第18讲 二次函数的应用(1)1.(2022，河北)某车的刹车距离y(m)与开始刹车时的速度x(m/s)之间满足二次函数y＝x2(x＞0)．若该车某次的刹车距离为5m，则开始刹车时的速度为(C)A.40m/sB.20m/sC.10m/sD.5m/s【解析】刹车距离为5m，即当y＝5时，5＝x2.解得x＝10(x＝－10舍去)．故开始刹车时的速度为10m/s.2.(2022，河北)一小球被抛出后，距离地面的高度h(m)和飞行时间t(s)满足函数解析式h＝－5(t－1)2＋6，则小球距离地面的最大高度是(C)A.1mB.5mC.6mD.7m【解析】∵距离地面的高度h和飞行时间t满足函数解析式h＝－5(t－1)2＋6，∴当t＝1时，小球距离地面的高度最大．∴h最大＝－5×(1－1)2＋6＝6(m)．3.(2022，河北)某种正方形合金板材的成本y(元)与它的面积成正比，设边长为xcm.当x＝3时，y＝18，那么当成本为72元时，边长为(A)A.6cmB.12cmC.24cmD.36cm【解析】设y与x之间的函数关系式为y＝kx2.由题意，得18＝9k.解得k＝2.∴y＝2x2.当y＝72时，72＝2x2.∴x＝6. 实物抛物线形问题例1(2022，德州)随着新农村的建设和旧城的改造，我们的家园越来越美丽，小明家附近广场中央新修了一个圆形喷水池，在水池中心竖直安装了一根高为2m的喷水管，它喷出的抛物线形水柱在与水池中心的水平距离为1m处达到最高，水柱落地处离池中心3m.(1)请你建立适当的平面直角坐标系，并求出抛物线的解析式；(2)水柱的最大高度是多少？例1题图【思路分析】(1)以喷水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，喷水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋h，代入(0，2)和(3，0)得出方程组，解方程组即可．(2)求出(1)中所求解析式当x＝1时，y＝即可．解：(1)如答图，以喷水管与地面的交点为原点，原点与水柱落地点所在直线为x轴，喷水管所在直线为y轴，建立平面直角坐标系．设抛物线的解析式为y＝a(x－1)2＋h.将(0，2)和(3，0)代入，得9\n解得∴抛物线的解析式为y＝－(x－1)2＋，即y＝－x2＋x＋2(0≤x≤3)．(2)对于y＝－x2＋x＋2，当x＝1时，y＝，即水柱的最大高度为m.例1答图针对训练1(2022，天津一模)有一个截面是抛物线形的蔬菜大棚，将其截面放在如图所示的直角坐标系中，抛物线可以用函数y＝ax2＋bx来表示．已知大棚在地面上的宽度OA为8m，距离点O2m处的棚高BC为m.(1)求该抛物线的解析式；(2)求蔬菜大棚离地面的最大高度；(3)若借助横梁DE建一个门，要求门的高度不低于1.5m，则横梁DE的宽度最多是多少米？(结果保留根号)训练1题图【思路分析】(1)直接利用待定系数法求出该抛物线的解析式．(2)利用配方法求出二次函数的顶点式进而得出答案．(3)把y＝1.5代入求出答案．解：(1)由题意，得该抛物线经过(8，0)，，∴解得故该抛物线的解析式为y＝－x2＋x.(2)y＝－x2＋x＝－(x－4)2＋3，故蔬菜大棚离地面的最大高度是3m.(3)当y＝1.5时，1.5＝－x2＋x.9\n解得x1＝4＋2，x2＝4－2.∴DE＝x1－x2＝4＋2－(4－2)＝4.所以DE的宽度最多是4m. 运用二次函数解决实际问题中的面积问题例2(2022，成都锦江区模拟)在美化校园的活动中，某兴趣小组想借助如图所示的直角墙角(两边足够长)，用28m长的篱笆围成一个矩形花园ABCD(篱笆只围AB，BC两边)．设AB＝xm，花园的面积为S.(1)求S关于x的函数解析式；(2)若在P处有一棵树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m，要将这棵树围在花园内(含边界，不考虑树的粗细)，求花园面积的最大值．例2题图【思路分析】(1)根据矩形的面积公式可得S关于x的函数解析式．(2)由树与墙CD，AD的距离分别是15m和6m求出x的取值范围，再结合二次函数的性质可得答案．解：(1)∵AB＝xm，∴BC＝(28－x)m.∴S＝AB·BC＝x(28－x)＝－x2＋28x.(2)由题意，可知x≥6且28－x≥15.∴6≤x≤13.由(1)知S＝－x2＋28x＝－(x－14)2＋196.∵当6≤x≤13时，S随x的增大而增大，∴当x＝13时，S最大＝195.所以花园面积的最大值为195m2.针对训练2(2022，济宁模拟)为了节省材料，某水产养殖户利用水库的岸堤(岸堤足够长)为一边，用总长为80m的围网在水库中围成了如图所示的①②③三块矩形区域，而且这三块矩形区域的面积相等．设BC的长度为xm，矩形区域ABCD的面积为ym2.(1)求证：AE＝2BE；(2)求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围；(3)x为何值时，y有最大值？最大值是多少？训练2题图【思路分析】(1)根据三个矩形面积相等，得到矩形AEFD的面积是矩形BCFE面积的2倍，可得出AE＝2BE.(2)设BE＝a，则AE＝2a，表示出a与x的关系，进而表示出y与x的关系，并求出x的取值范围即可．(3)利用二次函数的性质求出y的最大值，以及此时x的值即可．(1)证明：∵三块矩形区域的面积相等，9\n∴矩形AEFD的面积是矩形BCFE面积的2倍．又∵EF是公共边，∴AE＝2BE.(2)解：设BE＝a，则AE＝2a，∴AB＝3a.∴8a＋2x＝80.∴a＝.∴y＝3a·x＝3··x＝－x2＋30x.∵a＝＞0，∴x＜40.∴0＜x＜40.(3)解：∵y＝－x2＋30x＝－(x－20)2＋300(0＜x＜40)，且二次项系数－＜0，∴当x＝20时，y有最大值，最大值为300.一、选择题1.(2022，北京)跳台滑雪是冬季奥运会比赛项目之一，运动员起跳后的飞行路线可以看作是抛物线的一部分，运动员起跳后的竖直高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)近似满足函数关系y＝ax2＋bx＋c(a≠0)．如图所示记录了某运动员起跳后的x与y的三组数据，根据上述函数模型和数据，可推断出该运动员起跳后飞行到最高点时，水平距离为(B)第1题图A.10mB.15mC.20mD.22.5m【解析】根据题意，知抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)经过点(0，54.0)，(20，57.9)，(40，46.2)，则解得所以所求水平距离x＝－＝－＝15.2.(2022，广西二模，导学号5892921)如图所示的是抛物线形拱桥，当拱顶离水面2m时水面宽4m．若水面下降1m，则水面宽度为(A)9\n第2题图A.2mB.2mC.mD.m【解析】建立如答图所示的直角坐标系．可设这条抛物线的解析式为y＝ax2.把点(2，－2)的坐标代入，得－2＝a·22.解得a＝－.∴y＝－x2.当y＝－3时，－x2＝－3.解得x＝±.∴水面下降1m，水面的宽度为2m.第2题答图3.(2022，哈尔滨道外区二模)某地要建造一个圆形喷水池，在水池中央垂直于地面安装一个柱子OA，点O恰为水面中心，安置在柱子顶端A处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状相同的抛物线路径落下．在过OA的任一平面上，建立平面直角坐标系(如图)，水流喷出的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系式是y＝－x2＋2x＋3，则下列结论：①柱子OA的高度为3m；②喷出的水流在距柱子1m处达到最大高度；③喷出的水流距水平面的最大高度是4m；④水池的半径至少要3m才能使喷出的水流不至于落在池外．其中正确的有(D)第3题图A.1个B.2个C.3个D.4个【解析】y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4.当x＝0时，y＝3，即OA＝3m．故①正确．当x＝1时，y取得最大值，此时y＝4.故②③正确．当y＝0时，0＝－x2＋2x＋3.解得x＝3或x＝－1(舍去)．故④正确．4.(导学号5892921)汽车刹车后行驶的距离s(m)关于行驶时间t(s)的函数解析式是s＝20t－5t2，汽车刹车后到停下来前进的距离是(B)A.10mB.20mC.30mD.40m【解析】∵s＝20t－5t2＝－5(t－2)2＋20，∴汽车刹车后到停下来前进了20m.5.(2022，唐山乐亭县二模)运动员将足球沿与地面成一定角度的方向踢出，足球飞行的路线是一条抛物线，不考虑空气阻力，足球距离地面的高度h(m)与足球被踢出后经过的时间t(s)之间的关系如下表：t/s01234567…h/m08141820201814…下列结论：①足球距离地面的最大高度为20m；②足球飞行路线的对称轴是t＝；③足球被踢出9.5s时落地；④足球被踢出7.5s时，距离地面的高度是11.25m．其中不正确的结论有(B)A.1个B.2个C.3个D.4个9\n【解析】设该抛物线的解析式为h＝at2＋bt＋c.由题意，得解得∴h＝－t2＋9t＝－＋.∴当t＝时，h取得最大值，此时h＝；该抛物线的对称轴是t＝；当h＝0时，得t＝0或t＝9；当t＝7.5时，h＝11.25.故①③错误，②④正确．二、填空题6.(2022，武汉)飞机着陆后滑行的距离y(m)关于滑行时间t(s)的函数解析式是y＝60t－t2.在飞机着陆滑行中，最后4s滑行的距离是24m.【解析】y＝60t－t2＝－(x－20)2＋600，当y取得最大值时，飞机停下来，即当t＝20时，飞机着陆后滑行600m才停下来．因此t的取值范围是0≤t≤20.当t＝16时，y＝576，所以最后4s滑行的距离是600－576＝24(m)．7.(2022，沈阳)如图，一块矩形土地ABCD由篱笆围着，并且由一条与CD边平行的篱笆EF分开．已知篱笆的总长为900m(篱笆的厚度忽略不计)，当AB＝150m时，矩形土地ABCD的面积最大．第7题图【解析】设AB＝xm，则BC＝(900－3x)m.由题意，得S＝AB·BC＝x·(900－3x)＝－(x2－300x)＝－(x－150)2＋33750.∴当x＝150时，S取得最大值，此时，S＝33750.∴AB＝150m.三、解答题8.(2022，滨州)如图，一小球沿与地面成一定角度的方向飞出，小球的飞行路线是一条抛物线．如果不考虑空气阻力，小球的飞行高度y(m)与飞行时间x(s)之间具有函数关系y＝－5x2＋20x，请根据要求解答下列问题：(1)在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是多少？(2)在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是多少？(3)在飞行过程中，小球飞行高度何时最大？最大高度是多少？第8题图【思路分析】(1)根据题目中的函数解析式，令y＝15即可解答本题．(2)令y＝0，代入题目中的函数解析式即可解答本题．(3)将题目中的函数解析式化为顶点式即可解答本题．解：(1)当y＝15时，15＝－5x2＋20x.解得x＝1或x＝3.答：在飞行过程中，当小球的飞行高度为15m时，飞行时间是1s或3s.(2)当y＝0时，0＝－5x2＋20x.9\n解得x＝0或x＝4.4－0＝4(s)．答：在飞行过程中，小球从飞出到落地所用时间是4s.(3)y＝－5x2＋20x＝－5(x－2)2＋20，∴当x＝2时，y取得最大值，为20.答：在飞行过程中第2s时，小球飞行高度最大，最大高度是20m.9.(2022，合肥瑶海区三模)某景区内有一块矩形油菜花田地(数据如图所示，单位：m)，现在其中修建一条观花道(阴影部分)，供游人赏花．设改造后剩余油菜花地所占面积为ym2.(1)求y与x之间的函数解析式；(2)若改造后观花道的面积为13m2，求x的值；(3)若要求0.5≤x≤1，求改造后剩余油菜花地所占面积的最大值．第9题图【思路分析】(1)直接利用直角三角形面积求法得出答案．(2)利用已知得出y＝35，进而解方程得出答案．(3)利用配方法得出顶点式，再利用二次函数的增减性得出答案．解：(1)由题意，得y＝(8－x)(6－x)·2＝x2－14x＋48(0＜x＜6)．(2)由题意，得y＝48－13＝35.∴x2－14x＋48＝35.解得x1＝1，x2＝13(不合题意，舍去)．∴x的值为1.(3)y＝x2－14x＋48＝(x－7)2－1.当0.5≤x≤1时，y随x的增大而减小，故当x＝0.5时，y取得最大值，为.所以改造后剩余油菜花地所占面积的最大值为m2.10.(2022，泰兴模拟，导学号5892921)冬天来了，晒衣服成了头疼的事情，聪明的小华想到一个好办法，在家里后院地面(BD)上立两根等长的立柱AB，CD(均与地面垂直)，并在立柱之间悬挂一根绳子．绳子的形状近似成了抛物线y＝0.1x2＋bx＋c，如图①，已知BD＝8m，绳子最低点离地面的距离为1m.第10题图(1)求立柱AB的高度；(2)由于挂的衣服比较多，为了防止衣服碰到地面，小华用一根垂直于地面的立柱MN撑起绳子(如图②)，MN的高度为1.85m，通过调整MN的位置，使左边抛物线F1对应函数的二次项系数为0.25，顶点离地面1.6m．求MN与AB之间的距离．【思路分析】(1)易得抛物线的顶点坐标为(4，1)，又由二次项系数为0.1，可得出抛物线的解析式，进而得出答案．(2)利用待定系数法求出抛物线F1的解析式即可解决问题．9\n解：(1)由题意，得抛物线的解析式为y＝0.1(x－4)2＋1，即y＝0.1x2－0.8x＋2.6.令x＝0，得y＝2.6.所以立柱AB的高度为2.6m.(2)由题意可以设抛物线F1的解析式为y＝0.25x2＋mx＋2.6.∵＝1.6，∴m＝±1.∵对称轴在y轴的右侧，∴m＜0.∴m＝－1.∴抛物线F1的解析式为y＝0.25x2－x＋2.6.令y＝1.85，则1.85＝0.25x2－x＋2.6.解得x1＝1，x2＝3.当x＝1时，不合题意，舍去．∴x＝3.所以MN与AB之间的距离为3m.1.(2022，北京房山区模拟)小明以二次函数y＝2x2－4x＋8的图象为灵感设计了一款杯子，如图所示的为杯子的设计稿．若AB＝4，DE＝3，则杯子的高CE为(B)第1题图A.14B.11C.6D.3【解析】∵y＝2x2－4x＋8＝2(x－1)2＋6，∴抛物线的顶点D的坐标为(1，6)．∵AB＝4，∴点B的横坐标为3.把x＝3代入y＝2x2－4x＋8，得y＝14.∴CD＝14－6＝8.∴CE＝CD＋DE＝8＋3＝11.2.(2022，绍兴，导学号5892921)某农场拟建一间矩形种牛饲养室，饲养室的一面靠现有墙(墙足够长)，已知计划中的建筑材料可建围墙的总长为50m．设饲养室的长为xm，占地面积为ym2.(1)如图①，当饲养室的长为多少时，占地面积最大？(2)如图②，现要求在图中所示位置留2m宽的门，且仍使饲养室的占地面积最大．小敏说：“只要饲养室长比(1)中的长多2m就行了．”请你通过计算，判断小敏的说法是否正确．9\n第2题图【思路分析】(1)根据矩形的面积＝长×宽，已知长为xm，则宽为m，代入求出y关于x的函数解析式，配成二次函数的顶点式，即可求出x取某一值时，y有最大值．(2)饲养室的长仍为xm，但长中所用建筑材料变成了(x－2)m，所以宽就变成了m．与(1)同理，代入求出y关于x的函数解析式，配成二次函数的顶点式，即可求出x取某一值时，y有最大值．与小敏的说法比较即可．解：(1)因为y＝x·＝－(x－25)2＋，所以当x＝25时，y有最大值．所以当饲养室的长为25m时，占地面积最大．(2)因为y＝x·＝－(x－26)2＋338，所以当x＝26时，y有最大值．所以当饲养室的长为26m时，占地面积最大．因为26－25＝1≠2，所以小敏的说法不正确．9
