反比例函数及其应用13反比例函数及其应用限时:30分钟夯实基础1.[2022·阜新]反比例函数y=kx的图象经过点(3,-2).下列各点在其图象上的是( )A.(-3,-2)B.(3,2)C.(-2,-3)D.(-2,3)2.[2022·宜昌]某学校要种植一块面积为100m2的长方形草坪,要求两边长均不小于5m,则草坪的一边长为y(单位:m)随另一边长x(单位:m)的变化而变化的图象可能是图K13-1中的( )图K13-13.[2022·天津]若点A(-1,y1),B(1,y2),C(3,y3)在反比例函数y=-3x的图象上,则y1,y2,y3的大小关系是( )A.y1<y2<y3B.y2<y3<y1C.y3<y2<y1D.y2<y1<y34.[2022·无锡]已知点P(a,m),Q(b,n)都在反比例函数y=-2x的图象上,且a<0<b,则下列结论一定正确的是( )A.m+n<0B.m+n>0C.m<nD.m>n5.[2022·益阳]若反比例函数y=2-kx的图象位于第二、四象限,则k的取值范围是 . 6.[2022·鄂州]如图K13-2,已知一次函数y=kx+b与反比例函数y=mx的图象相交于A(2,n)和B(-1,-6),则不等式kx+b>mx的解集为 . 9\n图K13-27.[2022·盐城]如图K13-3,点D为矩形OABC的边AB的中点,反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点D,交BC边于点E.若△BDE的面积为1,则k= . 图K13-38.[2022·常德]如图K13-4,已知反比例函数y=kx的图象经过点A(4,m),AB⊥x轴,且△AOB的面积为2.(1)求k和m的值;(2)若点C(x,y)也在反比例函数y=kx的图象上,当-3≤x≤-1时,求函数值y的取值范围.图K13-49.[2022·湘潭]如图K13-5,点M在函数y=3x(x>0)的图象上,过点M分别作x轴和y轴的平行线,交函数y=1x(x>0)的图象于点B,C.9\n图K13-5(1)若点M的坐标为(1,3),①求B,C两点的坐标;②求直线BC的表达式.(2)求△BMC的面积.能力提升10.[2022·日照]已知反比例函数y=-8x,下列结论:①图象必经过点(-2,4);②图象在第二、四象限内;③y随x的增大而增大;④当x>-1时,则y>8.其中错误的结论有( )A.3个B.2个C.1个D.0个11.[2022·铜仁]如图K13-6,已知一次函数y=ax+b和反比例函数y=kx的图象相交于A(-2,y1),B(1,y2)两点,则不等式ax+b<kx的解集为( )图K13-6A.x<-2或0<x<1 B.x<-2C.0<x<1 D.-2<x<0或x>112.[2022·遵义]如图K13-7,直角三角形的直角顶点在坐标原点,∠OAB=30°,若点A在反比例函数y=6x(x>9\n0)的图象上,则经过点B的反比例函数表达式为( )图K13-7A.y=-6xB.y=-4xC.y=-2xD.y=2x13.[2022·宁波]如图K13-8,平行于x轴的直线与函数y=k1x(k1>0,x>0),y=k2x(k2>0,x>0)的图象分别相交于A,B两点,点A在点B的右侧,C为x轴上的一个动点.若△ABC的面积为4,则k1-k2的值为( )图K13-8A.8B.-8C.4D.-414.[2022·内江]已知A,B,C,D是反比例函数y=8x(x>0)图象上四个整数点(横、纵坐标均为整数),分别过这些点向横轴或纵轴作垂线段,以垂线段所在的正方形(如图K13-9)的边长为半径作四分之一圆周的两条弧,组成四个橄榄形(阴影部分),则这四个橄榄形的面积总和是 (用含π的代数式表示). 图K13-9拓展练习9\n15.[2022·株洲]如图K13-10,已知函数y=kx(k>0,x>0)的图象与一次函数y=mx+5(m<0)的图象相交于不同的两点A,B,过点A作AD⊥x轴于点D,连接AO,其中点A的横坐标为x0,△AOD的面积为2.(1)求k的值及x0=4时m的值;(2)记[x]表示不超过x的最大整数,例如:[1.4]=1,[2]=2.设t=OD·DC,若-32<m<-54,求[m2·t]的值.图K13-10参考答案1.D2.C [解析]由题意,得y=100x.由两边长均不小于5,可得5≤x≤20,符合题意的选项只有C.3.B [解析]将x=-1,1,3分别代入函数解析式y=-3x,可得y1=3,y2=-3,y3=-1,所以y2<y3<y1.故选B.4.D [解析]y=-2x的k=-2<0,图象位于第二、四象限,∵a<0,∴P(a,m)在第二象限.∴m>0.∵b>0,∴Q(b,n)在第四象限,∴n<0.∴n<0<m,即m>n.故D正确.5.k>2 [解析]∵反比例函数y=2-kx的图象位于第二、四象限,∴2-k<0.解得k>2.6.-1<x<0或x>2 [解析]由图可知,当x<-1时,mx>kx+b;当-1<x<0时,kx+b>mx;当0<x<2时,mx>kx+b;当x>2时,kx+b>mx.故当-1<x<0或x>2时,kx+b>mx.9\n7.4 [解析]设点D的坐标为(x,y),则点E的坐标为2x,12y.∵△BDE的面积=12x·12y=1,∴xy=4=k.8.解:(1)反比例函数y=kx的图象经过点A(4,m),AB⊥x轴于点B,△AOB的面积为2,∴12OB×AB=2,12×4×m=2.∴AB=m=1.∴A(4,1).∴k=xy=4.(2)∵k=4>0,∴当-3≤x≤-1时,y随x的增大而减小.∵点C(x,y)也在反比例函数y=4x的图象上,∴当x=-3时,y取得最大值-43,当x=-1时,y取得最小值-4.∴y的取值范围为-4≤y≤-43.9.解:(1)①∵点M的坐标为(1,3),且B,C在函数y=1x(x>0)的图象上,∴点C的横坐标为1,纵坐标为1,点B的纵坐标为3,横坐标为13.∴点C的坐标为(1,1),点B的坐标为13,3.②设直线BC的解析式为y=kx+b.把B,C两点的坐标代入,得1=k+b,3=13k+b.9\n解得k=-3,b=4.∴直线BC的解析式为y=-3x+4.(2)设点M的坐标为(a,m).∵点M在函数y=3x(x>0)的图象上,∴am=3.∵点C的坐标为a,1a,点B的坐标为1m,m,∴BM=a-1m=am-1m,MC=m-1a=am-1a.∴S△BMC=12·am-1m·am-1a=12·(am-1)2am=12×(3-1)23=23.10.B [解析]将(-2,4)代入y=-8x成立,①正确;k=-8<0,所以反比例函数的图象在第二、四象限,②正确;双曲线在每一象限内,y随x的增大而增大,③错误;当-1<x<0时,则y>8,④错误,所以错误的结论有2个,故选B.11.D [解析]观察函数图象发现,当-2<x<0或x>1时,一次函数的图象在反比例函数图象的下方,∴不等式ax+b<kx的解集是-2<x<0或x>1.故选D.12.C [解析]如图,过点B作BC⊥x轴于点C,过点A作AD⊥x轴于点D.∵∠BOA=90°,∴∠BOC+∠AOD=90°.∵∠AOD+∠OAD=90°,∴∠BOC=∠OAD.又∵∠BCO=∠ADO=90°,∴△BCO∽△ODA.∵BOAO=tan30°=33,∴S△BCOS△AOD=13.∵12AD×DO=12xy=3,∴S△BCO=12BC×CO=13S△AOD=1.∴|k|=2.∵经过点B的反比例函数图象在第二象限,故反比例函数表达式为y=-2x.故选C.13.A [解析]∵AB∥x轴,∴A,B两点的纵坐标相同.设A(a,h),B(b,h),则ah=k1,bh=k2.∵S△ABC=12AB·yA=12(a-b)h=12(ah-bh)=12(k1-k2)=4,∴k1-k2=8.故选A.9\n14.5π-10 [解析]∵A,B,C,D是反比例函数y=8x(x>0)图象上四个整数点,∴A(1,8),B(2,4),C(4,2),D(8,1),∴以A,B,C,D四个点为顶点的正方形边长分别为1,2,2,1.∵每个橄榄形的面积=12S半圆-S正方形,∴过A,D两点的橄榄形面积和=2×12π×12-12=π-2,过B,C两点的橄榄形面积和=2×12π×22-22=4π-8,故这四个橄榄形的面积总和=π-2+4π-8=5π-10.15.解:(1)∵S△AOD=2,∴k=4.∴y=4x.∵x0=4,∴y=44=1.∴A(4,1).将点A的坐标代入y=mx+5(m<0),得m=-1.(2)由一次函数y=mx+5可得点C的坐标为-5m,0.∴OC=-5m.将Ax0,4x0代入y=mx+5(m<0),得mx0+5=4x0.∴mx02+5x0=4.∵OD=x0,OC=-5m,∴CD=OC-OD=-5m-x0.∵t=OD·CD,∴t=x0-5m-x0=-5mx0+x02=-4m.∴[m2·t]=-m2·4m=[-4m].∵-32<m<-54,∴5<-4m<6.∴[-4m]=5.9\n9
