第二篇专题篇•核心知识 专题提升\n专题四 概率与统计第二讲 统计与统计案例\n导航立前沿•考点启方向自主先热身•真题定乾坤核心拔头筹•考点巧突破明晰易错点•高考零失误\n导航立前沿•考点启方向\n1．抽样方法、样本的数字特征、统计图表主要以选择题、填空题形式命题，难度较小．2．注重知识的交汇渗透，统计与概率，回归分析、独立性检验与概率是近年命题的热点．高考导航\n(理科)高频考点年份卷别题号考查角度分值2021全国卷甲卷2，17频率分布直方图及其应用，独立性检验17全国卷乙卷17样本的数字特征主要是平均数和方差的计算122020Ⅰ卷5散点图的识别5Ⅱ卷18平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取12Ⅲ卷3，18标准差的大小比较、方差公式的应用；利用频数分布表计算频率和平均数、独立性检验的应用172019Ⅰ卷/Ⅱ卷5样本的数字特征5Ⅲ卷17频率分布直方图、均值的应用12\n(文科)年份卷别题号考查角度分值2021全国卷甲卷2，17频率分布直方图，独立性检验17全国卷乙卷17样本的数字特征122020Ⅰ卷5，17散点图的识别，频率分布表的应用17Ⅱ卷18平均数的估计值、相关系数的计算以及抽样方法的选取12Ⅲ卷3，18方差及其性质，利用频数分布表计算频率和平均数、独立性检验的应用17\n年份卷别题号考查角度分值2019Ⅰ卷6，12(2)系统抽样，独立性检验10Ⅱ卷19样本的频率分布以及样布的数字特征12Ⅲ卷4，17随机抽样以及用样本估计总体；有频率分布直方图求参数的平均值17\n自主先热身•真题定乾坤\n1．(2021·全国卷甲卷)为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图：真题热身\n根据此频率分布直方图，下面结论中不正确的是()A．该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率估计为6%B．该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率估计为10%C．估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元D．估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间C\n【解析】对于A，该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比率为(0.02＋0.04)×1＝0.06＝6%，故选项A正确对于B，该地农户家庭年收入不低于10.5万元的农户比率为(0.04＋0.02×3)×1＝0.1＝10%，故选项B正确；对于C，估计该地农户家庭年收入的平均值为3×0.02＋4×0.04＋5×0.1＋6×0.14＋7×0.2＋8×0.2＋9×0.1＋10×0.1＋11×0.04＋12×0.02＋13×0.02＋14×0.02＝7.68>6.5万元，故选项C错误；对于D，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的频率为(0.1＋0.14＋0.2＋0.2)×1＝0.64>0.5，故估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间，故选项D正确．故选C.\n2．(2020·全国卷Ⅰ)某校一个课外学习小组为研究某作物种子的发芽率y和温度x(单位：℃)的关系，在20个不同的温度条件下进行种子发芽实验，由实验数据(xi，yi)(i＝1，2，…，20)得到下面的散点图：\n由此散点图，在10℃至40℃之间，下面四个回归方程类型中最适宜作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是()A．y＝a＋bxB．y＝a＋bx2C．y＝a＋bexD．y＝a＋blnx【解析】由散点图分布可知，散点图分布在一个对数函数的图象附近，因此，最适合作为发芽率y和温度x的回归方程类型的是y＝a＋blnx．故选D.D\nB\n\n\n4．(2019·课标全国卷Ⅱ)我国高铁发展迅速，技术先进．经统计，在经停某站的高铁列车中，有10个车次的正点率为0.97，有20个车次的正点率为0.98，有10个车次的正点率为0.99，则经停该站的高铁列车所有车次的平均正点率的估计值为____________．0.98\n5．(2021·全国卷乙卷)某厂研制了一种生产高精产品的设备，为检验新设备生产产品的某项指标有无提高，用一台旧设备和一台新设备各生产了10件产品，得到各件产品该项指标数据如下：旧设备9.810.310.010.29.99.810.010.110.29.7新设备10.110.410.110.010.110.310.610.510.410.5\n\n\n\n\n6．(2021·全国卷甲卷)甲、乙两台机床生产同种产品，产品按质量分为一级品和二级品，为了比较两台机床产品的质量，分别用两台机床各生产了200件产品，产品的质量情况统计如下表：一级品二级品合计甲机床15050200乙机床12080200合计270130400\nP(K2≥k)0.0500.0100.001k3.8416.63510.828\n\n\n\n\n\n(3)由(2)知各样区的这种野生动物的数量与植物覆盖面积有很强的正相关性，由于各地块间植物覆盖面积差异很大，从而各地块间这种野生动物的数量差异很大，采用分层抽样的方法较好地保持了样本结构与总体结构得以执行，提高了样本的代表性，从而可以获得该地区这种野生动物数量更准确的估计．\n8．(2020·全国卷Ⅲ)某学生兴趣小组随机调查了某市100天中每天的空气质量等级和当天到某公园锻炼的人次，整理数据得到下表(单位：天)：锻炼人次空气质量等级[0，200](200，400](400，600]1(优)216252(良)510123(轻度污染)6784(中度污染)720\n(1)分别估计该市一天的空气质量等级为1，2，3，4的概率；(2)求一天中到该公园锻炼的平均人次的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代表)；(3)若某天的空气质量等级为1或2，则称这天“空气质量好”；若某天的空气质量等级为3或4，则称这天“空气质量不好”．根据所给数据，完成下面的2×2列联表，并根据列联表，判断是否有95%的把握认为一天中到该公园锻炼的人次与该市当天的空气质量有关？人次≤400人次>400空气质量好空气质量不好\n\n\n\n1．统计与统计案例在选择或填空题中的命题热点主要集中在随机抽样、用样本估计总体以及变量间的相关性判断等，难度较低，常出现在3～4题的位置．2．统计的解答题多在第19或20题的位置，多与概率知识交汇考查，交汇点主要有两种：频率分布直方图、茎叶图择一与随机变量的分布列、数学期望、方差、正态分布相交汇考查；频率分布直方图、茎叶图择一与线性回归或独立性检验相交汇来考查，难度中等．感悟高考\n核心拔头筹•考点巧突破\n抽样方法主要有简单随机抽样、系统抽样、分层抽样三种，这三种抽样方法各自适用不同特点的总体，但无论哪种抽样方法，每一个个体被抽到的概率都是相等的，都等于样本容量和总体容量的比值．考点一 抽样方法\n(1)(2021·合肥市第六中学高三模拟)质检机构为检测一大型超市某商品的质量情况，从编号为1～120的该商品中利用系统抽样的方法抽8件进行质检，若所抽样本中含有编号67的商品，则下列编号一定被抽到的是()A．112B．53C．38D．9A典例1\n\n(2)(2021·陕西高三模拟)某乡政府对甲、乙、丙三个村的扶贫对象进行抽样调查，其中甲村30人，乙村25人，丙村40人，用分层抽样的方法抽取19人，则从甲、丙两村共抽取的人数为()A．8B．11C．13D．14D\n\n1．(2021·全国高三模拟)某工厂生产A，B，C三种不同型号的产品，某月生产A，B，C这三种型号的产品的数量之比依次为1∶a∶2，现用分层抽样的方法抽取一个容量为60的样本，已知B种型号的产品被抽取了24件，则a＝()A．1B．2C．3D．4玉\n2．(文)(2021·正阳县高级中学高三模拟)高二某班共有学生45人，学号依次为1，2，3，…，45，现按学号用系统抽样的办法抽取一个容量为5的样本，已知学号为7，25，34的学生在样本中，那么该样本中还有两个学生的学号应为()A．16，43B．16，44C．15，43D．15，44A\n考点二 用样本估计总体\n\n\nC角度1样本的数字特征(1)(2021·大通县二模)根据某地气象局数据，该地区6，7，8三个月份在连续五年内的降雨天数如表，则下列说法错误的是()A．降雨天数逐年递增B．五年内三个月份平均降雨天数为41天C．从第二年开始，每一年降雨天数对比前一年的增加量越来越小D．五年内降雨天数的方差为22年份第一年第二年第三年第四年第五年降雨天数3437434546典例2\n\n(2)(2021·遂宁模拟)为了普及新冠肺炎知识，增强疫情防控意识，某学校从高一和高二两个年级各抽取5位同学参加新冠肺炎知识测试，得分(十分制)情况如表所示，则下列描述正确的是()D高一年级组高二年级组得分45678得分569频数11111频数311A．高一年级组数据的平均数为6分，高二年级组数据的平均数为5分B．两组数据的中位数都是6分C．高一年级组数据的极差小于高二年级组数据的极差D．高一年级组成绩的方差小于高二年级组成绩的方差\n\n\n关于平均数、方差的计算样本数据的平均数与方差的计算关键在于准确记忆公式，要特别注意区分方差与标准差，不能混淆，标准差是方差的算术平方根．\n3．(2020·唐山二模)某科考试成绩公布后，发现判错一道题，经修改后重新公布，如表是抽取10名学生的成绩，依据这些信息修改后的成绩与修改前的相比，这10名学生成绩的()A．平均分、方差都变小B．平均分、方差都变大C．平均分不变、方差变小D．平均分不变、方差变大D学生学号12345678910修改前成绩126130104100133123100120139103修改后成绩126135991001381239512014498\n\n4．(2020·广陵区校级模拟)某地区连续5天的最低气温(单位：℃)依次为8，-4，-1，0，2，则该组数据的方差为________．16\n5．(2020·亭湖区校级一模)若样本a1、a2、a3的方差是2，则样本2a1＋3，2a2＋3，2a3＋3的标准差是________．\n角度2统计图表(1)(文)(2021·全国高三模拟)下图是2020年我国居民消费价格月度涨跌幅度图(来源于国家统计局网站)典例1\n下列说法错误的是()A．1～12月月度同比的平均值为2.55B．1～12月月度环比的平均值为负数C．1～12月月度同比整体为下降趋势D．1～12月月度环比的方差大于月度同比的方差D\n\n\n(2)(2021·天津和平区高三月考)学校为了调查学生在课外读物方面的支出情况，抽取了一个容量为n的样本，其频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60)的同学有30人，则n的值为()A．100B．1000C．90D．900A\n\n众数、中位数、平均数与直方图的关系(1)众数为频率分布直方图中最高矩形的底边中点的横坐标．(2)中位数为平分频率分布直方图面积且垂直于横轴的直线与横轴交点的横坐标．(3)平均数等于频率分布直方图中每个小矩形的面积乘小矩形底边中点的横坐标之和．\n6．(2021·辽宁实验中学高三模拟)一组数据由10个数组成，将其中一个数由6改为3，另一个数由2改为5，其余数不变，得到新的10个数，则新的一组数的方差相比原先一组数的方差的减小值为()A．0.4B．0.5C．0.6D．0.7C\n\n\n7．(2021·北京人大附中高三模拟)为了解某班同学的100m成绩，体育老师抽取了6名男生和5名女生进行了测试，结果绘制成茎叶图如图所示．记这6名男生，5名女生测试成绩的中位数分别为a，b，则a，b的大小关系为__________.【解析】根据茎叶图中的数据可得这6名男生测试成绩的中位数a＝87，5名女生测试成绩的中位数b＝88，所以a<b.a<b\n考点三 统计案例\n\n角度1回归分析(2021·四川内江市高三零模)为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生，教育部开展了招生改革工作——强基计划．现对某高中学校学生对强基课程学习的情况进行调查，在参加数学和物理的强基计划课程学习的学生中，随机抽取了10名学生．典例4\n(1)在某次数学强基课程的测试中，这10名学生成绩的统计数据如茎叶图所示，其中某男生的成绩被污损(为整数)，求女生的平均分数超过男生的平均分数的概率.男生女生36789899321\n(2)已知学生的物理成绩y与数学成绩x是线性相关的，现统计了小明同学连续5次在强基课程测试中的数学和物理成绩(如下表)．若第6次测试该生的数学成绩达到132，请你估计第6次测试他的物理成绩大约是多少？数学成绩x120118116122124物理成绩y7979778283\n\n\n\n\n求回归直线方程的方法(1)若所求的回归直线方程是在选择题中，常利用回归直线必经过样本点的中心(x，y)快速解决．\n\n8．(2021·全国高三模拟)实施新规后，某商场2020年1月份至10月份的收入情况如表.月份x12345678910收入y(万元)10121513161715161620\n\n\n\n\n\n角度2独立性检验(2021·全国高三模拟)2020年11月24日我国使用长征五号运载火箭成功发射嫦娥五号月球探测器，12月17日嫦娥五号返回器携带月球样品在预定地区安全着陆，探月工程嫦娥五号任务取得圆满成功．某大学为此举行了与嫦娥系列探测工程有关的知识测试，测试满分为100分，该校某专业的100名大一学生参加了学校举行的测试，记录这100名学生的分数，将数据分成7组：[30，40)，[40，50)，…，[90，100]，并整理得到如下频率分布直方图：典例5\n\n(1)估计这100名学生测试分数的中位数；(2)若分数在[30，40)，[40，50)，[50，60)上的频率分别为p1，p2，p3，且2p1＋p2＝0.05，估计100名学生测试分数的平均数；(3)把分数不低于80分的称为优秀，已知这100名学生中男生有70人，其中测试优秀的男生有45人，填写下面列联表，并根据列联表判断是否有95%的把握认为测试优秀与性别有关：男生女生优秀不优秀\n\n【解析】(1)设这100名学生测试分数的中位数为a，由前5组频率之和为0.4，前6组频率之和为0.8，可得80<a<90，所以0.4＋(a-80)×0.04＝0.5，解得a＝82.5.(2)因为2p1＋p2＝0.05，且p1＋p2＋p3＝0.1，所以这100名学生测试分数的平均数为35p1＋45p2＋55(0.1-p1-p2)＋65×0.1＋75×0.2＋85×0.4＋95×0.2＝5.5-10(2p1＋p2)＋6.5＋15＋34＋19＝79.5\n\n独立性检验的关键(1)根据2×2列联表准确计算K2的观测值k0，若没有列出2×2列联表，要先列出此表．(2)K2的观测值k0越大，对应假设事件H0成立(两类变量相互独立)的概率越小，H0不成立的概率越大．\n9．(2020·四川省绵阳市二诊)每年的4月23日为“世界读书日”，某调查机构对某校学生做了一个是否喜爱阅读的抽样调查．该调查机构从该校随机抽查了100名不同性别的学生(其中男生45名)，统计了每个学生一个月的阅读时间，其阅读时间t(小时)的频率分布直方图如图所示：\n(1)求样本学生一个月阅读时间t的中位数m；(2)已知样本中阅读时间低于m的女生有30名，请根据题目信息完成下面的2×2列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下认为阅读与性别有关．2×2列联表男女总计t≥mt<m总计\n\n(2)由题意得，男生人数为45人，因此女生人数为55人，由频率分布直方图知，阅读时长大于等于m的人数为100×0.5＝50人，故列联表补充如下：男女总计t≥m252550t<m203050总计4555100\n明晰易错点•高考零失误\n典例1易错点一：忘记回归直线过样本中心致错60平均气温(℃)181310-1用电量y(度)25353763\n\n(2020·襄阳四中月考)某城市新开一大型楼盘，由于该楼盘位于城市的黄金地段，预售场面异常火爆，故该楼盘开发商采用房屋竞价策略，竞价的基本规则是：①所有参与竞价的人都是网络报价，每个人并不知道其他人的报价，也不知道参与当期竞价的总人数；②竞价采用“一月一期制”，当月竞价时间截止后，系统根据当期房屋配额，按照竞价人的出价从高到低分配名额，某人拟参加2019年11月份的房屋竞价，他为了预测最低成交价，根据网站的公告，统计了最近5个月参与竞价的人数，如表所示：典例2易错点二：混淆回归直线的斜率和截距\n月份678910月份编号t12345竞价人数y/万人0.50.611.41.7\n(2)某市场调研机构对200位拟参加2019年11月份房屋竞价人员报价进行了一个抽样调查，得到如表所示的频数表：报价(万元/m2)[1，2)[2，3)[3，4)[4，5)[5，6)[6，7]频数206060302010\n\n\n\n\n\n\n\n(2020·沈阳铁路中学月考)司机在开机动车时使用手机是违法行为，会存在严重的安全隐患，危及自己和他人的生命．为了研究司机开车时使用手机的情况，交警部门调查了100名机动车司机，得到以下统计：在55名男性司机中，开车时使用手机的有40人，开车时不使用手机的有15人；在45名女性司机中，开车时使用手机的有20人，开车时不使用手机的有25人．玉典例3易错点三：不理解独立性检验的思想而致错\n(1)完成下面的2×2列联表，并判断是否有99.5%的把握认为开车时使用手机与司机的性别有关；开车时使用手机开车时不使用手机合计男性司机人数女性司机人数合计\n\n参考数据：P(K2≥k0)0.150.100.050.0250.0100.005k02.0722.7063.8415.0246.6357.879\n【解析】(1)填写2×2列联表，如下：开车时使用手机开车时不使用手机合计男性司机人数401555女性司机人数202545合计6040100\n\n\n【易错释疑】1.在找出相关数据，填写2×2列联表，把所给的数据代入独立性检验公式，求k2的观测值时出错，只要认真计算，就能有效避开此易错点；2．在将k2的观测值与临界值进行对比时，不知比大还是比小，导致推理出错．
