第六章 统计与概率第38讲 统 计1.(2022，河北)五名学生投篮球，规定每人投20次，统计他们每人投中的次数，得到五个数据．若这五个数据的中位数是6，唯一众数是7，则他们投中次数的总和可能是(B)A.20B.28C.30D.31【解析】中位数是6，唯一众数是7，则最大的三个数的和是6＋7＋7＝20，两个较小的数一定是小于6的非负整数，且不相等，即两个较小的数最大为4和5，最小为0和1，总和一定大于等于21且小于等于29.2.(2022，河北)某厂生产A，B两种产品，其单价随市场变化而做相应调整．营销人员根据前三次单价变化的情况，绘制了如下统计表及不完整的折线图(如图)，并求得了A产品三次单价的平均数和方差：＝5.9，s＝×[(6－5.9)2＋(5.2－5.9)2＋(6.5－5.9)2]＝.A，B产品单价变化统计表第一次第二次第三次A产品单价/(元/件)65.26.5B产品单价/(元/件)3.543第2题图(1)补全图中B产品单价变化的折线图，B产品第三次的单价比上一次的单价降低了__25__%；(2)求B产品三次单价的方差，并比较哪种产品的单价波动小；(3)该厂决定第四次调价，A产品的单价仍为6.5元/件，B产品的单价比3元/件上调m%(m>0)，使得A产品这四次单价的中位数比B产品这四次单价的中位数的2倍少1，求m的值．【思路分析】(1)根据题目提供的数据补全折线统计图并计算即可．(2)计算B产品三次单价的方差并与A产品三次单价的方差比较即可．(3)首先确定A产品这四次单价的中位数，然后确定B产品第四次单价的范围，根据“A产品这四次单价的中位数比B产品这四次单价的中位数的2倍少1”列方程求m即可．解：(1)如答图所示． 25(2)＝×(3.5＋4＋3)＝3.5，s＝×[(3.5－3.5)2＋(4－3.5)2＋(3－3.5)2]＝.∵<，11\n∴B产品的单价波动小．(3)第四次调价后，对于A产品，这四次单价的中位数为＝.对于B产品，∵m＞0，∴第四次的单价大于3元/件．∵×2－1＝＞，∴第四次的单价小于4元/件．∴×2－1＝.∴m＝25.第2题答图3.(2022，河北)为考察甲、乙、丙、丁四种小麦的长势，在同一时期分别从中随机抽取部分麦苗，获得苗高(单位：cm)的平均数与方差为甲＝丙＝13，乙＝丁＝15，s＝s＝3.6，s＝s＝6.3，则麦苗又高又整齐的是(D)A.甲B.乙C.丙D.丁【解析】∵乙＝丁＞甲＝丙，∴麦苗乙、丁比甲、丙要高．∵s＝s＜s＝s，∴麦苗甲、丁的长势比乙、丙的长势整齐．综上所述，麦苗又高又整齐的是丁．4.(2022，河北节选)老师随机抽查了本学期学生读课外书册数的情况，绘制成条形图(如图①)和不完整的扇形图(如图②)，其中条形图被墨迹遮盖了一部分．(1)求条形图中被遮盖的数，并写出册数的中位数；(2)随后又补查了另外几人，得知最少的读了6册，将其与之前的数据合并后，发现册数的中位数没改变，则最多补查了3人．第4题图【思路分析】11\n(1)用读课外书为6册的人数除以其所占的百分比得到抽查的总人数，再用总人数分别减去读课外书为4册、6册和7册的人数得到读课外书为5册的人数，然后根据中位数的定义求册数的中位数．(2)根据中位数的定义可判断总人数不能超过27，从而得到最多补查的人数．解：(1)抽查的学生总数为6÷25%＝24，则读课外书为5册的学生数为24－5－6－4＝9.所以条形图中被遮盖的数为9.把册数按从小到大的顺序排列，处于最中间的两个数的平均数为5，所以册数的中位数为5.(2)3 数据的收集例1(2022，乐山)下列调查中，适宜采用全面调查方式的是(D)A.调查全国中学生心理健康现状B.调查一片试验田里某种大麦的穗长情况C.调查冷饮市场上冰淇淋的质量情况D.调查你所在班级的每一个同学所穿鞋子的尺码情况【解析】A.调查全国中学生心理健康现状调查范围广，适合抽样调查，故错误．B.调查一片试验田里某种大麦的穗长情况调查范围广，适合抽样调查，故错误．C.调查冷饮市场上冰淇淋的质量情况调查范围广，适合抽样调查，故错误．D.调查你所在班级的每一个同学所穿鞋子的尺码情况，适合全面调查，故正确.针对训练1(2022，贵阳)在“生命安全”主题教育活动中，为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对生命安全知识掌握情况，小丽制定了如下方案，你认为最合理的是(D)A.抽取乙校初二年级学生进行调查B.在丙校随机抽取600名学生进行调查C.随机抽取150名老师进行调查D.在四所学校各随机抽取150名学生进行调査【解析】为了解甲、乙、丙、丁四所学校学生对生命安全知识掌握情况，在四所学校各随机抽取150名学生进行调査最具有广泛性和代表性. 数据的表示例2(2022，云南)2022年12月8日，以“‘数字工匠’玉汝于成，‘数字工坊’溪达四海”为主题的2022一带一路数字科技文化节·玉溪暨第10届全国三维数字化创新设计大赛(简称“全国3D大赛”)总决赛在玉溪圆满闭幕．某学校为了解学生对这次大赛的了解程度，在全校1300名学生中随机抽取部分学生进行了一次问卷调查，并根据收集到的信息进行了统计，绘制了如图所示的两幅统计图．下列四个选项，错误的是(D)例2题图A.抽取的学生共有50人B.“非常了解”的人数占抽取的学生人数的12%11\nC.α＝72°D.全校“不了解”的学生估计有428人【解析】抽取的学生共有6＋10＋16＋18＝50(人)，故选项A正确．“非常了解”的人数占抽取的学生人数的＝12%，故选项B正确．α＝360°×＝72°，故选项C正确．全校“不了解”的学生估计有1300×＝468(人)，故选项D错误.针对训练2(2022，舟山)2022年1月至4月我国新能源乘用车的月销量情况如图所示，则下列说法错误的是(D)训练2题图A.1月份的销量为2.2万辆B.从2月到3月的月销量增长最快C.4月份销量比3月份增加了1万辆D.1月至4月新能源乘用车销量逐月增加【解析】1月份的销量为2.2万辆，故选项A正确．从2月到3月的月销量增长最快，故选项B正确.4月份销量比3月份增加了4.3－3.3＝1(万辆)，故选项C正确.1月至2月新能源乘用车销量减少，2月至4月新能源乘用车销量逐月增加，故选项D错误. 数据的分析例3(2022，河北)某社区准备在甲、乙两位射箭爱好者中选出一人参加集训，两人各射了5箭，他们的总成绩(单位：环)相同．小宇根据他们的成绩绘制了尚不完整的统计图(如图)表，并计算了甲成绩的平均数和方差(见小宇的作业)．例3题图甲、乙两人射箭成绩统计表第1次第2次第3次第4次第5次甲成绩/环94746乙成绩/环757a711\n小宇的作业：解：甲＝×(9＋4＋7＋4＋6)＝6，s＝×[(9－6)2＋(4－6)2＋(7－6)2＋(4－6)2＋(6－6)2]＝×(9＋4＋1＋4＋0)＝3.6.(1)a＝4，乙＝6；(2)请完成图中表示乙成绩变化情况的折线；(3)①观察图，可以看出乙的成绩比较稳定(填“甲”或“乙”)．参照小宇的计算方法，计算乙成绩的方差，并验证你的判断；②请你从平均数和方差的角度分析，谁将被选中．【思路分析】(1)根据他们的总成绩相同，求解．(2)根据(1)中所得a的值完成折线图即可．(3)①观察完成的折线图，即可得出乙的成绩比较稳定．计算验证即可．②因为两人成绩的平均数相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．解：(1)4 6(2)如答图所示．例3答图(3)①乙 s＝×[(7－6)2＋(5－6)2＋(7－6)2＋(4－6)2＋(7－6)2]＝×(1＋1＋1＋4＋1)＝1.6.因为s＜s，所以上述判断正确．②因为两人成绩的平均数相同，根据方差得出乙的成绩比甲稳定，所以乙将被选中．针对训练3(2022，河北，导学号5892921)某校260名学生参加植树活动，要求每人植4～7棵，活动结束后随机抽查了20名学生每人的植树量，并分为四种类型，A：4棵；B：5棵；C：6棵；D：7棵．将各类的人数绘制成扇形图(如图①)和条形图(如图②)，经确认扇形图是正确的，而条形图尚有一处错误.训练3题图回答下列问题：(1)写出条形图中存在的错误，并说明理由；11\n(2)写出这20名学生每人植树量的众数、中位数；(3)在求这20名学生每人植树量的平均数时，小宇是这样分析的：第一步：求平均数的公式是＝；第二步：在该问题中，n＝4，x1＝4，x2＝5，x3＝6，x4＝7；第三步：＝＝5.5. ①小宇的分析是从哪一步开始出现错误的？ ②请你帮他计算出正确的平均数，并估计这260名学生共植树多少棵．【思路分析】(1)条形图中D的人数错误，应为20×10%＝2.(2)根据条形图及扇形图得出众数与中位数即可．(3)①小宇的分析是从第二步开始出现错误的．②求出正确的平均数，乘260即可得到结果．解：(1)D类型的人数有错．理由：D类型的人数为20×10%＝2，2≠3.(2)众数为5，中位数为5.(3)①第二步．②＝＝5.3，估计这260名学生共植树5.3×260＝1378(棵)．一、选择题1.(2022，葫芦岛)下列调查中，调查方式选择最合理的是(A)A.调查“乌金塘水库”的水质情况，采用抽样调查B.调查一批飞机零件的合格情况，采用抽样调查C.检验一批进口罐装饮料的防腐剂含量，采用全面调查D.企业招聘人员，对应聘人员进行面试，采用抽样调查【解析】调查“乌金塘水库”的水质情况，不宜采用全面调查，适合采用抽样调查，故选项A正确．调查一批飞机零件的合格情况，适合采用全面调查，故选项B错误．检验一批进口罐装饮料的防腐剂含量，调查范围广，适合采用抽样调查，故选项C错误．企业招聘人员，对应聘人员进行面试，适合采用全面调查，故选项D错误．2.(2022，河北)甲、乙两组各有12名学生，组长分别绘制了本组5月份家庭用水量的统计图(如图)和统计表(如下表)．比较5月份两组家庭用水量的中位数，下列说法正确的是(B)甲组12户家庭用水量统计表用水量/t4569户数4521乙组12户家庭用水量统计图第2题图A.甲组比乙组大B.甲、乙两组相同C.乙组比甲组大D.无法判断11\n【解析】由统计表知甲组家庭用水量的中位数为＝5.乙组家庭用水量为4t和6t的各有12×＝3(户)，家庭用水量为7t的有12×＝2(户)，则家庭用水量为5t的有12－(3＋3＋2)＝4(户)，∴乙组家庭用水量的中位数为＝5.∴甲组和乙组家庭用水量的中位数相等．3.(2022，唐山丰润区模拟)某专卖店专营某品牌的衬衫，店主对上一周不同尺码的衬衫销售情况统计如下：尺码3940414243平均每天销售数量/件1012201212该店主决定本周进货时，增加一些41码的衬衫，影响该店主决策的统计量是(C)A.平均数B.方差C.众数D.中位数【解析】由于众数是数据中出现次数最多的数，故影响该店主决策的统计量是众数．4.(2022，保定二模)一组数据4，x，5，10，11的平均数为7，则这组数据的众数是(B)A.4B.5C.10D.11【解析】根据题意，得(4＋x＋5＋10＋11)÷5＝7.解得x＝5.根据众数的定义可得这组数据的众数是5.5.(2022，邵阳)根据李飞与刘亮射击训练的成绩绘制了如图所示的折线统计图．根据统计图所提供的信息，若要推荐一位成绩较稳定的选手去参赛，应推荐(C)第5题图A.李飞或刘亮B.李飞C.刘亮D.无法确定【解析】根据统计图中数据的变化趋势，可知刘亮的成绩较稳定．所以应推荐刘亮．二、填空题6.某校学生来自甲、乙、丙三个地区，其人数比为2∶7∶3.若绘制成扇形统计图，则甲地区人数所在扇形的圆心角度数为60°.【解析】甲地区人数所在扇形的圆心角度数为×360°＝60°.7.(2022，泰州)某鞋厂调查了商场一个月内不同尺码男鞋的销量，在平均数、中位数、众数和方差等数个统计量中，该鞋厂最关注的是众数．【解析】众数是数据中出现次数最多的数．鞋厂最关注的是销售量最多的男鞋的尺码即这组数据的众数．8.(2022，金华)如图所示的是我国2022—2022年国内生产总值增长速度统计图，则这5年增长速度的众数是6.9%.11\n第8题图【解析】这5年的增长速度分别是7.8%，7.3%，6.9%，6.7%，6.9%，则这5年增长速度的众数是6.9%.三、解答题9.(2022，包头)某公司招聘职员两名，对甲、乙、丙、丁四名候选人进行了笔试和面试，各项成绩满分均为100分，然后再按笔试占60%、面试占40%计算候选人的综合成绩(满分为100分)．他们的各项成绩如下表所示：候选人笔试成绩/分面试成绩/分甲9088乙8492丙x90丁8886(1)直接写出这四名候选人面试成绩的中位数；(2)现得知候选人丙的综合成绩为87.6分，求表中x的值；(3)求出其余三名候选人的综合成绩，并以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选．【思路分析】(1)根据中位数的概念求解．(2)根据题意列出方程，解方程即可．(3)根据加权平均数的计算公式分别求出其余三名候选人的综合成绩，比较即可．解：(1)这四名候选人面试成绩的中位数为＝89.(2)由题意，得x·60%＋90×40%＝87.6.解得x＝86.所以表中x的值为86.(3)甲候选人的综合成绩为90×60%＋88×40%＝89.2(分)，乙候选人的综合成绩为84×60%＋92×40%＝87.2(分)，丁候选人的综合成绩为88×60%＋86×40%＝87.2(分)，所以以综合成绩排序确定所要招聘的前两名的人选是甲和丙． 1.(2022，吉林，导学号5892921)为了调查甲、乙两台包装机分装标准质量为400g奶粉的情况，质检员进行了抽样调查，过程如下，请补全表一、表二中的空白，并回答提出的问题．【收集数据】从甲、乙两台包装机分装的奶粉中各随机抽取10袋，测得实际质量(单位：g)如下：甲：400，400，408，406，410，409，400，393，394，395.乙：403，404，396，399，402，402，405，397，402，398.【整理数据】质量/g频数种类表一393≤x＜396396≤x＜399399≤x＜402402≤x＜405405≤x＜408408≤x＜411甲303013乙031510【分析数据】11\n表二种类平均数中位数众数方差甲401.540040036.85乙400.84024028.56【得出结论】包装机分装情况比较好的是乙(填“甲”或“乙”)，说明你的理由．【思路分析】【整理数据】由题干中的数据结合表中范围确定个数即可得．【分析数据】根据众数和中位数的定义求解可得．【得出结论】根据方差的意义，方差小分装质量较为稳定即可得．解：【整理数据】质量/g频数种类表一393≤x＜396396≤x＜399399≤x＜402402≤x＜405405≤x＜408408≤x＜411甲303013乙031510【分析数据】表二种类平均数中位数众数方差甲401.540040036.85乙400.84024028.56【得出结论】乙理由：由表二知，乙包装机分装的奶粉质量的方差小，分装质量比较稳定，所以包装机分装情况比较好的是乙．2.(导学号5892921)为了了解学生关注科教类新闻的情况，小明对某班学生一周内收看科教类新闻的次数作了调查，统计调查结果如图所示(其中男生收看3次的人数没有标出)．根据上述信息，解答下列问题：(1)该班的女生人数是20，女生收看科教类新闻次数的中位数是3；(2)对于某个群体，我们把一周内收看某类新闻次数不低于3次的人数占其所在群体总人数的百分比叫做该群体该类新闻的“关注指数”．如果该班男生对科教类新闻的“关注指数”比女生低5%，试求该班的男生人数；(3)为进一步分析该班男、女生收看科教类新闻次数的特点，小明给出了男生的部分统计量，根据你所学过的统计知识，适当计算女生的有关统计量，进而比较该班男、女生收看科教类新闻次数的波动大小．第2题图男生部分统计量统计量平均数中位数众数方差…男生3342…【思路分析】(1)将统计图中的女生人数相加即可求得总人数．根据中位数的定义求解可得．(2)先求出该班女生对科教类新闻的“关注指数”，即可得出该班男生对科教类新闻的“11\n关注指数”，再列方程解答即可．(3)比较该班男、女生收看科教类新闻次数的波动大小，需要求出女生收看科教类新闻次数的方差．解：(1)20 3(2)由题意，得该班女生对科教类新闻的“关注指数”为＝65%.所以男生对科教类新闻的“关注指数”为65%－5%＝60%.设该班的男生有x人．根据题意，得＝60%.解得x＝25.答：该班的男生有25人．(3)该班女生收看科教类新闻次数的平均数为×(1×2＋2×5＋3×6＋4×5＋5×2)＝3，该班女生收看科教类新闻次数的方差为×[2×(3－1)2＋5×(3－2)2＋6×(3－3)2＋5×(3－4)2＋2×(3－5)2]＝.因为2＞，所以该班男生收看科教类新闻次数的波动比女生大．3.(2022，河北，导学号5892921)如图①，A，B，C是三个垃圾存放点，点B，C分别位于点A的正北和正东方向，AC＝100m．四人分别测得∠C的度数如下表：甲乙丙丁∠C的度数34°36°38°40°他们又调查了各点的垃圾量，并绘制了下列尚不完整的统计图(如图②和图③)．第3题图(1)求表中∠C度数的平均数；(2)求A处的垃圾量，并将图②补充完整；(3)用(1)中的作为∠C的度数，要将A处的垃圾沿道路AB运到B处．已知运送1kg垃圾每米的费用为0.005元，求运垃圾所需的费用．(注：sin37°≈0.6，cos37°≈0.8，tan37°≈0.75)【思路分析】(1)直接求平均数即可．(2)利用扇形统计图以及条形统计图可得出C处的垃圾量及其所占百分比，进而求出垃圾总量，进而得出A处的垃圾量．(3)利用锐角三角函数得出AB的长，进而得出运垃圾所需的费用．解：(1)＝＝37°.(2)∵C处的垃圾量为320kg，在扇形统计图中所占百分比为50%，11\n∴垃圾总量为320÷50%＝640(kg)．∴A处的垃圾量为(1－50%－37.5%)×640＝80(kg)．补全的条形统计图如答图．第3题答图(3)在Rt△ABC中，∵AC＝100m，∠C＝37°，∴tan37°＝.∴AB＝AC·tan37°≈100×0.75＝75(m)．∵运送1kg垃圾每米的费用为0.005元，∴运垃圾所需的费用约为75×80×0.005＝30(元)．11
