第39讲 概 率1.(2022，河北)掷一枚质地均匀的硬币10次，下列说法正确的是(B)A.每2次必有1次正面向上B.可能有5次正面向上C.必有5次正面向上D.不可能有10次正面向上【解析】由随机事件及概率的意义，知掷一枚质地均匀的硬币10次，可能有5次正面向上．2.(2022，河北)某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能是(D)第2题图A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃C.暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球D.掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4【解析】A.在“石头、剪刀、布”的游戏中，小明随机出的是“剪刀”的概率为，故此选项错误．B.一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是＝，故此选项错误．C.暗箱中有1个红球和2个黄球，它们只有颜色上的区别，从中任取一球是黄球的概率为，故此选项错误．D.掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面点数是4的概率为≈0.17，故此选项正确．3.(2022，河北)如图①，一枚质地均匀的正四面体骰子，它有四个面并分别标有数字1，2，3，4.如图②，正方形ABCD顶点处各有一个圈．跳圈游戏的规则是：游戏者每掷一次骰子，骰子着地一面上的数字是几，就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长．如：若从圈A起跳，第一次掷得3，就顺时针连续跳3个边长，落到圈D；若第二次掷得2，就从D开始顺时针连续跳2个边长，落到圈B……设游戏者从圈A起跳．(1)嘉嘉随机掷一次骰子，求落回到圈A的概率P1；(2)淇淇随机掷两次骰子，用列表法求最后落回到圈A的概率P2，并指出她与嘉嘉落回到圈A的可能性是否一样．11\n第3题图【思路分析】(1)本小题属于一步概率题，共有4种等可能的结果，只有结果为4时，才能回到圈A.(2)本小题属于两步放回概率题．通过列表得出答案．解：(1)∵掷一次骰子有4种等可能的结果，只有掷得4时，才会落回到圈A，∴P1＝.(2)列表如下： 第1次第2次 12341(1，1)(2，1)(3，1)(4，1)2(1，2)(2，2)(3，2)(4，2)3(1，3)(2，3)(3，3)(4，3)4(1，4)(2，4)(3，4)(4，4)从表中可以看出，所有等可能的结果共有16种，当两次掷得的数字和为4的倍数，即(1，3)，(2，2)，(3，1)，(4，4)时，才会落回到圈A，即共包含4种结果，∴P2＝＝.∴P2＝P1.∴淇淇与嘉嘉随机掷骰子落回到圈A的可能性一样．4.(2022，河北)编号为1～5号的5名学生进行定点投篮，规定每人投5次，每命中1次记1分，没有命中记0分．如图所示的是根据他们各自的累积得分绘制的条形统计图，之后来了6号学生也按同样记分规定投了5次，其命中率为40%.第4题图(1)求6号学生的积分，并将图增补为这6名学生积分的条形统计图；(2)在这6名学生中，随机选一名学生，求选上命中率高于50%的学生的概率；(3)最后，又来了7号学生，也按同样记分规定投了5次．这时7名学生积分的众数仍是前6名学生积分的众数，求这个众数以及7号学生的积分．【思路分析】(1)由6号学生命中的次数为5×40%＝2可得答案，并补全条形图．(2)由这6名学生中，命中次数大于5×50%＝2.5的有2，3，4，5号这4名学生，根据概率公式可得．(3)根据众数的定义得出前6名学生积分的众数，进而求出7号学生的积分．解：(1)6号学生命中的次数为5×40%＝2，则6号学生的积分为2分．补全的条形统计图如答图．(2)这6名学生中，命中次数大于5×50%＝2.5的有2，3，4，5号这4名学生，11\n∴选上命中率高于50%的学生的概率为＝.(3)∵前6名学生积分的众数为3，∴7名学生积分的众数为3，7号学生的积分为3分或0分．第4题答图 确定性事件与随机事件例1(2022，长沙)下列说法正确的是(C)A.任意掷一枚质地均匀的硬币10次，一定有5次正面向上B.天气预报说“明天的降水概率为40%”，表示明天有40%的时间都在降雨C.“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件D.“a是实数，|a|≥0”是不可能事件【解析】A.任意掷一枚质地均匀的硬币10次，不一定有5次正面向上，故选项A错误．B.天气预报说“明天的降水概率为40%”，只是刻画明天降雨的可能性大小，不表示明天有40%的时间都在降雨，故选项B错误．C.“篮球队员在罚球线上投篮一次，投中”为随机事件，故选项C正确．D.“a是实数，|a|≥0”是必然事件，故选项D错误.针对训练1(2022，襄阳)下列语句所描述的事件是随机事件的是(D)A.任意画一个四边形，其内角和为180°B.经过任意两点画一条直线C.任意画一个菱形，是中心对称图形D.过平面内任意三点画一个圆【解析】A.任意画一个四边形，其内角和为180°是不可能事件．B.经过任意两点画一条直线是必然事件．C.任意画一个菱形，是中心对称图形是必然事件．D.过平面内任意三点画一个圆是随机事件. 概率的计算例2(2022，河北)如图，一转盘被等分成三个扇形，上面分别标有－1，1，2中的一个数，指针位置固定．转动转盘后任其自由停止，这时，某个扇形会恰好停在指针所指的位置，并相应得到这个扇形上的数(若指针恰好指在等分线上，当作指向右边的扇形)．(1)若小静转动转盘一次，求得到负数的概率；(2)小宇和小静分别转动转盘一次，若两人得到的数相同，则称两人“不谋而合”．用列表法(或画树状图法)求两人“不谋而合”的概率．例2题图11\n【思路分析】(1)由转盘被等分成三个扇形，上面分别标有－1，1，2，利用概率公式即可求得小静转动转盘一次，得到负数的概率．(2)依据题意先列表或画树状图列举出所有等可能的结果，然后根据概率公式即可求出该事件的概率．解：(1)∵转盘被等分成三个扇形，上面分别标有－1，1，2，∴小静转动转盘一次，得到负数的概率为.(2)列表如下： 小静小宇 －112－1(－1，－1)(－1，1)(－1，2)1(1，－1)(1，1)(1，2)2(2，－1)(2，1)(2，2)从表中可以看出，一共有9种等可能的结果，其中两人得到的数相同的结果有3种，所以两人“不谋而合”的概率为＝.针对训练2(2022，山西)在一个不透明的袋子里装有两个黄球和一个白球，它们除颜色外都相同，随机从中摸出一个球，记下颜色后放回袋子中，充分摇匀后，再随机摸出一个球．两次都摸到黄球的概率是(A)A.B.C.D.【解析】画树状图如答图．训练2答图从树状图中可以看出，共有9种等可能的结果，其中两次都摸到黄球的结果有4种，所以两次都摸到黄球的概率为. 用频率估计概率例3(2022，呼和浩特)某学习小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如图所示的折线统计图，则符合这一结果的试验最有可能的是(D)例3题图A.袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球B.掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数C.先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面D.先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9【解析】A.袋中装有大小和质地都相同的3个红球和2个黄球，从中随机取一个，取到红球的概率为，不符合题意．B.11\n掷一枚质地均匀的正六面体骰子，向上的面的点数是偶数的概率为，不符合题意．C.先后两次掷一枚质地均匀的硬币，两次都出现反面的概率为，不符合题意．D.先后两次掷一枚质地均匀的正六面体骰子，两次向上的面的点数之和是7或超过9的概率为，符合题意.针对训练3(2022，永州)在一个不透明的盒子中装有n个球，它们除了颜色之外没有其他区别，其中含有3个红球，每次摸球前，将盒中所有的球摇匀，然后随机摸出一个球，记下颜色后再放回盒中．通过大量重复试验，发现摸到红球的频率稳定在0.03，那么可以推算出n的值大约是100.【解析】由题意，可得≈0.03.解得n≈100.所以可推算出n的值大约是100. 统计与概率综合例4(2022，菏泽)为了发展学生的核心素养，培养学生的综合能力，某中学利用“阳光大课间”，组织学生积极参加丰富多彩的课外活动．学校成立了舞蹈队、足球队、篮球队、毽子队、射击队等，其中射击队在某次训练中，甲、乙两名队员各射击10发子弹，成绩用如图所示的折线统计图表示：例4题图(1)依据折线统计图，得到下面的表格：射击次序12345678910甲的成绩/环8979867a108乙的成绩/环679791087b10 其中a＝8，b＝7；(2)甲的成绩的众数是8，乙的成绩的中位数是7.5；(3)请运用方差的知识，判断甲、乙两人谁的成绩更为稳定；(4)该校射击队要参加市里组织的射击比赛，已预选出2名男同学和2名女同学，现要从这4名同学中任意选取2名同学参加比赛，请用列表法或画树状图法，求出恰好选到1男1女的概率．【思路分析】(1)根据折线统计图即可得．(2)根据众数和中位数的定义可得．(3)求出甲、乙两人成绩的方差，方差小的成绩稳定．(4)列表得出所有等可能的结果，从中找到1男1女的结果数，利用概率公式计算可得．解：(1)8 7(2)8 7.5(3)甲成绩的平均数为(6＋7×2＋8×4＋9×2＋10)÷10＝8.甲成绩的方差为×[(6－8)2＋2×(7－8)2＋4×(8－8)2＋2×(9－8)2＋(10－8)2]＝1.2.乙成绩的平均数为(6＋7×4＋8＋9×2＋10×2)÷10＝8.乙成绩的方差为×[(6－8)2＋4×(7－8)2＋(8－8)2＋2×(9－8)2＋2×(10－8)2]＝1.8.因为1.2＜1.8，所以甲成绩更稳定．11\n(4)用A，B表示男生，a，b表示女生．列表如下：ABabAABAaAbBBABaBbaaAaBabbbAbBba从表中可以看出，一共有12种等可能的结果，其中1男1女的结果有8种，∴P(恰好选到1男1女)＝＝.针对训练4(2022，唐山古冶区模拟)2022年4月15日至5月15日，某市约8万名初三毕业生参加了中考体育测试，为了了解今年初三毕业生的体育成绩，从某校随机抽取了60名学生的测试成绩，根据测试评分标准，将他们的得分按优秀、良好、及格、不及格(分别用A，B，C，D表示)四个等级进行统计，并绘制成下面的统计表和扇形图(如图)：等级成绩/分频数频率A27～30240.4B23～26mxC19～22nyD18及18以下30.05合计601.00训练4题图请你根据以上图表提供的信息，解答下列问题：(1)m＝21，n＝12，x＝0.35，y＝0.2；(2)在扇形图中，B等级所在扇形对应的圆心角的度数是126°；(3)请你估计该市这8万名初三毕业生成绩等级达到优秀和良好的一共大约有多少万人；(4)初三(1)班的甲、乙、丙、丁四人的成绩均为A，现决定从这四名同学中选两名参加学校组织的体育活动，直接写出恰好选中甲、乙两名同学的概率．【思路分析】(1)易知x＝35%＝0.35，用总人数60乘35%可得m的值，用总人数60减去已知人数可得n的值，进而可得y的值．(2)用360°乘相应频率即为B等级所在扇形对应的圆心角的度数．(3)该市初三毕业生总人数8万乘A，B两个等级的频率的和即为所求的人数．(4)用列举法求概率即可．解：(1)21 12 0.35 0.2(2)126°(3)8×(0.4＋0.35)＝6(万人)．答：该市这8万名初三毕业生成绩等级达到优秀和良好的一共大约有6万人．(4)P(恰好选中甲、乙两名同学)＝.一、选择题1.(2022，烟台)下列说法正确的是(A)A.367人中至少有2人生日相同B.任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是11\nC.天气预报说明天的降水概率为90%，则明天一定会下雨D.某种彩票中奖的概率是1%，则买100张彩票一定有1张中奖【解析】A.367人中至少有2人生日相同，故选项A正确．B.任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数是偶数的概率是，故选项B错误．C.天气预报说明天的降水概率为90%，只是刻画明天降雨的可能性大小，不表示明天一定会下雨，故选项C错误．D.某种彩票中奖的概率是1%，只是刻画中奖的可能性大小，不表示买100张彩票一定有1张中奖，故选项D错误．2.(2022，玉林)某小组做“用频率估计概率”的试验时，绘出的某一结果出现的频率的折线图如图所示，则符合这一结果的试验可能是(D)第2题图A.抛一枚硬币，出现正面朝上B.掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃D.从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球【解析】A.抛一枚硬币，出现正面朝上的概率为，不符合这一结果，故此选项错误．B.掷一个正六面体的骰子，出现3点朝上的概率为，不符合这一结果，故此选项错误．C.一副去掉大小王的扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率为，不符合这一结果，故此选项错误．D.从一个装有2个红球和1个黑球的袋子中任取一球，取到的是黑球的概率为，符合这一结果，故此选项正确．3.(2022，广州)甲袋中装有两个相同的小球，分别写有数字1和2，乙袋中装有两个相同的小球，分别写有数字1和2.从两个口袋中各随机取出一个小球，取出的两个小球上都写有数字2的概率是(C)A.B.C.D.【解析】画树状图如答图所示．第3题答图从树状图中可以看出，一共有4种等可能的结果，其中取出的两个小球上都写有数字2的结果有1种，故取出的两个小球上都写有数字2的概率是.4.(2022，威海)一个不透明的盒子中放入四张卡片，每张卡片上都写有一个数，分别是－2，－1，0，1.卡片除数不同外其他均相同，从中随机抽取两张卡片，抽取的两张卡片上数之积为负数的概率是(B)11\nA.B.C.D.【解析】画树状图如答图．第4题答图从树状图中可以看出，一共有12种等可能的结果，其中抽取的两张卡片上数之积为负数的结果有4种，所以抽取的两张卡片上数之积为负数的概率为＝.二、填空题5.(2022，扬州)有4根细木棒，长度分别为2cm，3cm，4cm，5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是（）.【解析】从4根细木棒中任取3根，有2，3，4；3，4，5；2，3，5；2，4，5，共4种等可能的取法，其中能搭成一个三角形的有2，3，4；3，4，5；2，4，5，共3种取法，故所求概率为.6.(2022，滨州)若从－1，1，2这三个数中，任取两个分别作为点M的横、纵坐标，则点M在第二象限的概率是（）.【解析】列表如下：－112－1(1，－1)(2，－1)1(－1，1)(2，1)2(－1，2)(1，2)从表中可以看出，一共有6种等可能的结果，其中点M在第二象限的结果有2种，所以点M在第二象限的概率是＝.三、解答题7.(2022，苏州)如图，在一个可以自由转动的转盘中，指针位置固定，三个扇形的面积都相等，且分别标有数字1，2，3.(1)小明转动转盘一次，当转盘停止转动时，指针所指扇形中的数字是奇数的概率为（）；(2)小明先转动转盘一次，当转盘停止转动时，记录下指针所指扇形中的数字；接着再转动转盘一次，当转盘停止转动时，再次记录下指针所指扇形中的数字，求这两个数字之和是3的倍数的概率．(用画树状图或列表等方法求解)第7题图【思路分析】(1)由标有数字1，2，3的转盘中，奇数有1，3共2个，利用概率公式计算可得．(2)根据题意列表得出所有等可能的结果数，得出其中这两个数字之和是3的倍数的结果数，再根据概率公式即可得出答案．11\n解：(1)(2)列表如下：1231(1，1)(2，1)(3，1)2(1，2)(2，2)(3，2)3(1，3)(2，3)(3，3)从表中可以看出，一共有9种等可能的结果，其中这两个数字之和是3的倍数的结果有3种，所以P(这两个数字之和是3的倍数)＝＝.8.(2022，南充)“每天锻炼一小时，健康生活一辈子”．为了选拔“阳光大课间”领操员，学校组织初中三个年级推选出来的15名领操员进行比赛，成绩如下表：成绩/分78910人数2544(1)这组数据的众数是8，中位数是9；(2)已知获得10分的选手中，七、八、九年级分别有1人、2人、1人，学校准备从中随机抽取两人领操，求恰好抽到八年级两名领操员的概率．【思路分析】(1)根据众数和中位数的定义求解可得．(2)利用画树状图法列举出所有等可能的结果，然后利用概率公式即可求解．解：(1)8 9(2)画树状图如答图．第8题答图从树状图中可以看出，一共有12种等可能的结果，其中恰好抽到八年级两名领操员的结果有2种，所以P(恰好抽到八年级两名领操员)＝＝.1.(2022，淄博，导学号5892921)“推进全科阅读，培育时代新人”．某学校为了更好地开展学生读书活动，随机调查了八年级50名学生最近一周的读书时间，统计数据如下表：时间/h678910人数58121510(1)写出这50名学生读书时间的平均数、众数、中位数；(2)根据上述表格补全如图所示的条形统计图；(3)学校欲从这50名学生中，随机抽取1名学生参加上级部门组织的读书活动，其中被抽到学生的读书时间不少于9h的概率是多少？11\n第1题图【思路分析】(1)根据平均数、众数、中位数的定义求解即可．(2)根据题意直接补全图形即可．(3)从表格中得知在50名学生中，读书时间不少于9h的有25人，利用概率公式可得出结论．解：(1)观察表格，可知这50名学生读书时间的平均数为(6×5＋7×8＋8×12＋9×15＋10×10)÷50＝8.34.∵这50名学生读书时间中，9出现了15次，出现的次数最多，∴这50名学生读书时间的众数是9.∵将这50名学生读书时间按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数是8和9，∴这50名学生读书时间的中位数为×(8＋9)＝8.5.(2)补全的条形统计图如答图所示．第1题答图(3)∵读书时间是9h的有15人，读书时间是10h的有10人，∴读书时间不少于9h的有15＋10＝25(人)．∴P(被抽到学生的读书时间不少于9h)＝＝.2.(导学号5892921)某校八年级甲、乙两班各有学生50人，为了了解这两个班学生身体素质情况，进行了抽样调查，过程如下，请补充完整．【收集数据】从甲、乙两个班各随机抽取10名学生进行身体素质测试，测试成绩(百分制)如下：甲班：65 75 75 80 60 50 75 90 85 65乙班：90 55 80 70 55 70 95 80 65 70【整理描述数据】按如下分数段整理、描述这两组样本数据：成绩/分人数班级50≤x＜6060≤x＜7070≤x＜8080≤x＜9090≤x≤100甲班13321乙班21m2n在表中：m＝3，n＝2.【分析数据】(1)两组样本数据的平均数、中位数、众数如下表所示：班级平均数中位数众数甲班72x75乙班7370y在表中：x＝75，y＝70；11\n(2)若规定测试成绩在80分(含80分)以上的学生身体素质为优秀，请估计乙班50名学生中身体素质为优秀的学生有20人；(3)现从甲班指定的2名学生(1男1女)，乙班指定的3名学生(2男1女)中分别抽取1名学生去参加上级部门组织的身体素质测试，用画树状图法或列表法求被抽到的2名学生是1男1女的概率．【思路分析】【整理描述数据】将收集的数据用画正字法整理即可得．【分析数据】(1)根据众数和中位数的定义求解可得．(2)用总人数乘乙班样本中优秀人数所占百分比可得．(3)列表得出所有等可能的结果，利用概率公式求解可得．解：【整理描述数据】3 2【分析数据】(1)75 70(2)20(3)列表如下：男女男1男、男1女、男1男2男、男2女、男2女男、女女、女从表中可以看出，一共有6种等可能的结果，其中抽到的2名学生是1男1女的结果有3种，所以P(被抽到的2名学生是1男1女)＝＝.11
