第16讲 二次函数的解析式1.(2022，河北)如图，抛物线y1＝a(x＋2)2－3与y2＝(x－3)2＋1交于点A(1，3)，过点A作x轴的平行线，分别交两条抛物线于点B，C.以下结论：①无论x取何值，y2的值总是正数；②a＝1；③当x＝0时，y2－y1＝4；④2AB＝3AC.其中正确结论是(D)第1题图A.①②B.②③C.③④D.①④【解析】①∵抛物线y2＝(x－3)2＋1的开口向上，顶点在x轴的上方，∴无论x取何值，y2的值总是正数．故此结论正确．②把A(1，3)的坐标代入y1＝a(x＋2)2－3，得3＝a·(1＋2)2－3.解得a＝.故此结论错误．③可知抛物线y1＝a(x＋2)2－3的解析式为y1＝(x＋2)2－3.当x＝0时，y1＝×(0＋2)2－3＝－，y2＝×(0－3)2＋1＝.故y2－y1＝＋＝.故此结论错误．④∵抛物线y1＝a(x＋2)2－3与y2＝(x－3)2＋1交于点A(1，3)，∴y1的对称轴为x＝－2，y2的对称轴为x＝3.∴B(－5，3)，C(5，3)．∴AB＝6，AC＝4.∴2AB＝3AC.故此结论正确．2.(2022，河北节选)如图，已知点O(0，0)，A(－5，0)，B(2，1)，抛物线l：y＝－(x－h)2＋1(h为常数)与y轴的交点为C.(1)l经过点B，求它的解析式，并写出此时l的对称轴及顶点坐标；(2)设点C的纵坐标为yC，求yC的最大值，此时l上有两点(x1，y1)，(x2，y2)，其中x1＞x2≥0，比较y1与y2的大小．第2题图【思路分析】(1)把点B的坐标代入抛物线的解析式，得出关于h的方程，求得h的值．利用抛物线解析式得到它的对称轴和顶点坐标．(2)把点C的横坐标代入抛物线的解析式得到yC＝－h2＋1，则由二次函数的最值的求法易得yC的最大值，并可以求得此时抛物线的解析式，根据函数的增减性来比较y1与y2的大小．解：(1)把点B(2，1)的坐标代入y＝－(x－h)2＋1，得1＝－(2－h)2＋1.解得h＝2.所以该抛物线的解析式为y＝－(x－2)2＋1(或y＝－x2＋4x－3)．10\n所以抛物线l的对称轴为x＝2，顶点坐标是(2，1)．(2)∵点C的横坐标为0，∴yC＝－h2＋1.∴当h＝0时，yC有最大值，最大值为1.所以此时抛物线l的解析式为y＝－x2＋1，对称轴为y轴，开口方向向下．∴当x≥0时，y随x的增大而减小．∵x1＞x2≥0，∴y1＜y2. 求二次函数的解析式例1(2022，徐州，导学号5892921)已知二次函数的图象以A(－1，4)为顶点，且过点B(2，－5)．(1)求该函数的解析式；(2)求该函数图象与坐标轴的交点坐标；(3)将该函数图象向右平移，当图象经过原点时，A，B两点随图象移至点A′，B′，求△OA′B′的面积．【思路分析】(1)已知抛物线的顶点坐标，可设该二次函数的解析式为顶点式，然后将点B的坐标代入，即可求出二次函数的解析式．(2)根据函数解析式，令x＝0，可求得抛物线与y轴的交点坐标；令y＝0，可求得抛物线与x轴的交点坐标．(3)由(2)可知抛物线与x轴的交点分别在原点两侧，由此可求出当抛物线与x轴负半轴的交点平移到原点时，抛物线平移的单位长度，由此可求出点A′，B′的坐标．可用割补法求出△OA′B′的面积．解：(1)设该函数的解析式为y＝a(x＋1)2＋4.将B(2，－5)的坐标代入，得－5＝a·(2＋1)2＋4.解得a＝－1.∴该函数的解析式为y＝－(x＋1)2＋4＝－x2－2x＋3.(2)令x＝0，得y＝3.所以与y轴的交点坐标为(0，3)．令y＝0，得－x2－2x＋3＝0，解得x1＝－3，x2＝1.所以与x轴的交点坐标为(－3，0)，(1，0)．(3)设该函数图象与x轴的交点为M，N(点M在点N的左侧)．由(2)知M(－3，0)，N(1，0)．当函数图象向右平移经过原点时，点M与点O重合，该函数图象向右平移了3个单位长度．∴A′(2，4)，B′(5，－5)，如答图．∴S△OA′B′＝×(2＋5)×(4＋5)－×2×4－×5×5＝15.10\n例1答图针对训练1(2022，荆门京山模拟)一条抛物线和抛物线y＝－2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(－1，3)，则该抛物线的解析式为(B)A.y＝－2(x－1)2＋3 B.y＝－2(x＋1)2＋3C.y＝－(2x＋1)2＋3 D.y＝－(2x－1)2＋3【解析】根据题意可知该抛物线的解析式为y＝－2(x＋1)2＋3.针对训练2(2022，百色)经过A(4，0)，B(－2，0)，C(0，3)三点的抛物线的解析式是（y＝－x2＋x＋3）.【解析】设该抛物线的解析式为y＝a(x＋2)(x－4)．把C(0，3)的坐标代入，得－8a＝3.解得a＝－.∴该抛物线的解析式为y＝－(x＋2)(x－4)＝－x2＋x＋3. 二次函数图象与系数a，b，c的特殊关系例2(2022，抚顺一模)抛物线y1＝ax2＋bx＋c与直线y2＝mx＋n如图所示．下列结论：①abc＜0；②a－b＋c＞0；③5a－c＝0；④当x＜或x＞6时，y1＞y2.其中正确结论的序号是①②③④.例2题图【解析】由题意，得a＞0，b＜0，c＞0.∴abc＜0.故①正确．观察图象，可知当x＝－1时，y1＞0，∴a－b＋c＞0.故②正确．∵－＝3，∴b＝－6a.∵当x＝5时，y＝0，且对称轴为x＝3，∴当x＝1时，y＝0.∴a＋b＋c＝0.∴－5a＋c＝0，即5a－c＝0.故③正确．观察图象，可知当x＜或x＞6时，y1＞y2.故④正确.针对训练3(2022，泸州泸县一模)如图，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为x＝1，与x轴的一个交点坐标为(－1，0)，其部分图象如图所示．下列结论：①4ac＜b2；②方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3；③3a＋c＞0；④当y＞0时，x的取值范围是－1≤x＜3；⑤当x＜0时，y随x的增大而增大．其中结论正确的是①②⑤.(填序号)训练3题图【解析】∵抛物线与x轴有2个交点，∴b2－4ac＞0.所以①正确．∵抛物线的对称轴为x＝1，∴点(－1，0)关于直线x＝1的对称点的坐标为(3，0)．∴方程ax2＋bx＋c＝0的两个根是x1＝－1，x2＝3.所以②正确．∵x＝－＝1，∴b＝－2a.∵当x＝－1时，y＝0，∴a－b＋c＝0.∴3a＋c＝0.所以③错误．∵抛物线与x轴的交点坐标为(－1，0)，(3，0)，∴当－1＜x＜3时，y＞0.所以④错误．∵抛物线的对称轴为x＝1，∴当x＜1时，y随x10\n的增大而增大．所以⑤正确.针对训练4(2022，芜湖繁昌县模拟)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，且a≠0)中的x与y的部分对应值如下表：x－1013y－1353下列结论：①ac＜0；②当x＞1时，y随x的增大而减小；③当x＝2时，y＝5；④x＝3是方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的一个根．其中正确的是①③④.(填序号)【解析】将(－1，－1)，(0，3)，(1，5)代入y＝ax2＋bx＋c，得解得∴二次函数的解析式为y＝－x2＋3x＋3.①∵ac＝－1×3＝－3＜0，∴该结论正确．②∵y＝－x2＋3x＋3＝－＋，∴当x＞时，y随x的增大而减小．∴该结论错误．③当x＝2时，y＝－22＋3×2＋3＝5，∴该结论正确．④ax2＋(b－1)x＋c＝－x2＋2x＋3＝0，解得x＝3或x＝－1.∴x＝3是方程ax2＋(b－1)x＋c＝0的一个根．∴该结论正确．一、选择题1.(2022，北京顺义区模拟)二次函数的部分图象如图所示，对称轴是x＝－1，则这个二次函数的解析式为(D)第1题图A.y＝－x2＋2x＋3B.y＝x2＋2x＋3C.y＝－x2＋2x－3D.y＝－x2－2x＋3【解析】因为抛物线的对称轴为x＝－1，所以设这个二次函数的解析式为y＝a(x＋1)2＋k.将(－3，0)，(0，3)代入，得解得所以这个二次函数的解析式为y＝－(x＋1)2＋4＝－x2－2x＋3.2.(2022，合肥包河区二模)已知二次函数y＝ax2＋bx的图象经过点A(－1，1)，则ab有(D)A.最大值1B.最大值2C.最小值0D.最小值－【解析】把点A(－1，1)的坐标代入y＝ax2＋bx，得a－b＝1.∴b＝a－1.∴ab＝a(a－1)＝a2－a＝－.∴ab有最小值－.3.(2022，南京玄武区一模)已知二次函数y＝x2－5x＋m的图象与x轴有两个交点．若其中一个交点的坐标为(1，0)，则另一个交点的坐标为(B)A.(－1，0)B.(4，0)C.(5，0)D.(－6，0)10\n【解析】二次函数y＝x2－5x＋m的图象的对称轴为x＝.∵该二次函数的图象与x轴的一个交点的坐标为(1，0)，∴另一个交点的坐标为，即(4，0)．4.(2022，枣庄)如图所示的是二次函数y＝ax2＋bx＋c图象的一部分，且过点A(3，0)，二次函数图象的对称轴是x＝1.下列结论正确的是(D)第4题图A.b2＜4acB.ac＞0C.2a－b＝0D.a－b＋c＝0【解析】A.∵抛物线与x轴有两个交点，∴b2－4ac＞0，即b2＞4ac.所以此选项错误．B.∵抛物线的开口向上，∴a＞0.∵抛物线与y轴的交点在x轴的下方，∴c＜0.∴ac＜0.所以此选项错误．C.∵二次函数图象的对称轴是x＝1，∴－＝1.∴2a＋b＝0.所以此选项错误．D.∵抛物线过点A(3，0)，二次函数图象的对称轴是x＝1，∴抛物线与x轴的另一个交点为(－1，0)．∴a－b＋c＝0.所以此选项正确．5.(2022，滨州)如图，若二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴为x＝1，与y轴交于点C，与x轴交于点A，B(－1，0)，则①二次函数的最大值为a＋b＋c；②a－b＋c＜0；③b2－4ac＜0；④当y＞0时，－1＜x＜3.其中正确的个数是(B)第5题图A.1B.2C.3D.4【解析】①∵二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴为x＝1，且开口向下，∴当x＝1时，y最大＝a＋b＋c，即二次函数的最大值为a＋b＋c.故该结论正确．②∵图象过点B(－1，0)，∴当x＝－1时，a－b＋c＝0.故该结论错误．③图象与x轴有2个交点，故b2－4ac＞0.故该结论错误．④∵图象的对称轴为x＝1，与x轴交于点A，B(－1，0)，∴A(3，0)．故当y＞0时，－1＜x＜3.故该结论正确．6.(2022，莱芜)若函数y＝ax2＋2ax＋m(a＜0)的图象过点(2，0)，则使函数值y＜0成立的x的取值范围是(A)A.x＜－4或x＞2B.－4＜x＜2C.x＜0或x＞2D.0＜x＜2【解析】∵抛物线y＝ax2＋2ax＋m的对称轴为x＝－＝－1，抛物线与x轴的一个交点坐标为(2，0)，∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为(－4，0)．∵a＜0，∴抛物线的开口向下．∴当x＜－4或x＞2时，y＜0.7.(2022，白银)如图所示的是二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，a≠0)图象的一部分，与x轴的交点A在点(2，0)和(3，0)之间，对称轴是x＝1.对于下列说法：①ab＜0；②2a＋b＝0；③3a＋c＞0；④a＋b≥m(am＋b)(m为实数)；⑤当－1＜x＜3时，y＞0.其中正确的是(A)10\n第7题图A.①②④B.①②⑤C.②③④D.③④⑤【解析】∵对称轴在y轴的右侧，∴a，b异号．∴ab＜0.故①正确．∵对称轴x＝－＝1，∴2a＋b＝0.故②正确．∵2a＋b＝0，∴b＝－2a.由对称性可知，当x＝－1时，y＝a－b＋c＜0，∴a－(－2a)＋c＝3a＋c＜0.故③错误．根据图象知，当m＝1时，am2＋bm＋c有最大值a＋b＋c；当m≠1时，有am2＋bm＋c<a＋b＋c，所以a＋b≥m(am＋b)(m为实数)．故④正确．当－1＜x＜3时，y不一定大于0.故⑤错误．二、填空题8.(2022，洛阳洛宁县三模，导学号5892921)抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2，4)，B(6，4)两点，且顶点在x轴上，则该抛物线的解析式为（y＝x2－x＋1）.【解析】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过A(－2，4)，B(6，4)两点，∴抛物线的对称轴是x＝＝2.∵顶点在x轴上，∴顶点坐标为(2，0)．∴y＝ax2＋bx＋c＝a(x－2)2.把(－2，4)代入，得4＝a·(－2－2)2.解得a＝.∴y＝(x－2)2＝x2－x＋1.9.(2022，自贡)若函数y＝x2＋2x－m的图象与x轴有且只有一个交点，则m的值为－1.【解析】∵函数y＝x2＋2x－m的图象与x轴有且只有一个交点，∴Δ＝22－4×1×(－m)＝0.解得m＝－1.10.(2022，黔西南州)已知二次函数y＝ax2＋bx＋c图象上部分点的横坐标x与纵坐标y的对应值如表格所示，那么它的图象与x轴的另一个交点坐标是(3，0).x…－1012…y…0343…【解析】∵抛物线y＝ax2＋bx＋c经过(0，3)，(2，3)两点，∴对称轴x＝＝1.∴点(－1，0)关于对称轴的对称点为(3，0)．∴二次函数的图象与x轴的另一个交点坐标是(3，0)．三、解答题11.(2022，淮北相山区二模)已知二次函数的顶点坐标为(1，4)，且其图象经过点(－2，－5)，求此二次函数的解析式．【思路分析】设二次函数的解析式为y＝a(x－1)2＋4，然后把(－2，－5)代入求出a的值即可．解：设该二次函数的解析式为y＝a(x－1)2＋4.把(－2，－5)代入，得a·(－2－1)2＋4＝－5.解得a＝－1.所以该二次函数的解析式为y＝－(x－1)2＋4.12.(2022，宁夏)如图，抛物线y＝－x2＋bx＋c经过点A(3，0)和点B10\n(0，3)，且这个抛物线的对称轴为直线l，顶点为C.(1)求抛物线的解析式；(2)连接AB，AC，BC，求△ABC的面积．第12题图【思路分析】(1)利用待定系数法求抛物线的解析式．(2)利用割补法求△ABC的面积．解：(1)∵抛物线y＝－x2＋bx＋c经过A(3，0)，B(0，3)，∴解得∴抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋3.(2)由(1)知抛物线的解析式为y＝－x2＋x＋3，∴抛物线的对称轴为x＝.把x＝代入y＝－x2＋x＋3，得y＝4.∴点C的坐标为(，4)．设线段AB所在直线的解析式为y＝kx＋n.∵线段AB所在直线经过点A(3，0)，B(0，3)，∴解得∴线段AB所在直线的解析式为y＝－x＋3.如答图，设抛物线的对称轴l与直线AB交于点D，与x轴交于点E.设点D的坐标为(，m)．将点D(，m)的坐标代入y＝－x＋3，解得m＝2.∴点D的坐标为(，2)．由点C，D的坐标可知CE＝4，DE＝2.∴CD＝CE－DE＝2.如答图，过点B作BF⊥l于点F.∴BF＝OE＝.∵BF＋AE＝OE＋AE＝OA＝3，∴S△ABC＝S△BCD＋S△ACD＝·CD·BF＋·CD·AE10\n＝·CD·(BF＋AE)＝×2×3＝3.第12题答图1.(2022，大庆，导学号5892921)如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，C(4，y1)．若D(x2，y2)是抛物线上任意一点，有下列结论：①二次函数y＝ax2＋bx＋c的最小值为－4a；②若－1≤x2≤4，则0≤y2≤5a；③若y2＞y1，则x2＞4；④一元二次方程cx2＋bx＋a＝0的两个根为－1和.其中正确结论的个数是(B)第1题图A.1B.2C.3D.4【解析】∵二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象经过点A(－1，0)，B(3，0)，∴抛物线的解析式为y＝a(x＋1)(x－3)＝ax2－2ax－3a＝a(x－1)2－4a.∴当x＝1时，二次函数有最小值－4a.所以①正确．当x＝4时，y1＝9a－4a＝5a，∴当－1≤x2≤4时，－4a≤y2≤5a.所以②错误．∵点C(4，5a)关于直线x＝1的对称点为(－2，5a)，∴当y2＞y1时，x2＞4或x2＜－2.所以③错误．易得b＝－2a，c＝－3a，∴方程cx2＋bx＋a＝0可化为－3ax2－2ax＋a＝0.整理，得3x2＋2x－1＝0.解得x＝－1或x＝.所以④正确．2.(2022，龙东，导学号5892921)如图，抛物线y＝x2＋bx＋c与y轴交于点A(0，2)，对称轴为x＝－2，平行于x轴的直线与抛物线交于B，C两点，点B在对称轴的左侧，BC＝6.(1)求此抛物线的解析式；(2)点P在x轴上，直线CP将△ABC的面积分成2∶3两部分，请直接写出点P的坐标．第2题图【思路分析】(1)由对称轴x＝－2，以及点A的坐标确定出b与c10\n的值，即可求出抛物线的解析式．(2)由抛物线的对称轴及BC的长，确定出点B与点C的横坐标，代入抛物线的解析式求出纵坐标，确定出点B与点C的坐标，利用待定系数法求出直线AB的解析式，作直线CP，与AB相交于点Q，过点Q作QH⊥y轴于点H，设BC与y轴相交于点M，由已知面积之比求出QH的长，确定出点Q的横坐标，代入直线AB的解析式求出纵坐标，确定出点Q的坐标，再利用待定系数法求出直线CQ的解析式，即可确定出点P的坐标．解：(1)由题意，得x＝－＝－＝－2.解得b＝4.∵抛物线与y轴交于点A(0，2)，∴c＝2.所以此抛物线的解析式为y＝x2＋4x＋2.(2)∵抛物线的对称轴为x＝－2，BC＝6，∴点B的横坐标为－5，点C的横坐标为1.把x＝1代入y＝x2＋4x＋2，得y＝7.∴B(－5，7)，C(1，7)．设直线AB的解析式为y＝kx＋2.把点B的坐标代入，得k＝－1，即y＝－x＋2.如答图，作直线CP，与AB相交于点Q，过点Q作QH⊥y轴于点H.设BC与y轴相交于点M，则△AQH∽△ABM.∴＝.∵点P在x轴上，直线CP将△ABC的面积分成2∶3两部分，∴AQ∶QB＝2∶3或AQ∶QB＝3∶2，即AQ∶AB＝2∶5或AQ∶AB＝3∶5.∵BM＝5，∴QH＝2或QH＝3.当QH＝2时，把x＝－2代入直线AB的解析式，得y＝4.此时Q(－2，4)，直线CQ的解析式为y＝x＋6.令y＝0，得x＝－6，即P(－6，0)．当QH＝3时，把x＝－3代入直线AB的解析式，得y＝5.此时Q(－3，5)，直线CQ的解析式为y＝x＋.令y＝0，得x＝－13，即P(－13，0)．综上所述，点P的坐标为(－6，0)或(－13，0)．第2题答图10\n10
