10）已知，在△ABC中，AB=AC，在射线CA上截取线段CE,在射线AB上截取线段BD，连结DE,DE所在直线交直线BC于点M.如图1，当点E在线段AC上时，点D在AB的延长线上时，若BD=CE,请判断线段MD和线段ME的数量关系，并证明你的结论。如图2，当点E在CA的延长线上，点D在AB的延长线上时，若BD=CE,则（1）中的结论还成立吗？如果成立，请证明；如果不成立，说明理由。如图3，当点E在CA的延长线上，点D在线段AB上（点D不与A、B重合），DE所在直线与直线BC交于点M，若CE=mBD，（m>1），请直接写出线段MD与线段ME的数量关系。【答案】\nABCDMEGF（1）DM=EM；………………………………………………………………1分证明：过点E作EF∥AB交BC于点F，…………………………………………2分∵AB＝AC，∴∠ABC=∠C；又∵EF∥AB，∴∠ABC=∠EFC，∴∠EFC=∠C，∴EF=EC．又∵BD=EC，∴EF=BD．又∵EF∥AB，∴∠ADM=∠MEF．在△DBM和△EFM中∴△DBM≌△EFM，∴DM=EM．…………………………………………4分ABCDME图14-2F（2）成立；…………………………………………………………………………5分证明：过点E作EF∥AB交CB的延长线于点F，………………………………6分∵AB＝AC，∴∠ABC=∠C；又∵EF∥AB，∴∠ABC=∠EFC，∴∠EFC=∠C，∴EF=EC．又∵BD=EC，∴EF=BD．\n又∵EF∥AB，∴∠ADM=∠MEF．在△DBM和△EFM中∴△DBM≌△EFM；∴DM=EM；……………………………………8分（3）．……………………………………………………………142。（2022江苏省徐州1模，22,8）已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE,求证：AE=BD．【答案】证明：∵点C是线段AB的中点，----------------------------------------------------1分∴AC=BC，--------------------------------------------------------------------------------2分∵∠ACD=∠BCE,------------------------------------------------------------------------3分∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,---------------------------------------------------4分即∠ACE=∠BCD,------------------------------------------------------------------------5分在△ACE和△BCD中，，-----------------------------------6分∴△ACE≌△BCD（SAS），---------------------------------------------------------7分∴AE=BD.---------------------------------------------------------------------------------8分43。（2022吉林省长春市1模，24,7）\n【答案】44。（2022江苏省南京市1模，28,10）(1)如图1，已知点P在正三角形ABC的边BC上，以AP为边作正三角形APQ，连接CQ．①求证：△ABP≌△ACQ；②若AB＝6，点D是AQ的中点，直接写出当点P由点B运动到点C时，点D运动路线的长．(2)已知，△EFG中，EF＝EG＝13，FG＝10．如图2，把△EFG绕点E旋转到△EF＇G＇的位置，点M是边EF＇与边FG的交点，点N在边EG＇上且EN＝EM，连接GN．求点E到直线GN的距离．\n【答案】(1)①因为三角形ABC和三角形APQ是正三角形，所以AB=AC，AP=AQ，∠BAC＝∠PAQ．所以∠BAC－∠PAC＝∠PAQ－∠PAC．所以∠BAP＝∠CAQ．所以△ABP≌△ACQ．……………………3分②3……………………5分(2)解法一：过点E作底边FG的垂线，点H为垂足．在△EFG中，易得EH＝12．……………………6分类似(1)可证明△EFM≌△EGN，……………………7分所以∠EFM＝∠EGN．因为∠EFG＝∠EGF，所以∠EGF＝∠EGN，所以GE是∠FGN的角平分线，……………………9分所以点E到直线FG和GN的距离相等，所以点E到直线GN的距离是12．……………10分解法二：过点E作底边FG的垂线，点H为垂足．过点E作直线GN的垂线，点K为垂足．在△EFG中，易得EH＝12．……………………6分类似(1)可证明△EFM≌△EGN，……………………7分所以，∠EFM＝∠EGN．可证明△EFH≌△EGK，……………………9分所以，EH＝EK．所以点E到直线GN的距离是12．………………10分解法三：把△EFG绕点E旋转，对应着点M在边FG上从点F开始运动．由题意，在运动过程中，点E到直线GN的距离不变．不失一般性，设∠EMF＝90°．类似(1)可证明△EFM≌△EGN，所以，∠ENG＝∠EMF＝90°．求得EM＝12．所以点E到直线GN的距离是12．(酌情赋分)45。（2022江苏省南京市高淳县1模，21,7）DC已知：如图，□ABCD\n中，∠BCD的平分线交AB于E，交DA的延长线于F．(1)求证：DF＝DC；ABEF（第21题）(2)当DE⊥FC时，求证：AE＝BE．【答案】证明：（1）∵FC平分∠BCD∴∠DCF＝∠FCB………1分∵四边形ABCD为□∴FD∥BC∴∠DFC＝∠FCB………2分∴∠DCF＝∠DFCABCDEF∴DF＝DC………3分（2）∵DF＝DC，DE⊥FC∴FE＝EC………4分∵四边形ABCD为□∴FD∥BC∴∠DFC＝∠FCB又∵∠AEF＝∠CEB∴△AFE≌△BCE………6分∴AE＝BE………7分46。（2022江苏省南京市六合1模，20,7）已知：如图，△ABC中，AB=AC，BD、CE分别是AC、AB边上的高，连接DE.求证：（1）△ABD≌△ACE；（2）四边形BCDE是等腰梯形.【答案】证明：（1）∵BD、CE分别是AC、AB边上的高∴∠ADB=∠AEC=90°．……………………1分又∵∠A=∠A，AB=AC，∴△ABD≌△ACE；……………………3分（2）由△ABD≌△ACE得AD=AE，则∠ADE=∠AED，故∠ADE= ． ……………………4分∵AB=AC得∠ABC=∠ACB，故∠ACB= ．……………………5分∴∠ADE=∠ACB．∴DE∥BC ．……………………6分又∵AB–AE=AC–AD即BE=CD，∴四边形BCDE是等腰梯形．……………………7分\n47。（2022江苏省南京市玄武区1模，21,7）如图，平行四边形ABCD中，点E是AD的中点，连接BE并延长交CD的延长线于点F．（1）求证：△ABE≌△DFE；（2）连接CE，当CE平分∠BCD时，求证：ED=FD．【答案】（1）证明：∵在□ABCD中，∴AB∥DF,∴∠A=∠FDE，ABCDEF（第21题图）∵E是AD中点，∴AE=DE，……………….2分在△BAE和△FDE中∠A=∠FDEAE=DE∠AEB=∠DEF∴△BAE≌△FDE…………………………….4分（2）∵在□ABCD中，∴AB=CD，AD∥BC∵△BAE≌△FDE，∴AB=DF∴DC=DF……………………………………..5分∵AD∥BC∴∠ECB=∠DEC∵EC平分∠BCF,∴∠ECB=∠ECF,∴∠DEC==∠DCE,∴DE=DC∴DE=DF…………………………………………..7分48。（2022江苏省南京市白下区1模，23,7）（7分）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AC、BD是对角线．过点D作DE∥AC，交BC的延长线于点E．（1）判断四边形ACED的形状并证明；（2）若AC＝DB，求证：梯形ABCD是等腰梯形．【答案】解：（1）四边形ACED是平行四边形．………………………………………………1分证明：∵AD∥BC，DE∥AC，∴四边形ACED是平行四边形．…………………………………3分（2）证明：由（1）知四边形ACED是平行四边形，∴AC＝DE．∵AC＝DB，∴DE＝DB．∴∠E＝∠DBC．………………………………………………4分∵DE∥AC，∴∠E＝∠ACB．∴∠ACB＝∠DBC．………………………………5分又∵AC＝DB，BC＝CB，∴△ABC≌△DCB．………………………………………………6分\n∴AB＝DC（或∠ABC＝∠DCB）．∴梯形ABCD是等腰梯形．…………………………………………7分49。（2022江苏省南京市鼓楼区1模，20,7）如图，在四边形ABCD中，AD//BC，E、F为AB上两点，且△DAF≌△CBE．求证：（1）∠A＝90°；（2）四边形ABCD是矩形．ABCDOEF【答案】证明：（1）∵△DAF≌△CBE，∴∠A＝∠B．……………………………1分∵AD//BC，∴∠A＋∠B＝180°．……………………………2分∴2∠A＝180°．即∠A＝90°．………………………………………………3分（2）∵△DAF≌△CBE，∴AD＝BC．……………………………4分又∵AD//BC，∴四边形ABCD是平行四边形．……………………………6分∵∠A＝90°，∴四边形ABCD是矩形．……………………………7分50。（2022江苏省南京市江宁区1模，21,6）如图，四边形是正方形，点在上，，垂足为，请你在上确定一点，使，请你写出两种确定点G的方案，并写出其中一种方案的具体作法和证明．方案一：；方案二：（1）作法：(2)证明：【答案】解：方案：（一）过点B作BG⊥AE,垂足为G；（二）在AE上截取AG=DF；（三）作交AE于点G；…………………………2分（注：其中任意一个均可作为方案一，另外再选择一个作为方案二）（作法正确）……………………………………………………………………………3分（2）①如果是过点B作BG⊥AE,垂足为G，证明如下：∵，BG⊥AE，∴.……………………………………………………………4分由题意知，∴.……………………………………………………………………5分∵四边形是正方形，∴AD=AB,\n在与中，，，AD=AB,∴（AAS）.………………………………………………………6分②如果是在AE上截取AG=DF，证明如下：∵，AD⊥AE，∴∴.……………………………………………………………………4分∵四边形是正方形，∴AD=AB,……………………………………………5分在与中，AG=DF，，AD=AB,∴（SAS）.………………………………………………………6分③如果作交AE于点G，证明如下：∵，AD⊥AE，∴∴.……………………………………………………………………4分∵四边形是正方形，∴AD=AB,……………………………………………5分在与中，，AD=AB，∴（ASA）.………………………………………………………6分51。（2022江苏省南京市溧水县1模，21,7）写出下列命题的已知、求证，并完成证明过程．命题：如果一个三角形的两个角相等，那么这两个角所对的边也相等（简称：“等角对等边”）．已知：如图，____▲_____．求证：____▲_____．证明：第21题【答案】解：在△ABC中，∠B＝∠C．………………………………………………………………1分AB=AC．……………………………………………………………………………2分证明：（略）…………………………………………………………………………7分52。（2022江苏省南京市溧水县1模，26,8）在平面上有且只有4个点，这4个点中有一个独特的性质：连结每两点可得到6条线段，这6条线段有且只有两种长度．我们把这四个点称作准等距点．例如正方形ABCD的四个顶点(如图1)，有AB=BC=CD=DA，AC=BD．其实满足这样性质的图形有很多，如图2中A、B、C、O四个点，满足AB=BC=CA，OA=OB=OC\n；如图3中A、B、C、O四个点，满足OA=OB=OC=BC，AB=AC．ADBCAOCBAOCB（图1）（图2）（图3）（1）如图，若等腰梯形ABCD的四个顶点是准等距点，且AD∥BC．①写出相等的线段（不再添加字母）；②求∠BCD的度数．（2）请再画出一个四边形，使它的四个顶点为准等距点，并写出相等的线段．BCAD【答案】解：（1）①AB=DC=AD，AC=BD=BC．……………………………………………2分②∵AC=BD，AB=DC，BC=BC，∴△ABC≌△DCB，∴∠DBC=∠ACB，……3分∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，∵DC=AD，∠DAC=∠ACD，∴∠ACD=∠ACB，………………………………4分∵BC=BD，∠BDC=∠BCD=2∠ACB，……………………………………………5分设∠ACB=x°，则∠BDC=∠BCD=2x°，∠DBC=x°，∴2x+2x+x=180，解得x=36，∴∠BCD=72°．…………………………………………………………………6分（2）或AB=BD=AD=AC，BC=CD．AB=BC=CD=BD=AD，AC，．……8分53。（2022江苏省南京市浦口区1模，19,6）如图，在和中，、交于点M.（1）求证：≌；（2）作交于点N，四边形BNCM是什么四边形？请证明你的结论.\n【答案】（1）在△ABC和△DCB中，AB=DC,AC=DB,BC为公共边.△ABC≌△DCB（SSS）……………………………………………………2分（2）四边形BNCM为菱形……………………………………………………3分△ABC≌△DCB∠DBC=∠ACB即MB=MC……………………………………………………4分BN‖AC,CN‖BD四边形BNCM为平行四边形.……………………………………………5分又MB=MC平行四边形BNCM为菱形.………………………………………………6分54。（2022江苏省南京市栖霞区1模，23,8）如图，分别以Rt△ABC的直角边AC及斜边AB向外作等边△ACD、等边△ABE.已知∠BAC=30º，EF⊥AB，垂足为F，连结DF.求证：（1）△ABC≌△EAF；（2）四边形ADFE是平行四边形.【答案】（1）证明：∵△ABE为等边三角形∴AB＝AE∵EF⊥AB∴∠AFE＝90°，∠AEF＝∠AEB＝30°又∵∠BAC＝30°，∠ACB＝90°∴∠BAC＝∠AEF，∠ACB＝∠AFE………………2分∴△ABC≌△EAF………………3分（2）证明：∵△ABC≌△EAF∴AC＝EF………………4分∵△ACD是等边三角形∴∠DAC＝60°，AC＝AD又∵∠BAC＝30°∴∠DAB＝∠BAC+∠DAC＝90°，AD＝EF………6分又∵∠AFE＝90°∴∠DAB＝∠AFE∴AD∥EF………7分∴四边形ADFE是平行四边形………8分\n55。（2022江苏省南京市下关秦淮沿江区1模，28,10）(1)如图1，已知点P在正三角形ABC的边BC上，以AP为边作正三角形APQ，连接CQ．①求证：△ABP≌△ACQ；②若AB＝6，点D是AQ的中点，直接写出当点P由点B运动到点C时，点D运动路线的长．(2)已知，△EFG中，EF＝EG＝13，FG＝10．如图2，把△EFG绕点E旋转到△EF＇G＇的位置，点M是边EF＇与边FG的交点，点N在边EG＇上且EN＝EM，连接GN．求点E到直线GN的距离．【答案】(1)①因为三角形ABC和三角形APQ是正三角形，所以AB=AC，AP=AQ，∠BAC＝∠PAQ．所以∠BAC－∠PAC＝∠PAQ－∠PAC．所以∠BAP＝∠CAQ．所以△ABP≌△ACQ．……………………3分②3……………………5分(2)解法一：过点E作底边FG的垂线，点H为垂足．在△EFG中，易得EH＝12．……………………6分类似(1)可证明△EFM≌△EGN，……………………7分所以∠EFM＝∠EGN．因为∠EFG＝∠EGF，所以∠EGF＝∠EGN，所以GE是∠FGN的角平分线，……………………9分所以点E到直线FG和GN的距离相等，所以点E到直线GN的距离是12．……………10分解法二：过点E作底边FG的垂线，点H为垂足．过点E作直线GN的垂线，点K为垂足．在△EFG中，易得EH＝12．……………………6分类似(1)可证明△EFM≌△EGN，……………………7分所以，∠EFM＝∠EGN．\n可证明△EFH≌△EGK，……………………9分所以，EH＝EK．所以点E到直线GN的距离是12．………………10分解法三：把△EFG绕点E旋转，对应着点M在边FG上从点F开始运动．由题意，在运动过程中，点E到直线GN的距离不变．不失一般性，设∠EMF＝90°．类似(1)可证明△EFM≌△EGN，所以，∠ENG＝∠EMF＝90°．求得EM＝12．所以点E到直线GN的距离是12．(酌情赋分)56。（2022北京1模，15,5）如图，是平行四边形对角线上两点，，求证：。DCABEF【答案】解：平行四边形中，，，．又，．在和中，57。（2022北京1模，19,5）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AD=2，BC=5，E为DC中点，tanC=．求AE的长度．【答案】解：过点E作BC的垂线交BC于点F，交AD的延长线于点M.····1分\n在梯形ABCD中，AD∥BC，E是DC的中点，∴∠M=∠MFC，DE=CE.在△MDE和△FCE中，∠M=∠MFC，∠DEM=∠CEF，DE=CE.∴△MDE≌△FCE.∴EF=ME，DM=CF.···············3分∵AD=2，BC=5，∴DM=CF=.在Rt△FCE中，tanC==，∴EF=ME=2.························4分在Rt△AME中，AE=.········5分57。（2022北京市昌平区1模，19,5）16．如图，已知线段与相交于点，联结，为的中点，为的中点，联结．若∠A=∠D，∠OEF=∠OFE，求证：AB=DC．ODCABEF【答案】证明：∵∴OB=2OE，OC=2OF.…………………………1分∵∴OE=OF.………………………………………2分∴OB=OC.………………………………………3分∵∴△AOB≌△DOC.………………………………4分∴AB=DC.………………………………………5分58。（2022北京市朝阳区1模，15,5）\n【答案】（1）证明：∵AD∥BC，∴∠1=∠F．……………………………1分∵点E是AB的中点，∴BE=AE.………………………………2分在△BCE和△AFE中，∠1=∠F，∠3=∠2，BE=AE，∴△BCE≌△AFE.………………………………………………………3分（2）相等，………………………………………………………………………………4分平行.………………………………………………………………………………5分59。（2022北京市大兴区1模，15,5）已知，在△ABC中，DE∥AB，FG∥AC，BE=GC.求证：DE=FB.【答案】证明：∵DE∥AB∴∠B=∠DEC………………………………1分又∵FG∥AC∴∠FGB=∠C∵BE=GC…………………………2分∴BE+EG=GC+EG即BG=EC…………………………3分在△FBG和△DEC中\n∴△FBG≌△DEC……………………4分∴DE=FB…………………5分60。（2022北京市东城区1模，16,5）如图，在四边形ABCD中，AC是∠DAE的平分线，DA∥CE，∠AEB=∠CEB.求证：AB=CB【答案】231证明：∵AC是∠DAE的平分线，∴∠1=∠2.-------1分又∵AD∥EC，∴∠2=∠3.------2分∴∠1=∠3.∴AE=CE.--------3分在△ABE和△CBE中，AE=CE，∠AEB=∠CEB，BE=BE，∴△ABE≌△CBE.--------4分∴AB=CB.------5分61。（2022北京市房山区1模，15,5）如图，A、B、C三点在同一条直线上，AB=2BC，分别以AB，BC为边做正方形ABEF和正方形BCMN，联结FN，EC．求证：FN=EC\n（15题图）【答案】证明：在正方形ABEF和正方形BCMN中AB=BE=EF,BC=BN,∠FEN=∠EBC=90°-----------------------------------------------2分∵AB=2BC∴EN=BC-------------------------------------------------------------------------------3分∴△FNE≌△EBC---------------------------------------------------------------------------------4分∴FN=EC-------------------------------------------------------------------------------------------5分62。（2022北京市房山区1模，25,7）已知：等边三角形ABC（1）如图1，P为等边△ABC外一点，且∠BPC=120°．试猜想线段BP、PC、AP之间的数量关系,并证明你的猜想；图1图2（2）如图2，P为等边△ABC内一点，且∠APD=120°．求证：PA+PD+PC＞BD【答案】猜想：AP=BP+PC------------------------------1分\n（1）证明：延长BP至E，使PE=PC，联结CE∵∠BPC=120°∴∠CPE=60°，又PE=PC∴△CPE为等边三角形∴CP=PE=CE，∠PCE=60°∵△ABC为等边三角形∴AC=BC，∠BCA=60°∴∠ACB=∠PCE，∴∠ACB+∠BCP=∠PCE+∠BCP即：∠ACP=∠BCE∴△ACP≌△BCE∴AP=BE---------------------------------------------------------------------------2分∵BE=BP+PE∴AP=BP+PC----------------------------------------------------------------------------3分（2）方法一：在AD外侧作等边△AB′D----------------------------------------------------------4分则点P在三角形ADB′外 ∵∠APD=120°∴由（1）得PB′=AP+PD在△PB′C中，有PB′+PC＞CB′，∴PA+PD+PC＞CB′------------------------------------5分∵△AB′D、△ABC是等边三角形∴AC=AB，AB′=AD，∠BAC=∠DAB′=60°∴∠BAC+∠CAD=∠DAB′+∠CAD即：∠BAD=∠CAB′∴△AB′C≌△ADB∴CB′=BD------------------------------------------------------------------------6分∴PA+PD+PC＞BD-------------------------------------------------------------------------7分方法二：延长DP到M使PM=PA，联结AM、BM∵∠APD=120°，∴△APM是等边三角形，-----------------------------4分∴AM=AP，∠PAM=60°∴DM=PD+PA------------------------------5分∵△ABC是等边三角形∴AB=AC，∠BAC=60°\n∴△AMB≌△APC∴BM=PC---------------------------------------------------------------------------------6分在△BDM中，有DM+BM＞BD，∴PA+PD+PC＞BD----------------------------------------------------------------------------7分63。（2022北京市丰台区1模，15,5）已知：如图，∠B=∠D，∠DAB=∠EAC，AB=AD．求证：BC=DE．【答案】证明：∵∠DAB=∠EAC∴∠DAB+∠BAE=∠EAC+∠BAE∵即∠DAE=∠BAC………………………1’在△DAE和△BAC中…………………………4’∴BC=DE…………………………………5’64。（2022北京市海淀区1模，15,5）如图，点C、D在线段AB上，E、F在AB同侧，DE与CF相交于点O，且AC=BD，CO=DO，.求证：AE=BF.【答案】证明：在△COD中,∵CO=DO,∴∠ODC=∠OCD.…………………………….……………………………1分∵AC=BD,∴AD=BC.…………………………….……………………………2分在△ADE和△BCF中,\n∵∴△ADE≌△BCF.…………………………….……………………………4分∴AE=BF.…………………………….……………………………5分65。（2022北京市怀柔区1模，15,5）如图,已知：BF=DE,∠1=2，∠3=∠4求证：AE=CF．【答案】证明：∵BF=DEEF=EF∴BF-EF=DE-EF∴BE=DF………………………1分在△ABE和△CDF中∵∴△ABE≌△CDF……………………………………4分∴AE=CF．…………………………………5分66。（2022北京市门头沟区1模，15,5）已知：如图，EF∥BC，点F、点C在AD上，AF=DC，EF=BC．AＢＣFED【答案】证明：∵，∴．…………………………1分，∴．…………………2分\n在△与△中，∴．………………………………………………4分∴AB=DE．………………………………………………………………5分67。（2022北京市密云县1模，16,5）已知：如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：∠BAE＝∠DCF.【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD且AB＝CD…1分∴∠ABE＝∠CDF………2分又∵AE⊥BD，CF⊥BD∴∠AEB＝∠CFD＝900…3分∴Rt△ABE≌Rt△CDF…4分∴∠BAE＝∠DCF……….5分68。（2022北京市平谷区1模，15,5）已知：如图，在上，．求证：△ABC≌DEF．ABCFED【答案】证明：，.………………………………1分．…………………………….2分又，，即．………..3分在△ABC与△DEF中，…………………………………………………………………4分．………………………………………………………………………5分69。（2022北京市石景山区1模，15,5）如图，在△中，，于\n，点在线段上，，点在线段上，请你从以下两个条件中选择一个作为条件，证明△≌△．（1）∥；（2）．【答案】情况一、添加条件：//证明:∵∥∴…………………………………1分∵,∴∴…………………………2分∴…………………………3分在和中∴≌………………………………………………5分情况二、添加条件：证明：过点作于……………………………………………1分∵,∴…………………………………2分在和中∵∴≌…………………………………………3分∴…………………………………………………………4分在和中∴≌…………………………………………………………5分70。（2022北京市顺义区1模，16,5）已知：如图，中，，于，于，与相交于点．求证：；【答案】证明：∵∴--------1分\n∵∴∴----------------------2分∵∴∴∵∴∴----------------3分在和中∴≌------------------4分∴--------------------------5分71。（2022北京市通州区1模，16,5）已知：如图，，，是经过点的一条直线，过点、B分别作、，垂足为E、F，求证：.【答案】证明：，.......................................(1分).........................................(2分)在和中.......................................................(3分)≌（）.....................................(4分).........................................................(5分\n72。（2022北京市通州区1模，20,5）已知，如图，矩形绕着它的对称中心O按照顺时针方向旋转60°后得到矩形DFBE，连接AF，CE.请你判断四边形AFED是我们学习过的哪种特殊四边形，并加以证明.【答案】解：判断：等腰梯形........................................................(1分)证明：连结、依题意可知：,AO=OD=OE=OF................(2分)是矩形的对角线点在一条直线上，都是等边三角形，且≌≌…………………………….(3分)==,且…………………………….(4分)四边形是等腰梯形…………………………….(5分)73。（2022北京市西城区1模，16,5）如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF平分∠ABC，AF∥DC，连接AC，CF.求证：（1）AF=CF；（2）CA平分∠DCF.【答案】证明：如图2.（1）∵平分，∴．………………1分\n在△ABF与△CBF中，∴△ABF≌△CBF．………………………………………………………2分∴．………………………………………………………………3分（2）∵，∴．………………………………………………………4分∵∥，∴．∴，即平分．………………………………5分74。（2022北京市延庆县1模，15,5）如图，,,,交于点.求证：.【答案】证明:∵………………1分∴即:在………………4分………………5分∴∴75。（2022北京市燕山区1模，15,5）已知：如图，点D在AB的延长线上，AB＝DE，∠A＝∠CBE＝∠E.判断△ABC和△BDE是否全等？并证明你的结论.\n【答案】全等……………………………………………1分证明：∵∠CBE=∠E，∴BC∥DE.…………………………………………2分又∵点D在AB的延长线上，∴∠CBA=∠D.……………………………………3分在△ABC和△EDB中,又∵∠A=∠E,AB=DE,……………………………………4分∴△ABC≌△EDB.………………………………5分76。（2022江苏省常熟市1模，24,7）如图，正方形ABCD，动点E在AC上，AF⊥AC，垂足为A，AF＝AE．(1)求证：BF＝DE；(2)当点E运动到AC中点时（其他条件都保持不变），问四边形AFBE是什么特殊四边形？说明理由．【答案】77。（2022江苏东台市1模，28,12）\n【答案】78。（2022江苏省阜宁1模，22,9）如图，在△中，，于，点在线段上，，点在线段上，请你从以下两个条件中选择一个作为条件，证明△≌△．（1）∥；（2）．\n【答案】情况一、添加条件：//证明:∵∥∴∵,∴∴∴在和中∴≌情况二、添加条件：证明：过点作于∵,∴在和中∵∴≌∴在和中∴≌\n79。（2022江苏省阜宁县1模，28,9）已知：如图，在梯形ABCD中，∠BCD=90°，tan∠ADC=2，点E在梯形内，点F在梯形外，，∠EDC=∠FBC，且DE=BF．（1）判断△ECF的形状特点，并证明你的结论；（2）若∠BEC=135°，求∠BFE的正弦值．H【答案】28.⑴是等腰直角三角形.证明：作AH⊥CD于H，∵梯形ABCD中，∠BCD=90°，tan∠ADC=2，即∠ADC≠90°.∴AB∥CD，AH=BC，AB=CH.又∵，即CH+DH=2AB=2CH∴DH=CH，CD=2DH.∵tan∠ADC==2，∴AH=2DH=CD=BC.在△EDC和△FBC中，又∵∠EDC=∠FBC，DE=BF，∴△EDC≌△FBC.∴CE=CF,∠ECD=∠FCB.∵∠ECD+∠ECB=∠BCD=90°,∴∠FCB+∠ECB=90°，即∠ECF=90°.∴△ECF是等腰直角三角形.⑵∵在等腰Rt△ECF中，∠ECF=90°，\n∴∠CEF=45°，CE=EF.又∵∠BEC=135°，=0.5，∴∠BEF=90°，=.不妨设BE=，EF=4，则BF=.∴sin∠BFE===.80。（2022江苏省张家港市1模，22,6）如图，在矩形ABCD中，E是AD上的一点，F是AB上的一点，EF⊥EC，且EF＝EC．(1)求证：△AEF≌△DCE；(2)若矩形ABCD的周长为32cm，DE＝4cm，求AE的长．【答案】81。（2022河北省邢台市1模，24,10）\n【答案】82。（2022安徽省淮北市1模，20,10）20.如图，梯形ABCD中，AD∥BC，BC=2AD，F、G分别为边BC、CD的中点，连接AF，FG，过D作DE∥GF交AF于点E。（1）证明△AED≌△CGF（2）若梯形ABCD为直角梯形，判断四边形DEFG是什么特殊四边形？并证明你的结论。\nG【答案】（1）证明；∵BC=2AD、点F为BC中点∴CF=AD．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．1分∵AD∥CF∴四边形AFCD为平行四边形∴∠FAD=∠C ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．２分∵DE∥FG∴∠DEA=∠AFG∵AF∥CD∴∠AFG=∠FGC．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．３分∴∠DEA=∠FGC．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．４分∴△AED≌△CGF ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．５分（2）连结DF易证四边形ADCF是平行四边形，四边形ABFD是矩形．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．７分又因为点E,G分别为AF,CD的中点所以DE=EF=FG=GD即四边形DEFG是菱形。．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．１０分83。（2022广东省从化市1模，18,9）已知：如图6，E，F分别是平行四边形ABCD的边AD，BC的中点．求证：AF=CE．ADEFBC图6【答案】方法1：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且E，F分别是AD，BC的中点，∴ AE=CF．…………2分又∵四边形ABCD是平行四边形， ∴ AD∥BC，即AE∥CF．…………4分∴ 四边形AFCE是平行四边形．…………7分∴ AF=CE．…………9分方法2：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且E，F分别是AD，BC的中点，∴BF=DE．…………2分又∵四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠B=∠D，AB=CD．…………4分∴ △ABF≌△CDE．…………7分∴ AF=CE．…………9分\n84。（2022河南省1模，17,9）如图，在中，为的中点，连接并延长交的延长线于点.(1)求证：；(2)当与满足什么数量关系时，四边形是矩形，并说明理由．【答案】解：(1)证明：∵四边形是平行四边形∴∴∵为的中点∴∴∴∴四边形为平行四边形∴…………………………4分(2)解:当时,四边形是矩形.…………………6分理由如下:∵∴∵四边形是平行四边形∴∴∵四边形是平行四边形∴四边形是矩形…………………………985。（2022江苏省通州市1模，21,8）如图，在△ABC中，AB=AC，点O是BC的中点，连结AO，在AO的延长线上取一点D，连结BD，CD.（1）求证：△ABD≌△ACD；（2）当AO与AD满足什么数量关系时，四边形ABDC是菱形？并说明理由.\n（第21题）ABCDO【答案】证明：（1）∵AB=AC,点O为BC的中点,∴∠BAO=∠CAO.……………………………2分∵AD=AD,∴△ABD≌△ACD.……………………………3分（2）当AD=2AO时，四边形ABDC是菱形.………………………………5分理由如下：∵AD=2AO，∴AO=DO.又点O为BC中点，∴BO=CO.∴四边形ABDC为平行四边形.……………………………7分∵AB=AC，∴四边形ABDC为菱形.……………………8分86。（2022江苏省如皋市1模，21,8）如图，点E，C在线段BF上，BE=CF，请在下列四个等式中，①AB＝DE，②∠ACB＝∠F，③∠A＝∠D，④AC＝DF．选出两个作为条件，推出△ABC≌△DEF．并予以证明．选出的条件为：▲，▲CEBFDA（第21题）（写出一种即可）．证明：【答案】已知：①④（或②③、或②④）………………………………2分证明：若选①④∵BE=CF，∴BE＋EC=CF＋EC，即BC=EF．………………………4分在△ABC和△DEF中AB＝DE，BC＝EF，AC＝DF．…………………………7分∴△ABC≌△DEF．……………………8分87。（2022江苏省泰州市1模，20,8）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC=DC，CF\n平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：(1)△BFC≌△DFC；(2)AD=DE．【答案】．(1)△BFC≌△DFC（SAS）…………………………………4分(2)延长DF，交BC于点G……………………………5分证四边形ABGD为平行四边形，得AD=BG…………………………6分再证△BFG≌△DFE（ASA），得BG=DE……………………………7分得证：AD=DE………………………………8分88。（2022江苏省泰兴市洋思1模，21,8）如图，点P是菱形ABCD的对角线BD上一点，连结CP并延长，交AD于E，交BA的延长线于点F．试问：(1)图中△APD与哪个三角形全等？并说明理由．(2)猜想：线段PC、PE、PF之间存在什么关系？并说明理由．【答案】(1)△CPD 理由略(2)PC2＝PE·PF 理由略89。（2022内蒙古乌海二中1模，18②,5）如图，四边形ABCD是菱形，点E、F分别是边AD、CD的中点.求证：BE=BF.（本小题满分5分）A第18题图BCDEF【答案】证明：∵四边形ABCD是菱形，\n∴AB=BC=CD=DA,∠A=∠C，2分∵点E、F分别是边AD、CD的中点，∴AE=，CF=，∴AE=CF，3分∴△ABE≌△CBF，4分∴BE=BF.5分90。（2022山东省宁阳县1模，15,5）已知：如图，在上，．求证：△ABC≌DEF．ABCFED【答案】证明：，.………………………………1分．…………………………….2分又，，即．………..3分在△ABC与△DEF中，…………………………………………………………………4分．………………………………………………………………………5分91。（2022上海市长宁区1模，24,12）如图，AD//BC，点E、F在BC上，∠1=∠2，AF⊥DE，垂足为点O.(1)求证:四边形AEFD是菱形；(2)若BE=EF=FC，求∠BAD+∠ADC的度数；(3)若BE=EF=FC，设AB=m，CD=n，求四边形ABCD的面积.\n【答案】（1）(4分）证明:（方法一）∵AF⊥DE∴∠1+∠3=90°即：∠3=90°-∠1∴∠2+∠4=90°即：∠4=90°-∠2又∵∠1=∠2∴∠3=∠4∴AE=EF∵AD//BC∴∠2=∠5∵∠1=∠2∴∠1=∠5∴AE=AD∴EF=AD2分∵AD//EF∴四边形AEFD是平行四边形1分又∵AE=AD∴四边形AEFD是菱形1分（方法二）∵AD//BC∴∠2=∠5∵∠1=∠2∴∠1=∠5∵AF⊥DE∴∠AOE=∠AOD=90°在△AEO和△ADO中∴△AEO△ADO∴EO=OD6在△AEO和△FEO中∴△AEO△FEO∴AO=FO2分∴AF与ED互相平分1分∴四边形AEFD是平行四边形又∵AF⊥DE∴四边形AEFD是菱形1分(2)(5分）∵菱形AEFD∴AD=EF∵BE=EF∴AD=BE又∵AD//BC∴四边形ABED是平行四边形1分∴AB//DE∴∠BAF=∠EOF同理可知四边形AFCD是平行四边形∴AF//DC∴∠EDC=∠EOF又∵AF⊥ED∴∠EOF=∠AOD=90°∴∠BAF=∠EDC=∠EOF=90°2分∴∠5+∠6=90°1分∴∠BAD+∠ADC=∠BAF+∠6+∠5+∠EDC=270°1分（3）(3分）由（2）知∠BAF=90°平行四边形AFCD∴AF=CD=n\n又∵AB=m1分由（2）知平行四边形ABED∴DE=AB=m由（1）知OD=1分1分92。（2022上海市金山区1模，23,12）DCAAAEAB已知：如图，在中，°,是直角边的垂直平分线，,连接求证：(1)四边形是梯形（2）【答案】(1)证明：∵是的垂直平分线∴（1分）∴（1分）∵∴（1分）∴∥（1分）∵与不平行（1分）∴四边形是梯形（1分）(2)延长交于（1分）∵∴（1分）∴（1分）∵∴∥∴四边形是平行四边形（1分）∴（1分）∴（1分）93。（2022浙江省义乌市1模，19,6）已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交与BE的延长线于点F，且AF＝DC,连结CF．\n（1）求证：D是BC的中点；（2）如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．AECBFD【答案】（1）证明：是的中点，-(1分)即：D是BC的中点；（3分）（2）四边形ADCF是矩形（4分），四边形ADCF是平行四边形即∴平行四边形ADCF是矩形（6分）94。（2022河南郑州1模，17,9）如图，四边形ABCD中，BD>AC,∠ACB=∠DBC,∠BAC+∠BDC=180º,E为BD上一点，BE=AC,判断△EDC的形状，并证明你的结论.BCEDA【答案】解：△EDC是等腰三角形；--------------------------------------------------2分证明如下：在△ABC和△ECB中，\n∴△ABC≌△ECB(SAS)．-------------------------------------------------6分∴∠BAC=∠CEB．又∵∠BAC+∠BDC=180°，∠CEB+∠DEC=180°，∴∠DEC=∠BDC．∴CE=CD．即△EDC是等腰三角形.------------------9分95。（2022山东省淄博市1模，23,10）如图，在菱形中，是上的一个动点（不与重合），连接交对角线于，连接．（1）求证：；（2）若，试问点运动到什么位置时的面积等于菱形面积的？为什么？ABDCEP【答案】证明：（1）四边形是菱形，，………….1’ABDCEP平分．而，……………………………..2’．又，………………………………..4’………………………………………5’（2）当点运动到边的中点时，的面积等于菱形面积的．………………..6’连接．，，ABDCP是等边三角形………………………………………………7’而是边的中点，\n，......................................8’，即的面积等于菱形面积的．…………………………10’96。（2022辽宁省大连市1模，19,9）如图9，四边形ABCD中，AD∥BC，AB＝DC，点E、F在BC上，且∠FAB＝∠EDC．求证：BE＝FC．ABCDEF图9【答案】证明：∵AD∥BC，AB=DC，∴∠B=∠C………………………………………3分又∵∠FAB=∠EDC∴△ABF≌△DCE………………………………6分∴BF=CE………………………………………8分∴BF－EF=CE－EF即BE=FC………………………………………9分97。（2022江苏省靖江市1模，21,8）（本题满分12分）如图甲，在△ABC中，∠ACB为锐角，点D为射线BC上一动点，连结AD，以AD为一边且在AD的右侧作正方形ADEF.解答下列问题：(1)如果AB=AC，∠BAC=90°，①当点D在线段BC上时（与点B不重合），如图乙，线段CF、BD之间的位置关系为▲，数量关系为▲.②当点D在线段BC的延长线上时，如图丙，①中的结论是否仍然成立，为什么？(2)如果AB≠AC,∠BAC≠90o点D在线段BC上运动.试探究：当△ABC满足一个什么条件时，CF⊥BC（点C、F重合除外）？并说明理由.\n【答案】解：（1）①CF⊥BD，CF=BD…………………………………2分②成立，理由如下：…………………………………3分∵∠FAD=∠BAC=90°∴∠BAD=∠CAF又BA=CAAD=AF∴△BAD≌△CAF…………………………………5分∴CF=BD∠ACF=∠ACB=45°∴∠BCF=90°∴CF⊥BD…………………………………7分(2）当∠ACB=45°时可得CF⊥BC，理由如下：…………………………………8分过点A作AC的垂线与CB所在直线交于G……………………9分则∵∠ACB=45°∴AG=AC∠AGC=∠ACG=45°∵AG=AC,AD=AF∴△GAD≌△CAF（SAS）………10分∴∠ACF=∠AGD=45°∴∠GCF=∠GCA+∠ACF=90°∴CF⊥BC…………12分98。（2022河北省石家庄市1模，24,10）（本小题满分10分）已知，等腰Rt△ABC中，点O是斜边的中点，△MPN是直角三角形，固定△ABC，滑动△MPN，在滑动过程中始终保持点P在AC上，且PM⊥AB，PN⊥BC，垂足分别为E、F．（1）如图1，当点P与点O重合时，OE、OF的数量和位置关系分别是______．（2）当△MPN移动到图2的位置时，（1）中的结论还成立吗？请说明理由．（3）如图3，等腰Rt△ABC的腰长为6，点P在AC的延长线上时，Rt△MPN的边PM与AB的延长线交于点E，直线BC与直线NP交于点F，OE交BC于点H，且EH：图1ABCOMNEF(P)ABCOMNEFP图2ABCOMNEFP图3HHO=2：5，则BE的长是多少？【答案】（1）数量关系：相等，位置关系：垂直．（2）成立，易证△ＯＥＢ≌△ＯＦC；（３）．99.（2022广东省清远市1模，18，6）如图4，点D是△ABC中BC边上的中点，DF⊥AC，DE⊥AB，垂足分别为E、F，且BE=CF．求证：（1）△ABC是等腰三角形；（2）当∠A=90°时，试判断四边形\nAEDF是怎样的四边形，证明你的结论．ABCDEF图4【答案】（1）证明：∵DF⊥AC，DE⊥AB∴∠DEB=∠DFC=90°．……………………(1分)∵D是BC边上的中点，∴BD=CD，∵BE=CF，∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），………………………(2分)∴∠B=∠C，∴△ABC是等到腰三角形．………………………(3分)（2）正方形．………………………(4分)证明：连结AD，∵∠BAC=∠DEA=∠DFA=90°，∴四边形AEDF是矩形，…………………(5分)∵AD是中线，△ABC是等腰三角形，∴AD是∠BAC的平分线，∴DE=DF，∴四边形AEDF是正方形………………………(6分)100.（2022·广东省清远市2模，19，6）如图2，矩形的两条对角线和相交于点，、是上的两点，且.求证：四边形是平行四边形.ABCDOEF图2【答案】证明：∵四边形ABCD是矩形∴AB∥CD，AB=CD……………………………………………(1分)∴又∵∠AEB∠CFD∴△ABE≌△CDF……………………………………………(3分)∴BE=DF……………………………………………(4分)又∵四边形ABCD是矩形∴OA=OC，OB=OD∴OB-BE=OD–DF∴OE=OF………………………(5分)∴四边形AECF是平行四边形…………………………………(6分)101.（2022福建省泉州市1模，21，9）如图，与都是等腰直角三角形，，连结、.求证:≌.\n【答案】证明：与都是等腰直角三角形…………（4分）又即……………………（8分）∴≌……………………（9分）102.（2022广东省惠州市1模，16，7）如图，平行四边形ABCD中，AE⊥BD，CF⊥BD，垂足分别为E、F，求证：∠BAE＝∠DCF。第16题图FEDCBA【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AB∥CD且AB＝CD…………………………2分∴∠ABE＝∠CDF………………………………3分又∵AE⊥BD，CF⊥BD∴∠AEB＝∠CFD＝900………………………4分∴Rt△ABE≌Rt△CDF………………………6分∴∠BAE＝∠DCF……………………………7分103.（2022广东省汕头市1模，22，12）如图①，△ABC是等边三角形，D、E分别为边BC和AC上的点，且BD＝CE，过D作BE的平行线，过E作BC的平行线，它们交于点F，连接AF．（1）求证：△ABE≌△CAD；（2）试判断△ADF的形状，并说明理由；（3）若将D、E分别移为边CB的延长线和AC的延长线上的点，其它条件不变（如图②），则△ADF的形状是否改变，说明理由。\nEABCFD图①EABCFD图②【答案】（1）证明：∵△ABC是等边三角形，∴∠BAE=∠C=60°，AB=AC=BC．∵BD＝CE，∴AC－CE=BC－BD．∴AE=CD．又AB=AC，∴△ABE≌△CAD；……………………3分（2）△ADF是等边三角形，理由如下：……………4分EABCFD第22题图②1234∵△ABC是等边三角形，∴∠BAC=60°．∵DF∥BE，EF∥BC，∴∠1=∠2，四边形BDFE是平行四边形．∴BE=DF．…………………5分∵△ABE≌△CAD，∴∠4=∠5，BE=AD．∴DF=AD．∵∠1=∠3+∠4，∴∠2=∠3+∠5=∠BAC=60°．………6分∴△ADF是等边三角形．……………………7分（3）△ADF仍是等边三角形，理由如下：…………………8分∵△ABC是等边三角形，∴∠ABC=∠BAE=∠C=60°，AB=BC．∴∠ABD=∠BCD=180°－120°．∵BD＝CE，∴△ABD≌△BCE．∴∠1=∠3，BE=AD．……………9分∵DF∥BE，EF∥BC，∴∠1=∠2，四边形BDFE是平行四边形．∴BE=DF．∴DF=AD．…………………………10分∵∠3+∠4=∠ABC=60°，∴∠2+∠4=60°即∠ADF=60°∴△ADF是等边三角形．…………………………………12分104.（2022广东省实验中学1模，18，9）如图，在△ABC和△DEF中，AB=DE，BE=CF，∠B=∠1．求证：AC=DF．1FEDCBA\n【答案】证明：∵BE=CF，∴BE+EC=CF+EC，即BC=EF．……………………………………………………………………2分在△ABC和△DEF中，…………………………………………………………………………5分∴△ABC≌△DEF…………………………………………………………………………7分∴AC=DF…………………………………………………………………………………9分105．（2022广东省实验中学1模，24，14）在△ABC中，AB=BC=2，∠ABC=120°，将△ABC绕点B顺时针旋转角得交AC于点E，分别交AC、BC于D、F两点．（1）如图1，观察并猜想，在旋转过程中，线段与有怎样的数量关系？并证明你的结论；（2）如图2，当时，试判断四边形的形状，并说明理由；（3）在（2）的情况下，求的长．24题（1）（2）ADBECFADBECF【答案】解：（1）（1分）证明：（证法一）由旋转可知，∴（4分）∴又∴即（6分）（证法二）由旋转可知，而\n∴（4分）∴∴即（6分）（2）四边形是菱形.（7分）证明：同理∴四边形是平行四边形.（9分）又∴四边形是菱形.（10分）（3）（解法一）过点作于点，则ADBECFG在中，……（12分）由（2）知四边形是菱形，∴∴（14分）（解法二）∴在中，（12分）∴……………………………………………………（14分）106.（2022广东省四会市1模，18，6）已知：如图7，E，F分别是□ABCD的边AD，BC的中点．求证：AF=CE．ADEFBC图7【答案】.证明：方法1：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且E，F分别是AD，BC的中点，\nEDA∴ AE=CF．……2分又∵四边形ABCD是平行四边形， CBF∴ AD∥BC，即AE∥CF．……4分∴ 四边形AFCE是平行四边形．……5分∴ AF=CE．……6分方法2：∵ 四边形ABCD是平行四边形，且E，F分别是AD，BC的中点，∴BF=DE．……2分又∵四边形ABCD是平行四边形，∴ ∠B=∠D，AB=CD．∴ △ABF≌△CDE．……5分∴ AF=CE．……6分107.（2022广东省四会市1模，22，8）如图9，四边形ABCD是边长为a的正方形，点G，E分别是边AB，BC的中点，∠AEF=90o，且EF交正方形外角的平分线CF于点F．（1）证明：∠BAE=∠FEC；（2）证明：△AGE≌△ECF；【答案】（1）证明：∵∠AEF=90o，∴∠FEC+∠AEB=90o．………………………………………1分在Rt△ABE中，∠AEB+∠BAE=90o，…………………2分∴∠BAE=∠FEC；……………………………………………3分（2）证明：∵G，E分别是正方形ABCD的边AB，BC的中点，\n∴AG=GB=BE=EC=…………………4分且∠AGE=180o－45o=135o．…………………………5分又∵CF是∠DCH的平分线，∠ECF=90o+45o=135o．……………………………………6分在△AGE和△ECF中，…………………7分∴△AGE≌△ECF；…………………………………………8分108.（2022海南省1模，23，11）如图13所示，已知E是边长为1的正方形ABCD对角线BD上一动点，点E从B点向D点运动(与B、D不重合)，过点E作直线GH平行于BC，交AB于点G，交CD于点H，EF⊥AE于点E，交CD(或CD的延长线)于点F. (1)如图13（1），求证：△AGE≌△EHF； (2)点E在运动的过程中(图13（1）、图13（2）)，四边形AFHG的面积是否发生变化？请说明理由.图13(1)图13(2)【答案】(1)∵四边形ABCD是正方形，BD是对角线，且GH∥BC， ∴四边形AGHD和四边形GHCB都是矩形， △GEB和△HDE都是等腰直角三角形.∴∠AGE=∠EHF=90°，GH=BC=AB，EG=BG∴GH－EG=AB－BG即EH=AG ∴∠EFH+∠FEH=90° 又∵EF⊥AE，∴∠AEG+∠FEH=90°. ∴∠EFH=∠AEG∴△AGE≌△EHF\n (2)四边形AFHG的面积没有发生变化 (i)当点E运动到BD的中点时，四边形AFHG是矩形，S四边形AFHG=(ii)当点E不在BD的中点时，点E在运动(与点B、D不重合)的过程中，四边形AFHG是直角梯形. 由(1)知，△AGE≌△EHF 同理，图13（2），△AGE≌△EHF ∴FH=EG=BG.∴FH+AG=BG＋AG=AB=1这时，S四边形AFHG=（FH＋AG）·GH=综合(i)、(ii)可知四边形AFNM的面积没有发生改变，都是。109.（2022海南省1模，17，9）如图，已知△ABC中，AB=AC,∠A＜90º,CD、BE分别为△ABC的中线，AF⊥CD,AG⊥BE,分别交CD、BE的延长线于F、G两点，试问:（1）AF与AG相等吗？为什么？（2）当∠A=90º时，其余条件不变，猜想AFAG（用＞，＝，＜填空）.（3）当∠A＞90º时，其余条件不变，猜想AFAG（用＞，＝，＜填空）.（4）通过本题，你可以得到怎样的结论？请用文字叙述.【答案】解:（1）AF=AG.理由如下：………1分∵AB=AC，CD、BE分别为△ABC的中线，∴AD=AE.在△ADC和△AEB中，\n∴△ADC≌△AEB.………3分∴∠ACD=∠ABE.又∵∠AFC=∠AGB=90º,AC=AB,∴△ACF≌△ABG.∴AF=AG.………5分（2）=………6分（3）=………7分（4）等腰三角形的顶点到两腰中线所在的直线的距离相等.………9分110.（2022海南省1模，17，9）如图，EB=EG，请从下面三个条件：①DE=DF；②AB=AC；③BE=CF中，再选两个作为已知条件，另一个作为结论，写出一个真命题（只需写出一种情况），并加以证明.已知：EB=EG，，.求证：.证明：ABCDEFG【答案】17.已知：EB=EG，②AB=AC，③BE=CF．求证：①DE=DF．……………………………………………………………2分证明：∵AB=AC，∴∠B=∠ACB．∵BE=EG，∴∠B=∠EGB∴∠EGB=∠ACB∴EG∥AF………………………………………………………5分∴∠DEG=∠F，∠EDG=∠FCDB∵BE=CF，∴EG=CF．∴△EDG≌△FDC，…………………………………………………………………8分\n∴DE=DF．（答案不唯一，正确即可参照给分）…………………………………9分111.（2022河南省1模，19，9）19．（9分）如图，ABCD为正方形，E为BC边上一点，且AE=DE，AE与对角线BD交于点F，连接CF，交ED于点G.判断CF与ED的位置关系，并说明理由.ABCDFEG【答案】解：垂直.………………………………………1分理由：∵四边形ABCD为正方形∴∠ABD=∠CBD,AB=BC∵BF=BF∴△ABF≌△CBF∴∠BAF=∠BCF………………………………………4分∵在RT△ABE和△DCE中,AE=DE,AB=DC∴RT△ABE≌△DCE∴∠BAE=∠CDE∴∠BCF=∠CDE………………………………………6分∵∠CDE+∠DEC=90°∴∠BCF+∠DEC=90°∴DE⊥CF.………………………………………9分112.（2022河南省1模，17，9）如图，五边形ABCDE中，点F是CD的中点，且AF⊥CD，BC＝ED，∠BCD＝∠EDC．（1）求证：AB=AE；（2）连接BE，请指出BE与AF、BE与CD分别有怎样的关系？（只需写出结论，不必证明）．\nABCDEF【答案】（1）证明：连接AC、AD…………………1分∵点F是CD的中点，且AF⊥CD，∴AC=AD…………………2分∴∠ACD=∠ADC…………………3分∵∠BCD＝∠EDC,∴∠ACB＝∠ADE…………………4分∵BC=DE，AC=AD∴△ABC≌△AED…………………6分∴AB=AE…………………8分（2）BE⊥AF,BE//CD,AF平分BE.…………………9分113.（2022河南省1模，17，9）如图，将正方形ABCD中的△ABD绕对称中心O旋转至△GEF的位置，EF交AB于M，GF交BD于N．请猜想BM与FN有怎样的数量关系？并证明你的结论．【答案】17.BM=FN……………1分证明：在正方形ABCD中，BD为对角线，O为对称中心,∴BO=DO,∠BDA=∠DBA=45°．……………3分∵△GEF为△ABD绕O点旋转所得，∴FO=DO,∠F=∠BDA∴OB=OF，∠OBM=∠OFN…………………………5分\n在△OMB和△ONF中∴△OBM≌△OFN…………………………8分∴BM=FN…………………………9分114.（2022河南省1模，17，8）已知：如图，B、C、E三点在同一条直线上，AC∥DE，AC＝CE，∠ACD＝∠B.求证：（1）BC=DE；（2）若BE=5，AC=2，求DE的长.BCEAD【答案】证明：∵AC∥DE，∴∠ACD＝∠D，∠BCA＝∠E…………………2分又∵∠ACD＝∠B，∴∠B＝∠D……………………3分又∵AC＝CE，∴△ABC≌△CDE……………………4分∴BC=DE……………………5分(2)∵△ABC≌△CDE∴BC=DE,AC=CE……………………6分∵BE=BC+CE∴BE=DE+AC∴DE=BE-AC……………………7分∵BE=5，AC=2∴DE=5-2=3……………………8分115.（2022河南省新密市1模，17，9）如图，线段AC、BD相较于点E，∠AEB的平分线交AB于点F，AD=BC,AC=BD,\n（1）请你在答题卷的图中作出点F（要求用尺规作图，保留作图痕迹，写出作法，不证明）（2）求证：AF=FB.DCAEB【答案】.解：作图痕迹正确.---------------------------------------------2分(1)作法：①以E为圆心，适当长为半径画弧别交EA、EB于点M、N；②分别以M、N为圆心，相同的长为半径画弧交于点T；③连接直线ET与AB的交点就是所求的点F.----------------4分⑵证明：∵在△ABD≌△BAC中，AD=BC,AC=BD,AB=BA∴△ABD≌△BAC.---------------------------------------7分∴∠DBA=∠CBA，∴EA=AB--------------------------------8分∵EF平分∠AEB，∴F是AB的中点.即AF=FB---------------9分116.（2022湖北省黄冈中学1模，18，6））如图，菱形ABCD的边长为2，对角线BD=2，E、F分别是AD、CD上的两个动点，且满足AE＋CF=2．(1)求证：△BDE≌△BCF；(2)判断△BEF的形状，并说明理由，同时指出△BCF是由△BDE经过怎样的变换得到?【答案】证明：(1)∵菱形ABCD的边长为2，BD=2，∴BD=BC，且∠BDE=∠BCF=60°．∵AE＋CF=2，又∵AE＋DE=AD=2，∴DE=CF，∴△BDE≌△BCF．(2)△BEF是等边三角形．理由如下：由(1)得：△BDE≌△BCF，∴BE=BF，∠CBF=∠DBE，∴∠EBF=∠EBD＋∠DBF=∠CBF＋∠DBF=60°，\n∴△BEF是等边三角形，△BCF是由△BDE绕点B顺时针旋转60°得到．117.（2022湖北省像样市1模，19，11）如图1，四边形ABCD是正方形，G在BC的延长线上，点E是边BC上的任意一点（不与B、C重合），∠AEF=90°，且AE=EF，连接CF.(1)求证：∠FCG=45°；(2)如图2，当四边形ABCD是矩形，且AB=2AD时，点E是边BC上的任意一点（不与B、C重合），∠AEF=90°，且AE=2EF，连接CF，求tan∠FCG的值.BADFGCE图1书BCFDAE图2书G【答案】（1）证明：过F作FH⊥CG于H，……（1分）在正方形ABCD中，∠ABE=900，AB=BC，∵∠AEF=900，∴∠AEB+∠FEH=900，又∵∠BAE+∠AEB=900∴∠BAE=∠FEH……（3分）又∵∠ABE=∠FHE，AE=EF，∴△ABE≌△EHF……（4分）∴BE=FH，AB=EH=BC，∴BE=CH=FH，∴△FCH是等腰直角三角形∴∠FCH=450……（6分）说明：也可以在AB上截取AH′=EC，通过证△AH′E≌△FCE来证明，请参考以上评分说明给分。（2）过F作FH⊥CG于H……（7分）在矩形ABCD中，同（1）理可证∠BAE=∠FEH.……（8分）又∵∠ABE=∠EHF=900，∴△ABE∽△EHF.……（9分）∴===2，∴BC=EH，即BE=CH.……（10分）∴BE=CH=2FH∴tan∠FCH==……（11分）118.（2022湖北省枣阳市1模，25，10）如图1，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．连接GD、FC.(1)求证：△ADG≌△ABE；(2)观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；(3)如图2，将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝，BC=(、为常数)，E是线段BC上一动点(不含端点B、C)，以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请用含、的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．\n【答案】解：（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°.（1分）∵∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，∴∠BAE=∠DAG.（2分）∴△BAE≌△DAG.（3分）（2）∠FCN=45°.（4分）理由：作FH⊥MN于H，如图.∵∠AEF=∠ABE=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，∴∠FEH=∠BAE.又∵AE=EF，∠EHF=∠EBA=90°，∴△EFH≌△ABE.（5分）∴FH=BE，EH=AB=BC，∴CH=BE=FH.∵∠FHC=90°，∴∠FCH=45°.（6分）（3）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变.（7分）理由：作FH⊥MN于H，如图.由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，结合（1）（2）得∠FEH=∠BAE=∠DAG.∵G在射线CD上，∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，∴△EFH≌△AGD，△EFH∽△AEB.（8分）∴EH=AD=BC=，∴CH=BE，（9分）∴.∴在Rt△FCH中，tan∠FCN===.∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN=.（10分）119.（2022湖北省黄冈1模，18，6）如图，△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∠ACD＝∠BCE＝90°，AE交DC于F，BD分别交CE，AE于点G、H.试猜测线段AE和BD的位置和数量关系，并说明理由.FGH【答案】猜测AE＝BD，AE⊥BD.理由如下：∵∠ACD＝∠BCE＝90°，∴∠ACD＋∠DCE＝∠BCE＋∠DCE，即∠ACE＝∠DCB.∵△ACD和△BCE都是等腰直角三角形，∴AC＝CD，CE＝CB.∴△ACE≌△DCB（S.A.S.）∴AE＝BD，∠CAE＝∠CDB,.∵∠AFC＝∠DFH，∴∠DHF＝∠ACD＝90°，∴AE⊥BD.\n120.（2022江苏省扬州市1模，23，10）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠C=90°，E为CD的中点，EF∥AB交BC于点F．（1）求证：BF=AD+CF；（2）当AD=1，BC=7，且BE平分∠ABC时，求EF的长．【答案】(1)如图，延长AD交FE的延长线于N，∵∠NDE=∠FCE=90°,∠DEN=∠FEC,又DE=EC,∴△NDE≌△FCE．(3分)∴DN=CF．又AB∥FN,AN∥BF，∴四边形ABFN是平行四边形．∴BF=AD+DN=AD+FC．(5分)(2)解:∵AB∥EF,∴∠1=∠BEF,∵∠1=∠2,∴∠2=∠BEF．∴EF=BF.(8分)∵EF=AD+CF=AD+(BC－BF)，∴EF+BF=AD+BC=1+7=8，∴EF=4．(10分)121.（2022江苏省苏州市市1模，23，6）已知．如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，BC＝DC，CF平分∠BCD，DF∥AB，BF的延长线交DC于点E．求证：(1)△BFC≌△DFC．(2)AD＝DE．【答案】122.（2022江苏省苏州市市1模，23，6）如图，点E、F分别在□ABCD的边AD的延长线上，且DE＝AD，连结BD、CE、BF，分别交CE、CD于点G、H．求证：(1)△ABD≌△DCE；(2)CE：CG＝DF：AD．\n【答案】123.（2022江苏省太仓市1模，22，6）矩形ABCD中，以点B为圆心、BC长为半径画弧，交AD边于点E，连接BE，过C点作CF⊥BE，垂足为F．猜想线段BF与图中现有的哪一条线段相等？先将你猜想出的结论填写在答题卷的横线上，然后再加以证明．结论：BF＝▲．证明：【答案】124.（2022江苏省徐州市1模，22，8）已知：如图，点C是线段AB的中点，CE=CD，∠ACD=∠BCE,求证：AE=BD．【答案】证明：∵点C是线段AB的中点，----------------------------------------------------1分∴AC=BC，\n--------------------------------------------------------------------------------2分∵∠ACD=∠BCE,------------------------------------------------------------------------3分∴∠ACD+∠DCE=∠BCE+∠DCE,---------------------------------------------------4分即∠ACE=∠BCD,------------------------------------------------------------------------5分在△ACE和△BCD中，，-----------------------------------6分∴△ACE≌△BCD（SAS），---------------------------------------------------------7分∴AE=BD.---------------------------------------------------------------------------------8分125.（2022江西省1模，19，6）如图，点A,D,B,E在同一条直线上，且AD=BE,∠A=∠FDE,则△ABC≌△DEF.判断这个命题是真命题还是假命题，如果是真命题，请给出证明；如果是假命题请给出一个适当的条件使它成为真命题，并加以证明.【答案】．解：是假命题………………………………………………………………………2分添加条件如：∠E=∠CBA(不唯一)………………………………………3分证明：∵AD=BE∴AD+DB=BE+DB即AB=DE……………………………………………………………4分在△CAB和△FDE中∠A=∠FDE,AB=DE,∠E=∠CBA∴△CAB≌△FDE…………………………………………6分126.（2022江西省师大附中1模，21，7）如图,在ABCD中,AE是BC边上的高,将△ABE\n沿BC方向平移,使点E与点C重合,得△GFC.(1)求证:BE=DG；(2)若∠B=60°,当AB与BC满足什么数量关系时,四边形ABFG是菱形?并证明你的结论.【答案】（1）∵四边形ABCD是平行四边形,∴AB=CD.∵AE是BC边上的高,且CG是由AE沿BC方向平移而成,∴CG⊥AD,∴∠AEB=∠CGD=90°,∴Rt△ABE≌Rt△CDG.∴BE=DG（2）当BC=3/2AB时，四边形ABFC是菱形.∵AB∥GF，AG∥BF,∴四边形ABFG是平行四边形.∵Rt△ABE中，∠B=60°,∴∠BAE=30°.∴BE=1/2AB.∵BE=CF，BC=3/2AB,∴EF=1/2AB.∴AB=BF∴平行四边形ABFG是菱形127.（2022江西省宜春市1模，20，8）如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，连结AD，在AD的延长线上取一点E，连结BE，CE．（1）求证：△ABE≌△ACE；（2）当AE与AD满足什么数量关系时，四边形ABEC是菱形？并说明理由．\n.【答案】(1)证明：因为AB=AC且D是BC的中点所以AD垂直平分BC………………………………………….1分所以BE=CE………………………………………….2分又因为AE=AE所以△ABE≌△ACE………………………………………….4分（2）当AE=2AD时，四边形ABEC是菱形，………………………………………….5分理由如下：因为AE=2AD，AD垂直平分BC所以BC垂直平分AE，………………………………………….…………………….6分所以对角线AE与BC互相垂直平分…………………………….…………………….7分所以四边形ABEC是菱形…………………………….…………………….…………8分128.（2022云南省楚雄市1模，20，8）（8分）如图，四边形ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AB=DC，且BE=CF．（1）求证：AF=DE．（2）判断△OAD的形状，并证明你的结论．ADCBEFO第19题图.【答案】（8分）（1）证明：∵BE=CF∴BF=CE又∵四边形ABCD是等腰梯形∴∠B=∠C且AB=DC∴△ABF≌△DCE∴AF=DE（2）△OAD是等腰三角形证明：由△ABF≌△DCE知∠AFB=∠DEC∴OE=OF且AF=DE∴OA=OD∴△OAD是等腰三角形129.（2022安徽省马鞍市1模，18，8）如图，四边形ABCD是正方形，△ECF是等腰直角三角形，其中CE=CF，G是CD与EF的交点．\n（1）求证：△BCF≌△DCE．（2）若BC=5，CF=3，∠BFC=900，求DG︰GC的值．ABCEDFG【答案】答案：（1）略（2）4：3130.（2022福建省福州市1模，17,⑵8）如图，□ABCF中，，延长CF到E，使，过E作BC的垂线，交BC延长线于点D。求证：EABCDF第17(2)题图【答案】131．（2022浙江省义乌市1模，19,6）已知：如图，在△ABC中，D是BC边上的一点，E是AD的中点，过点A作BC的平行线交与BE的延长线于点F，且AF＝DC,连结CF．（1）求证：D是BC的中点；（2）如果AB＝AC，试判断四边形ADCF的形状，并证明你的结论．\nAECBFD【答案】（1）证明：是的中点，-(1分)即：D是BC的中点；（3分）（2）四边形ADCF是矩形（4分），四边形ADCF是平行四边形即∴平行四边形ADCF是矩形（6分）
