第19讲 二次函数的应用(2)1.(2022，河北，导学号5892921)某工厂生产一种合金薄板(其厚度忽略不计)，这些薄板的形状均为正方形，边长(单位：cm)在5～50之间，每张薄板的成本价(单位：元)与它的面积(单位：cm2)成正比例，每张薄板的出厂价(单位：元)由基础价和浮动价两部分组成，其中基础价与薄板的大小无关，是固定不变的，浮动价与薄板的边长成正比例，在营销过程中得到了表格中的数据.薄板的边长/cm2030出厂价/(元/张)5070(1)求一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数解析式；(2)已知出厂一张边长为40cm的薄板，获得的利润是26元(利润＝出厂价－成本价)．①求一张薄板的利润与边长之间满足的函数解析式；②当边长为多少时，出厂一张薄板获得的利润最大？最大利润是多少？【思路分析】(1)设一张薄板的边长为xcm，它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元，则y＝kx＋n.利用待定系数法求一次函数的解析式即可．(2)①设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx2元．由题意，得p＝y－mx2，进而得出m的值，求出函数解析式即可．②利用二次函数的最值公式求出二次函数的最值即可．解：(1)设一张薄板的边长为xcm，它的出厂价为y元，基础价为n元，浮动价为kx元，则y＝kx＋n.由表格中的数据，得解得所以一张薄板的出厂价与边长之间满足的函数解析式为y＝2x＋10.(2)①设一张薄板的利润为p元，它的成本价为mx2元．由题意，得p＝y－mx2＝2x＋10－mx2.将x＝40，p＝26代入p＝2x＋10－mx2，得26＝2×40＋10－m·402.解得m＝.所以一张薄板的利润与边长之间满足的函数解析式为p＝－x2＋2x＋10.②因为a＝－＜0，所以当x＝－＝－＝25(在5～50之间)时，p最大＝＝＝35.所以出厂一张边长为25cm的薄板，获得的利润最大，最大利润是35元．10\n 利润问题例1(2022，扬州节选，导学号5892921)“扬州漆器”名扬天下，某网店专门销售某种品牌的漆器笔筒，成本为30元/件，每天的销售量y(件)与销售单价x(元)之间存在一次函数关系，如图所示．(1)求y与x之间的函数关系式；(2)如果规定每天漆器笔筒的销售量不低于240件，当销售单价为多少元时，每天获取的利润最大？最大利润是多少？例1题图【思路分析】(1)直接利用待定系数法确定y与x之间的函数关系式．(2)先由题意得出x的取值范围，再根据总利润＝销售量×单件的利润，将(1)中的函数关系式代入，得到总利润与销售单价之间的函数关系式，最后根据其性质求出最大值．解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.由题意，得解得故y与x之间的函数关系式为y＝－10x＋700.(2)由题意，得－10x＋700≥240.解得x≤46.设每天获取的利润为w元，则w＝(x－30)·y＝(x－30)(－10x＋700)＝－10x2＋1000x－21000＝－10(x－50)2＋4000.∵－10＜0，∴当x＜50时，w随x的增大而增大．∴当x＝46时，w最大，w最大＝－10×(46－50)2＋4000＝3840.答：当销售单价为46元时，每天获取的利润最大，最大利润是3840元．针对训练1(2022，深圳模拟)某商场试销一种成本为50元/件的T恤，规定试销期间单价不低于成本单价，又获利不得高于50%.经试销发现，销售量y(件)与销售单价x(元/件)符合一次函数关系，试销数据如下表：销售单价/(元/件)…556070…销售量/件…757060…(1)求y与x之间的函数关系式；(2)若该商场获得的利润为w元，试写出利润w与销售单价x之间的函数关系式．当销售单价定为多少元时，商场可获得最大利润？最大利润是多少元？【思路分析】(1)直接利用待定系数法确定y与x10\n之间的函数关系式．(2)根据利润＝销售量×(销售单价－单件成本)，将(1)中的函数关系式代入，得到利润w与销售单价x之间的函数关系式，再根据x的取值范围和二次函数的性质求出最大值．解：(1)设y与x之间的函数关系式为y＝kx＋b.由题意，得解得∴y＝－x＋130.(2)w＝(x－50)(130－x)＝－x2＋180x－6500＝－(x－90)2＋1600.由题意，得x≤50×(1＋50%)，即x≤75.∴50≤x≤75.∵当x＜90时，w随x的增大而增大，∴当x＝75时，w取得最大值，为1375.所以当销售单价定为75元时，商场可以获得最大利润，最大利润是1375元． 二次函数与几何图形的综合例2(2022，保定模拟)如图，已知矩形ABCD的边AB＝2，BC＝3，P是AD边上的一动点(点P异于点A，D)，Q是BC边上的任意一点，连接AQ，DQ，过点P作PE∥DQ交AQ于点E，作PF∥AQ交DQ于点F.(1)求证：△APE∽△PDF；(2)设AP＝x，求四边形EQDP的面积S(用含x的代数式表示出来)；当四边形EQDP的面积等于2时，说明PE与DQ的数量关系．例2题图【思路分析】(1)根据PE∥DQ，PF∥AQ得出同位角相等即可证得两三角形相似．(2)由PE∥DQ，得到△APE∽△ADQ.根据相似三角形的性质得到＝＝.求出S△ADQ＝S矩形ABCD＝3，于是得到S＝S△ADQ－S△APE＝－x2＋3.根据四边形EQDP的面积等于2，列方程即可得到结论．(1)证明：∵PE∥DQ，∴∠APE＝∠PDF.∵PF∥AQ，∴∠DPF＝∠PAE.∴△APE∽△PDF.(2)解：∵PE∥DQ，∴△APE∽△ADQ.∴＝＝，＝.10\n∵S△ADQ＝S矩形ABCD＝3，∴S△APE＝x2.∴S＝S△ADQ－S△APE＝－x2＋3.当四边形EQDP的面积等于2时，2＝－x2＋3.解得x＝.∴AP＝＝AD.∴PE＝DQ.针对训练2(2022，揭阳一模)如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AD为BC边上的高，动点P在AD上，从点A出发，沿A→D方向运动．设AP＝x，△ABP的面积为S1，矩形PDFE的面积为S2，y＝S1＋S2，则y与x之间的关系式是y＝－x2＋3x.训练2题图【解析】∵在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AD为BC边上的高，AP＝x，∴∠BAD＝∠CAD＝45°.∴BD＝AD＝2.∴PE＝AP＝x，PD＝AD－AP＝2－x.∴y＝S1＋S2＝＋(2－x)·x＝－x2＋3x.一、选择题1.(2022，马鞍山二模)某农产品市场经销一种成本为每千克40元的农产品．据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500kg；销售单价每涨1元，月销售量就减少10kg.设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，则y与x之间的函数关系式为(C)A.y＝(x－40)(500－10x)B.y＝(x－40)(10x－500)C.y＝(x－40)[500－10(x－50)] D.y＝(x－40)[500－10(50－x)]【解析】因为销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，所以y与x之间的函数关系式为y＝(x－40)[500－10(x－50)]．2.(2022，芜湖繁昌县一模)某大学生利用课余时间在网上销售一种成本为50元/件的商品，每月的销售量y(件)与销售单价x(元/件)之间的函数关系式为y＝－4x＋440，要使销售该商品获得的月利润最大，该商品的售价应定为(C)A.60元/件B.70元/件C.80元/件D.90元/件【解析】设销售该商品每月所获总利润为w元，则w＝(x－50)(－4x＋440)＝－4x2＋640x－22000＝－4(x－80)2＋3600.∴当x＝80时，w取得最大值，最大值为3600.所以当售价为80元/件时，销售该商品所获月利润最大．3.如图，已知边长为4的正方形ABCD，P是BC边上一动点(与点B，C不重合)，连接10\nAP，作PE⊥AP交外角∠DCF的平分线于点E.设BP＝x，△PCE的面积为y，则y与x之间的函数关系式是(C)第3题图A.y＝2x＋1B.y＝x－2x2C.y＝2x－x2D.y＝2x【解析】如答图，过点E作EH⊥BC于点H.∵四边形ABCD是正方形，∴∠DCH＝90°.∵CE平分∠DCH，∴∠ECH＝∠DCH＝45°.∵∠CHE＝90°，∴∠CEH＝∠ECH＝45°.∴EH＝CH.∵四边形ABCD是正方形，AP⊥EP，∴∠B＝∠CHE＝∠APE＝90°.∴∠BAP＋∠APB＝90°，∠APB＋∠EPH＝90°.∴∠BAP＝∠EPH.∴△BAP∽△HPE.∴＝.∴＝.∴EH＝x.∴y＝·CP·EH＝·(4－x)·x＝2x－x2.第3题答图4.(2022，淄博模拟)如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝12mm，BC＝24mm，动点P从点A开始沿边AB向点B以2mm/s的速度移动(不与点B重合)，动点Q从点B开始沿边BC向点C以4mm/s的速度移动(不与点C重合)．如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么四边形APQC的面积最小时，经过(C)第4题图A.1sB.2sC.3sD.4s【解析】设点P，Q同时出发ts时，四边形APQC的面积为Smm2，则S＝S△ABC－S△PBQ＝×12×24－·4t·(12－2t)＝4t2－24t＋144＝4(t－3)2＋108.∵4＞0，∴当t＝3时，S取得最小值．5.(2022，天津武清区模拟)某鞋帽专卖店销售一种绒帽，若这种帽子每天获利y(元)与销售单价x(元)满足关系y＝－x2＋70x－800，要想获得日最大利润，则销售单价为(B)A.30元B.35元C.40元D.45元【解析】∵y＝－x2＋70x－800＝－(x－35)2＋425，∴当x＝35时，y取得最大值，最大值为425，即销售单价为35元时，日销售利润最大．6.(2022，广州南沙区模拟)如图，△ABC是直角三角形，∠A＝90°，AB＝8cm，AC＝6cm.10\n点P从点A出发，沿AB方向以2cm/s的速度向点B运动，同时点Q从点A出发，沿AC方向以1cm/s的速度向点C运动，其中一个动点到达终点则另一个动点也停止运动，则△APQ的面积最大是(C)第6题图A.10cm2B.8cm2C.16cm2D.24cm2【解析】设运动时间为ts．根据题意，得AP＝2t，AQ＝t，∴S△APQ＝t2.易知0＜t≤4，∴△APQ的面积最大是16cm2.7.如图，正方形ABCD的边长为1，E，F分别是边BC和CD上的动点(不与正方形的顶点重合)，不管点E，F怎样运动，始终保持AE⊥EF.设BE＝x，DF＝y，则y关于x的函数解析式是(C)第7题图A.y＝x＋1B.y＝x－1C.y＝x2－x＋1D.y＝x2－x－1【解析】∵四边形ABCD为正方形，∴∠B＝∠C＝90°.∴∠BAE＋∠AEB＝90°.∵AE⊥EF，∴∠AEB＋∠FEC＝90°.∴∠BAE＝∠FEC.∴△ABE∽△ECF.∴AB∶EC＝BE∶CF.∴AB·CF＝EC·BE.∵AB＝1，BE＝x，EC＝1－x，CF＝1－y，∴1·(1－y)＝(1－x)·x.化简得y＝x2－x＋1.二、填空题8.(导学号5892921)如图，在矩形ABCD中，AD＝16，AB＝12，E，F分别是边BC，DC上的点，且EC＋CF＝8.设BE的长为x，△AEF的面积为y，则y关于x的函数解析式是(y＝x2－10x＋96).第8题图【解析】∵BE＝x，∴CE＝16－x.∵CE＋CF＝8，∴CF＝x－8.∴DF＝20－x.∴y＝S矩形ABCD－S△ABE－S△CEF－S△ADF＝x2－10x＋96.9.(2022，天津和平区一模)某旅行社组团去外地旅游，30人起组团，每人的费用是800元．旅行社对超过30人的团给予优惠，即旅行团的人数每增加1人，每人的费用就降低10元．当一个旅行团有55人时，这个旅行社可以获得最大的营业额．【解析】设一个旅行团有x人，营业额为y元．根据题意，得y＝x[800－10(x－30)]＝－10x2＋1100x＝－10(x－55)2＋30250.故当一个旅行团有55人时，这个旅行社可以获得最大的营业额．三、解答题10.(2022，盘锦节选)鹏鹏童装店销售某款童装，每件售价为60元，每星期可卖100件，10\n为了促销，该店决定降价销售，经市场调查反应：每降价1元，每星期可多卖10件．已知该款童装每件成本为30元．设该款童装每件售价为x元，每星期的销售量为y件．(1)求y与x之间的函数关系式；(不求自变量的取值范围)(2)当每件童装售价定为多少元时，每星期的销售利润最大？最大利润是多少？(3)当每件童装售价定为多少元时，该店销售该款童装一星期可获得3910元的利润？【思路分析】(1)每星期的销售量等于100件加上因降价而多销售的销售量，由此得到函数关系式．(2)设每星期的销售利润为W元，构建二次函数，利用二次函数的性质解决问题．(3)根据题意列方程即可解决问题．解：(1)y＝100＋10(60－x)＝－10x＋700.(2)设每星期的销售利润为W元．根据题意，得W＝(x－30)(－10x＋700)＝－10x2＋1000x－21000＝－10(x－50)2＋4000.∴当x＝50时，W最大，W最大＝4000.所以当每件童装售价定为50元时，每星期的销售利润最大，最大利润是4000元．(3)由题意，得－10(x－50)2＋4000＝3910.解得x＝53或x＝47.所以当每件童装售价定为53元或47元时，该店销售该款童装一星期可获得3910元的利润．11.(2022，承德一模，导学号5892921)某园林专业户计划投资种植花卉及树木，根据市场调查与预测，种植树木的利润y1与投资成本x成正比例关系，种植花卉的利润y2与投资成本x的平方成正比例关系，并得到了表格中的数据：投资成本x/万元2种植树木的利润y1/万元4种植花卉的利润y2/万元2(1)分别求出利润y1与y2关于投资成本x的函数解析式；(2)如果这位专业户计划以8万元资金投入种植花卉和树木，设他投入种植花卉金额m万元，种植花卉和树木共获利润W万元，求出W关于m的函数解析式，并求他至少获得多少利润，他能获取的最大利润是多少．【思路分析】(1)根据题意设y1＝kx，y2＝px2，将表格中的数据分别代入求解可得．(2)由投入种植花卉金额m万元，则投入种植树木金额(8－m)万元，根据“总利润＝花卉利润＋树木利润”列出函数解析式，利用二次函数的性质求得最值即可．解：(1)设y1＝kx.由表格数据可知，函数y1＝kx的图象过(2，4)，∴4＝k·2.解得k＝2.故种植树木的利润y1关于投资成本x的函数解析式是y1＝2x(x≥0)．设y2＝px2.由表格数据可知，函数y2＝px2的图象过(2，2)．∴2＝p·22.解得p＝.故种植花卉的利润y2关于投资成本x的函数解析式是y2＝x2(x≥0)．(2)因为投入种植花卉金额m万元，则投入种植树木金额(8－m)万元．根据题意，得W＝2(8－m)＋m210\n＝m2－2m＋16＝(m－2)2＋14.∵a＝＞0，0≤m≤8，∴当m＝2时，W取得最小值，为14.∵a＝＞0，∴当0≤m<2时，W随m的增大而减小；当2<m≤8时，W随m的增大而增大．在对称轴左侧，当m＝0时，W取得最大值，为16.在对称轴右侧，当m＝8时，W取得最大值，为32.∵16<32，∴当m＝8时，W取得最大值，为32.故他至少获得14万元的利润，他能获取的最大利润是32万元．12.如图，矩形ABCD的两边长AB＝18cm，AD＝4cm，点P，Q分别从点A，B同时出发，点P在边AB上沿AB方向以2cm/s的速度匀速运动，点Q在边BC上沿BC方向以1cm/s的速度匀速运动，当一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为xs，△PBQ的面积为ycm2.(1)求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围；(2)求△PBQ的面积的最大值．第12题图【思路分析】(1)用x分别表示出PB，BQ的长，然后根据三角形的面积公式列式整理即可得解．(2)把函数解析式整理成顶点式，然后结合实际求二次函数的最值即可．解：(1)∵S△PBQ＝PB·BQ，BQ＝x，PB＝AB－AP＝18－2x，∴y＝(18－2x)x，即y＝－x2＋9x(0≤x≤4)．(2)由(1)知y＝－x2＋9x，∴y＝－＋.∵当x≤时，y随x的增大而增大，而0≤x≤4，∴当x＝4时，y最大，y最大＝20.所以△PBQ的面积的最大值是20cm2.1.某旅游村为接待游客住宿需要，开设了有100张床位的旅馆，当每张床位每天收费100元时，床位可全部租出．若每张床位每天收费提高20元，则会相应地减少10张床位租出．如果每张床位每天以20元为单位提高收费，为使租出的床位少且租金高，那么每张床位每天最合适的收费是(C)A.140元B.150元C.160元D.180元【解析】设每张床位收费提高x个20元，每天收入为y元．根据题意，得y10\n＝(100＋20x)(100－10x)＝－200x2＋1000x＋10000.当x＝－＝＝2.5时，可使y有最大值．又x为整数，则x＝2时，y＝11200；x＝3时，y＝11200.所以为使租出的床位少且租金高，每张床位每天最合适的收费是100＋3×20＝160(元)．2.(2022，湖州，导学号5892921)湖州素有鱼米之乡之称，某水产养殖大户为了更好地发挥技术优势，一次性收购了20000kg淡水鱼，计划养殖一段时间后再出售．已知每天放养的费用相同，放养10天的总成本为30.4万元；放养20天的总成本为30.8万元(总成本＝放养总费用＋收购成本)．(1)设每天的放养费用是a万元，收购成本为b万元，求a和b的值；(2)设这批淡水鱼放养t天后的质量为mkg，销售单价为y元/kg.根据以往经验可知m与t的函数关系为m＝y与t之间的函数关系如图所示．①分别求出当0≤t≤50和50＜t≤100时，y关于t的函数解析式；②设将这批淡水鱼放养t天后一次性出售所得利润为W元，求当t为何值时，W最大，并求出最大值．(利润＝销售总额－总成本)第2题图【思路分析】(1)由放养10天的总成本为30.4万元，放养20天的总成本为30.8万元可列出方程组进而求得答案．(2)①分0≤t≤50，50＜t≤100两种情况，结合函数图象利用待定系数法求解可得．②就以上两种情况，根据“利润＝销售总额－总成本”列出函数解析式，依据一次函数性质和二次函数性质求得最大值即可得．解：(1)由题意，得解得(2)①当0≤t≤50时，设y关于t的函数解析式为y＝k1t＋n1.将(0，15)，(50，25)分别代入，得解得∴此时y关于t的函数解析式为y＝t＋15.当50＜t≤100时，设y关于t的函数解析式为y＝k2t＋n2.将(50，25)，(100，20)分别代入，得解得∴此时y关于t的函数解析式为y＝－t＋30.②当0≤t≤50时，10\nW＝20000－(400t＋300000)＝3600t.∵3600＞0，∴当t＝50时，W最大，W最大＝180000.当50＜t≤100时，W＝(100t＋15000)－(400t＋300000)＝－10t2＋1100t＋150000＝－10(t－55)2＋180250.∵－10＜0，∴当t＝55时，W最大，W最大＝180250.综上所述，当t＝55时，W最大，最大值为180250.10
