规律与猜想学习数学很重要的一个目的，就是要善于捕捉事物的规律，用数学形式和数学方法表示出来．规律与猜想类试题选材一般有一定的趣味性，呈现形式多样，便于学生观察，侧重考查学生观察和归纳能力，让学生从不同的角度，利用不同的方法探索并发现数学规律，并自我验证，最后用于解决相关问题，真正考查了学生的数学思考能力．类型1 数式规律 (2022·巴中)a是不为1的数，我们把称为a的差倒数，如：2的差倒数为＝－1；－1的差倒数是＝；已知a1＝3，a2是a1的差倒数，a3是a2的差倒数，a4是a3的差倒数，…依此类推，则a2015＝________．【思路点拨】 先根据差倒数的定义表示出各项，再归纳总结规律，最后利用规律表示a2015的值．【解答】 a1＝3；a2是a1的差倒数，即a2＝＝－；a3是a2的差倒数，即a3＝＝；a4是a3的差倒数，即a4＝＝3；…依此类推，∵2015÷3＝671……2，∴a2015＝－.故答案为－.解答数式规律探索题的一般步骤：第一步：找序数；第二步：找规律，分别比较数式中各部分与序数之间的关系，把其蕴含的规律用含序数的式子表示出来；第三步：根据找出的规律得出第n个数式．有时，也会根据计算前面几个数式，总结出循环规律，再求解，如本例题．1．(2022·临沂)观察下列关于x的单项式，探究其规律：x，3x2，5x3，7x4，9x5，11x6，…按照上述规律，第2015个单项式是() A．2015x2015B．4029x2014C．4029x2015D．4031x20152．(2022·泰安)下面每个表格中的四个数都是按相同规律填写的：根据此规律确定x的值为()A．135B．170C．209D．2523．(2022·绵阳)把所有正奇数从小到大排列，并按如下规律分组：(1)，(3，5，7)，(9，11，13，15，17)，(19，21，23，25，27，29，31)，…，现用等式AM＝(i，j7\n)表示正奇数M是第i组第j个数(从左往右数)，如A7＝(2，3)，则A2013＝()A．(45，77)B．(45，39)C．(32，46)D．(32，23)4．(2022·广元)观察下列等式：21＝2；22＝4；23＝8；24＝16；25＝32；26＝64；27＝128；…，通过观察，用你所发现的规律确定22013的个位数字是________．5．(2022·恩施)观察下列一组数：1，2，2，3，3，3，4，4，4，4，5，5，5，5，5，6，…其中每个数n都连续出现n次，那么这一组数的第119个数是________．6．(2022·平凉)古希腊数学家把数形结合1，3，6，10，15，21，…叫做三角形数，其中1是第一个三角形数，3是第2个三角形数，6是第3个三角形数，…依此类推，那么第9个三角形数是________，2016是第________个三角形数．7．(2022·南充)一列数a1，a2，a3，…，an，其中a1＝－1，a2＝，a3＝，…，an＝，则a1＋a2＋a3＋…＋a2014＝________．8．(2022·黄石)观察下列等式：第一个等式：a1＝＝－；第二个等式：a2＝＝－；第三个等式：a3＝＝－；第四个等式：a4＝＝－；按上述规律，回答以下问题：用含n的代数式表示第n个等式：an＝____________＝________________；式子a1＋a2＋a3＋…＋a20＝________．类型2 图形规律 (2022·内江)如图是由火柴棒搭成的几何图案，则第n个图案中有______根火柴棒．(用含n的代数式表示) …【思路点拨】 本题可分别写出n＝1，2，3，…时所对应的火柴棒的根数．然后进行归纳即可得出最终答案．【解答】 依题意得：n＝1，根数为4＝2×1×(1＋1)；n＝2，根数为12＝2×2×(2＋1)；n＝3，根数为24＝2×3×(3＋1)；…第n个图案火柴棒根数为2n(n＋1)．解答图形排列中的规律的一般步骤为：第一步：标图形序数；第二步：找关系，找一个图形相比前一个图形中所求量之间的关系，或找出图形中的所求量与图形序数之间的关系；第三步：计算每个图形中所求量的个数；第四步：对求出的结果进行一定的变形，使其呈现一定的规律；第五步：归纳结果与序数之间的关系，即可得到第n个图形中的所求量的个数；第六步：验证．7\n对于图形循环变换类规律题，求经过n次变换后对应的图形的解题步骤为：第一步：通过观察，得到该组图形经过一个循环的次数，即为a；第二步：用n除以a，商b余m(0≤m＜a)时，第n次变换后对应的图形就是一个循环变换中第m次变换后对应的图形；第三步：根据题意，找出第m次变换后对应的图形，推断出第n次变换后对应的图形． 1．(2022·攀枝花)如图，两个连接在一起的菱形的边长都是1cm，一只电子甲虫从点A开始按ABCDAEFGAB…的顺序沿菱形的边循环爬行，当电子甲虫爬行2014cm时停下，则它停的位置是()A．点FB．点EC．点AD．点C 2．(2022·绵阳)将一些相同的“○”按如图所示的规律依次摆放，观察每个“龟图”中的“○”的个数，若第n个“龟图”中有245个“○”，则n＝()…A．14B．15C．16D．173．(2022·宜宾)如图，将n个边长都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…，An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是()A．nB．n－1C．()n－1D.n4．(2022·内江)如图，将若干个正三角形、正方形和圆按一定规律从左向右排列，那么第2014个图形是________．5．(2022·山西)如图是一组有规律的图案，它们是由边长相同的正方形和正三角形镶嵌而成，第(1)个图案有4个三角形，第(2)个图案有7个三角形，第(3)个图案有10个三角形，…依此规律，第(n)个图案有________个三角形(用含n的代数式表示)．6．(2022·德阳)如图，直线a∥b，△ABC是等边三角形，点A在直线a上，边BC在直线b上，把△ABC沿BC方向平移BC的一半得到△A′B′C′(如图1)；继续以上的平移得到图2，再继续以上的平移得到图3，…；请问在第100个图形中等边三角形的个数是________．7．(2022·随州)观察下列图形规律：当n＝________时，图形“”的个数和“△”的个数相等．7\n…8．(2022·绵阳)将边长为1的正方形纸片按图1所示方法进行对折，记第1次对折后得到的图形面积为S1，第2次对折后得到的图形面积为S2，…，第n次对折后得到的图形面积为Sn，请根据图2化简，S1＋S2＋S3＋…＋S2014＝________．9．(2022·潍坊)如图，正△ABC的边长为2，以BC边上的高AB1为边作正△AB1C1，△ABC与△AB1C1公共部分的面积记为S1；再以正△AB1C1边B1C1上的高AB2为边作正△AB2C2，△AB1C1与△AB2C2公共部分的面积记为S2；…，以此类推，则Sn＝________.(用含n的式子表示)10．(2022·成都)在边长为1的小正方形组成的方格纸中，称小正方形的顶点为“格点”，顶点全在格点上的多边形为“格点多边形”．格点多边形的面积记为S，其内部的格点数记为N，边界上的格点数记为L，例如，图中三角形ABC是格点三角形，其中S＝2，N＝0，L＝6；图中格点多边形DEFGHI所对应的S，N，L分别是________．经探究发现，任意格点多边形的面积S可表示为S＝aN＋bL＋c，其中a，b，c为常数，则当N＝5，L＝14时，S＝________．(用数值作答)类型3 坐标规律 (2022·德阳)如图，在直角坐标系xOy中，点A在第一象限，点B在x轴的正半轴上，△AOB为正三角形，射线OC⊥AB，在OC上依次截取点P1，P2，P3，…，Pn，使OP1＝1，P1P2＝3，P2P3＝5，…，Pn－1Pn＝2n－1(n为正整数)，分别过点P1，P2，P3，…，Pn向射线OA作垂线段，垂足分别为点Q1，Q2，Q3，…，Qn，则点Qn的坐标为________．7\n【思路点拨】 利用特殊直角三角形求出OPn的值，再利用∠AOB＝60°即可求出点Qn的坐标．【解答】 ∵△AOB为正三角形，射线OC⊥AB，∴∠AOC＝30°.又∵Pn－1Pn＝2n－1，PnQn⊥OA，∴OQn＝(OP1＋P1P2＋P2P3＋…＋Pn－1Pn)＝(1＋3＋5＋…＋2n－1)＝n2.∴Qn的坐标为(n2·cos60°，n2·sin60°)，即Qn的坐标为(n2，n2)．本题主要考查了坐标与图形性质，解题的关键是正确地求出OQn的值．点的坐标变化主要是点所在的图形的位置在发生变化，解决这类问题，先应分析坐标系中的图形的位置变化规律，然后再根据图形的变化规律寻找图形上的点的坐标的变化规律． 1．(2022·济南)在平面直角坐标系中有三个点A(1，－1)，B(－1，－1)，C(0，1)，点P(0，2)关于A的对称点为P1，P1关于B的对称点为P2，P2关于C的对称点为P3，按照此规律继续以A、B、C为对称中心重复前面的操作，以此得到P4，P5，P6，…，则点P2015的坐标是()A．(0，0)B．(0，2)C．(2，－4)D．(－4，2)2．(2022·内江)如图，已知A1、A2、A3、…、An、An＋1是x轴上的点，且OA1＝A1A2＝A2A3＝…＝AnAn＋1＝1，分别过点A1、A2、A3、…、An、An＋1作x轴的垂线交直线y＝2x于点B1、B2、B3、…、Bn、Bn＋1，连接A1B2、B1A2、B2A3、…、AnBn＋1、BnAn＋1，依次相交于点P1、P2、P3、…、Pn.△A1B1P1、△A2B2P2、…、△AnBnPn的面积依次记为S1、S2、…、Sn，则Sn为()A.B.C.D.3．(2022·成都)已知菱形A1B1C1D1的边长为2，∠A1B1C1＝60°，对角线A1C1，B1D1相交于点O.以点O为坐标原点，分别以OA1，OB1所在直线为x轴、y轴，建立如图所示的直角坐标系．以B1D1为对角线作菱形B1C2D1A2∽菱形A1B1C1D1，再以A2C2为对角线作菱形A2B2C2D2∽菱形B1C2D1A2，再以B2D2为对角线作菱形B2C3D2A3∽菱形A2B2C2D2，…，按此规律继续作下去，在x轴的正半轴上得到点A1，A2，A3，…，An，则点An的坐标为________．7\n4．(2022·达州)在平面直角坐标系中，直线y＝x＋1与y轴交于点A1，按如图方式作正方形A1B1C1O、A2B2C2C1、A3B3C3C2…，A1、A2、A3…在直线y＝x＋1上，点C1、C2、C3…在x轴上，图中阴影部分三角形的面积从左到右依次记为S1、S2、S3、…Sn，则Sn的值为________(用含n的代数式表示，n为正整数)．5．(2022·东营)如图放置的△OAB1，△B2A2B3，…都是边长为1的等边三角形，点A在x轴上，点O，B1，B2，B3，…都在直线l上，则点A2015的坐标是________________．6．(2022·内江)如图，已知直线l：y＝x，过点M(2，0)作x轴的垂线交直线l于点N，过点N作直线l的垂线交x轴于点M1；过点M1作x轴的垂线交直线l于N1，过点N1作直线l的垂线交x轴于点M2，…；按此作法继续下去，则点M10的坐标为____________．(2022·自贡)如图，在函数y＝(x＞0)的图象上有点P1、P2、P3…、Pn、Pn＋1，点P1的横坐标为2，且后面每个点的横坐标与它前面相邻点的横坐标的差都是2，过点P1、P2、P3…、Pn、Pn＋1分别作x轴、y轴的垂线段，构成若干个矩形，如图所示，将图中阴影部分的面积从左至右依次记为S1、S2、S3…、Sn，则S1＝________，Sn＝________．(用含n的代数式表示)参考答案类型1 数式规律1．C 2.C 3.C 4.2 5.15 6.45 63 7. 8. － －类型2 图形规律7\n1．A 2.C 3.B 4.正方形 5.(3n＋1) 6.301 7.5 8.1－9.()n 10.7，3，10 11类型3 坐标规律1．A 2.D 3.(3n－1，0) 4.22n－3 5.(，) 6.(2097152，0)7．4 7
