圆综合问题06圆综合问题1.如图ZT6-1,△ABC为☉O的内接三角形,点D为劣弧AC上一点,连接AD,CD,CO,BO,延长CO,交AB于点F,CD=BC.(1)求证:∠DAC=∠ACO+∠ABO;(2)点E在OC上,连接EB,若∠DAB=∠OBA+∠EBA,求证:EF=EB.图ZT6-110\n2.[2022·陕西]如图ZT6-2,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,以斜边AB上的中线CD为直径作☉O,分别与AC,BC相交于点M,N.(1)过点N作☉O的切线NE,与AB相交于点E,求证:NE⊥AB;(2)连接MD,求证:MD=NB.图ZT6-210\n3.如图ZT6-3,☉O是△ABC的外接圆,AE平分∠BAC,交☉O于点E,交BC于点D,过点E作直线l∥BC.(1)判断直线l与☉O的关系,并说明理由;(2)若∠ABC的平分线BF交AD于点F,求证:BE=EF;(3)在(2)的条件下,若DE=5,DF=3,求AF的长.图ZT6-34.[2022·攀枝花]如图ZT6-4,在△ABC中,AB=AC,以AB为直径的☉O分别与BC,AC交于点D,E,过点D作DF⊥AC于点F.(1)若☉O的半径为3,∠CDF=15°,求阴影部分的面积;(2)求证:DF是☉O的切线;(3)求证:∠EDF=∠DAC.图ZT6-410\n5.[2022·毕节]如图ZT6-5,在△ABC中,以BC为直径的☉O交AC于点E,过点E作AB的垂线,交AB于点F,交CB的延长线于点G,且∠ABG=2∠C.(1)求证:EG是☉O的切线;(2)若tanC=12,AC=8,求☉O的半径.图ZT6-56.[2022·黔南州]如图ZT6-6所示,以△ABC的边AB为直径作☉O,点C在☉O上,BD是☉O的弦,∠A=∠CBD,过点C作CF⊥AB于点F,交BD于点G,过点C作CE∥BD,交AB的延长线于点E.(1)求证:CE是☉O的切线;(2)求证:CG=BG;(3)若∠DBA=30°,CG=4,求BE的长.10\n图ZT6-6参考答案1.证明:(1)如图,连接OA.∵OA=OC,∴∠1=∠ACO.∵OA=OB,∴∠2=∠ABO,∴∠CAB=∠1+∠2=∠ACO+∠ABO.∵DC=BC,∴CD=BC.∴∠BAC=∠DAC.10\n∴∠DAC=∠ACO+∠ABO.(2)∵∠BAD=∠BAC+∠DAC=2∠CAB,∠COB=2∠BAC,∴∠BAD=∠BOC.∵∠DAB=∠OBA+∠EBA,∴∠BOC=∠OBA+∠EBA.∵∠BOC=∠OBF+∠OFB,∴∠EFB=∠EBF.∴EF=EB.2.证明:(1)如图①,连接ON.∵CD为Rt△ABC斜边上的中线,∴CD=12AB=BD.∴∠DCB=∠B.∵OC=ON,∴∠ONC=∠DCB.∴∠ONC=∠B.∴ON∥DB.∵NE是☉O的切线,∴ON⊥NE.∴NE⊥AB.(2)如图②,连接ND.10\n∵CD为☉O的直径,∴∠CND=∠CMD=90°.∵CD=BD=AD,∴BN=12BC,CM=AM.∴DM是△ABC的中位线.∴DM=12BC.∴MD=NB.3.解:(1)直线l与☉O相切.理由:如图,连接OE.∵AE平分∠BAC,∴∠BAE=∠CAE.∴BE=CE.∴OE⊥BC.∵l∥BC,∴OE⊥l.∴直线l与☉O相切.(2)证明:∵BF平分∠ABC,∴∠ABF=∠CBF.又∵∠CBE=∠CAE=∠BAE,∴∠CBE+∠CBF=∠BAE+∠ABF.又∵∠EFB=∠BAE+∠ABF,∴∠EBF=∠EFB.∴BE=EF.(3)由(2)得BE=EF=DE+DF=8.∵∠DBE=∠BAE,∠DEB=∠BEA,∴△BED∽△AEB.∴DEBE=BEAE,即58=8AE.解得AE=645.∴AF=AE-EF=645-8=245.4.解:(1)如图①,连接OE,过点O作OM⊥AC于M,则∠AMO=90°.∵DF⊥AC,∴∠DFC=90°.10\n∵∠FDC=15°,∴∠C=90°-15°=75°.∵AB=AC,∴∠ABC=∠C=75°.∴∠BAC=180°-∠ABC-∠C=30°.∴OM=12OA=12×3=32,AM=3OM=332.∵OA=OE,OM⊥AC,∴AE=2AM=33.∵∠AEO=∠BAC=30°,∴∠AOE=180°-30°-30°=120°.∴阴影部分的面积S=S扇形AOE-S△AOE=120π×32360-12×33×32=3π-934.(2)证明:如图②,连接OD.∵AB=AC,OB=OD,∴∠ABC=∠C,∠ABC=∠ODB,∴∠ODB=∠C,∴AC∥OD.∵DF⊥AC,∴DF⊥OD.∵OD是☉O的半径,∴DF是☉O的切线.(3)证明:如图③,连接BE.∵AB为☉O的直径,∴∠AEB=90°.∴BE⊥AC.∵DF⊥AC,∴BE∥DF.∴∠FDC=∠EBC.∵∠EBC=∠DAC,∴∠FDC=∠DAC.∵A,B,D,E四点共圆,∴∠DEF=∠ABC.∵∠ABC=∠C,∴∠DEC=∠C.∵DF⊥AC,∴∠EDF=∠FDC,∴∠EDF=∠DAC.5.解:(1)证明:连接OE,BE.∵∠ABG=2∠C,∠ABG=∠C+∠A,∴∠C=∠A.∴BC=AB.∵BC是☉O的直径,∴∠CEB=90°,即BE⊥AC.∴CE=AE.10\n又CO=OB,∴OE∥AB.∵GE⊥AB,∴EG⊥OE.又OE是☉O的半径,∴EG是☉O的切线.(2)∵AC=8,∴CE=AE=4,∵tanC=BECE=12,∴BE=2.∴BC=CE2+BE2=25,∴CO=5,即☉O的半径为5.6.解:(1)证明:如图,连接OC.∵∠BAC=∠CBD,∴BC=DC.∴OC⊥BD.∵CE∥BD,∴OC⊥CE.∴CE是☉O的切线.(2)证明:∵AB为☉O的直径,∴∠ACB=90°.∵CF⊥AB,∴∠ACB=∠CFB=90°.∵∠ABC=∠CBF,∴∠A=∠BCF.∵∠A=∠CBD,∴∠BCF=∠CBD,∴CG=BG.(3)连接AD,∵AB为☉O的直径,∴∠ADB=90°.∵∠DBA=30°,∴∠BAD=60°.∵BC=DC,∴∠DAC=∠BAC=12∠BAD=30°.∴BCAC=tan30°=33.∵CE∥BD,∴∠E=∠DBA=30°.∴AC=CE.∴BCCE=33.10\n∵∠CAB=∠BCF=∠CBD=30°,∴∠BCE=30°,∴BE=BC.∴△CGB∽△CBE.∴CGBC=BCCE=33.∵CG=4,∴BC=43.∴BE=43.10
