三角形与四边形综合题04三角形与四边形综合题1.[2022·玉林]如图ZT4-1,点A,B在双曲线y=3x(x>0)上.点C在双曲线y=1x(x>0)上,若AC∥y轴,BC∥x轴,且AC=BC,则AB等于( )图ZT4-1A.2B.22C.4D.322.[2022·泰州]如图ZT4-2,在四边形ABCD中,AC平分∠BAD,∠ACD=∠ABC=90°,E,F分别为AC,CD的中点,∠D=α,则∠BEF的度数为 .(用含α的式子表示) 图ZT4-23.[2022·衢州]如图ZT4-3,点A,B是反比例函数y=kx(x>0)图象上的两点,过点A,B分别作AC⊥x轴于点C,BD⊥x轴于点D,连接OA,BC.已知点C(2,0),BD=2,S△BCD=3,则S△AOC= . 图ZT4-34.[2022·陕西]如图ZT4-4,点O是▱ABCD的对称中心,AD>AB,E,F是AB边上的点,且EF=12AB,G,H是BC边上的点,且GH=7\n13BC.若S1,S2分别表示△EOF和△GOH的面积,则S1与S2之间的等量关系是 . 图ZT4-45.如图ZT4-5,在平面直角坐标系中,直线y=kx(k≠0)经过点(a,3a)(a>0),线段BC的两个端点分别在x轴与直线y=kx上(点B,C均不与原点O重合)滑动,且BC=2,分别作BP⊥x轴,CP⊥直线y=kx,交点为P.经探究,在整个滑动过程中,P,O两点间的距离为定值 . 图ZT4-56.如图ZT4-6,在矩形ABCD中,E是AD上一点,PQ垂直平分BE,分别交AD,BE,BC于点P,O,Q,连接BP,EQ.(1)求证:四边形BPEQ是菱形;(2)若AB=6,F为AB的中点,OF+OB=9,求PQ的长.图ZT4-67\n7.[2022·湖州]如图ZT4-7,在Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB≥AC,D,E分别为AC,BC边上的点(不包括端点),且DCBE=ACBC=m,连接AE,过点D作DM⊥AE,垂足为点M,延长DM交AB于点F.(1)如图①,过点E作EH⊥AB于点H,连接DH.①求证:四边形DHEC是平行四边形;②若m=22,求证:AE=DF.(2)如图②,若m=35,求DFAE的值.图ZT4-78.[2022·凉山州]如图ZT4-8,在▱ABCD中,E,F分别是AD,BC上的点,将▱ABCD沿EF所在直线翻折,使点B与点D重合,7\n且点A落在点A'处.(1)求证:△A'ED≌△CFD;(2)连接BE,若∠EBF=60°,EF=3,求四边形BFDE的面积.图ZT4-8参考答案1.B [解析]点C在双曲线y=1x上,AC∥y轴,BC∥x轴,设Ca,1a,则B3a,1a,Aa,3a.∵AC=BC,∴3a-1a=3a-a,解得a=1(a=-1舍去).∴C(1,1),B(3,1),A(1,3).∴AC=BC=2.在Rt△ABC中,AB=AC2+BC2=22.故选B.2.270°-3α [解析]∵∠ACD=90°,∴∠CAD=90°-∠D=90°-α.∵E,F分别为AC,CD的中点,∴EF∥AD.∴∠CEF=∠CAD=90°-α.∵AC平分∠BAD,∴∠BAC=∠CAD=90°-α.∵∠ABC=90°,E为AC的中点,∴AE=BE.∴∠EBA=∠BAC=90°-α.∴∠BEC=180°-2α.∴∠BEF=∠CEF+∠BEC=270°-3α.3.54.2S1=3S2S1=32S2,S2=23S1均正确[解析]如图,连接AC,BD.∵四边形ABCD为平行四边形,∴AO=OC.∴S△AOB=S△BOC.7\n∵EF=12AB,∴S1=12S△AOB.∴S△AOB=2S1.∵GH=13BC,∴S2=13S△BOC.∴S△BOC=3S2.∴2S1=3S2.5.433 [解析]∵直线y=kx(k≠0)经过点(a,3a)(a>0),∴3a=ka,k=3.∴∠BOC=60°.由题意可知,∠PCO=∠PBO=90°,∴∠PCO+∠PBO=180°.∴O,B,P,C四点共圆,OP为直径,如图.设圆心为D,分别连接CD和BD,过点D作DE⊥BC于点E,则BE=12BC=1.∵∠BDC=2∠BOC=120°,∴∠BDE=60°,在Rt△BDE中,sin∠BDE=BEDB,∴BD=132=233,∴OP=2BD=433.6.解:(1)证明:∵PQ垂直平分BE,∴PB=PE,OB=OE.∵四边形ABCD是矩形,∴AD∥BC.∴∠PEO=∠QBO.在△EOP和△BOQ中,∠PEO=∠QBO,OE=OB,∠POE=∠QOB,∴△EOP≌△BOQ(ASA).∴PE=QB.又∵AD∥BC,∴四边形BPEQ是平行四边形.又∵PB=PE,∴四边形BPEQ是菱形.(2)∵O,F分别为PQ,AB的中点,∴AE+BE=2OF+2OB=18.设AE=x,则BE=18-x.在Rt△ABE中,62+x2=(18-x)2,解得x=8,BE=18-x=10.∴OB=12BE=5.设PE=y,则AP=8-y,BP=PE=y.在Rt△ABP中,62+(8-y)2=y2,解得y=254.在Rt△BOP中,PO=(254) 2-52=154.∴PQ=2PO=152.7.解:(1)①证明:∵EH⊥AB,∠BAC=90°,∴EH∥CA,∴△BHE∽△BAC.∴BEBC=HEAC.∵DCBE=ACBC,∴BEBC=DCAC.∴HEAC=DCAC.∴HE=DC,∵EH∥DC,∴四边形DHEC是平行四边形.②∵ACBC=22,∠BAC=90°,∴AC=AB.∵DCBE=22,HE=DC,∴HEBE=22.∵∠BHE=90°,∴BH=HE.∵HE=DC.∴BH=CD.∴AH=AD.∵DM⊥AE,EH⊥AB,∴∠EHA=∠AMF=90°.∴∠HAE+∠HEA=∠HAE+∠AFM=90°.∴∠HEA=∠AFD.又∵∠EHA=7\n∠FAD=90°,∴△HEA≌△AFD.∴AE=DF.(2)如图,过点E作EG⊥AB于点G.∵∠BAC=90°,∴EG∥CA.∴△EGB∽△CAB.∴EGCA=BEBC.∴EGBE=CABC=35.∵CDBE=35,∴EG=CD.设EG=CD=3x,AC=3y,则BE=5x,BC=5y.∴BG=4x,AB=4y.∵∠EGA=∠AMF=90°,∴∠GEA+∠EAG=∠EAG+∠AFM,∴∠AFM=∠AEG.又∵∠FAD=∠EGA=90°,∴△FAD∽△EGA.∴DFAE=ADAG=3y-3x4y-4x=34.8.解:(1)证明:由翻折的性质可知,A'D=AB,∠DEF=∠BEF,∠BFE=∠DFE,∠A=∠A'.∵四边形ABCD为平行四边形,∴AB=CD,∠C=∠A,AD∥BC.∴A'D=CD,∠A'=∠C,∠DEF=∠BFE.∴∠DEF=∠BFE=∠BEF=∠EFD.∴180°-(∠DEF+∠BEF)=180°-(∠BFE+∠EFD),即∠AEB=∠DFC.又∵∠AEB=∠A'ED,∴∠DFC=∠A'ED.在△A'ED和△CFD中,∠A'ED=∠CFD,∠A'=∠C,A'D=CD,∴△A'ED≌△CFD(AAS).(2)过点E作EH⊥BC于点H.∵∠EBF=60°,∠BEF=∠BFE,EF=3,∴△EBF是等边三角形.∴FH=32,EH=EF2-FH2=323.7\n由折叠可知△DEF≌△BEF,∴四边形BFDE的面积=2S△BEF=BF·EH=3×323=923.7
