相似三角形一、选择题1.（2022·浙江省慈溪市毕业班模拟，4，3）在16开杂志上见到的跨页中国地图，其图上1cm相当于实际的160km．这种地图的比例尺是（）(A)1：16万(B)1：160万(C)1：1600万(D)1：16000万【答案】CABCDFOGHE2.（2022·浙江省模拟，10，3）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC＝EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（）①OH＝BF；②∠CHF＝45°；③GH＝BC；④DH2＝HE·HBA.1个B.2个C.3个D.4个【答案】C3.（2022·重庆市綦江县模拟，8，4）8.在△ABC中，D、E分别是AB、AC边上的中点，在△ADE和四边形BCED的面积比是（）A.1﹕2B.1﹕3C.1﹕4D.2﹕3【答案】B4.（2022·重庆市綦江县模拟，10，4）10．如图，把矩形纸片ABCD沿EF折叠，使点B落在AD边上的点B′处，点A落在点A′处．设AE=，AB=，BF=，下列结论：①B′E=BF；②四边形B′CFE是平行四边形；③a2+b2=c2；④△A′B′E∽△B′CD；其中正确的是()A．②④ B．①④ C．②③ D．①③【答案】D5.（2022·广东省佛山市一中模拟，10，3）如图,在直角梯形ABCD中,AD∥BC,∠C=,CD=6cm,AD=2cm.动点P,Q同时从点B出发,点P沿BA→AD→DC运动到点C停止,点Q沿BC运动到点C停止,两点运动的速度都是1cm/s,而当点P到达点A时,点Q正好到达点C.设点P运动的时间为t(s),△BPQ的面积为y(cm2),那么能正确表示整个运动过程中y关于t的函数关系的图像大致是（）【答案】B\n6.（2022·湖南省长沙市模拟，5，3）已知△ABC如图2-1所示。则与△ABC相似的是图2-2中的（）ABCED【答案】C7.（2022·上海市杨浦区模拟，6，4）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=8，BC=6，DE∥BC，且AD=2CD，则以D为圆心DC为半径的⊙D和以E为圆心EB为半径的⊙E的位置关系是（）（A）外离；（B）外切；（C）相交；（D）不能确定．【答案】C8.（2022·上海市普陀区模拟，6，4）如图，△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点，由此得到结论：①BC=2DE；②△ADE∽△ABC；③；④．其中正确的有（）（A）4个；（B）3个；（C）2个；（D）1个．【答案】AABFCDEO9.（2022·上海市奉贤区模拟，6，4）如图，正方形ABCD中，E为AB的中点，AF⊥DE于点O，那么等于（）A．；B．；C．；D．．【答案】DADEBC10．（2022·江西省中考预测五，12，3）如图，已知AD是等腰△ABC底边上的高，且tan∠B=,AC上有一点E，满足AE:CE=2:3则tan∠ADE的值是（）A．B．C．Ｄ．【答案】BEABDC11.（2022·江苏省南京市江宁区一模，6，2）如图，利用标杆BE测量建筑物DC的高度，如果标杆BE长为1.5米，测得AB=2米，BC=10米，且点A、E、D在一条直线上，则楼高CD是（）\nA．8米B．7.5米C．9米D．9.5米【答案】C12.（2022·山东省东营市模拟，12，3）如图，过上到点的距离分别为的点作的垂线与相交，得到并标出一组黑色梯形，它们的面积分别为．观察图中的规律，求出第10个黑色梯形的面积() A.32B.54C.76D.86 【答案】C13.（2022·浙江省义乌市模拟，10，3）在平面直角坐标系中，正方形ABCD的OABCDA1B1C1A2C2B2xy位置如图所示，点A的坐标为（1，0），点D的坐标为（0，2）．延长CB交x轴于点A1，作正方形A1B1C1C；延长C1B1交x轴于点A2，作正方形A2B2C2C1…按这样的规律进行下去，那么第2022个正方形的面积为（）A．B．C．D．【答案】C14.（2022·安徽省马鞍山市二模，10，4）如图10，在平行四边形ABCD中，AC=4，BD=6，P是BD上的任一点，过P作EF∥AC，与平行四边形的两条边分别交于点E，F。设BP=x，EF=y，则能反映y与x之间关系的图象为（）x36y40（A）36y40x（B）26y40x（C）36y40x（D）【答案】ABCAE1E2E3D4D1D2D315.（2022·山东省济南市模拟，11，3）在平行四边形ABCD中，E为CD上一点，DE:EC=1：2，连接AE、BE、BD，且AE、BD交于点F，则（）A．1：3：9B．1：5：9C．2：3：5D．2：3：9【答案】A16.（2022·山东省济南市模拟，15，3）如图，已知，是斜边的中点，过作于，连结交于；过作\n于，连结交于；过作于，…，如此继续，可以依次得到点，…，，分别记…，的面积为，…．则（）A．=B．=C．=D．=【答案】DABCDFOGHE17.（2022·江苏省盐城市模拟，8，3）如图，点O为正方形ABCD的中心，BE平分∠DBC交DC于点E，延长BC到点F，使FC＝EC，连结DF交BE的延长线于点H，连结OH交DC于点G，连结HC．则以下四个结论中正确结论的个数为（）①OH＝BF；②∠CHF＝45°；③GH＝BC；④DH2＝HE·HBA．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C18.（2022·江苏省太仓市模拟，9，3）如图所示，给出下列条件：①∠B＝∠ACD；②∠ADC＝∠ACB；③；④AC2＝AD·AB．其中单独能够判定△ABC∽△ACD的个数为（）A．1B．2C．3D．4【答案】C19.（2022·湖南省长沙市一模，5，3）已知△ABC如图2-1所示。则与△ABC相似的是图2-2中的【答案】C20．（2022·湖南省长沙市一模，10，3）如图2—5，⊙O的直径AB垂直于弦CD，垂足为H，点P是弧AC上的一点(点P不与A，C重合)，连结PC，PD，PA，AD，点E在AP的延长线上，PD与AB交于点F．给出下列四个结论：①CH2=AH·BH；②弧AD=弧AC；③AD2=DF·DP；④∠EPC=∠APD．其中正确的个数有\nA．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C21.（2022·海南省模拟，9，3）如图，在△ABC中，DE∥BC，若，DE＝4，则BC=（ ）A．9 B．10C． 11 D．12【答案】DAOBCDE22.（2022·海南省模拟，13，3）如图，在□ABCD中，AC与BD交于点O，点E是BC边的中点，OE＝1，则AB的长是（）A．1B．2C．D．4【答案】B23.（2022·广东省四会市一模，9，3）如图，在△ABC中，点D、E分别在AB、AC边上，DE∥BC，若AD∶AB=3∶4，AE=6，则AC等于()A．3B．4C．6D．8【答案】D二、填空题O11232344（第2题）1.（2022·辽宁省大连市55中及实验中学模拟考试，12，3）已知△与△相似且对应中线的比为，则△与△的周长比为．【答案】2∶32.（2022·辽宁省大连市55中及实验中学模拟考试，17，3）如图，ABC在已建立直角坐标系的4×4正方形方格纸中，△是格点三角形（三角形的三个顶点都是小正方形的顶点），若以格点、、为顶点的三角形与△相似（全等除外），则格点的坐标是．【答案】（1，4）、（3，4）．ACDBEO3.（2022·河南省郑州市模拟考试，10，3）如图，□ABCD的对角线、相交于点，点是的中点，的周长为16cm，则的周长是cm．【答案】84.（2022·福建省晋江市毕业班质量检测，14，4）14．如果两个相似三角形的相似比为，那么这两个三角形的面积比为.\n【答案】Oyx(A)A1C112BA2A3B3B2B15.（2022·浙江省宁波市模拟，18，3）如图所示，已知：点，，在内依次作等边三角形，使一边在轴上，另一个顶点在边上，作出的等边三角形分别是第1个，第2个，第3个，…，则第个等边三角形的边长等于▲．第6题图【答案】6.（2022·浙江省宁波市外国语学校模拟，16，3）如图,在菱形ABCD中，P、Q分别是AD、AC的中点，如果PQ=3cm，那么菱形ABCD的周长是▲cm．【答案】247.（2022·江苏省苏州市模拟，18，3）18．如图，一电线杆AB的影子分别落在了地上和墙上，某一时刻，小明竖起1米高的直杆，量得其影长为0.5米，此时，他又量得电线杆AB落在地上的影子BD长3米，落在墙上的影子CD的高为2米，小明用这些数据很快算出了电线杆AB的高，请你计算，电线杆AB的高为_______米．【答案】88.（2022·浙江省模拟，13，4）如图，小明在打网球时，使球恰好能打过网，而且落点恰好在离网6米的位置上，则球拍击球的高度h为_____________米。【答案】9.（2022·重庆市名校联盟联合考试，16，4）如图，正方形ABCD中，\n在AD的延长线上取点E，F，使DE=AD，DF=BD，连接BF分别交CD，CE于H，G下列结论：①EC=BD；②GD=GH；③S△CDG=S四边形DHGE；④△BDH∽△BGD，⑤图中有8个等腰三角形。其中正确的是(填序号）【答案】①②③④10．（2022·重庆市一中下学期期中考试，13，4）如图，在△ABC中，DE∥AB分别交AC，BC于点D，E，若AD=3，CD=5，则△CDE与△CAB的周长比为.【答案】5︰811.（2022·广东省佛山市一中模拟，13，4）13.如图,△ABC中∠C=,AC=3,BC=6,D为BC中点,E是线段AB上一动点,当BE=时△BDE∽△ABC.【答案】12.（2022·河北省石家庄市毕业班调研卷，18，3）如图，在矩形ABCD中，EH∥FG∥AD,EH,FG分别交AC于点M,N,EF=，设四边形AMHD的面积为S1，四边形EFNM的面积为S2，三角形NCG的面积为S3，则S1，S2，S3的数量关系是【答案】S1+S3=S2．13.（2022·上海市长宁区二模，17，4）长度为2的线段AB被点P分成AP和BP两段，已知较长的线段BP是AB与AP的比例中项，则较短的一条线段AP的长为.【答案】14.（2022·上海市长宁区二模，18，4）如图，将矩形纸片ABCD(AD>DC)的一角沿着过点D的直线折叠，使点A与BC边上的点E重合，折痕交AB于点F.若BE:EC=m:n，则AF:FB=.【答案】15.（2022·上海市卢湾区模拟，17，4）如图，点是的重心，，垂足为点，若，则点到的距离为．CDBAO【答案】916.（2022·上海市黄埔区模拟，16，4）如图4，AB与CD相交于点O，AD∥BC，AD∶BC=1∶3，AB=10，则AO的长是___________.\n【答案】CBEDA17.（2022·上海市宝山、嘉定两区模拟，16，4）如图，小芳与路灯相距3米，他发现自己在地面上的影子（DE）长2米，如果小芳的身高为1.6米，那么路灯离地面的高度（AB）是▲米.【答案】418.（2022·上海市青浦区模拟，8，4）已知，，则．【答案】19.（2022·上海市青浦区模拟，17，4）光源P在横杆AB的上方，AB在灯光下的影子为CD，AB∥CD，已知AB＝2m，CD＝6m，点P到CD的距离是2.7m，那么AB与CD间的距离是________m．【答案】1.820．（2022·上海市徐汇区模拟，18，4）如图，方格纸中每个小正方形的边长为1，△ABC和△DEF的顶点都在格点上（小正方形的顶点）．P1，P2，P3，P4，P5是△DEF边上的5个格点，请在这5个格点中选取2个作为三角形的顶点，使它和点D构成的三角形与△ABC相似,写出ABCEFDA1E1F1所有符合条件的三角形 ▲．【答案】△DP2P5、△DP2P4、△DP4P5．21.（2022·上海市杨浦区模拟，18，4）如图，EF是△ABC的中位线，将△AEF沿中线AD的方向平移到△A1E1F1，使线段E1F1落在BC边上，若△AEF的面积为7cm2，则图中阴影部分的面积是cm2.【答案】1422.（2022·上海市松江区模拟，7，4）已知（，则__▲_.【答案】23.（2022·上海市奉贤区模拟，17，4）17．在Rt△ABC中，，AB=18，D是边AB上的中点，G是△ABC的重心，那么GD=．【答案】3yxDCABOFE24．（2022·江西省中考预测二，16，3）如图，一次函数的图象与轴，轴交于A，B两点，与反比例函数的图象相交于C，D两点，分别过C，D两点作轴，轴的垂线，垂足为E，F，连接CF，DE，EF．有下列四个结论：\n①△CEF与△DEF的面积相等；②△AOB∽△FOE；③△DCE≌△CDF；④．其中正确的结论是．（选填序号）【答案】①②··25.（2022·江西省中考预测四，12，3）如图，物理学家在对原子结构研究中，在一个宽的矩形粒子加速器中，一中子从点（点在长边上）出发沿虚线射向边，然后反弹到边上的点.如果，.那么点与点的距离为。【答案】26.（2022·江西省中考预测四，14，3）如图，已知，添加一个条件使得∽.CAEDB【答案】，或者等27.（2022·北京市模拟，11，4）如图，在△ABC中，D、E分别AB、AC边上的点，DE∥BC．若AD＝3，DB＝5，DE＝1.2，则BC＝ ．ABCDE【答案】3.228.（2022·上海市金山区二模，16，4）如图，在中,,,,,那么.【答案】29.（2022·上海市金山区二模，17，4）已知～，、的面积分别为和，那么.【答案】30.（2022·河南省中招考试说明预测六，14，3）如图，正方形ABCD的面积是1,M是AB的中点，则图中阴影部分的面积是.【答案】31.（2022·重庆市南开中学5月月考，13，4）已知中，，\n且，，则和的面积比为________【答案】4:2532.（2022·浙江省杭州市上城区二模，13，4）如图，有一矩形纸片ABCD，AB＝6，AD＝8，将纸片折叠使AB落在AD边上，折痕为AE，再将△ABE以BE为折痕向右折叠，AE与CD交于点F，则的值是ABCEF··AAABBBCDCEDECFD【答案】33.（2022·湖北省枣阳市模拟，17，3）如图，△ABC中，AB=9，AC=6，E是AC上一点，AE=4，F是AB上一点，当AF=，由A、E、F三点组成的三角形与△ABC相似.CEFADB【答案】6或34．（2022·湖北省襄阳市高中推荐招生考试，15，4）如图，□ABCD中，E是CD延长线上一点，BE与AD交于点F，DE=CD.若△DEF的面积为1cm2,则□ABCD的面积为__________cm2.【答案】1235.（2022·江西省中招样卷三，14，3）如图所示，一张矩形纸片沿BC折叠，顶点A落在点A′处，再过点A′折叠使折痕DE∥BC，若AB=4，AC=3，则△ADE的面积是．【答案】2436.（2022·江苏省盐城市模拟，14，3）如图，将△ABC的三边分别扩大一倍得到△A1B1C1（顶点均在格点上），它们是以P点为位似中心的位似图形，则P点的坐标是。【答案】（-4，-3）37.（2022·江苏省苏州市模拟十，15，3）如图，请你补充一个你认为正确的条件，使△ABC∽△ACD，补充条件应该是：_______．\n【答案】∠ACD＝∠B(答案不惟一)38.（2022·江苏省上冈市模拟，5，3）如图，Rt△ABC∽Rt△DEF，则cosE的值等于（）A.B.C.D.【答案】A39.（2022·福建省南平市模拟，13，3）在△ABC中，Ｄ、Ｅ分别是AB、AC中点，则△ADE与四边形DBCE的面积之比为_________________．CABEFD【答案】1:340．（2022·广东省清远市二模，16，2）如图，在菱形ABCD中，，E、F分别是AB、AC的中点，如果EF=2cm，则的长为cm．【答案】4三、解答题1.（2022·安徽省安庆市一模，21，12）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE=∠B．(1)求证：△ADF∽△DEC；(2)若AB=4，AD=3，AE=3，求AF的长．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCAB∥CD∴∠ADF=∠CED∠B+∠C=180°∵∠AFE+∠AFD=180∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C∴△ADF∽△DEC(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCCD=AB=4又∵AE⊥BC∴AE⊥AD在Rt△ADE中，DE=∵△ADF∽△DEC∴∴AF=2.（2022·安徽省安庆市一模，20，10）在东西方向的海岸线，上有一长为1km的码头MN(如图,MN=lkm)，在码头西端M的正西19.5km\n处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西3000，且与A相距40km的B处；经过l小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东6000方向，且与A相距km的C处．(1)求该轮船航行的速度(保留精确结果)；(2)如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸?请说明理由．【答案】（1）由题意，得∠BAC=90°，∴．∴轮船航行的速度为km/时．(2)能．作BD⊥l于D，CE⊥l于E，设直线BC交l于F，则BD=AB·cos∠BAD=20，CE=AC·sin∠CAE=，AE=AC·cos∠CAE=12．∵BD⊥l,CE⊥l,∴∠BDF=∠CEF=90°．又∠BFD=∠CFE，∴△BDF∽△CEF，∴∴，∴EF=8．∴AF=AE+EF=20．∵AM＜AF＜AN，∴轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头MN靠岸．3.（2022·浙江省慈溪市毕业班模考试，21，8）已知△ABC(如图)，∠B=∠C=30°。请设计二种不同的分法，将△ABC分割成四个三角形，使得其中两个是全等三角形，而另外两个是相似但不全等的直角三角形．请画出分割线段，标出能够说明分法的所得三角形的顶点和内角度数(或记号)，并在各种分法的空格线上填空。(画图工具不限，不要求证明，不要求写出画法)注：两种分法只要有一条分割线段位置不同，就认为是两种不同的分法．如图①和②为同一种分法。图②图①分法一：（不能拼成与图①或②的形式）\n分割后所得的四个三角形中△≌△，Rt△∽Rt△分法二：（不能拼成与图①或②的形式）分割后所得的四个三角形中△≌△，Rt△∽Rt△【答案】解：参考分法如下所示：\n4.（2022·辽宁省大连市55中及实验中学模拟考试，20，12）如图，在方格纸中（1）请在方格纸上建立平面直角坐标系，使，并求出点坐标；ABC（2）以原点为位似中心，相似比为2，在第一象限内将放大，画出放大后的图形；（3）计算的面积．【答案】（1）画出原点，轴、轴．，（2）画出图形．OyxABC（3）．\n5.（2022·辽宁省大连市55中及实验中学模拟考试，23，9）如图1,在和△DEF中,AC∥DE，∠EFD与∠B互补，DE=kAC(k>1)．试探索线段EF与AB的数量关系，并证明你的结论．说明：如果你反复探索没有解决问题，可以选取k＝１（图2）来证明，此时满分７分．DCBEAFCDEBFA【答案】EF=kABDCBEAFG过点A作AG∥EF，交BD于点G，∴∠AGC=∠EFD．∵∠EFD与∠B互补，∴∠ＥＦＤ＋∠Ｂ＝180.∠ＡＧＣ+∠Ｂ=180.又∵∠ＡＧＣ+∠ＡＧＢ=180.∴∠ＡＧＢ=∠Ｂ.∴ＡＢ=ＡＧ.∵ＡＣ∥ＤＥ,∴∠ＡＣＢ=∠Ｄ.∴△ＡＧＣ∽△ＥＦＤ∴EF=kABk＝１的情况证法同上，相似变全等。6.（2022·辽宁省大连市55中及实验中学模拟考试，24，11）正方形边长为4，、分别是、上的两个动点，当点在上运动时，保持和垂直，（1）证明：；DMABCN（2）设，梯形的面积为，求与之间的函数关系式；当点运动到什么位置时，四边形面积最大，并求出最大面积；（3）当点运动到什么位置时，求此时的值．【答案】（1）在正方形中，，，，\n，在中，，，，（2），，，，当时，取最大值，最大值为10．（3），要使，必须有，由（1）知，，当点运动到的中点时，，此时．7.（2022·辽宁省大连市55中及实验中学模拟考试，25，12）如图1，在中，，于点，点是边上一点，连接交于，交边于点．BBAACOEDDECOF图1图2F（1）求证：；（2）当为边中点，时，如图2，求的值；（3）当为边中点，时，请直接写出的值．【答案】（1），．BADECOFG．，，．；（2）解法一：作，交的延长线于．\n，是边的中点，．由（1）有，，．，，又，．，．，，，，．BADECOF解法二：于，．．设，则，．，．由（1）知，设，，．在中，．．．（3）．8.（2022·河北省三河市一模，24，10）已知正方形ABCD，边长为3，对角线AC，BD交点O,直角MPN绕顶点P旋转，角的两边分别与线段AB,AD交于点M，N（不与点B，A，D重合）．设DN=x，四边形AMPN的面积为y．在下面情况下，y随x的变化而变化吗？若不变，请求出面积y的值；若变化，请求出y与x的关系式．（1）如图1，点P与点O重合；（2）如图2，点P在正方形的对角线AC上，且AP=2PC；（3）如图3，点P在正方形的对角线BD上，且DP=2PB．\n【答案】（1）当x变化时，y不变．如图1，．（2）当x变化时，y不变．如图2，作OE⊥AD于E，OF⊥AB于F．∵AC是正方形ABCD的对角线，∴∠BAD=90°，AC平分∠BAD．。∴四边形AFPE是矩形，PF=PE．∴四边形AFPE是正方形．∵∠ADC=90°，∴PE∥CD．∴△APE∽△ACD．∴．∵AP=2PC，CD=3，∴．∴PE=2．∵∠FPE=90°，∠MPN=90°，∴∠FPN+∠NPE=90°，∠FPN+∠MPF=90°．∴∠NPE=∠MPF．∵∠PEN=∠PFM=90°，PE=PF，∴△PEN≌△PFM．∴．（3）x变化，y变化．如图3，，0＜x＜3．9.（2022·河南省一模，21，10）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠B=90°，AD=1，AB=5，BC=4，点P是线段AB上一个动点，点E是CD的中点，延长PE至F，使EF=PE．（第9题）ABCDPFE⑴判定四边形PCFD的形状；⑵当AP的长为何值时，四边形PCFD是矩形；⑶求四边形PCFD的周长的最小值．【答案】⑴；⑵，△APD∽△BCP．x:4=1:（5−x）．解得x1=1，x2=4；⑶延长DA到G，使AG=AD．当点G、P、C共线时CP+PD最小，值为\nGC=．所以周长的最小值为．10．（2022·河南省郑州市模拟考试，17，9）如图，在△中，∠ACB=．（1）根据要求作图(尺规作图，保留作图痕迹，不写作法)：①作的平分线交AB于D；②过D点作DE⊥BC，垂足为E．（2）在（1）的基础上写出一对全等三角形和一对相似比不为1的相似三角形：△≌△；△∽△．请选择其中一对加以证明．【答案】（1）①正确作出角平分线CD；②正确作出DE．（2）△BDE≌△CDE；△ADC∽△ACB．选择△BDE≌△CDE进行证明：∵DC平分∠ACB∴∠DCE∠ACB又∵∠ACB2∠B∴∠B∠ACB∴∠DCE∠B∵DE⊥BC∴∠DEC∠DEB90°又∵DEDE∴△BDE≌△CDE（AAS）或选择△ADC∽△ACB进行证明：∵DC平分∠ACB∴∠ACD∠ACB又∵∠ACB2∠B∴∠B∠ACB∴∠ACD∠B又∵∠A∠A∴△ADC∽△ACB11.（2022·河南省郑州市模拟考试，21，10）如图，△ABC中，∠C＝900，BC＝5，AC＝12，点P从点C出发，以每秒1个单位长度的速度向点B作匀速运动，到达点B后，立刻以原速度返回，到达C后再返回，如此循环；点Q同时从点B出发，向点A以每秒1个单位长度的速度匀速运动，到达点A时停止运动，当点Q停止运动时点P也停止运动。设点P、Q运动的时间为t秒（），（1）当t=2时，BP＝，Q到BC的距离是；（2）在点P第一次向B运动的过程中，求四边形ACPQ的面积与t的函数关系式（不写t的取值范围）；（3）在点P、Q运动的过程中，四边形ACPQ能否成为直角梯形？若能，请直接写出t的值；若不能，请说明理由。\n【答案】（1）3，；（2）过Q作QE⊥BC于E，由△QBE∽△ABC可得QE＝，故；（3）能，或或12.（2022·湖北省黄冈市红安县模拟，24，14）如图二次函数的图象经过点D(0，)，且顶点C的横坐标为4，该图象在x轴上截得线段AB长为6.(1)利用二次函数的对称性直接写出点A、B的坐标为：A(,)、B(,)；(2)求二次函数的解析式；(3)该抛物线的对称轴上找一点P，使PA+PD最小，求出点P的坐标；CDOBAyx(4)在抛物线上是否存在点Q，使△QAB与△ABC相似？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．【答案】(1)∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6，∴A(1,0)、B(7,0);(2)设二次函数的解析式为：y=a(x-h)2+k，∵顶点C的横坐标为4，且过点(0，)∴y=a(x-4)2+k………………①又∵对称轴为直线x=4，图象在x轴上截得的线段长为6，∴A(1，0)，B(7，0)∴0=9a+k………………②，由①②解得a=，k=，∴二次函数的解析式为：y=(x-4)2－或y=x－x+(3)解法一：\n∵点A、B关于直线x=4对称，∴PA=PB，∴PA+PD=PB+PD≥DB，∴当点P在线段DB上时PA+PD取得最小值，∴DB与对称轴的交点即为所求点P，设直线x=4与x轴交于点M，∵PM∥OD，∴∠BPM=∠BDO，又∠PBM=∠DBO，∴△BPM∽△BDO，∴，∴，∴点P的坐标为(4，)解法二：利用待定系数法求一次函数解析式，即直线DB为y=－+(4)由⑴知点C(4，)，又∵AM=3，∴在Rt△AMC中，cot∠ACM=，∴∠ACM=60o，∵AC=BC，∴∠ACB=120o①当点Q在x轴上方时，过Q作QN⊥x轴于N，如果AB=BQ，由△ABC∽△ABQ有BQ=6，∠ABQ=120o，则∠QBN=60o，∴QN=3，BN=3，ON=10，此时点Q(10，)，如果AB=AQ，由对称性知Q(-2，)②当点Q在x轴下方时，△QAB就是△ACB，此时点Q的坐标是(4，)，经检验，点(10，)与(-2，)都在抛物线上，综上所述，存在这样的点Q，使△QAB∽△ABC，点Q的坐标为(10，)或(-2，)或(4，)．13.（2022·福建省晋江市毕业班质量检测，24，9）如图，边长为3的正方形纸片，用剪刀沿剪下，其中.（1）求的长；（2）若从余料（梯形）再剪下另一个,使点在上，则当的长为多少时，∽？【答案】(1)法一：在中，，，法二：四边形为正方形又设，则在中，由勾股定理得\n即解得（舍去负值）（2）法一：由（1）可知，又由正方形可得当时∽由解得当时，∽.法二：由（1）可知，要使∽，则必须有在中，由可得故当时，∽.14.（2022·山东省泰安市模拟，28，10）如图，在平行四边形ABCD中，过点A作AE⊥BC，垂足为E，连接DE，F为线段DE上一点，且∠AFE＝∠B.(1)求证：△ADF∽△DEC(2)若AB＝4,AD＝3,AE＝3,求AF的长.【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCAB∥CD∴∠ADF=∠CED∠B+∠C=180°\n∵∠AFE+∠AFD=180∠AFE=∠B∴∠AFD=∠C∴△ADF∽△DEC(2)解：∵四边形ABCD是平行四边形∴AD∥BCCD=AB=4又∵AE⊥BC∴AE⊥AD在Rt△ADE中，DE=∵△ADF∽△DEC∴∴AF=15.（2022·江苏省扬州市一模，25，10）学习投影后，小刚、小雯利用灯光下自己的影子长度来测量一路灯的高度。如图，在同一时间，身高为1.6m的小刚（AB）的影子BC长是3m，而小雯（EH）刚好在路灯灯泡的正下方点，并测得HB=6m．（1）请在图中画出形成影子的光线，并确定路灯灯泡所在的位置G；ABB1A1EHC（2）求路灯灯泡的垂直高度GH；（3）如果小刚沿线段BH向小雯（点H）走去，当小明走到BH中点B1处时，求其影子B1C1的长。【答案】（1）作图正确（2）由题意得：，ABB1A1EHCGC1，，（m）．（3），，设长为，则，解得：（m），即（m）．16.（2022·浙江省模拟，24，12）如图，已知直线交坐标轴于A，B两点，以线段AB为边向上作正方形ABCD，过点A，D，C的抛物线与直线另一个交点为E.(1)请直接写出点C，D的坐标；(2)求抛物线的解析式；\n(3)若正方形以每秒个单位长度的速度沿射线AB下滑，直至顶点D落在x轴上时停止．设正方形落在x轴下方部分的面积为S，求S关于滑行时间t的函数关系式，并写出相应自变量t的取值范围；(4)在(3)的条件下，抛物线与正方形一起平移，同时D落在x轴上时停止，求抛物线上C，E两点间的抛物线弧所扫过的面积．【答案】(1)C(3,2)，D(1,3)；(2)设抛物线为y＝抛物线过(0,1)，(3,2)，(1,3)，\n图2图317.（2022·浙江省舟山市模拟，21，8）如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，过A作AD⊥CD，D为垂足。（1）求证：AC平分∠DAB。（2）若AD=3，AC=，求AB的长。【答案】证明：（1）连接OC∵直线CD与⊙O相切于点C∴OC⊥CD∵AD⊥CD∴OC∥AD（第17题图）∴∠OCA=∠DAC∵OC=OA∴∠OCA=∠OAC∴∠DAC=∠OAC∴AC平分∠DAB（2）连接ＢＣ，△DAC∽△CBA求得AB=5\n18.（2022·重庆市綦江县模拟，19，6）如图，在矩形ABCD中，AB=2，AD=.（1）在边CD上找一点E，使EB平分∠AEC，并加以说明；（2）若P为BC边上一点，且BP=2CP，连接EP并延长交AB的延长线于F.①求证：点B平分线段AF；②△PAE能否由△PFB绕P点按顺时针方向旋转而得到？若能，加以证明，并求出旋转度数；若不能，请说明理由.【答案】（1）当E为CD中点时，EB平分∠AEC由∠D=900，DE=1，AD=，推得DEA=600，同理，∠CEB=600，从而∠AEB=∠CEB=600，即EB平分∠AEC（2）①∵CE∥BF，∴△PCE~△PBF∴==∴BF=2CE∵AB=2CE，∴点B平分线段AF②能证明：∵CP=，CE=1，∠C=900，∴EP=。在Rt△ADE中，AE==2，∴AE=BF，又∵PB=，∴PB=PE∵∠AEP=∠BP=900，∴△PAS≌△PFB∴△PAE可以△PFB按照顺时针方向绕P点旋转而得到.∴旋转度数为120019.（2022·重庆市綦江县模拟，24，10）如图，梯形ABCD中，AB∥CD，∠ABC=90°，AB=8，CD=6，BC=4，AB边上有一动点P(不与A、B重合)，连结DP，作PQ⊥DP，使得PQ交射线BC于点E，设AP=x．⑴当x为何值时，△APD是等腰三角形？⑵若设BE=y，求y关于x的函数关系式；⑶若BC的长可以变化，在现在的条件下，是否存在点P，使得PQ经过点C？若存在，求出相应的AP的长；若不存在，请说明理由，并直接写出当BC的长在什么范围内时，可以存在这样的点P，使得PQ经过点C．ABCDPQEABCD（备用图2）ABCD（备用图1）【答案】⑴解：过D点作DH⊥AB于H，则四边形DHBC为矩形，\n∴DH=BC=4，HB=CD=6∴AH=2，AD=2·∵AP=x，∴PH=x－2，情况①：当AP=AD时，即x=2·情况②：当AD=PD时，则AH=PH∴2=x－2，解得x=4情况③：当AP=PD时，则Rt△DPH中，x2=42+(x－2)2，解得x=5··∵2<x<8，∴当x为2、4、5时，△APD是等腰三角形···⑵易证：△DPH∽△PEB∴，∴整理得：y=(x－2)(8－x)=－x2+x－4··⑶若存在，则此时BE=BC=4，即y=－x2+x－4=4，整理得：x2－10x+32=0∵△=(－10)2－4×32<0，∴原方程无解，∴不存在点P，使得PQ经过点C···当BC满足0＜BC≤3时，存在点P，使得PQ经过点C20.（2022·重庆市名校联盟联合考试，19，6）如图，在△ABC中，∠BAC=2∠C。（1）在图中作出△ABC的内角平分线AD；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明）（2）在已作出的图形中，写出一对相似三角形，并说明理由。【答案】如图，在△ABC中，∠BAC=2∠C．（1）在图中作出△ABC的内角平分线AD；（要求：尺规作图，保留作图痕迹，不写证明）如图所示：（2）在已作出的图形中，写出一对相似三角形，并说明理由．解：△DBA∽△ABC理由：∵AD平分∠BAC∴∠BAC=2∠BAD又∵∠BAC=2∠C．∴∠BAD=∠C．又∵∠DBA=∠ABC．∴△DBA∽△ABC21.（2022·重庆市名校联盟联合考试，26，12）已知：抛物线的对称轴为与轴交于两点，与轴交于点其中、（1）求这条抛物线的函数表达式．（2）已知在对称轴上存在一点P，使得的周长最小．请求出点P的坐标．ACxyBO（3）若点是线段上的一个动点（不与点O、点C重合）．过点D作交轴于点连接、．设的长为，的面积为。求与之间的函数关系式．试说明是否存在最大值，若存在，请求出最大值；若不存在，请说明理由。【答案】（1）因为过点所以c＝－2\n由题意得解得a＝，b＝，c＝－2∴此抛物线的解析式为（2）连结、.因为的长度一定，所以周长最小，就是使最小.点关于对称轴的对称点是点，与对称轴的交点即为所求的点OACxyBEPD设直线AC的表达式为y＝kx＋b则解得∴此直线的表达式为把代入得∴点的坐标为（3）存在最大值理由：∵即∴∴即∴OE＝3－m，连结＝＝，∵，∴当时，22．（2022·重庆市一中下学期期中考试，26，12）如图，四边形OABC为正方形，点A在x轴上，点C在y轴上，点B（8,8），点P在边OC上，点M在边AB上.把四边形OAMP沿PM对折，PM为折痕，使点O落在BC边上的点Q处.动点E从点O出发，沿OA边以每秒1个单位长度的速度向终点A运动，运动时间为t，同时动点F从点O出发，沿OC边以相同的速度向终点C运动，当点E到达点A时，E、F同时停止运动.（1）若点Q为线段BC边中点，直接写出点P、点M的坐标；（2）在（1）的条件下，设△OEF与四边形OAMP重叠面积为S，求S与t的函数关系式；（3）在（1）的条件下，在正方形OABC边上，是否存在点H，使△PMH为等腰三角形，若存在，求出点H的坐标，若不存在，请说明理由；\n（4）若点Q为线段BC上任一点（不与点B、C重合），△BNQ的周长是否发生变化，若不发生变化，求出其值，若发生变化，请说明理由.RNFNINSNEN【答案】（1）P（0,5），M（8,1）（2）10当0≤t≤5时，S＝20当5≤t≤8时，如图，设EF与PM交点为R，作RI⊥y轴，MS⊥y轴∵EO＝FO，∴RI＝FI又∵∴RI＝2PI∴FI＝2PI，∴FP＝PI，PI＝2PF∴PF＝t-5,RI=2(t-5)∴S=S△OEF-S△PRF==（3）10如图作PM的中垂线交正方形的边为点H1,H2,则PH1=MH1,PH2=MH2，∴点H1,H2即为所求点设OH1=x，∵PH1=MH1,∴x2+52=(8-x)2+12∴H1()同理，设CH2=y，∵PH2=MH2,∴32+y2=(8-y)2+72∴H2()20当PM＝PH3时，∵∴∴∴30当PM＝MH4时，∵\n∴∴∴综上，一共存在四个点，H1(),H2(),,…9分（4）∵∠PQN＝900∴∠CQP＝∠BQN＝900又∵∠CQP+∠CPQ＝900∴∠CPQ＝∠BQN，又∵∠C＝∠B＝900∴△CPQ∽△BQN设CQ＝m,则在Rt△CPQ中∵m2+CP2=(8-CP)2∴∴又∵△CPQ的周长＝CP+PQ+CQ＝8+m∴△BQN的周长＝＝16∴△BQN的周长不发生变化，其值为16.AcEcDcFcBcCcGc23.（2022·广东省中山市一中模拟，20，8）如图，在正方形中，分别是边上的点，连结并延长交的延长线于点（1）求证：；（2）若正方形的边长为4，求的长．【答案】⑴在正方形ABCD中，AB=AD=CD∵AE=ED,DF=DC∴AE=ED=AB,DF=AB∴∴（2）\n∴∴由AD∥BG得∴∴CDABEFNM∴24.（2022·广东省中山市一中模拟，22，12）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝7，CD＝1，AD＝BC＝5．点M，N分别在边AD，BC上运动，并保持MN∥AB，ME⊥AB，NF⊥AB，垂足分别为E，F．（1）求梯形ABCD的面积；（2）求四边形MEFN面积的最大值．（3）试判断四边形MEFN能否为正方形，若能，求出正方形MEFN的面积；若不能，请说明理由．【答案】⑴过C作CG⊥AB于G∵AB=7,CD=1∴BG=由BC=5∴CG==4S=⑵∵MN∥AB,且ME⊥AB,NF⊥AB∴四边形EFNM为矩形设BF为x，四边形MEFN的面积只为y∵NF∥CG,∴BFN∽BGC即∴NF=EF=7-2x∴y=（7-2x）当x=时，四边形MEFN的最大值为⑶当=7-2x时，即x=，MEFN为正方形此时正方形边长为正方形面积为25.（2022·广东省江门市一模，22，9）如图，在中，，是边（不含端点）上的动点，过作的垂线，为垂足，的平分线与相交于点．已知在线段\n上存在一点，若以线段为一边作正方形，其顶点、恰好分别在边、上．10⑴证明：∽；⑵证明：；⑶设，，正方形的面积为，试求与的函数关系，并求出的取值范围．【答案】⑴∵，是的平分线，∴由已知，是等腰直角三角形，∴，是公共角，所以∽⑵在和中，由已知，，由⑴知，又，所以，所以，⑶∵，∴，由⑵知，，所以正方形的面积，由图知，，即，，所以的取值范围是．26.（2022·河北省石家庄市毕业班调研卷，26，12）如图，直角梯形ABCD中，∠C=∠ADC=90°，AD=10，CD=8，BC=16，E为BC上一点，且CE=6，过点E做EF⊥AD于点F，交对角线BD于点M。动点P从点D出发，沿折线DAB方向以2个单位长度/秒的速度向终点B匀速运动，运动时间为t秒。（1）求DE的长；（2）设△PMA的面积为S，求S与t的函数关系式（写出t的取值范围）；（3）当t为何值时，△PMA为等腰三角形。【答案】：(1)∵∠C=90°，CD=8，CE=6，∴DE=10；(2)①当点P在DA上时，即0≤t≤5时，∵四边形ABCD为直角梯形，∴AD∥BC，∠C=90°。又∵EF⊥AD，∴∠C=∠FEB=90°，∴tan∠DBC=，∴ME=BEtan∠DBC=5，\n∴MF=3，ABECDFMMPH∴S△APM=×AP×MF=×3×(10-2t)=-3t+15(0≤t≤5)；②当点P在AB上时，即5≤t≤10时，∵AD∥BC，且AD=BE，∴四边形ABED为平行四边形，又∵AD=DE=10，∴四边形ABED为菱形，∴AB=BE，∠ABD=∠DBE，BM=BM，∴△ABM≌△EBM；∴∠BAM=∠BEM=90°，AM=ME=5，∴S△APM=×AP×MA=×5×(2t-10)=5t-25(5≤t≤10)；(3)（ⅰ）当点P在DA上时，①若MA=MP，∵MF⊥AD，∴AP=2AF，又∵AM=5，FM=3，∴AF=4，∴AP=2AF=8，8=10-2t，∴t=1；若AM=AP，∴AP=5,5=10-2t，∴t=；若PM=PA，过点P作PH⊥AM于点H,∵∠PHA=∠MFA=90°,∠PAH=∠MAF,∴△AHP∽△AFM，∴AH=,∴AM=2AH，，∴t=；（ⅱ）当点P在AB上时，∵∠BAM=90°，∴只有AM=AP，∴2t-10=5，∴t=；综上所述，当t=1或t=或t=或t=时，△PMA为等腰三角形．27.（2022·江苏省徐州市一模，25，8）在东西方向的海岸线上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19．5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°,且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距km的C处．\n（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．【答案】（1）由题意，得∠BAC=90°，∴．∴轮船航行的速度为km/时．(2)能．作BD⊥l于D，CE⊥l于E，设直线BC交l于F，则BD=AB·cos∠BAD=20，CE=AC·sin∠CAE=，AE=AC·cos∠CAE=12．∵BD⊥l,CE⊥l,∴∠BDF=∠CEF=90°．又∠BFD=∠CFE，∴△BDF∽△CEF，∴∴，∴EF=8．∴AF=AE+EF=20．∵AM＜AF＜AN，∴轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头MN靠岸．28.（2022·江苏省徐州市一模，26，10）如图，是⊙O的直径，为延长线上的任意一点，为半圆的中点，切⊙O于点，连结交于点．求证：（1）；（2）．【答案】(1)连接OC、OD∴OD⊥PD，OC⊥AB∴∠PDE=—∠ODE，∠PED=∠CEO=—∠C又∵∠C=∠ODE∴∠PDE=∠PED∴PE=PD(2)连接AD、BD∴∠ADB=∵∠BDP=—∠ODB，∠A=—∠OBD又∵∠OBD=∠ODB∴∠BDP=∠A∴PDB∽PAD\n∴∴∴29.（2022·上海市闸北区期中考试，23，12）如图6，已知矩形ABCD中，BC=6，AB=8，延长AD到点E，使AE=15，连结BE交AC于点P．(1)求AP的长；(2)若以点A为圆心，AP为半径作⊙A，试判断线段BE与⊙A的位置关系并说明理由；(3)已知以点A为圆心，r1为半径的动⊙A，使点D在动⊙A的内部，点B在动⊙A的外部．①求动⊙A的半径r1的取值范围；②若以点C为圆心，r2为半径的动⊙C与动⊙A相切，求r2的取值范围．【答案】（1）∵四边形ABCD是矩形，∴AE∥BC，∵AB＝8，BC＝6，∴AC＝10，∵，即解得：．（2）∵AB＝8，AE＝15，∴BE＝17．作AH⊥BE，垂足为H，则，∴．∵，∴⊙A与BE相交．（3）①，ABCDQP②，或．30.（2022·上海市浦东新区模拟，题号25，14）如图，已知在△ABC中，AB=4，BC=2，以点B为圆心，线段BC长为半径的弧交边AC于点D，且∠DBC=∠BAC，P是边BC延长线上一点，过点P作PQ⊥BP，交线段BD的延长线于点Q．设CP=x，DQ=y．（1）求CD的长；（2）求y关于x的函数解析式，并写出它的定义域；（3）当∠DAQ=2∠BAC时，求CP的值．【答案】（1）∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，∴△BDC∽△ABC．∴．∵，，∴．（2）∵BC=BD，∴∠BCD=∠BDC．∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，∴∠ABC=∠BDC．\n∴∠ABC=∠ACB．∴AC=AB=4．作AH⊥BC，垂足为点H．∴BH=CH=1．作DE⊥BC，垂足为点E，可得DE∥AH．∴，即．∴，．又∵DE∥PQ，∴，即．整理，得．定义域为x>0．（3）∵∠DBC+∠DCB=∠DAQ+∠DQA，∠DCB=∠ABD+∠DBC，∴2∠DBC+∠ABD=∠DAQ+∠DQA．∵∠DAQ=2∠BAC，∠BAC=∠DBC，∴∠ABD=∠DQA．∴AQ=AB=4．作AF⊥BQ，垂足为点F，可得，．∴．解得．∴．解得，即．31.（2022·上海市卢湾区模拟，24，12）已知：抛物线经过点，，且对称轴与轴交于点.（1）求抛物线的表达式；（2）如图，点、分别是轴、对称轴上的点，且四边形是矩形，点是上一点，将沿着直线翻折，点与线段上的点重合，求点的坐标；（3）在（2）的条件下，点是对称轴上的点，直线交于点，\n，求点坐标.【答案】（1）由题意得解，得∴.（2）∵与重合，，∴，，∴，又，∴，∵，∴∽，………（2分）∴，∵四边形是矩形，∴，，设，则，∴，∴，解，得，∴，∴.（3）过点作，垂足为点.∵，∴，∵，，∴∥，∴，∴，∴.∴经过点，的直线的表达式为，∴.32.（2022·上海市卢湾区模拟，25，14）已知：如图，在直角梯形ABCD中，BC∥AD，BC⊥AB，AB=8，BC=6．动点E、F分别在边BC和AD上，且AF=2EC．线段EF与AC相交于点G，过点G作GH∥AD，交CD于点H，射线EH交AD的延长线于点M，交于点，设EC=x．（1）求证：；（2）当时，用含的代数式表达的长；\n（3）在（2）题条件下，若以为半径的与以为半径的相切，求的值.【答案】（1）∵BC∥AD，∴，，∵∥，，∴，∴.（2）∵，AB=8，BC=6，∴，∵BC⊥AB，，∴，∵EC=x，∴，∴，∵AF=2EC，由（1）知，∴，∴，∵∥，∴，∴，∴.（3）∵，设，∴，，，当与相外切时，；，解，得，∵，即，由，得，与已知不符，∴（舍）；当与相内切时，，①，无解；②，解，得，，∵，，∴.综上所述，满足条件的的值为.BCAD33.（2022·上海市黄埔区模拟，21，10）如图，在△ABC中，∠ACB，AC=6，BC=8，CD是边AB上的中线.（1）求CD的长；（2）请过点D画直线AB的垂线，交BC于点E，（直接画在图中）并求CE的长.\n【答案】（1）在△ABC中，∠ACB，AC=6，BC=8，则.又CD是边AB上的中线,所以.(2)作图（略）.∵DE⊥AB，∴∠BDE==∠ACB，又∵∠B=∠B，∴△EDB∽△ABC，∴,又DB=,∴,∴.MABCDH34.（2022·上海市黄埔区模拟，25，14）如图，在△ABC中，∠ACB=，AC=BC=2，M是边AC的中点，CH⊥BM于H.（1）试求sin∠MCH的值；（2）求证：∠ABM=∠CAH；（3）若D是边AB上的点，且使△AHD为等腰三角形，请直接写出AD的长为________.【答案】（1）在△MBC中，∠MCB=，BC=2，又∵M是边AC的中点，∴AM=MC=BC=1，∴MB=，又CH⊥BM于H，则∠MHC=，∴∠MCH=∠MBC，∴sin∠MCH=.（2）在△MHC中，.∴AM2=MC2=，即，又∵∠AMH=∠BMA，∴△AMH∽△BMA，∴∠ABM=∠CAH.（3）、、.35.（2022·上海市宝山、嘉定两区模拟，22，10）如图，已知是线段上一点，和\n都是正方形，联结、．ABCDEFGP(1)求证：=；(2)设与的交点为P，求证：.【答案】（1）∵四边形和是正方形∴，，∴△≌△∴（2）∵∥∴，∵，∴，∴36.（2022·上海市宝山、嘉定两区模拟，25，14）如图1，已知⊙O的半径长为1，PQ是⊙O的直径，点M是PQ延长线上一点，以点M为圆心作圆，与⊙O交于A、B两点，联结PA并延长，交⊙M于另外一点C.(1)若AB恰好是⊙O的直径，设OM=x，AC=y，试在图2中画出符合要求的大致图形，并求y关于x的函数解析式；(2)联结OA、MA、MC，若OA⊥MA，且△OMA与△PMC相似，求OM的长度和⊙M的半径长；(3)是否存在⊙M，使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边？若存在，试求OM的长度和⊙M的半径长；若不存在，试说明理由.AB图1CQPOM备用图QPO图2QPOM【答案】（1）图画正确过点作，垂足为∴由题意得：，又是圆的直径∴∴，∴\n在Rt△中，又，∴∴y关于x的函数解析式为（）（2）设圆M的半径为因为OA⊥MA，∴∠OAM=90°，又△OMA与△PMC相似，所以△PMC是直角三角形。因为OA=OP，MA=MC，所以∠CPM、∠PCM都不可能是直角。所以∠PMC=90°.又≠∠P，所以，∠AMO=∠P即若△OMA与△PMC相似，其对应性只能是点O与点C对应、点M与点P对应、点A与点M对应.∴,即，解得从而所以，，圆的半径为.（3）假设存在⊙M，使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边联结OA、MA、MC、AQ，设公共弦与直线相交于点由正五边形知，∵是公共弦，所以，，从而，∴∴，即圆的半径是∵，∴∴∴△∽△∴∵，∴，解得：（负值舍去）∴所以，存在⊙M，使得AB、AC恰好是一个正五边形的两条边，此时的，圆的半径是.37.（2022·上海市青浦区模拟，24，12）如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=90o，BD⊥DC，BC=10cm，CD=6cm．在线段、上有动点、，点以每秒的速度，在线段上从点B向点C匀速运动；同时点以每秒的速度，在线段上从点C向点D匀速运动．当点到达点C\n时，点同时停止运动．设点运动的时间为t（秒）．（1）求AD的长；（2）设四边形BFED的面积为，求y关于t的函数关系式，并写出函数定义域；（3）点、在运动过程中，如与相似，求线段的长．【答案】（1）∵AD∥CB,∴∠ADB=∠DBC又BD⊥DC,∠A=90o∴∠A=∠BDC=90o∴△ABD∽△DCB在∴即解得：cm(2)过点E作AB的垂线，垂足为G，在中，在中，∴∴（）（3）当，cm，当，cm综上所述：cm或者cm38.（2022·上海市徐汇区模拟，24，12）如图，已知抛物线y＝ax2＋bx＋c与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，D为OC的中点，直线AD交抛物线于点E（2，6），且△ABE与△ABC的面积之比为3∶2．（1）求直线AD和抛物线的解析式；（2）抛物线的对称轴与轴相交于点F，点Q为直线AD上一点，且△ABQ与△ADF相似，直接写出点Q点的坐标．【答案】（1）∵△ABE与△ABC的面积之比为3∶2．，E（2，6），∴C（0，4），D（0，2），设直线AD的解析式为，由题意得，解得，直线AD的解析式为∴A（，0）.\n抛物线经过A、C、E三点，得解得.所求抛物线的解析式为：．(2)当△ABQ与△CED相似时，由（1）有B（4，0），F（，0）①若△ABQ∽△AFD，，即，，Q（，4）△ABQ∽△ADF，，即，，Q（）39.（2022·上海市松江区模拟，25，14）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=4，BC=5，D是BC边上一点，CD=3，点P在边AC上（点P与A、C不重合），过点P作PE//BC，交AD于点E．（1）设AP=x，DE=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；（2）当以PE为半径的⊙E与DB为半径的⊙D外切时，求的正切值；（3）将△ABD沿直线AD翻折，得到△AB/D，联结B/C．如果∠ACE=∠BCB/，求AP的值．EPDCBADCBA【答案】（1）∵在Rt△ABC中，AC=4，CD=3，∴AD=5，∵PE//BC，∴,∴，∴,∴，即，（）（2）当以PE为半径的⊙E与DB为半径的⊙D外切时，有DE=PE+BD，即，解之得，∴，∵PE//BC，∴∠DPE=∠PDC，在Rt△PCD中，tan=；∴tan=(3)延长AD交BB/于F，则AF⊥BB/，∴，又，∴\n∴～，∴BF=，所以BB/=，∵∠ACE=∠BCB/，∠CAE=∠CBB/，∴～，∴,∴40.（2022·上海市普陀区模拟，25，14）直角三角板ABC中，∠A=30°，BC＝1.将其绕直角顶点C逆时针旋转一个角（且≠90°），得到Rt△，（1）如图9，当边经过点B时，求旋转角的度数；备用图备用图（2）在三角板旋转的过程中，边与AB所在直线交于点D，过点D作DE∥交边于点E，联结BE.①当时，设，，求与之间的函数解析式及定义域；②当时，求的长.【答案】（1）在Rt△中，∵∠A=30°，∴．由旋转可知：，，∴△为等边三角形．∴＝．（2）①当时，点D在AB边上（如图）.∵DE∥，∴.由旋转性质可知，CA=，CB=，∠ACD=∠BCE.∴，∴.∴△CAD∽△CBE.∴.∵∠A=30°∴.∴（0﹤﹤2）②当时，点D在AB边上AD=x，，∠DBE=90°.此时，.当S=时，.整理，得.\n解得，即AD=1.当时，点D在AB的延长线上（如图）.仍设AD=x，则，∠DBE=90°...当S=时，.整理，得.解得，（负值，舍去）.即.综上所述：AD=1或.41.（2022·上海市闵行区模拟，25，14）如图，在矩形ABCD中，点E在边AD上，联结BE，∠ABE=30°，BE=DE，联结BD．点M为线段DE上的任意一点，过点M作MN//BD，与BE相交于点N．（1）如果，求边AD的长；（2）如图1，在（1）的条件下，如果点M为线段DE的中点，联结CN．过点M作MF⊥CN，垂足为点F，求线段MF的长；（3）试判断BE、MN、MD这三条线段的长度之间有怎样的数量关系？请证明你的结论．ABCDEMN（图1）FABCDEMN【答案】（1）由矩形ABCD，得AB=CD，∠A=∠ADC=90°．在Rt△ABE中，∵∠ABE=30°，，∴，BE=2AE=4．又∵BE=DE，∴DE=4．于是，由AD=AE+DE，得AD=6．（2）联结CM．在Rt△ABD中，．∴BD=2AB，即得∠ADB=30°．∵MN//BD，∴∠AMN=∠ADB=30°．\n又∵MN//BD，点M为线段DE的中点，∴DM=EM=2，．∴．在Rt△CDM中，．∴∠CMD=60°，即得CM=4，∠CMN=90°．由勾股定理，得．于是，由MF⊥CN，∠CMN=90°，得．（3）．证明如下：过点E作EF⊥BD，垂足为点F．∵BE=DE，EF⊥BD，∴BD=2DF．在Rt△DEF中，由∠EDB=30°，得，即得．∵MN//BD，∴，，即得，BN=DM．∴．于是，由BE=BN+EN，得．ACBOxy42.（2022·上海市静安区模拟，24，12）如图,二次函数的图像与轴、轴的交点分别为A、B，点C在这个二次函数的图像上，且∠ABC=90º，∠CAB=∠BAO，．（1）求点A的坐标；（2）求这个二次函数的解析式．【答案】（1）二次函数的图像轴的交点为B（0，2），在Rt△AOB中，∵OB=2，，∴OA=4，∴点A的坐标（4，0）．（2）过点C作CD⊥轴，垂足为D，∵∠CDB=∠ABC=∠AOB=90º，∴∠CBD=180º–∠ABC–∠ABO=90º–∠ABO=∠BAO．∴△CDB∽△BOA，\n∵∠CAB=∠BAO，∴，∴∴OC=1，BD=2，∴OD=4．∴C（1，4）．∵点A、C在二次函数的图像上，∴BDCAO∴∴二次函数解析式为．43.（2022·上海市静安区模拟，25，14）如图，在半径为5的⊙O中，点A、B在⊙O上，∠AOB=90º，点C是AB上的一个动点，AC与OB的延长线相交于点D，设AC=，BD=．（1）求关于的函数解析式，并写出它的定义域；（2）如果⊙与⊙O相交于点A、C，且⊙与⊙O的圆心距为2，当BD=OB时，求⊙的半径；（3）是否存在点C，使得△DCB∽△DOC？如果存在，请证明；如果不存在，请简要说明理由．【答案】（1）过⊙O的圆心作OE⊥AC，垂足为E，∴AE=，OE=．∵∠DEO=∠AOB=90º，∴∠D=90º–∠EOD=∠AOE,∴△ODE∽△AOE.∴,∵OD=,∴．∴关于的函数解析式为：．定义域为：．（2）当BD=OB时，，．∴．∴AE=，OE=．当点在线段OE上时，，\n．当点在线段EO的延长线上时，，．的半径为或．（1）存在，当点C为AB的中点时，△DCB∽△DOC．（2）证明如下：∵当点C为AB的中点时，∠BOC=∠AOC=∠AOB=45º，又∵OA=OC=OB，∴∠OCA=∠OCB=，∴∠DCB=180º–∠OCA–∠OCB=45º．ABCDE∴∠DCB=∠BOC．又∵∠D=∠D，∴△DCB∽△DOC．∴存在点C，使得△DCB∽△DOC．44．（2022·上海市奉贤区模拟，21，10）如图，△ABC中，，点E是AB的中点，过点E作DE⊥AB交BC于点D，联结AD，若AC=8，．（１）求：的长；（２）求：的长．【答案】(1) 在中， ∴ 设∴∴ ∴ (2)∵点是的中点，∴∴在中,∴（解一）∴（解二）∵在中， ∴∽∴∴ ∴ ∴1145.（2022·上海市奉贤区模拟，24，12）已知：直角坐标系xoy中，将直线沿y轴向下平移3个单位长度后恰好经过B(-3，0)及\ny轴上的C点．若抛物线与轴交于A，B两点（点A在点B的右侧），且经过点C，（1）求直线及抛物线的解析式；（2）设抛物线的顶点为，点在抛物线的对称轴上，且，求点的坐标；【答案】⑴沿轴向下平移3个单位长度后经过轴上的点，∴C（0，-3）设直线的解析式为．∵B(-3，0)在直线上，∴-3k-3=0解得．∴直线的解析式为．抛物线过点，∴解得∴抛物线的解析式为．⑵由．可得D(-2，1)，A（-1，0）．，，，．可得是等腰直角三角形．，．设抛物线对称轴与轴交于点，∴AF=AB=1．过点作于点．．可得，．在与中，，，．，．解得．点在抛物线的对称轴上，点的坐标为或．ABCDEFGMNKP46.（2022·上海市奉贤区模拟，25，14）已知，在边长为6的正方形ABCD的两侧如图作正方形BEFG、正方形DMNK，恰好使得N、A、F三点在一直线上，联结MF交线段AD于点P，联结NP，设正方形BEFG的边长为x，正方形DMNK的边长为y，（1）求y关于x的函数关系式及自变量x的取值范围；（2）当△NPF的面积为32时，求x的值；（3）以P为圆心，AP为半径的圆能否与以G为圆心，GF为半径的圆相切，若能请求x的值，若不能，请说明理由。【答案】(1)∵正方形BEFG、正方形DMNK、正方形ABCD∴∠E=∠F=90O，AE//MC，MC//NK∴AE//NK∴∠KNA=∠EAF∴\n∴即∴（2）由（1）可知：∴∵正方形DMNK∴∴∴∴∴∴∴（3）联结PG，延长FG交AD于H点，则。易知：；；。①当两圆外切时，在中，即解得：（负值舍去）②当两圆内切时，在中，即，方程无解所以，当时，这两个圆相切。47.（2022·江西省中考预测一，25，10）如图1，在边长为8的正方形ABCD中，点O为AD上一动点（4＜OA＜8），以O为圆心，OA的长为半径的圆交边CD于点M，连接OM，过点M作⊙O的切线交边BC于N.（1）求证：△ODM∽△MCN;（2）设DM=x，求OA的长（用含x的代数式表示）；（3）在点O的运动过程中，设△CMN的周长为P，试用含x的代数式表示P，你能发现怎样的结论？【答案】（1）∵MN切⊙O于点M，∴∵∴又∵∴△∽△,（2）在Rt△中，，设；∴，由勾股定理得：，∴，∴；\n（3）∵，又且有△∽△,∴,∴代入得到；同理，∴代入得到；∴△CMN的周长为P==16发现：在点O的运动过程中，△CMN的周长P始终为16，是一个定值．图(1)图(2)图(3)48.（2022·江西省中考预测二，22，8）甲、乙、丙三个学习小组于同一时刻在阳光下对校园中一些物体进行了测量.下面是他们通过测量得到的一些信息：甲组：如图(1)，测得一根直立于平地，长为80cm的竹竿的影长为60cm.乙组：如图(2)，测得学校旗杆的影长为900cm.丙组：如图(3)，测得校园景灯（灯罩视为圆柱体，灯杆粗细忽略不计）的灯罩部分影长HQ为90cm，灯杆被阳光照射到的部分PG长40cm，未被照射到的部分KP长24cm。（1）请根据甲、乙两组得到的信息计算出学校旗杆的高度；（2）请根据甲、丙两组得到的信息，求：①灯罩底面半径MK的长；②灯罩的主视图面积。【答案】解：（1）在同一时刻在阳光下对校园中，学校旗杆与旗杆的影长构成直角三角形和,且∽，所以，DE=1200cm（2）①由（1）可知∽∽，得出GH=30cm,MK=18cm②≌,由KP长24cm，得出，∽,所以,所以72cm灯罩的主视图面积为：18×2×72=259249.（2022·江西省中考预测三，25，10）已知：将一副三角板(Rt△ABC和Rt△DEF)如图①摆放，点E、A、D、B在一条直线上，且D是AB的中点。将Rt△DEF绕点D顺时针方向旋转角α(0°＜α＜90°)，在旋转过程中，直线DE、AC相交于点M，直线DF、BC相交于点N，分别过点M、N作直线AB的垂线，垂足为G、H。（1）当α＝30°时(如图②)，求证：AG=DH；（2）当α＝60°时(如图③)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；（3）当0°＜α＜90°时，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并根据图④说明理由。AGDHMEFCBN图③EFMNDABGH图④C45°60°AEDBCFAGDHMEFCB(N)图①图②\n【答案】50.（2022·江西省中考预测六，22，8）如图，BD是⊙O的直径，AB与⊙O相切于点B，过点D作OA的平行线交⊙O于点C,AC与BD的延长线相交于点E．①试探究AE与⊙O的位置关系，并说明理由；②已知EC=a，ED=b，AB=c，请你思考后，选用以上适当的数据，设计出计算⊙O的半径r的一种方案；\n1)你选用的已知数是_________；2)写出求解过程(结果用字母表示)．【答案】①AE与⊙O相切.理由：连接OC.∵CD∥OA∴∠AOC=∠OCD，∠ODC=∠AOB.又∵OD=OC，∴∠ODC=∠OCD.∴∠AOB=∠AOC.在△AOC和△AOB中，OA=OA，∠AOB=∠AOC，OB=OC.∴△AOC≌△AOB，∴∠ACO=∠ABO∵AB与⊙O相切，∴∠ACO=∠ABO=90°∴AE与⊙O相切.②选择a、b、c，或其中2个.若选择a、b、c，方法一：由CD∥OA，=，得r=方法二：在Rt△ABE中，由勾股定理(b+2r)2+c2=(a+c)2，得r=方法三：由Rt△OCE∽Rt△ABE，=，得r=若选择a、b.方法一：在Rt△OCE中，由勾股定理：a2+r2=(b+r)2，得r=方法二：连接BC，由△DCE∽△CBE，得r=若选择a、c；需综合运用以上多种方法，得r=…………………8分51.（2022·江西省中考预测六，23，9）如图所示，电工李师傅借助梯子安装天花板上距地面2.90m的顶灯，已知梯子由两个相同的矩形面组成，每个矩形面的长都被六条踏板七等分，使用时梯脚的固定跨度为1m，矩形面与地面所成的角α为78°，李师傅的身高为1.78m，当他攀升到头顶距天花板0.05~0.20m时，安装起来比较方便。（1）为了安全在梯子的第二段间接一根绳子，绳子最短应是多少？（两边打结处共用绳0.6m）（2）他现在竖直站立在梯子的第三级踏板上，请你通过计算判断他安装是否比较方便？（参考数据：sin78°≈0.98，cos78°≈0.21,tan78°≈4.70）【答案】解（1）由题知GH∥BC，则△AGH∽△ABC，即\n∴GH=∴绳子最短为0.72+0.6=1.32(m)（2）如答图，过点A作AE⊥BC于点E，过点D作DF⊥BC于点F，∵AB=AC，∴CE=在Rt△AEC和Rt△DFC中，∵Tan78°=又∴sinα==-∴DF=,AE=×AE≈1.007.李师傅站在第三级踏板上时，头顶中距离离地面的高度约为1.007+1.78=2.787。头顶与天花板的距离约为：2.90-2.787=0.11∵0.05<0.11<0.20他安装比较方便52.（2022·江西省中考预测六，25，10）操作：在△ABC中，AC=BC=2，∠C=90°，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AB的中点P处，将三角板绕点P旋转，三角板的两直角边分别交射线AC、CB于D、E两点，如图3-1-13①②③是旋转三角板得到的图形中的3种情况，由①②③研究：（1）三角板绕点P旋转，观察线段PD和PE之间有什么数量关系？并结合图①加以证明。（2）三角板绕点P旋转，△PBE是否能成为等腰三角形？若能，指出所有情况（即写出△PBE为等腰三角形时CE的长；若不能，请说明理由）。（3）若将三角板的直角顶点放在斜边AB上的M处，且AM：MB=1：3，和前面一样操作，试问线段MD和ME之间有什么数量关系？并结合图④加以证明。【答案】（1）连接PC，因为△ABC是等腰直角三角形，P是AB的中点，所以CP=PB，CP⊥AB，∠ACP=∠ACP=45°，即∠ACP=∠B=45°，又因为∠DPC+∠CPE=∠BPE+∠CPE=90°，所以∠DPC=∠BPE，即△PCD≌△PBE，所以PD=PE。（2）共有四种情况：①当点C与点E重合，即CE=0时，PE=PB，②当CE=2-时，此时PB=BE；③当CE=1时，此时PE=BE；④当E在CB的延长线上，且CE=2+时，此时PB=EB。（3）MD：ME=1：3，证明如下：过点M作MF⊥AC，MH⊥BC，垂足分别是F、H，所以MH∥AC，MF∥BC，即四边形CFMH是平行四边形，因为∠C=90°，所以□CFMH是矩形，即∠FMH=90°，MF=CH，因为，而HB=MH，所以，因为∠DMF+∠DMH=∠DMH+∠EMH=90°，所以∠DMF=∠EMH，因为∠MFD=∠EMH=90°，所以△MDF∽△\nMEH，即53.（2022·江苏省南京市下关秦淮沿江区一模，27，8）(1)学习《测量建筑物的高度》后，小明带着卷尺、标杆，利用太阳光去测量旗杆的高度．参考示意图1，他的测量方案如下：第一步，测量数据．测出CD＝1.6米，CF＝1.2米，AE＝9米．第二步，计算．请你依据小明的测量方案计算出旗杆的高度．(2)如图2，校园内旗杆周围有护栏，下面有底座．现在有卷尺、标杆、平面镜、测角仪等工具，请你选择出必须的工具，设计一个测量方案，以求出旗杆顶端到地面的距离．要求：在备用图中画出示意图，说明需要测量的数据．(注意不能到达底部点N对完成测量任务的影响，不需计算)你选择出的必须工具是；需要测量的数据是．【答案】(1)设旗杆的高度AB为x米．由题意可得，△ABE∽△CDF．所以＝．因为CD＝1.6米，CF＝1.2米，AE＝9米，所以＝．解得x＝12米．答：旗杆的高度为12米．(2)示意图如图，答案不唯一；卷尺、测角仪；角α(∠MPN)、β(∠MQN)的度数和PQ的长度．54．（2022·江苏省南京市栖霞区一模，27，9）如图，已知O为原点，点A的坐标为（5.5,4），⊙A的半径为2.过A作直线l平行于x轴，交y轴于点B，点P在直线l上运动.(1)设点P的横坐标为12,试判断直线OP与⊙A的位置关系,并说明理由;(2)设点P的横坐标为a，请你求出当直线OP与⊙A相切时a的值(参考数据:，)\n【答案】（1）连结OP，过点A作AC⊥OP，垂足为点C，则AP＝PB－AB＝12－5.5＝6.5，OB＝4，∵∠ACP＝∠OBP＝90°,∠APC＝∠OPB∴△APC∽△OPB,，∴直线OP与⊙A相离（2）设直线OP与⊙A相切与点H分两种情况①当点P在线段AB上（即当点P在点A的左侧时），如图（1）所示BP＝a，AP＝5.5－a，∵∠APH＝∠OPB,∠AHP＝∠OBP＝90°∴△APH∽△OPB得OP＝11－2a在Rt△OBP中，（11－2a）2＝a2+42解得a1＝3，a2＝(舍去)②当点P在点A的右侧时，如图（2）所示BP＝a，AP＝a－5.5，同理得△APH∽△OPB得OP＝2a－11，在Rt△OBP中，（2a－11）2＝a2+42解得a1＝3(舍去)，a2＝∴当直线OP与⊙A相切时，的值为3或.55.（2022·江苏省南京市建邺区一模，26，9）已知二次函数的图象与x轴相交于A、B两点（A左B右），与y轴相交于点C，顶点为D．（1）求m的取值范围；（2）当点A的坐标为，求点B的坐标；（3）当BC⊥CD时，求m的值．【答案】（1）∵二次函数的图象与x轴相交于A、B两点\n∴b2－4ac＞0，∴4+4m＞0，解得：m＞－1（2）解法一：∵二次函数的图象的对称轴为直线x＝－＝1∴根据抛物线的对称性得点B的坐标为（5，0）解法二：把x=－3，y=0代入中得m=15∴二次函数的表达式为OyxABCDE令y=0得解得x1=－3，x2=5∴点B的坐标为（5，0）（3）如图，过D作DE⊥y轴，垂足为E．∴∠DEC＝∠COB＝90°，当BC⊥CD时，∠DCE+∠BCO＝90°，∵∠DEC＝90°，∴∠DCE+∠EDC＝90°，∴∠EDC＝∠BCO．∴△DEC∽△COB，∴＝．由题意得：OE＝m+1，OC＝m，DE＝1，∴EC＝1．∴＝．∴OB＝m，∴B的坐标为（m，0）．将（m，0）代入得：－m2+2m+m＝0．解得：m1＝0（舍去），m2＝3．56.（2022·江苏省南京市溧水县一模，28，9）已知，，（如图）．是射线上的动点（点与点不重合），是线段的中点．（1）设，的面积为，求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）如果以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，求线段的长；（3）连结，交线段于点，如果以为顶点的三角形与相似，求线段的长．BADMECBADC备用图【答案】（1）取中点，连结，为的中点，，．又，．，得；（2）过D作DP⊥BC，垂足为P，∠DAB=∠ABC=∠BPD=90°，∴四边形ABPD是矩形．以线段为直径的圆与以线段为直径的圆外切，\n，又，∴DE=BE+AD-AB=x+4-2=x+2PD=AB=2，PE=x-4，DE2=PD2+PE2，∴（x+2）2=22+（x-4）2，解得：．∴线段的长为．（3）由已知，以为顶点的三角形与相似，又易证得．由此可知，另一对对应角相等有两种情况：①；②．①当时，，．．，易得．得；②当时，，．．又，．，即=，得x2=[22+（x-4）2]．解得，（舍去）．即线段的长为2．综上所述，所求线段的长为8或2．说明：方案一图形中的圆过点A、B、C；方案二直角三角形的两直角边与展开图左下角的正方形边重合，斜边经过两个正方形的顶点．57.（2022·江苏省南京市建邺区一模，27，9）操作：小明准备制作棱长为1cm的正方体纸盒，现选用一些废弃的圆形纸片进行如下设计：ABC方案一方案二纸片利用率=×100%发现：（1）方案一中的点A、B恰好为该圆一直径的两个端点．你认为小明的这个发现是否正确，请说明理由．（2）小明通过计算，发现方案一中纸片的利用率仅约为38.2%．请帮忙计算方案二的利用率，并写出求解过程．探究：（3）小明感觉上面两个方案的利用率均偏低，又进行了新的设计（方案三），请直接写出方案三的利用率．方案三说明：方案三中的每条边均过其中两个正方形的顶点．\n【答案】发现：（1）小明的这个发现正确．理由：解法一：如图一：连接AC、BC、AB，∵AC＝BC＝，AB＝∴AC2+BC2＝AB2∴∠BAC＝90°，∴AB为该圆的直径．解法二：如图二：连接AC、BC、AB．易证△AMC≌△BNC，∴∠ACM＝∠CBN．又∵∠BCN＋∠CBN＝90°，∴∠BCN＋∠ACM＝90°，即∠BAC＝90°，∴AB为该圆的直径．图一M图二NCBADEFH图三（1）如图三：易证△ADE≌△EHF，∴AD＝EH＝1．（2）∵DE∥BC，∴△ADE∽△ACB，∴＝∴＝，∴BC＝8．（3）∴S△ACB＝16．（4）∴该方案纸片利用率＝×100%＝×100%＝37.5%（5）探究：（3）58.（2022·江苏省南京市建邺区一模，28，12）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4cm，点D为AC边上一点，且AD=3cm，动点E从点A出发，以1cm/s的速度沿线段AB向终点B运动，运动时间为xs．作∠DEF=45°，与边BC相交于点F．设BF长为ycm．（1）当x=▲s时，DE⊥AB；（2）求在点E运动过程中，y与x之间的函数关系式及点F运动路线的长；（3）当△BEF为等腰三角形时，求x的值．ABCDEF（备用图）ABCD【答案】（1）（2）∵在△ABC中，∠C=90°，AC=BC=4．∴∠A＝∠B＝45°，AB=4，∴∠ADE＋∠AED＝135°；\n又∵∠DEF＝45°，∴∠BEF＋∠AED＝135°，∴∠ADE＝∠BEF；∴△ADE∽△BEF∴＝，ABCDEF（1）（2）图ABCDEF（3）①图∴＝，∴y＝－x2+x∴y＝－x2+x＝－(x－2)2+∴当x＝2时，y有最大值＝∴点F运动路程为cm（3）这里有三种情况：①如图，若EF＝BF，则∠B＝∠BEF；又∵△ADE∽△BEF，∴∠A＝∠ADE＝45°∴∠AED＝90°，∴AE＝DE＝，∵动点E的速度为1cm/s，∴此时x＝s；①图，若EF＝BE，则∠B＝∠EFB；又∵△ADE∽△BEF，∴∠A＝∠AED＝45°∴∠ADE＝90°，∴AE＝3，∵动点E的速度为1cm/s∴此时x＝3s；ABCDEF（3）②图ABCDEF（3）③图③如图，若BF＝BE，则∠FEB＝∠EFB；又∵△ADE∽△BEF，∴∠ADE＝∠AED∴AE＝AD＝3，∵动点E的速度为1cm/s∴此时x＝3s；综上所述，当△BEF为等腰三角形时，x的值为s或3s或3s．59.（2022·江苏省南京市白下区一模，28，12）如图1，在四边形ABCD的AB边上任取一点E（点E不与点A、点B重合），分别连接ED、EC，可以把四边形ABCD分成3个三角形．如果其中有2个三角形相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的相似点；如果这3个三角形都相似，我们就把点E叫做四边形ABCD的AB边上的强相似点．ABCDE图1ABCD图2（1）若图1中，∠A＝∠B＝∠DEC＝50°，说明点E是四边形ABCD的AB边上的相似点；\n（2）①如图2，画出矩形ABCD的AB边上的一个强相似点．（要求：画图工具不限，不写画法，保留画图痕迹或有必要的说明．）②对于任意的一个矩形，是否一定存在强相似点？如果一定存在，请说明理由；如果不一定存在，请举出反例．（3）在梯形ABCD中，AD∥BC，AD＜BC，∠B＝90°，点E是梯形ABCD的AB边上的一个强相似点，判断AE与BE的数量关系并说明理由．【答案】（1）理由：∵∠A＝50°，∴∠ADE＋∠DEA＝130°．∵∠DEC＝50°，∴∠BEC＋∠DEA＝130°．∴∠ADE＝∠BEC．∵∠A＝∠B，∴△ADE∽△BEC．∴点E是四边形ABCD的AB边上的相似点．（2）①以CD为直径画弧，取该弧与AB的一个交点即为所求．（若不用圆规画图，则必须在图上标注直角符号或对直角另有说明．）②对于任意的一个矩形，不一定存在强相似点，如正方形．(答案不惟一，若学生画图说明也可．)（3）第一种情况：∠A＝∠B＝∠DEC＝90°，∠ADE＝∠BEC＝∠EDC，即△ADE∽△BEC∽△EDC．方法一：如图1，延长DE，交CB的延长线于点F，说明DE＝EF，说明AE＝BE．ABCDEF图1ABCDEF图2ABCDE图3方法二：如图2，过点E作EF⊥DC，垂足为F．因为∠ADE＝∠CDE，∠BCE＝∠DCE，所以AE＝EF，EF＝BE．所以AE＝BE．方法三：由△ADE∽△EDC可得＝，即AE＝．\n同理，由△BEC∽△EDC可得＝，即BE＝，所以AE＝BE．第二种情况：如图3，∠A＝∠B＝∠EDC＝90°，∠ADE＝∠BCE＝∠DCE，即△ADE∽△BCE∽△DCE．所以∠AED＝∠BEC＝∠DEC＝60°，说明AE＝DE，BE＝CE，DE＝CE，（或说明BE＝DE，AE＝DE，）所以AE＝BE．综上，AE＝BE或AE＝BE．60.（2022·江苏省南京市雨花台区一模，28，14）如图，在□ABCD中，，．点由出发沿方向匀速运动，速度为；同时，线段由出发沿方向匀速运动，速度为，交于，连接、．若设运动时间为（s）（）．解答下列问题：（1）当为何值时，∥？并求出此时的长;（2）试判断△的形状，并请说明理由．（3）当时，(ⅰ)在上述运动过程中，五边形的面积(填序号)①变大②变小③先变大,后变小④不变(ⅱ)设的面积为，求出与之间的函数关系式及的取值范围．【答案】（1）由题意知，,在□中，，，当∥时，∽,∴，∴(或当∥时，,∴，∴)此时，点、分别为、的中点，∴(2)△是等腰三角形证明：在□中，，，∴,∵∥,∴∴∴,\n∴，∴，∵∥,∴，∴≌,∴(3)(ⅰ)在上述运动过程中，五边形的面积④(填序号)(ⅱ)∵△∽△，∴，∴过点作于点，过点作于点，∴△∽△，∴，∴∴∴当时，，∴61.（2022·江苏省南京市六合区一模，28，9）如图1，△ABC中，AB=AC=5cm，BC=6cm，边长为2cm的菱形DEFG两边DG、DE分别在AC、AB上．若菱形DEFG以1cm/s的速度沿射线AC方向平移．（1）经过▲秒菱形DEFG的顶点F恰好在BC上；（2）求菱形DEFG的面积；（3）设菱形DEFG与△ABC的重合部分为Scm2，菱形DEFG平移的时间为t秒．求S与t的函数关系式．【答案】（1）1．（2）方法一：如图，连接GE、AF，交于点O，并延长AF交BC于点H．∵由AG=AE得∠AGE=∠AEG，由AB=AC得∠B=∠C，∴∠AEG=∠C=．∴GE∥BC，∴=，得GE=．∵菱形AEFG中，GE⊥AF，可得AH⊥BC，故CH=BC=3．∴Rt△ACH中，AH==4．∴=，得AO=，于是AF=．\n∴S菱形AEFG=´GE´AF=．方法二：易求S△ABC=12．由△AGE∽△ABC得=()2 ，即=()2 ．所以，S△AGE=得S菱形AEFG=．（3）①当0≤t≤1时，S=．②当1<t≤3时，AD=t，则CE=5–t–2=3–t，EN=EC=3–t，故FN=2–（3–t）=t–1．由△FMN∽△ABC可得=()2．即=()2，所以S△FMN=(t–1)2．所以S=S菱形AEFG–S△FMN=–(t–1)2．③当3<x≤5时，AD=t，则CD=5–t，由△DMC∽△ABC可得=()2．PABOCDEH即=()2，所以S=(5–t)2．①t>5时，S=0．62.（2022·江苏省南京市高淳县一模，26，9）如图，AB为⊙O内垂直于直径的弦，AB、CD相于点H，△AED与△AHD关于直线AD成轴对称．（1）试说明：AE为⊙O的切线；（2）延长AE与CD交于点P，已知PA＝2，PD＝1，求⊙O的半径和DE的长．【答案】（1）连结OA由△AED与△AHD关于直线AD成轴对称可知∠ADO＝∠ADE因为AB⊥CD，所以∠AED＝∠AHD＝90°．又因为OA＝OD，所以∠OAD＝∠ODA所以∠OAD＝∠ADE，所以OA∥DE所以∠OAP＝90°，又因为点A在圆上，所以AE为⊙O的切线．CABODEH（2）设⊙O的半径为x,在Rt△AOP中，OA2＋AP2＝OP2x2＋22＝(x＋1)2解得x＝1.5P所以⊙O的半径为1.5因为OA∥DE，所以△PED∽△PAO\n所以＝，＝，解得DE＝63.（2022·北京市模拟，24，8）把两块全等的直角三角形和叠放在一起，使三角板的锐角顶点与三角板的斜边中点重合，其中，，，把三角板固定不动，让三角板绕点旋转，设射线与射线相交于点，射线与线段相交于点．（1）如图1，当射线经过点，即点与点重合时，易证．此时， ．（2）将三角板由图1所示的位置绕点沿逆时针方向旋转，设旋转角为．其中，问的值是否改变？说明你的理由．（3）在（2）的条件下，设，两块三角板重叠面积为，求与的函数关系式．（图2，图3供解题用）ＢＥＰＡＤ(Ｏ)ＣＱＦＭＢＥＰＡＣＱＦＤ(Ｏ)Ｄ(Ｏ)B(Q)CFEAP图1图2图3【答案】（1）8 （2）的值不会改变． 理由如下：在与中， 即\n（3）情形1：当时，，即，此时两三角板重叠部分为四边形，过作于，于， ＢＥＰＡＤ（Ｏ）ＣＱＦＮＭＧ 由（2）知：得 于是 情形2：当时，时，即，此时两三角板重叠部分为， 由于，，易证：， 即解得 于是 综上所述，当时， 当时，法二：连结，并过作于点，在与中， 即· \n法三：过作于点，在中， 于是在与中 即64．（2022·北京市模拟，25，7）如图，已知直线与抛物线交于两点．（1）直接写出两点的坐标；（2）求线段的垂直平分线的解析式；PA图2图1（3）如图2，取与线段等长的一根橡皮筋，端点分别固定在两处．用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖在直线上方的抛物线上移动，动点将与构成无数个三角形，这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？如果存在，求出最大面积，并指出此时点的坐标；如果不存在，请简要说明理由．【答案】（1）解：依题意得解之得\n···········2分【要求直接写出A,B坐标，每个坐标得1分】（2）作的垂直平分线交轴，轴于两点，交于（如图1）由（1）可知：，图1DMACBＥ过作轴，为垂足，由，得：，同理：设的解析式为的垂直平分线的解析式为：．（3）若存在点使的面积最大，则点在与直线平行且和抛物线只有一个交点的直线上，并设该直线与轴，轴交于两点（如图2）．，抛物线与直线只有一个交点，，PA图2HGB在直线中，设到的距离为，\n到的距离等于到的距离．．65.（2022·北京市东城区模拟，24，7）等边△ABC边长为6，P为BC边上一点，∠MPN=60°，且PM、PN分别于边AB、AC交于点E、F.（1）如图1，当点P为BC的三等分点，且PE⊥AB时，判断△EPF的形状；（2）如图2，若点P在BC边上运动，且保持PE⊥AB，设BP=x，四边形AEPF面积的y，求y与x的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；（3）如图3，若点P在BC边上运动，且∠MPN绕点P旋转，当CF=AE=2时，求PE的长.图1图2图3【答案】（1）△EPF为等边三角形.（2）设BP=x，则CP＝6－x.由题意可△BEP的面积为.△CFP的面积为.△ABC的面积为.设四边形AEPF的面积为y.∴=.自变量x的取值范围为3＜x＜6.（3）可证△EBP∽△PCF.∴.设BP=x，则.解得.∴PE的长为4或.\n66.（2022·内蒙古乌海二中一模，19，7）如图所示，△ABC内接于⊙O，AD是△ABC的边BC上的高，AE是⊙O的直径，连接BE.求证：△ABE∽△ADC.【答案】∵AE是⊙O的直径，∴∠ABE=90°，∵AD是△ABC的边BC上的高，∴∠ADC=90°，∴∠ABE=∠ADC．又∵同弧所对的圆周角相等，∴∠BEA=∠DCA．∴△ABE∽△ADC．GMFEDCBA67.（2022·上海市金山区二模，25，14）如图，正方形的边长是，是的中点．动点在线段上运动．连接并延长交射线于点，过作的垂线交射线于点，连接、.（1）求证：是等腰三角形；（2）设时，的面积为．求关于的函数关系式，并写出自变量的取值范围；（2）在点运动过程中是否可以成为等边三角形？请说明理由.【答案】（1）∵四边形是正方形∴∥∵∴∴又∵∴（2）当点与点重合时，＝0，＝×4×4＝8当点不与点重合时，0＜≤4∵在中＝＝ME＝∴＝＝过作，垂足为则∴\n∵∴∴∴∽∴即∴＝＝∴＝×＝××＝∴＝其中0≤≤4（3）不可能∵＝＝在中＞∴＞∴不可能是等边三角形68.（2022·浙江省义乌市模拟，23，10）901班在社会实践活动中要测量一山坡的护坡石坝高度及石坝与地面的倾角∠.（1）如图1,小林所在的小组用一根木条EF斜靠在护坡石坝上,使得BF与BE的长度相等,如果测量得到∠EFB=36O,那么∠的度数是__________;（2）如图2,小亮所在的小组把一根长为5米的竹竿MG斜靠在石坝旁,量出竿长1米时离地面的高度为0.6米,请你求出护坡石坝上M点的垂直高度MN;（3）如图3,全班总结了各组的方法后,设计了如下方案:在护坡石坝顶部A点的影子P处立一根长为a米的杆子PD,如果测得杆子的影子长CP=b米,点P到护坡石坝底部B的距离为c米,那么利用（1）中小林小组得到的结论,请你用a、b、c表示出护坡石坝的垂直高度AH.（）【答案】（1）72O;（2）由RQ∥MN得,即,所以MN=3米;（3）在Rt△ABH中,,设BH=x,AH=3x,由△CDP～△PHA,得到\n即,解得.所以护坡石坝的高度米.69.（2022·安徽省马鞍山市二模，19，10）某校研究性学习小组在研究相似图形时，发现相似三角形的定义、判定、及其性质，可以拓展到扇形的相似中去．例如，可以定义：“圆心角相等且半径和弧长对应成比例的两个扇形叫做相似扇形”；相似扇形的性质有弧长的比等于半径的比，面积的比等于半径比的平方……请你协助他们探索这个问题．（1）写出判定扇形相似的一种方法：若，则两个扇形相似；（2）若有两个相似的扇形A和B，扇形A的圆心角为120°，半径为30，扇形B的面积是扇形A的面积的一半，求扇形B的圆心角和半径．【答案】（1）答案不唯一，例如“圆心角相等”、“半径和弧长对应成比例”等．（2）∵扇形A与扇形B相似．∴扇形B的圆心角为120度．设扇形B的半径为R，则AFBDCEM即，∴R=15答：扇形B的半径为1570.（2022·河南省中招考试说明预测四，22，10）已知：D为△ABC边BC上一定点，以C为圆心，CD为半径的半圆交BC的延长线于点E，交AD于点F，交AE于点M，若∠B＝∠CAE，AF＝DF，DF=3,EF=4⑴求证：AD为∠BAC的平分线⑵求证：⑶求∠AED的余弦值；【答案】（1）∵DE是半圆C的直径∴∵AF=DF,∴EA=ED,∠EDA=∠EAD∵∠EDA=∠B+∠BAD,∠EAD=∠DAC+∠CAE又∵∠B=∠CAE∴∠BAD=∠DAC,即AD平分∠BAC（2）连结DM,∵DE是半圆C的直径∴∠DFE=∠DME,∴∠AFE=∠AMD,又∵∠DAM=∠EAF∴△AFE∽△AMD，\n∴（3）过点A作AN⊥DE,垂足为N.∵DF=3,EF=4,∴DE=5∴AF=DF=3,AE=DE=5由（2）得即∴AM=在中,71.（2022·河南省中招考试说明预测六，21，10）如图，△ABC为等腰直角三角形，∠BAC=90°，BC=2，E为AB上任意一动点，以CE为斜边作等腰直角△CDE，连接AD，（1）当点E运动过程中∠BCE与∠ACD的关系是.（2）AD与BC有什么位置关系？说明理由.（3）四边形ABCD的面积是否有最大值，如果有，最大值是多少？如果没有，说明理由.【答案】(1)∠BCE=∠ACD(2)AD∥BC∵△ABC和△DEC都是等腰直角三角形∴△ABC∽△DEC∴又∵∠BCE=∠ACD∴△BCE∽△ACD∴∠CAD=∠B=∠ACB=∴AD∥BC(3)四边形ABCD的面积有最大值，当点E与点A重合，即EC与AC重合时，四边形ABCD的面积最大，∵BC=2∴AC=∴AD=1∴四边形ABCD的最大面积.72.（2022·河南省中招考试说明预测六，23，11）如图，二次函数的图像与x轴的交点是A(m，0)、B(n，0)，与y轴的交点是C（0，2）．（1）求m，n的值；\n（2）设P(x，y)(0＜x＜n)是抛物线上的动点，过点P作PQ∥y轴交直线BC于点Q．①线段PQ的长度是否存在最大值？如果有，最大值是多少？如果不存在，请说明理由.yAOBPxCQ②当以O、A、Q为顶点的三角形是直角三角形时，求出点P的坐标．【答案】（1）∵抛物线过C(0,2)∴c=2∵抛物线过A(m，0)、B(n，0)∴m,n分别是一元二次方程的两根yAOBPxCQ图1解，得∴（2）①设直线BC的函数表达式为y＝kx＋b．则有解得∴直线BC的函数表达式为y＝－x＋2．∵0＜x＜6∴PQ＝yQ－yP＝(－x＋2)－(x2－x＋2)＝－x2＋x＝－(x－3)2＋1∴当x=3时，线段PQ的长度取得最大值，最大值为1．yAOBPxCQ图2D②当∠OAQ＝90°时，点P与点A重合，∴P1(3，0)．当∠QOA＝90°时，点P与点C重合，∴x＝0（不合题意）．当∠OQA＝90°时，设PQ与轴交于点D，如图2．∵∠QOD＋∠OQD＝90°，∠OQD＋∠AQD＝90°．∴∠QOD＝∠AQD．\n又∵∠ODQ＝∠QDA＝90°，∴△ODQ∽△QDA．∴＝，即DQ2＝OD·DA．∴(－x＋2)2＝x(3－x)．整理得10x2－39x＋36＝0，解得x1＝，x2＝．∴y1＝()2－＋2＝，y2＝()2－＋2＝．∴P2(，)，P3(，)．∴当以O、A、Q为顶点的三角形是直角三角形时，点P的坐标为：P1(3，0)或P2(，)或P3(，)．73.（2022·浙江省宁波市七中保送生推荐考试，26，12）如图，已知抛物线y=ax2+bx－3与x轴交于A、B两点，与y轴交于C点，经过A、B、C三点的圆的圆心M（1，m）恰好在此抛物线的对称轴上，⊙M的半径为．设⊙M与y轴交于D，抛物线的顶点为E．（1）求m的值及抛物线的解析式；（2）设∠DBC=a，∠CBE=b，求sin（a－b）的值；（3）探究坐标轴上是否存在点P，使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似？若存在，请指出点P的位置，并直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1）由题意C（0，－3），，∴抛物线的解析式为y=ax2－2ax－3（a＞0），过M作MN⊥y轴于N，连结CM，则MN=1，，∴CN=2，于是m=－1．同理可求得B（3，0），∴a×32－2－2a×3－3=0，得a=1，∴抛物线的解析式为y=x2－2x－3．（2）由（1）得A（－1，0），E（1，－4），D（0，1）．∴在Rt△BCE中，，，∴，，∴，即，∴Rt△BOD∽Rt△BCE，得∠CBE=∠OBD=b，因此sin（a－b）=sin（∠DBC－∠OBD）=sin∠OBC=．\n（3）显然Rt△COA∽Rt△BCE，此时点P1（0，0）．过A作AP2⊥AC交y正半轴于P2，由Rt△CAP2∽Rt△BCE，得．过C作CP3⊥AC交x正半轴于P3，由Rt△P3CA∽Rt△BCE，得P3（9，0）．故在坐标轴上存在三个点P1（0，0），P2（0，1∕3），P3（9，0），使得以P、A、C为顶点的三角形与△BCE相似．74．（2022·浙江省杭州市上城区二模，21，8）如图，AB为⊙O的直径，AD平分∠BAC交⊙O于点D，DE⊥AC交AC的延长线于点E，FB是⊙O的切线交AD的延长线于点F.(1)求证：DE是⊙O的切线；(2)若DE=3，⊙O的半径【答案】如图连接OD. ∵AD平分∠BAC，∴∠1=∠2. 又∵OA=OD，∴∠1=∠3. ∴∠2=∠3. ∴OD∥AE. ∵DE⊥AE， ∴DE⊥OD. 而D在⊙O上，∴DE是⊙O的切线. (2)过D作DG⊥AB于G. ∵DE⊥AE，∠1=∠2.∴DG=DE=3，半径OD=5.在Rt△ODG中，根据勾股定理:OG＝＝＝4，∴AG=AO+OG=5+4=9. ∵FB是⊙O的切线，AB是直径， ∴FB⊥AB.而DG⊥AB， ∴DG∥FB. △ADG∽△AFB，∴ ∴.∴BF=.74．（2022·浙江省杭州市上城区二模，24，12）抛物线与直线y=x+1交于A、C两点，与y轴交于B，AB∥x轴，且，（1）求抛物线的解析式。（2）P为x轴负半轴上一点，以AP、AC为边作，是否存在P，使得Q点恰好在此抛物线上？若存在，请求出P、Q的坐标；若不存在，请说明理由。（3）AD⊥X轴于D，以OD为直径作⊙M，N为⊙M上一动点，（不与O、D重合），过N作AN的垂线交x轴于R点，DN交Y轴于点S，当N点运动时，线段OR、OS是否存在确定的数量关系？写出证明。\n【答案】（1）(2)联立得A（-2，-1）C（1，2）设P（a,0），则Q（a+3,3）∴∴,∴p或Q或（3）∵△AND～△RON，∴∵△ONS～△DNO，∴∴75.（2022·湖北省枣阳市模拟，25，10）如图1，已知正方形ABCD在直线MN的上方，BC在直线MN上，E是BC上一点，以AE为边在直线MN的上方作正方形AEFG．连接GD、FC.(1)求证：△ADG≌△ABE；(2)观察并猜测∠FCN的度数，并说明理由；(3)如图2，将图1中正方形ABCD改为矩形ABCD，AB＝，BC=(、为常数)，E是线段BC上一动点(不含端点B、C)，以AE为边在直线MN的上方作矩形AEFG，使顶点G恰好落在射线CD上．判断当点E由B向C运动时，∠FCN的大小是否总保持不变，若∠FCN的大小不变，请用含、的代数式表示tan∠FCN的值；若∠FCN的大小发生改变，请举例说明．【答案】（1）∵四边形ABCD和四边形AEFG是正方形，∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°.∵∠BAE+∠EAD=∠DAG+∠EAD，∴∠BAE=∠DAG.∴△BAE≌△DAG.（2）∠FCN=45°.理由：作FH⊥MN于H，如图.\n∵∠AEF=∠ABE=90°，∴∠BAE+∠AEB=90°，∠FEH+∠AEB=90°，∴∠FEH=∠BAE.又∵AE=EF，∠EHF=∠EBA=90°，∴△EFH≌△ABE.∴FH=BE，EH=AB=BC，∴CH=BE=FH.∵∠FHC=90°，∴∠FCH=45°.（3）当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变.理由：作FH⊥MN于H，如图.由已知可得∠EAG=∠BAD=∠AEF=90°，结合（1）（2）得∠FEH=∠BAE=∠DAG.∵G在射线CD上，∠GDA=∠EHF=∠EBA=90°，∴△EFH≌△AGD，△EFH∽△AEB.（8分）∴EH=AD=BC=，∴CH=BE，∴.∴在Rt△FCH中，tan∠FCN===.∴当点E由B向C运动时，∠FCN的大小总保持不变，tan∠FCN=.76．（2022·湖北省枣阳市模拟，26，12）如图，在平面直角坐标系中，O是坐标原点，直线与x轴，y轴分别交于B，C两点，抛物线经过B，C两点，与x轴的另一个交点为点A，动点P从点A出发沿AB以每秒3个单位长度的速度向点B运动，运动时间为（0＜＜5）秒.（1）求抛物线的解析式及点A的坐标；（2）以OC为直径的⊙O′与BC交于点M，当t为何值时，PM与⊙O′相切？请说明理由.（3）在点P从点A出发的同时，动点Q从点B出发沿BC以每秒3个单位长度的速度向点C运动，动点N从点C出发沿CA以每秒个单位长度的速度向点A运动，运动时间和点P相同.①记△BPQ的面积为S，当t为何值时，S最大，最大值是多少？②是否存在△NCQ为直角三角形的情形，若存在，求出相应的t值；若不存在，请说明理由.OMCBAxyPQNO′•OCBAxy备用图O′•图M【答案】（1）在中，令x=0，得y=9；令y=0，得x=12.∴C(0,9)，B(12,0).又抛物线经过B，C两点，∴解得∴.\n于是令y=0，得，解得x1=-3，x2=12.∴A(-3,0).（2）当t=3秒时，PM与⊙O′相切.连接OM.∵OC是⊙O′的直径，∴∠OMC=90°.∴∠OMB=90°.∵O′O是⊙O′的半径，O′O⊥OP，∴OP是⊙O′的切线.而PM是⊙O′的切线，∴PM=PO.∴∠POM=∠PMO.又∵∠POM+∠OBM=90°，∠PMO+∠PMB=90°，∴∠PMB=∠OBM.∴PM=PB.∴PO=PB=OB=6.∴PA=OA+PO=3+6=9.此时t=3（秒）.∴当t=3秒，PM与⊙O′相切.（3）①过点Q作QD⊥OB于点D.∵OC⊥OB，∴QD∥OC.∴△BQD∽△BCO.∴=.又∵OC=9，BQ=3t，BC=15，∴=，解得QD=.∴S△BPQ=BP•QD=.即S=.S=.故当时，S最大，最大值为.②存在△NCQ为直角三角形的情形.∵BC=BA=15，∴∠BCA=∠BAC，即∠NCM=∠CAO.∴△NCQ欲为直角三角形，∠NCQ≠90°，只存在∠NQC=90°和∠QNC=90°两种情况.当∠NQC=90°时，∠NQC=∠COA=90°，∠NCQ=∠CAO，∴△NCQ∽△CAO.∴=.∴=，解得.当∠QNC=90°时，∠QNC=∠COA=90°，∠QCN=∠CAO，∴△QCN∽△CAO.∴=.∴=，解得.综上，存在△NCQ为直角三角形的情形，t的值为和.77.（2022·云南省玉溪市模拟，22，11）已知：在中，，点为边的中点，点在上，连结并延长到点,使，点在线段上，且．（1）如图1，当时，求证：；（2）如图2，当时，则线段之间的数量关系为 ；（3）在（2）的条件下，延长到，使，连接，若，求的值．\n【答案】（1）证明：如图1连接又即..（2）（3）解：如图2连接,,为等边三角形.又为中点,.,.,又,.又,为等边三角形...在中,,,.为中点,为中点,...BADFGCE图1书BCFDAE图2书G78.（2022·湖北省襄阳市高中推荐招生考试，19，11）\n如图1，四边形ABCD是正方形，G在BC的延长线上，点E是边BC上的任意一点（不与B、C重合），∠AEF=90°，且AE=EF，连接CF.(1)求证：∠FCG=45°；(2)如图2，当四边形ABCD是矩形，且AB=2AD时，点E是边BC上的任意一点（不与B、C重合），∠AEF=90°，且AE=2EF，连接CF，求tan∠FCG的值.【答案】（1）证明：过F作FH⊥CG于H，在正方形ABCD中，∠ABE=900，AB=BC，∵∠AEF=900，∴∠AEB+∠FEH=900，又∵∠BAE+∠AEB=900∴∠BAE=∠FEH又∵∠ABE=∠FHE，AE=EF，∴△ABE≌△EHF∴BE=FH，AB=EH=BC，∴BE=CH=FH，∴△FCH是等腰直角三角形∴∠FCH=450说明：也可以在AB上截取AH′=EC，通过证△AH′E≌△FCE来证明，请参考以上评分说明给分。（2）过F作FH⊥CG于H在矩形ABCD中，同（1）理可证∠BAE=∠FEH.又∵∠ABE=∠EHF=900，∴△ABE∽△EHF.∴===2，∴BC=EH，即BE=CH.∴BE=CH=2FH∴tan∠FCH==79.（2022·江西省宜春市模拟，25，10）如图，将一矩形纸片OABC放在平面直角坐标系中，O（0，0），A（4，0），C（0，3）．动点Q从点O出发以每秒1个单位长度的速度沿OC向终点C运动，运动1秒时，动点P从点A出发以相等的速度沿AO向终点O运动．当其中一点到达终点时，另一点也停止运动．设点P的运动时间为t（秒）．（1）用含t的代数式表示OP、OQ，并写出t的取值范围；（2）连结AC，PQ与AC能否平行？若能，求出相应的值，若不能，说明理由；（3）将△OPQ沿PQ翻折，得到△EPQ，直线PE与AC能否垂直？若能，求出相应的值；若不能，说明理由．【答案】（1）\n（2）能与平行．若，如图1，则，即，，而，（3）不能与垂直．若，延长交于，如图2，则．即．．又，，，，而，不存在．80.（2022·江西省师大附中和南大附中联考，25，10）如图，过点E（0，－1）作平行于x轴的直线l，抛物线上的两点A、B的横坐标分别为－1和4，直线AB交y轴于点F，过点A、B分别作直线l的垂线，垂足分别为点C、D，连接CF、DF.(1)求点A、B、F的坐标；(2)求证CF⊥DF；(3)点P是抛物线对称轴右侧图像上的一动点，过点P作PQ⊥PO交x轴于点Q，是否存在点P使得△OPQ与△CDF相似？若存在，请求出所有符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由.\n【答案】(1)∵当x=－1时，y=1/4，x=4时,y=4,∴A（－1，4），B（4，4）.把A和B的点坐标代入y=kx+b,K=3/4,b=1.∴y=3x/4+1.当x=0时,y=1,∴F（0，1）.（2）∵,,CD=5,∴.∴△CFD为Rt△，∠CFD=90°,即CF⊥DF.（3）∵∠CFD=∠OPQ=90°,∴当∠FCD=∠POG或∠FDC=∠POG时，△CFD和△OPQ相似.设P点坐标为,∴sin∠FCD=sin∠POG或sin∠FDC=sin∠POG,即或.解得a=8或a=2.∴点P的坐标为（8，18），（2，1）.81.（2022·江西省中招样卷一，25，10）某班甲、乙、丙三位同学进行了一次用正方形纸片折叠探究相关数学问题的课题学习活动.活动情境：\n如图2，将边长为8cm的正方形纸片ABCD沿EG折叠(折痕EG分别与AB、DC交于点E、G)，使点B落在AD边上的点F处，FN与DC交于点M处，连接BF与EG交于点P．所得结论：当点F与AD的中点重合时：（如图1）甲、乙、丙三位同学各得到如下一个正确结论（或结果）：甲：△AEF的边AE=cm，EF=cm；乙：△FDM的周长为16cm；丙：EG=BF.你的任务：（1）填充甲同学所得结果中的数据；（2）写出在乙同学所得结果的求解过程；（3）当点F在AD边上除点A、D外的任何一处（如图2）时：①试问乙同学的结果是否发生变化？请证明你的结论；②丙同学的结论还成立吗？若不成立，请说明理由，若你认为成立，先证明EG=BF，再求出S（S为四边形AEGD的面积）与x（AF=x）的函数关系式，并问当x为何值时，S最大？最大值是多少？【答案】（1）AE=3cm，EF=5cm；设AE=x，则EF=8－x，AE=4，∠A=90°，，x=3，∴AE=3cm，EF=5cm.（2）解：如答图1，∵∠MFE=90°，∴∠DFM+∠AFE=90°，又∵∠A=∠D=90°，∠AFE=∠DMF，∴△AEF∽△DFM，∴，又∵AE=3，AF=DF=4，EF=5∴，，，，∴△FMD的周长=4++=16（3）①乙的结果不会发生变化理由：如答图2，设AF=x，EF=8－AE，，∴AE=4－，同上述方法可得△AEF∽△DFM，=x+8，FD=8－x，\n则，=16②丙同学的结论还成立证明：如答图2，∵B、F关于GE对称，∴BF⊥EG于P，过G作GK⊥AB于K，∴∠FBE=∠KGE，在正方形ABCD中，GK=BC=AB，∠A=∠EKG=90°，∴△AFB≌△KEG，∴FB=GK.由上述可知AE=4－，△AFB≌△KEG，∴AF=EK=x，AK=AE+EK=AF+AE=4－+x，S=×8=0.5×8（AE+AK）=4×（4－+4－+x）=S=，（0﹤x﹤8）当x=4,即F与AD的中点重合时,，=2482．（2022·江西省中招样卷四，23，9）已知直线于O，现将矩形ABCD和矩形EFGH，如图1放置，直线BE分别交直线于.（1）当矩形ABCD≌矩形EFGH时，（如图1）BM与NE的数量关系是；（2）当矩形ABCD与矩形EFGH不全等，但面积相等时，把两矩形如图2，3那样放置，问在这两种放置的情形中，（1）的结论都还成立吗？如果你认为都成立，请你利用图3给予证明，若认为BM与NE的有不同的数量关系，先分别写出其数量关系式，再证明.【答案】（1）BM=NE（2）如图2，3那样放置（1）中的结论都成立,证明:如图3,在矩形ABCD和矩形EFGH中,FN∥EH,,∠FNE=∠BEA,∠EFN=∠A=90°∴△EFN∽△BAE,同理:△BCM∽△EAB\n∴…………①,………………②①÷②得,又∵EF×HE=AB×BC,∴=1,∴EN=BMACBDE83.（2022·江西省中招样卷三，22，9）如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝5，CB＝12，AD是△ABC的角平分线，过A、C、D三点的圆与斜边AB交于点E，连接DE．（1）求证：AC＝AE；（2）求△ACD外接圆的直径．【答案】（1）证明：∵∠ACB＝90°，∴AD为直径．又∵AD是△ABC的角平分线，∴，∴，∴在同一个⊙O中，AC＝AE（2）解：∵AC=5，CB=12，∴AB=，∵AE=AC=5，∴BE=AB-AE=13-5=8，∵AD是直径，∴∠AED=∠ACB=90°，∵∠B=∠B，∴△ABC∽△DBE，∴，∴DE＝，∴AD＝∴△ACD外接圆的直径为．84.（2022·江西省中招样卷六，24，10）矩形ABCD中，已知：AD=6，DC=8，矩形EFGH的三个顶点E、G、H分别在矩形ABCD的边AB、CD、DA上，AH=2，连接CF，设AE=x，△FCG的面积=y.（1）如图1，当四边形EFGH为正方形时，求x和y的值；（2）如图2，①求y与x之间的函数关系式与自变量的取值范围；②连接AC，当EF∥AC时，求x和y的值；③当△CFG是直角三角形时，求x和y的值.\n【答案】（1）作FM⊥CD于M，∵△AEH≌△DHG≌△MGF∴x=AE=DH=6-2=4，DG=AH=2∴y=△FCG的面积=.（2）①∵△AEH∽△DHG∴即，∴∴△FCG的面积=.∴1<x<8.②∵△DHG∽△DAC∴即，∴.∴，∴y=，∴.③由画图可知∠FGC和∠GCF都不能为直角，当∠GFC=90°时，E、F、C三点在一条直线上，∴△AEH∽△BCE∴，即，解得：∴x=2或x=6.∴y=4或.85.（2022·江苏省盐城市模拟，28，12）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，点A的坐标为（－8，0），直线BC经过点B（－8，6）、C（0，6），将四边形OABC绕点O按顺时针方向旋转α度得到四边形，此时直线、直线分别与直线BC相交于P、Q．（1）四边形OABC的形状是，当α=90°时，的值是．（2）①如图2,当四边形的顶点落在y轴正半轴上时,求的值；②如图3,当四边形的顶点落在直线BC上时,求ΔOPB′的面积．\n（3）在四边形OABC旋转过程中,当0°＜α≤180°时，是否存在这样的点P和点Q，使BP=？若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】86.（2022·江苏省徐州市模拟，25，8）在东西方向的海岸线上有一长为1km的码头MN（如图），在码头西端M的正西19．5km处有一观察站A．某时刻测得一艘匀速直线航行的轮船位于A的北偏西30°,且与A相距40km的B处；经过1小时20分钟，又测得该轮船位于A的北偏东60°，且与A相距km的C处．（1）求该轮船航行的速度（保留精确结果）；（2）如果该轮船不改变航向继续航行，那么轮船能否正好行至码头MN靠岸？请说明理由．【答案】（1）由题意，得∠BAC=90°，\n∴．∴轮船航行的速度为km/时．(2)能．作BD⊥l于D，CE⊥l于E，设直线BC交l于F，则BD=AB·cos∠BAD=20，CE=AC·sin∠CAE=，AE=AC·cos∠CAE=12．∵BD⊥l,CE⊥l,∴∠BDF=∠CEF=90°．又∠BFD=∠CFE，∴△BDF∽△CEF，∴∴，∴EF=8．∴AF=AE+EF=20．∵AM＜AF＜AN，∴轮船不改变航向继续航行，正好能行至码头MN靠岸．87.（2022·江苏省徐州市模拟，26，10）如图，是⊙O的直径，为延长线上的任意一点，为半圆的中点，切⊙O于点，连结交于点． 求证：（1）；（2）．【答案】(1)连接OC、OD∴OD⊥PD，OC⊥AB∴∠PDE=—∠ODE，∠PED=∠CEO=—∠C又∵∠C=∠ODE∴∠PDE=∠PED∴PE=PD(2)连接AD、BD∴∠ADB=∵∠BDP=—∠ODB，∠A=—∠OBD又∵∠OBD=∠ODB∴∠BDP=∠A∴PDB∽PAD∴∴∴88.（2022·江苏省上冈市模拟，28，12）如图，过点P（-4，3）作x轴、y轴的垂线，分别交x轴、y轴于A、B两点，交双曲线（k≥2）于E、F两点．（1）点E坐标是，点F坐标是；（均用含k的式子表示）（2）判断EF与AB位置关系，并证明你结论；（3）记S=S△PEF-S△OEF，S是否有最小值？若有，求出其最小值；若没有，请你说明理由．\n【答案】(1)(2)平行PB=4，PA=3PF=PE=∠APB=∠EPF△APB∽△EPF∠PAB=∠DEFAB∥EF(3)过点F、E分别作x轴y轴垂线交与点QS===当k=2时S有最小值89．（2022·湖北省黄冈市三模，20，7）如图，⊙O是△ABC的外接圆，AB＝AC，过点A作AP∥BC，交BO的延长线于点P．(1)求证：AP是⊙O的切线；(2)若⊙O的半径R=5，BC=8，求线段AP的长．【答案】(1)证明：过点A作AE⊥BC，交BC于点E．∵AB=AC，∴AE平分BC，∴点O在AE上．又∵AP//BC，∴AE⊥AP，∴AP为⊙O的切线．（2），．又，．．即．．90.（2022·河南省新密市模拟，22，9）已知：如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，∠DCB=90°，E是AD的中点，点P是BC边上的动点（不与点B重合），EP与BD相交于点O.（1）当P点在BC边上运动时，求证：△BOP∽△DOE；BAEDCCO（2）设（1）中的相似比为，若AD︰BC=2︰3.请探究：当k为下列三种情况时，四边形ABPE是什么四边形？\n①当=3时，是.并证明你得到的结论.②当=2时，是；（不证明）③当=1时，是；（不证明）【答案】（1）证明：∵∴AD∥BC,∠OCP=∠OAE又∠COP=∠AOE,又∠COP=∠AOE,∴△COP∽△AOE（2）①等腰梯形；证明：分别过点D、E作BC的垂线，垂足为M、N.∵AD∥BC，∠ABC=90°,∴AB∥EN∥DM且AB=EN=DM又∵AD:BC=2:3,设AD=3x，则BC=3x.∵E是AD的中点，∴AE=ED=BN=NM=MC=x，当K=3时，∴CP=3AE=3x.∴此时点P与点B重合.在Rt△CDM和Rt△ENB（P）中，∵DM=EN，CM=BN，∴Rt△CDM≌△RtENB.∴CD=EP∵DE∥CP,CD与EP不平形，∴四边形EDCP是等腰梯形.②直角梯形:③平行四边形：91.（2022·河南省中招押题三，20，9）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O交AC于E，交BC于D．求证：（1）D是BC的中点；（2）△BEC∽△ADC；（3）BC2=2AB·CE．【答案】（1）证明：∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD是底边BC上的高．又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，∴D是BC的中点；(2)证明：∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角，∴∠CBE=∠CAD．又∵∠BCE=∠ACD，∴△BEC∽△ADC；（3）证明：由△BEC∽△ADC，知，即CD·BC=AC·CE．∵D是BC的中点，∴CD=BC．又∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE=BC·BC=AB·CE\n即BC=2AB·CE．92.（2022·河南省中招押题三，22，10）如图,等腰梯形ABCD中，AD//BC,AB=CD，AD=2,BC=4.点M从B点出发以每秒2个单位的速度向终点C运动；同时点N从D点出发以每秒1个单位的速度向终点A运动.过点N作NP⊥BC,垂足为P，NP＝2.连接AC交NP于Q，连接MQ.若点N运动时间为t秒.求：（1）请用含t的代数式表示PC；（1）求△CMQ的面积S与时间t的函数关系式，（2）当t取何值时，S有最大值？最大值是多少？【答案】（1）如图,过A作AE垂直x轴于E，则由等腰梯形的对称性可知：BE=当动点N运动t秒时，PC＝1+t.（2）∵AD∥BC，NP⊥BC∴∠ANQ=∠CPQ=90°又∵∠AQN=∠CQP∴△AQN∽△CQP∴∴∴PQ=∵点M以每秒2个单位运动，∴BM＝2t，CM＝4—2tS△CMQ＝＝当t＝2时，M运动到C点，△CMQ不存在，∴t2∴t的取值范围是0≤t＜2S△CMQ＝.当S有最大值，最大值是.93.（2022·河南省中招押题六，22，10）如图，△ABC是圆O的内接三角形，AB是直径，∠ABC=45º，点M在边AC上，点N在边BC上，△MCN与△MPN关于直线MN对称，P是AB上的点.\n（1）当点P是边AB的中点时，求证：；（2）当点P不是边AB的中点时，是否仍然成立？请证明你的结论.CCNMMNPBABAP【答案】（1）连结CP，依据题意得折痕MN⊥CP.∵AC=BC，AP=BP，∴CP⊥AB.∴MN∥AB，.∴.（2）当点P不是斜边AB的中点时，仍然成立.证明如下：连结CP，则MN⊥CP.作PE⊥AC于E.∵∠ACB=90º，∴PE∥BC，.又AC=BC，∠A=∠B=45º，∠APE=∠B=45º，∴AE=PE.∵∠MCN=90º，CP⊥MN，∴∠ECP=∠MNC.∴Rt△MCN∽Rt△PEC，.∴.∴.94.（2022·广东省四会市一模，24，10）如图，在△ABC中，AB=AC，以AB为直径的⊙O分别交AC、BC于E、D两点．求证：（1）D是BC的中点；（2）△BEC∽△ADC；（3）BC2=2AB·CE．【答案】（1）证明：又∵AB=AC，∴△ABC是等腰三角形，又∵AB是⊙O的直径，∴∠ADB=90°，即AD是底边BC上的高．∴D是BC的中点；\n(2)证明：∵∠CBE与∠CAD是同弧所对的圆周角，∴∠CBE=∠CAD．又∵∠BCE=∠ACD，∴△BEC∽△ADC；（3）证明：由△BEC∽△ADC，知，即CD·BC=AC·CE．∵D是BC的中点，∴CD=BC．又∵AB=AC，∴CD·BC=AC·CE=BC·BC=AB·CE即BC=2AB·CE．ABCOEFD95．（2022·广东省汕头市模拟，20，9）如图，⊙O是等腰三角形ABC的外接圆，AB=AC，延长BC到点D，使CD＝AC，连接AD交⊙O于点E，连接BE，BE与AC交于F.（1）判断BE是否平分∠ABC，并说明理由；（2）若AE=6，BE=8，求EF的长.【答案】（1）BE平分∠ABC.理由如下：∵CD＝AC，∴∠D=∠CAD.ABCOEFD∵∠ACB=∠D+∠CAD，∴∠CAD=∠ACB∵AB＝AC，∴∠ABC=∠ACB∴∠EBD=∠ABC，∴∠ABE=∠EBC，即BE平分∠ABC.（2）由（1）知∠ABE=∠EBC，∠EBC=∠CAD，∴∠CAD=∠ABE.∵∠AEF=∠BEA，∴△AEF∽△BEA.∴.∴EF=.MCByODPxAEFl（第24题图）G96.（2022·广东省汕头市模拟，24，12）如图的平面直角坐标系中，抛物线交轴于A、B两点（点B在点A的右侧），交轴于点C，以OC、OB为两边作矩形OBDC，CD交抛物线于G．（1）求OC和OB的长；（2）抛物线的对称轴在边OB（不包括O、B两点）上作平行移动，交轴于点E，交CD于点F，交BC于点M，交抛物线于点P．设OE=m，PM=h，求h与m的函数关系式，并求出PM的最大值；（1）连接PC，则在CD上方的抛物线部分是否存在这样的点P，（2）使得以P、C、F为顶点的三角形和△BEM相似？若存在，直接\n（1）求出此时m的值，并直接判断△PCM的形状；若不存在，请说明理由．【答案】解：（1）对于，MCByODPxAElF当=0时，=4；当=0时，，解得．∴点B的坐标为（3，0），点C的坐标为（0，4）．∴OC=4，OB=3．（2）∵抛物线的对称轴⊥轴，在边PE∥，∴PE⊥轴．∵OE=m，∴点P的横坐标为m．∵点P在抛物线上，∴点P的纵坐标为．∴PE=．在Rt△BOC中，tan∠OBC=．在Rt△BME中，ME=BEtan∠OBC=（OB－OE）·tan∠OBC=（3－m）=4－m．∴PM=PE－ME=－4+m=．∴h与m的函数关系式为h=（0<m<3）又h=，∵－<0，∴当m=时，h有最大值为3，∴PM的最大值为3．（3）①当m=时，△PFC∽△BEM，此时△PCM为直角三角形（∠PCM为直角）；②当m=1时，△CFP∽△BEM，此时△PCM为等腰三角形（PC=CM）．97.（2022·福建省南平市模拟，25，12）如图，在△ABC中，∠ABC=∠CAB=72°，将△ABC绕点A顺时针旋转度（36°＜＜180°﹚得到△ADE，连接CE，线段BD（或其延长线）分别交AC、CE于G、F两点（1）求证：△ABG∽△FCG；（2）在旋转的过程中，是否存在一个时刻，使得△ABG与△FCG全等？若存在，求出此时旋转角的大小．\n【答案】（1）证法一：∵△AED是由△ABC绕点A顺时针旋转得到：∴∠BAC=∠DAE=72°，∠BAD=∠CAEAB=AD,AC=AE∠ABD=180°-∠BAD=180°-∠CAE=∠ECA22又∵△ABG∽△FCG证法二：∵△AED是由△ABC绕点A顺时针旋转得到的：∴∠BAC=∠DAE=72°,∠BAD=∠CAE,AB=AD,AC=AE∴AB=AD，△ABD∽△ACE,∠DBA=∠ECAACAE又∵∠BGA=∠CGF,∴△ABG∽△FCG（2）答：存在（3）由（1）知△ABG∽△FCG，∴当BG=CG时，△ABG≌△FCG（4）∵∠ABC=∠CAB=72,∴∠GCB=∠GBC=36°AB=AD,∴∠GBA=∠BDA=36°α=∠BAD=108°98.（2022·安徽省蚌埠市七中自主招生，16，12）如图1：等边可以看作由等边绕顶点经过旋转相似变换得到.但是我们注意到图形中的和的关系，上述变换也可以理解为图形是由绕顶点旋转形成的.于是我们得到一个结论：如果两个正三角形存在着公共顶点，则该图形可以看成是由一个三角形绕着该顶点旋转形成的.①利用上述结论解决问题：如图2，中，都是等边三角形，求四边形的面积;②图3中,∽，，仿照上述结论\n,推广出符合图3的结论.（写出结论即可）BCADEFBACDEBACDE(图1)（图2）（图3）【答案】①②结论：如果两个等腰三角形有公共顶角顶点，顶角均为，则该图形可以看成一个三角形绕着该顶点旋转形成的.99.（2022·广东省清远市一模，24，8）如图，四边形是正方形，是延长线上的一点，且.ABCDEF（1）求证：平分；（2）设AE交CD于点F，正方形ABCD的边长为1，求DF的长.（结果保留根号）【答案】(1)证明:∵四边形ABCD是正方形，AC是对角线∴ABCDEF又∵∴∴∴∴平分(2)解：∵四边形ABCD是正方形∴∠B=90o，∠D=∠DCE=90o∴∴CE=AC=又∵∠AFD=∠EFC∴△AFD∽△EFC∴设，则∴∴\nOABC100.（2022·广东省清远市一模，26，9）如图，在平面直角坐标系中，点的坐标为（0，），以点为圆心、为半径画圆，直线与轴、轴分别交于B、C两点，点是轴上的一个动点.（1）求B、C两点的坐标；（2）直线与⊙有那几种位置关系？（3）当直线是⊙的切线时，求点的坐标.【答案】(1)在直线y=－x+4中令y=0,则x=4∴点B的坐标为（4，0）令x=0，则y=4∴点C的坐标为（0，4）（2）直线与⊙O有相离、相切、相交三种位置关系（3）设直线与⊙O相切于点（点在第四象限），交轴于点，连接则⊥C把代入得，∴点的坐标为（0，4）EB∴O在Rt△中，PA在Rt△和Rt△中，∴Rt△∽Rt△∴即∴当点在第三象限，同理，∴点的坐标为（，0），（，0）ABCDEO101．（2022·广东省清远市一模，23，8）如图，已知半径为5cm的⊙O是△ABC的外接圆，CD是AB边上的高，AE是⊙O的直径．若cm，cm．求CD的长．【答案】如图，连结CE，∴∠B=∠E．∵AE是⊙O的直径，∴∠ACE=90°．∵CD是AB边上的高，∴∠CDB=90°．\n在△AEC与△CBD中，∠E=∠B，∠ACE=∠CDB，∴△AEC∽△CBD．∴，即．∴．∴CD的长为5.4cm．
