方案设计题方案设计题是通过设置一个实际问题情境，给出若干信息，提出解决问题的要求，要求学生运用学过的技能和方法，寻求恰当的解决方案进行设计．有时也给出几个不同的解决方案，要求判断哪个方案较优．四川省的中考中，方案设计题的常见类型有利用方程、不等式进行方案设计、利用函数进行方案设计等． (2022·攀枝花)某超市销售甲、乙两种商品，甲商品每件进价10元，售价15元；乙商品每件进价30元，售价40元．(1)若该超市一次性购进两种商品共80件，且恰好用去1600元，问购进甲、乙两种商品各多少件？(2)若该超市要使两种商品共80件的购进费用不超过1640元，且总利润(利润＝售价－进价)不少于600元．请你帮助该超市设计相应的进货方案，并指出使该超市利润最大的方案．【思路点拨】 (1)设该超市购进甲商品x件，则购进乙商品(80－x)件，根据恰好用去1600元，求出x的值即可得到结果；(2)同(1)设未知数，根据两种商品共80件的购进费用不超过1640元，且总利润不少于600元列出不等式组，解不等式确定x的取值范围，即可设计出进货方案，并找出使利润最大的方案．【解答】 (1)设该超市购进甲商品x件，则购进乙商品(80－x)件，根据题意，得10x＋30(80－x)＝1600，解得x＝40.则80－x＝40.答：购进甲、乙两种商品各40件．(2)设该超市购进甲商品x件，乙商品(80－x)件，根据题意，得解得38≤x≤40.∵x为非负整数，∴x＝38、39或40.∴有3种进货方案，即甲38件，乙42件；甲39件，乙41件；甲40件，乙40件．设计使利润最大的方案有两种方法：方法一：3种进货方案的利润分别是：5×38＋10×42＝610(元)；5×39＋10×41＝605(元)；5×40＋10×40＝600(元)．∵610＞605＞600，∴使该超市利润最大的方案是购进甲商品38件，乙商品42件．方法二：设利润为y，则y＝5x＋10(80－x)＝－5x＋800.显然y随x的增大而减小，∴当x＝38时，y最大为610.∴使该超市利润最大的方案是购进甲商品38件，乙商品42件．列不等式(组)设计方案问题的关键是找到题目中的不等关系，然后根据结果设计方案；运用一次函数判断何种方式更合算或获利更大时，通常先列不等式(组)确定自变量的取值范围，然后再根据函数的性质最终确定，但如果题目中有画好的函数图象，直接观察图象即可解决． 1．(2022·乐山)“六一”期间，小张购进100只两种型号的文具进行销售，其进价和售价之间的关系如下表：型号进价(元/只)售价(元/只)8\nA型1012B型1523(1)小张如何进货，使进货款恰好为1300元？(2)要使销售文具所获利润最大，且所获利润不超过进货价格的40%，请你帮小张设计一个进货方案，并求出其所获利润的最大值．2．(2022·南充)今年我市水果大丰收，A、B两个水果基地分别收获水果380件、320件，现需把这些水果全部运往甲、乙两销售点，从A基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件40元和20元，从B基地运往甲、乙两销售点的费用分别为每件15元和30元，现甲销售点需要水果400件，乙销售点需要水果300件．(1)设从A基地运往甲销售点水果x件，总运费为w元，请用含x的代数式表示w，并写出x的取值范围；(2)若总运费不超过18300元，且A地运往甲销售点的水果不低于200件，试确定运费最低的运输方案，并求出最低运费．3．(2022·乐山)某校一课外小组准备进行“绿色环保”的宣传活动，需要制作宣传单，校园附近有甲、乙两家印刷社，制作此种宣传单的收费标准如下：乙印刷社的收费方式为：500张以内(含500张)，按每张0.20元收费；超过500张部分，按每张0.10元收费．甲印刷社收费y(元)与印数x(张)的函数关系如下表：印数x(张)…100200300…收费y(元)…153045…(1)根据表中规律，写出甲印刷社收费y(元)与印数x(张)的函数关系式；8\n(2)若该小组在甲、乙两家印刷社共印制400张宣传单，用去65元，问甲、乙两家印刷社各印多少张？(3)活动结束后，市民反应良好，兴趣小组决定再加印800张宣传单，若在甲、乙印刷社中选一家，兴趣小组应选择哪家印刷社比较划算？4．(2022·攀枝花)为了打造区域中心城市，实现攀枝花跨越式发展，我市花城新区建设正按投资计划有序推进．花城新区建设工程部，因道路建设需要开挖土石方，计划每小时挖掘土石方540m3，现决定向某大型机械租赁公司租用甲、乙两种型号的挖掘机来完成这项工作，租赁公司提供的挖掘机有关信息如表：租金(单位：元/台·时)挖掘土石方量(单位：m3/台·时)甲型挖掘机10060乙型挖掘机12080(1)若租用甲、乙两种型号的挖掘机共8台，恰好完成每小时的挖掘量，则甲、乙两种型号的挖掘机各需多少台？(2)如果每小时支付的租金不超过850元，又恰好完成每小时的挖掘量，那么共有几种不同的租用方案？5．(2022·内江)某汽车销售公司经销某品牌A款汽车，随着汽车的普及，其价格也在不断下降．今年5月份A款汽车的售价比去年同期每辆降价1万元，如果卖出相同数量的A款汽车，去年销售额为100万元，8\n今年销售额只有90万元．(1)今年5月份A款汽车每辆售价多少万元？(2)为了增加收入，汽车销售公司决定再经销同品牌的B款汽车，已知A款汽车每辆进价为7.5万元，B款汽车每辆进价为6万元，公司预计用不多于105万元且不少于99万元的资金购进这两款汽车共15辆，有几种进货方案？(3)如果B款汽车每辆售价为8万元，为打开B款汽车的销路，公司决定每售出一辆B款汽车，返还顾客现金a万元，要使(2)中所有的方案获利相同，a值应是多少？此时，哪种方案对公司更有利？6．(2022·攀枝花)某文具店准备购进甲、乙两种钢笔，若购进甲种钢笔100支，乙种钢笔50支，需要1000元，若购进甲种钢笔50支，乙种钢笔30支，需要550元．(1)求购进甲、乙两种钢笔每支各需多少元；(2)若该文具店准备拿出1000元全部用来购进这两种钢笔，考虑顾客需求，要求购进甲种钢笔的数量不少于乙种钢笔数量的6倍，且不超过乙种钢笔数量的8倍，那么该文具店共有几种进货方案？(3)若该文具店销售每支甲种钢笔可获利润2元，销售每支乙种钢笔可获利润3元，在第(2)问的各种进货方案中，哪一种方案获利最大？最大利润是多少元？8\n7．(2022·绵阳)“低碳生活，绿色出行”，自行车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某运动商城的自行车销售量自2022年起逐月增加，据统计，该商城1月份销售自行车64辆，3月份销售了100辆．(1)若该商城前4个月的自行车销量的月平均增长率相同，问该商城4月份卖出多少辆自行车？(2)考虑到自行车需求不断增加，该商城准备投入3万元再购进一批两种规格的自行车，已知A型车的进价为500元/辆，售价为700元/辆，B型车进价为1000元/辆，售价为1300元/辆．根据销售经验，A型车不少于B型车的2倍，但不超过B型车的2.8倍．假设所进车辆全部售完，为使利润最大，该商城应如何进货？8．(2022·内江)某家电销售商城电冰箱的销售价为每台2100元，空调的销售价为每台1750元，每台电冰箱的进价比每台空调的进价多400元，商城用80000元购进电冰箱的数量与用64000元购进空调的数量相等．(1)求每台电冰箱与空调的进价分别是多少；(2)现在商城准备一次购进这两种家电共100台，设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，要求购进空调数量不超过电冰箱数量的2倍，总利润不低于13000元，请分析合理的方案共有多少种？并确定获利最大的方案以及最大利润；(3)实际进货时，厂家对电冰箱出厂价下调k(0＜k＜100)元，若商店保持这两种家电的售价不变，请你根据以上信息及(2)问中条件，设计出使这100台家电销售总利润最大的进货方案．8\n参考答案1．(1)设A文具为x只，则B文具为(100－x)只，可得10x＋15(100－x)＝1300，解得x＝40.∴100－x＝60.答：A文具为40只，B文具为60只．(2)设A文具为x只，则B文具为(100－x)只，可得(12－10)x＋(23－15)(100－x)≤40%[10x＋15(100－x)]，解得x≥50.设利润为y，则可得：y＝(12－10)x＋(23－15)(100－x)＝2x＋800－8x＝－6x＋800，因为y随x的增大而减小，所以当x＝50时，利润最大，即最大利润y＝－50×6＋800＝500(元)． 2.(1)设从A基地运往甲销售点水果x件，则从A基地运往乙销售点的水果(380－x)件，从B基地运往甲销售点水果(400－x)件，运往乙基地(x－80)件，由题意，得w＝40x＋20(380－x)＋15(400－x)＋30(x－80)＝35x＋11200，即w＝35x＋11200.∵∴80≤x≤380，即x的取值范围是80≤x≤380.(2)∵A地运往甲销售点的水果不低于200件，∴x≥200.∵35＞0，∴运费w随着x的增大而增大．∴当x＝200时，运费最低，为35×200＋11200＝18200(元)．此时，从A基地运往甲销售点水果200件，从A基地运往乙销售点的水果180件，从B基地运往甲销售点水果200件，运往乙基地120件． 3.(1)设甲印刷社收费y(元)与印数x(张)的函数关系式为y＝kx＋b，由题意，得解得∴甲印刷社收费y(元)与印数x(张)的函数关系式为y＝0.15x.(2)设在甲印刷社印刷a张，则在乙印刷社印刷(400－a)张，由题意，得0.15a＋0.2(400－a)＝65，解得a＝300.则400－a＝100.答：在甲印刷社印刷300张，在乙印刷社印刷100张．(3)由题意，得在甲印刷社的费用为：0.15×800＝120(元)．在乙印刷社的费用为：500×0.2＋0.1(800－500)＝130(元)．∵120＜130，∴印刷社甲的收费＜印刷社乙的收费．∴兴趣小组应选择甲印刷社比较划算． 4.(1)设甲、乙两种型号的挖掘机各需x台、y台．依题意，得解得答：甲、乙两种型号的挖掘机各需5台、3台．(2)设租用m辆甲型挖掘机，n辆乙型挖掘机，依题意，得60m＋80n＝540，化简得3m＋4n＝27.∴m＝9－n.又m、n为正整数，∴方程的解为或当m＝5，n＝3时，支付租金为：100×5＋120×3＝860(元)＞850元，超出限额；当m＝1，n＝6时，支付租金为：100×1＋120×6＝820(元)，符合要求．答：有一种租车方案，即租用1辆甲型挖掘机和3辆乙型挖掘机． 5.(1)设今年5月份A款汽车每辆售价为m万元．则＝，解得m＝9.经检验，m＝9是原方程的根且符合题意．答：今年5月份A款汽车每辆售价为9万元．(2)设购进A款汽车x量．则99≤7.5x＋6(15－x)≤105.解得6≤x≤10.因为x的正整数解为6，7，8，9，10，8\n所以共有5种进货方案．(3)设总获利为W元，则W＝(9－7.5)x＋(8－6－a)(15－x)＝(a－0.5)x＋30－15a.当a＝0.5时，(2)中所有方案获利相同．此时，购买A款汽车6辆，B款汽车9辆时对公司更有利． 6.(1)设购进甲、乙两种钢笔每支各需a元和b元，根据题意，得解得答：购进甲、乙两种钢笔每支各需5元和10元．(2)设购进甲钢笔x支，乙钢笔y支，根据题意可得 解得20≤y≤25.∵x，y为整数，∴y＝20，21，22，23，24，25.∵5x＝1000－10y＞0，∴0＜y＜100.∴该文具店共有6种进货方案．(3)设利润为W元，则W＝2x＋3y.∵5x＋10y＝1000，∴x＝200－2y.∴代入上式得：W＝400－y.∵W随着y的增大而减小，∴当y＝20时，W有最大值，最大值为：400－20＝380(元)． 7.(1)设前4个月自行车销量的月平均增长率为x，根据题意，得64(1＋x)2＝100，解得x1＝－225%(不合题意，舍去)，x2＝25%.100×(1＋25%)＝125(辆)．答：该商城4月份卖出125辆自行车．(2)设进B型车x辆，则进A型车辆，根据题意得2x≤≤2.8x，解得12.5≤x≤15.又自行车辆数为整数，∴13≤x≤15.根据题意，销售利润为：W＝(700－500)×＋(1300－1000)x＝－100x＋12000.∵W随着x的增大而减小，∴当x＝13时，销售利润W有最大值，此时，＝34.答：该商城应进A型车34辆，B型车13辆． 8.(1)设每台空调的进价为x元，则每台电冰箱的进价为(x＋400)元，根据题意得＝，解得x＝1600.经检验，x＝1600是原方程的解．x＋400＝1600＋400＝2000.答：每台空调的进价为1600元，每台电冰箱的进价为2000元．(2)设购进电冰箱x台，这100台家电的销售总利润为y元，则y＝(2100－2000)x＋(1750－1600)(100－x)＝－50x＋15000.根据题意，得解得33≤x≤40.∵x为正整数，∴x＝34，35，36，37，38，39，40.∴合理的方案共有7种，即①电冰箱34台，空调66台；②电冰箱35台，空调65台；③电冰箱36台，空调64台；④电冰箱37台，空调63台；⑤电冰箱38台，空调62台；⑥电冰箱39台，空调61台；⑦电冰箱40台，空调60台．∵y＝－50x＋15000，k＝－50＜0，∴y随x的增大而减小，∴当x＝34时，y有最大值，最大值为：－50×34＋15000＝13300(元)．答：当购进电冰箱34台，空调66台时获利最大，最大利润为13300元．(3)当厂家对电冰箱出厂价下调k(0＜k＜100)元，若商店保持这两种家电的售价不变，则利润为：y＝(2100－2000＋k)x＋(1750－1600)(100－x)＝(k－50)x＋15000.当k－50＞0，即50＜k＜100时，y随x的增大而增大，∵33≤x≤40，∴当x＝40时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱40台，空调60台；当k－50＜0，8\n即0＜k＜50时，y随x的增大而减小，∵33≤x≤40，∴当x＝34时，这100台家电销售总利润最大，即购进电冰箱34台，空调66台．答：当50＜k＜100时，购进电冰箱40台，空调60台销售总利润最大；当0＜k＜50时，购进电冰箱34台，空调66台销售总利润最大．8
