贵州省2021届高考数学适应性试卷(理科)(3月份)一、单选题（本大题共12小题，共60.0分）1.已知函数f(x)=x2-2(a+2)x+a2，g(x)=-x2+2(a-2)x-a2+8.设H1(x)=max{f(x),g(x)}，H2(x)=min{f(x),g(x)}，(max{p,q})表示p，q中的较大值，min{p,q}表示p，q中的较小值)，记H1(x)的最小值为A，H2(x)的最大值为B，则A-B=( )A.16B.-16C.-16a2-2a-16D.16a2+2a-162.若复数z满足iz=2，其中i为虚数单位，则z的虚部为( )A.-2B.2C.-2iD.2i3.甲、乙两名同学5次体育测试的成绩如茎叶图所示，若甲、乙两人的平均成绩分别是x甲、x乙，样本标准差分别为sA、sB，则( )A.x甲>x乙，sA>sBB.x甲>x乙，sA<sBC.x甲<x乙，sA>sBD.x甲<x乙，sA<sB4.某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，那么某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为( )A.15B.14C.13D.125.下列三个数：a=ln32-32，b=lnπ-π，c=ln3-3，大小顺序正确的是( )A.a>c>bB.a>b>cC.a<c<bD.b>a>c6.已知双曲线C：x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两个焦点为F1(-5,0)，F2(5,0)，P为双曲线C的右支上一点，且满足|PF1|-|PF2|=25，则双曲线C的方程为( )A.x25-y220=1B.x220-y25=1C.x225-y220=1D.x220-y225=17.已知直线l，m和平面α，β，有如下三个命题：①若存在平面γ，使α⊥γ，β⊥γ，则α//β；\n②若l，m是两条异面直线，1⊂α，m⊂β，1//β，m//α，则α//β；若l⊥α，m⊥β，1//m，则α//β．其中正确命题的个数是( )A.0B.1C.2D.38.S={1,2，…，2003}，A是S的三元子集，满足：A中的所有元素可以组成等差数列．那么，这样的三元子集A的个数是( )A.C20032B.C10012+C10022C.A10012+A10022D.A200339.已知A(3,0)，B(0,3)，C(cosα,sinα)，若AC⋅BC=-1，则sin(α+π4)的值为( )A.23B.23C.22D.1210.计算2sin14°⋅cos31°+sin17°等于( )A.22B.-22C.32D.-3211.已知某四棱锥的三视图如图所示，其中俯视图为正方形，则该四棱锥的体积是( )A.43B.83C.163D.32312.命题：∃x∈(0,+∞)，2020x+2021sinx<0的否定是( )A.∀x∈(-∞,0)，2020x+2021sinx≥0B.∀x∈(0,+∞)，2020x+2021sinx≥0C.∃x∈(0,+∞)，2020x+2021sinx≥0D.∃x∈(-∞,0)，2020x+2021sinx≥0二、单空题（本大题共4小题，共20.0分）13.在平面直角坐标系xOy上的区域D不等式组x-y-2≤0x+2y-4≥02y-3≤0给定．若M(x,y)为D上的动点，点N的坐标为(1,3)，则z=OM⋅ON的最小值为______．\n14.已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)=f(x)+ax3+2，若g(2)=6，则g(-2)=______．15.已知数列{an}的通项公式an=nsinnπ2，其前n项和为Sn，则S2016=______．16.如图，正方形ABCD边长为2，点M在线段DC上从点D运动到点C，若将△ADM沿AM折起，使得平面ADM⊥平面ABC，则点D在平面ABC内射影所形成轨迹的长度为______．三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）17.在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c．(1)求证：sin3B=3sinB-4sin3B；(2)若A=2B，b=3c，求sin(B-π3)的值．18.某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需要了解年宣传费x(单位：千元)对年销量y(单位：)和利润z(单位：千元)的影响，对近8年的宣传费xi(i=1,2，…，8)和年销售量yi数据进行了初步处理，得到下面的散点图及一些统计量的值．xyw i=1n(xi-x)2i=1n(wi-w)2i=1n(xi-x)(yi-y)i=1n(wi-w)(yi-y)46.65636.8289.81.61469108.8表中wi=xi，w=18i=18wi(1)根据散点图判断，y=a+bx,y=c+dx哪一个更适合作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型(给出判断即可，不必说明理由)；(2)根据(1)的判断结果及表中数据，建立y关于x的回归方程；\n(3)已知这种产品的年利润z与x，y的关系为z=0.2y-x，根据(2)的结果回答下列问题；①当年宣传费x=90时，年销售量及年利润的预报值是多少？②当年宣传费x为何值时，年利润的预报值最大？附：对于一组数据(u1,v1)，(u2,v2)，…，(un,vn)，其回归线v=α+βu的斜率和截距的最小二乘估计分别为：β=i=1n(μi-μ)(vi-v)i=1n(μi-μ)2，a=v-βμ．19.如图，四棱锥P-ABCD中，AB=AD=2BC=2，BC//AD，AB⊥AD，△PBD为正三角形，且PA=23．(Ⅰ)证明：直线AB⊥平面PBC；(Ⅱ)若点P到底面ABCD的距离为3，E是线段PD上一点，且PB//平面ACE，求四面体B-ADE的体积．20.已知椭圆E：x2a2+y2b2=1(a>b>0)的焦距为23，F1，F2是椭圆的左右焦点，点P为椭圆上一点，△F1PF2面积的最大值为3，O为坐标原点．(1)求椭圆E的方程；(2)设过点A(0,-2)的直线l与E相交于P，Q两点，当△OPQ的面积为1时，求直线l的方程．21.已知是实数，函数。(Ⅰ)若，求的值及曲线在点处的切线方程；(Ⅱ)求在区间上的最大值。\n22.在极坐标系中，已知曲线C1：ρ=2与曲线C2：ρsin(θ-π4)=2交于不同的两点A，B，求AB的值．23.设p，q是奇数，求证：方程x2+2px+2q=0没有有理根．\n【答案与解析】1.答案：B解析：本题考查二次函数图象的画法及其单调性、一元二次不等式的解法、数形结合的思想方法，正确理解题意是解题的关键．先作差得到h(x)=f(x)-g(x)=2x-a2-8，分别解出h(x)=0，h(x)>0，h(x)<0，画出图像，利用新定义即可得出H1x,H2x，进而得出A，B即可．解：令h(x)=f(x)-g(x)=x2-2(a+2)x+a2-[-x2+2(a-2)x-a2+8]=2x2-4ax+2a2-8=2(x-a)2-8，①由2x-a2-8=0，解得x=a±2，此时f(x)=g(x)；②由h(x)>0，解得x>a+2，或x<a-2，此时f(x)>g(x)；③由h(x)<0，解得a-2<x<a+2，此时f(x)<g(x)．综上可知：(1)当x≤a-2时，则H1(x)=max{f(x),g(x)}=f(x)=[x-(a+2)]2-4a-4，H2(x)=min{f(x),g(x)}=g(x)=-[x-(a-2)]2-4a+12，(2)当a-2≤x≤a+2时，H1(x)=max{f(x),g(x)}=g(x),H2(x)=min{f(x),g(x)}=f(x)；(3)当x≥a+2时，则H1x=max{f(x),g(x)}=f(x)，H2x=min{f(x),g(x)}=g(x)，故A=g(a+2)=-[(a+2)-(a-2)]2-4a+12=-4a-4,B=g(a-2)=-4a+12，∴A-B=-4a-4-(-4a+12)=-16．故选B．2.答案：A解析：解：∵复数z满足iz=2，\n∴z=2i=2ii2=-2i，故它的虚部为-2，故选：A．利用两个复数代数形式的乘除法以及虚数单位i的幂运算性质，化简复数，可得它的虚部．本题主要考查两个复数代数形式的乘除法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．3.答案：C解析：本题考查借助茎叶图求样本数据的平均数及标准差，属于中档题目．解：由茎叶图可知甲的成绩为72，77，78，86，92，平均成绩为81；乙的成绩为78，82，88，91，95，平均成绩为86.8；则易知x甲<x乙，从茎叶图上可以看出乙的成绩比较集中，分数分布呈单峰，所以乙比甲稳定则甲的标准差大于乙的标准差，即sA>sB．故选C．4.答案：D解析：本题考查概率的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．利用列举法求出基本事件有4个，有一天是星期二包含的基本事件有2个，由此能求出某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率．解：某学校高一年级计划在开学第二周的星期一至星期五进行“生涯规划”体验活动，要求每名学生选择连续的两天参加体验活动，基本事件有4个，分别为：(星期一，星期二)，(星期二，星期三)，(星期三，星期四)，(星期四，星期五)，有一天是星期二包含的基本事件有2个，分别为：(星期一，星期二)，(星期二，星期三)，\n∴某学生随机选择的连续两天中，有一天是星期二的概率为p=24=12．故选：D．5.答案：A解析：解：设f(x)=lnx-x，(x>0)，则f'(x)=1x-1=1-xx；故f(x)在(1,+∞)上是减函数，且32<3<π，故ln32-32>ln3-3>lnπ-π，即a>c>b；故选：A．由题意设f(x)=lnx-x(x>0)，求导判断函数的单调性，从而比较大小．本题考查了导数的综合应用及利用单调性比较函数值域的大小，属于基础题．6.答案：A解析：解：由题意，知c=5，又P为双曲线C的右支上一点，且满足|PF1|-|PF2|=25，∴2a=25，得a=5．则b2=c2-a2=25-5=20．∴双曲线C的方程为x25-y220=1．故选：A．由题意求得c，结合已知求得a，再由隐含条件求得b，则双曲线方程可求．本题考查双曲线的简单性质，考查了双曲线方程的求法，是基础题．7.答案：C解析：解：直线l，m和平面α，β，①，若存在平面γ，使α⊥γ，β⊥γ，则α//β或α，β相交，故①错误；②，若l，m是两条异面直线，1⊂α，m⊂β，1//β，m//α，平移直线l到l'与m相交，可得l'//β，由面面平行的判定定理可得α//β，故②正确；③，若l⊥α，1//m，则m⊥α，又m⊥β，则α//β，故③正确．故选：C．\n由面面垂直的性质定理和面面的位置关系，可判断①；由面面平行的判定定理可判断②；由线面垂直的性质定理和面面平行的判定，可判断③．本题考查空间线线、线面和面面的位置关系，主要是平行和垂直的判断和性质，考查推理能力，属于基础题．8.答案：B解析：解：1，2，…，2003个数中有1002个奇数，1001个偶数，依题意，A中的三个数成等差数列，可分两类：①3个数中有至少2个奇数：从1002个奇数里边任意选两个，一定找到另外唯一的一个与这两个奇数构成等差数列，共有C10022种方法；②3个数中有至少2个偶数：同理可得，共有C10012种方法；综上所述，共有C10012+C10022个，故选：B．1，2，…，2003个数中有1002个奇数，1001个偶数，依题意，A中的三个数成等差数列，可分两类：①3个数中有至少2个奇数，②3个数中有至少2个偶数，利用组合数公式即可求得答案．本题考查等差数列的概念，突出考查排列组合的应用，考查等价转化思想与分类讨论思想的综合应用，属于难题．9.答案：B解析：本题考查学生掌握平面向量的数量积的坐标运算，灵活运用两角和的正弦函数公式、同角三角函数间的基本关系及特殊角的三角函数值化简求值，是一道基础题．由A，B，C的坐标求出AC和BC，根据平面向量数量积的运算法则及同角三角函数间的基本关系化简AC⋅BC=-1得到sinα+cosα的和，然后利用两角和的正弦函数公式及特殊角的三角函数值即可求出sin(α+π4)的值．解：∵AC=(cosα-3,sinα)，BC=(cosα,sinα-3)∴AC⋅BC=(cosα-3)⋅cosα+sinα(sinα-3)=-1得cos2α+sin2α-3(cosα+sinα)=-1∴sinα+cosα=23，故sin(α+π4)=22(sinα+cosα)=22×23=23故选：B．\n10.答案：A解析：本题考查三角函数值的求法，考查两角和差的正弦公式的运用，属于基础题．将17°=31°-14°，运用两角差的正弦公式化简，再运用两角和的正弦公式，注意逆用公式，从而得到结果．解：2sin14°⋅cos31°+sin17°=2sin14°⋅cos31°+sin(31°-14°)=2sin14°cos31°+sin31°cos14°-cos31°sin14°=sin31°cos14°+cos31°sin14°=sin(31°+14°)=sin45°=22．故选A．11.答案：B解析：解：根据三视图转换为几何体为：所求的四棱锥为E-ABCD，所以S四边形ABCD=2⋅5，由于12⋅2⋅2=12⋅5⋅h解得h=45，所以V=13⋅S四边形ABCD⋅h=13⋅25⋅45=83．故选：B．首先利用三视图转换为几何体，进一步利用几何体的体积公式的应用求出结果．本题考查的知识要点：三视图和几何体之间的转换，几何体的体积公式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题型．12.答案：B解析：解：命题是特称命题，则否定是：∀x∈(0,+∞)，2020x+2021sinx≥0，\n故选：B．根据特称命题的否定是全称命题进行判断即可．本题主要考查含有量词的命题的否定，利用特称命题的否定是全称命题是解决本题的关键，是基础题．13.答案：143解析：解：作出不等式组对应的平面区域如图：∵M(x,y)为D上的动点，点N的坐标为(1,3)，∴z=OM⋅ON=x+3y，由z=x+3y得y=-13x+13z，平移直线y=-13x+13z，由图象可知当直线y=-13x+13z经过点A时，y=-13x+13z的截距最小，此时z最小．由x-y-2=0x+2y-4=0，解得x=83y=23，即A(83,23)，代入z=x+3y=83+23×3=143．即目标函数z=x+3y最小值为143．故答案为：143．利用向量的数量积运算，求出z=OM⋅ON=x+3y，利用z的几何意义，即可得到结论．本题主要考查线性规划的应用以及数量积的运算，利用目标函数的几何意义，结合数形结合的数学思想是解决此类问题的基本方法．14.答案：-2解析：解：∵函数f(x)是定义在R上的奇函数，g(x)=f(x)+ax3+2，若g(2)=f(2)+8a+2=6，则f(2)+8a=4．∴g(-2)=f(-2)-8a+2=-f(2)-8a+2=-4+2=-2，故答案为：-2．由条件求得f(2)+8a=4，再根据g(-2)=-f(2)-8a+2求得结果．本题主要考查函数的单调性和奇偶性的应用，属于基础题．\n15.答案：-1008解析：本题考查数列的求和，考查三角函数的周期性，注意解题方法的积累，属于中档题．结合三角函数的周期性可知a4k-3=4k-3、a4k-2=0、a4k-1=-(4k-1)、a4k=0，进而可知a4k-3+a4k-2+a4k-1+a4k=-2，计算即得结论．解：因为an=nsinnπ2，所以a4k-3=4k-3，a4k-2=0，a4k-1=-(4k-1)，a4k=0，所以a4k-3+a4k-2+a4k-1+a4k=-2，又因为504×4=2016，所以S2016=504×(-2)=-1008，故答案为：-1008．16.答案：π2解析：本题考查空间面面垂直的性质定理的运用，以及平面几何圆的定义，考查运算能力，属于中档题．根据图形的翻折过程中变与不变的量和位置关系知，若连接DK，则DKA=90°，得到K点的轨迹是以AD为直径的圆上一弧，根据正方形的边长得到圆的半径，求得此弧所对的圆心角的弧度数，利用弧长公式求出轨迹长度． 解：由题意，将△ADM沿AM折起，D至D'点，使平面AD'M⊥平面ABC，在平面AD'M内过点D'作D'K⊥AM，K为垂足，由翻折的特征知，连接DK，则∠DKA=90°，故K点的轨迹是以AD为直径的圆上一弧，根据正方形边长为2知圆半径是1，当M与C重合时，AK=2，取O为AD的中点，得到△OAK是直角三角形．故∠KOA=π2，∴∠KOD=π2，其所对的弧长为，故答案为 ．17.答案：解：(1)证明：sin3B=sin(2B+B)=sin2BcosB+cos2BsinB=2sinBcosBcosB+(1-2sin2B)sinB=2sinBcos2B+sinB-2sin3B=2sinB(1-sin2B)+sinB-2sin3B=3sinB-4sin3B\n即sin3B=3sinB-4sin3B.得证．(2)∵b=3c，正弦定理bsinB=csinC，∴sinB=3sinC．∵A=2B∴C=π-3B，∴sinC=sin3B∴sinB=3sin3B=9sinB-12sin3B∵sinB>0，∴sinB=63，∵A>B，∴0<B<π2，∴cosB=1-sin2B=33∴sin(B-π3)=sinBcosπ3-cosBsinπ3=63×12-33×32=6-36．解析：(1)把sin3B=sin(2B+B)利用和与差打开，结合二倍角公式即可证明；(2)由A=2B，b=3c，利用正弦定理求出sinB，和cosB，和与差的公式打开sin(B-π3)可得值．本题考查了三角函数的化简能力和计算能力．属于中档题．18.答案：解：(1)根据散点图即可得出判断，y=c+dx适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型；(2)令w=x，先建立y关于w的线性回归方程，由于d∧=i=1n(wi-w)(yi-y)i=1n(wi-w)2=108.61.6=68，c∧=y-d∧x=563-68×6.8=100.6，所以y关于w的线性回归方程为y∧=100.6+68w，因此y关于x的回归方程为y∧=100.6+68x；(3)①由(2)知，当x=49时，年销售量y的预报值为y∧=100.6+6849=576.6，年利润z的预报值为\nz∧=576.6×0.2-49=66.32；②根据(2)的结果可知，年利润z的预报值z∧=0.2(100.6+68x)-x=-x+13.6x+20.12，当x=13.62=6.8，即x=46.24时z取得最大值，故宣传费为46.24千元时，年利润的预报值最大．解析：(1)由散点图成线性分布，即可得出判断；(2)先建立y关于w的线性回归方程，再求y关于x的回归方程；(3)①由(2)计算x=49时年销售量y的预报值和年利润z的预报值，②根据(2)的结果，利用二次函数的图象与性质即可得出x为何值时z取得最大值．本题主要考查了线性回归方程和散点图的应用问题，准确的计算是解题的关键，属中档题．19.答案：(Ⅰ)证明：∵AB⊥AD，且AB=AD=2，∴BD=22，又△PBD为正三角形，所以PB=PD=BD=22，又∵AB=2，PA=23，所以AB⊥PB，又∵AB⊥AD，BC//AD，∴AB⊥BC，PB∩BC=B，所以AB⊥平面PBC．(Ⅱ)解：如图，连接BD，交AC于点O，因为BC//AD，且AD=2BC，所以OD=2OB，连接OE，因为PB//平面ACE，所以PB//OE，则DE=2PE，又因为点P到平面ABCD的距离为3，所以点E到平面ABCD的距离为h=23×3=2，所以VB-ADE=VE-ABD=13⋅S△ABD⋅h=13×(12×2×2)×2=43，即四面体B-ADE的体积为43．解析：(Ⅰ)证明AB⊥PB，AB⊥BC，然后证明AB⊥平面PBC．(Ⅱ)连接BD，交AC于点O，连接OE，求出点E到平面ABCD的距离，利用VB-ADE=VE-ABD，求解四面体B-ADE的体积．本题考查直线与平面垂直的判定，考查了棱柱、棱锥及棱台体积的求法，训练了等积法，是中档题．\n20.答案：解：(1)由题设可得：c=3，△F1PF2的面积Smax=12×2c×b=c×b=3，∴b=1，∵a2=b2+c2=4，故E的方程为x24+y2=1．(2)当l⊥x轴时不合题意，故设l：y=kx-2，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，将y=kx-2代入x24+y2=1，得(1+4k2)x2-16kx+12=0．当Δ=16(4k2-3)>0，k2>34时，x1+x2=16k1+4k2，x1⋅x2=121+4k2，从而|PQ|=k2+1|x1-x2|=4k2+1⋅4k2-34k2+1．又点O到直线PQ的距离d=2k2+1，所以△OPQ的面积为S△OPQ=12d⋅|PQ|=44k2-34k2+1=1⇒k2=74，即k=±72且满足Δ>0．所以直线l的方程为y=72x-2或y=-72x-2．解析：(1)利用焦距求解c，通过△F1PF2的面积求出b，然后求解a，得到椭圆方程．(2)设l：y=kx-2，P(x1,y1)，Q(x2,y2)，将y=kx-2代入x24+y2=1，得(1+4k2)x2-16kx+12=0.利用韦达定理以及弦长公式，点到直线的距离求解三角形的面积，然后求解直线方程．本题考查椭圆方程的求法，直线与椭圆的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．21.答案：(1)(2)解析：试题分析：(Ⅰ)解：，因为，所以．又当时，，，所以曲线在处的切线方程为．\n(Ⅱ)解：令，解得，．当，即时，在上单调递增，从而．当，即时，在上单调递减，从而．当，即时，在上单调递减，在上单调递增，从而综上所述，考点：函数的最值点评：该试题属于常规试题，解题的时候只要审题清晰，表示为数学代数式即可，让那后金额和函数求解最值。属于基础题。22.答案：解：曲线C1：ρ=2即ρ2=4，化为直角坐标方程为x2+y2=4，曲线C2：ρsin(θ-π4)=2展开为22ρ(sinθ-cosθ)=2，化为直角坐标方程为x+y-2=0．圆心到直线的距离d=22=2，∴|AB|=2r2-d2=24-2=22．解析：利用x=ρcosθy=ρsinθ把极坐标方程化为直角坐标方程，再利用弦长公式即可得出．本题考查了极坐标方程化为直角坐标方程、直线与圆的相交问题、弦长公式、点到直线的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．23.答案：证明：设存在有理根则x=-2p±4p2-8q2中至少有一个为有理数．∴4p2-8q为有理数即存在有理数a使：4p2-8q=a2．p，q是奇数，a整数可设a=2b，∴p2-2q=b2，\n∴p2-b2=2q∴(p-b)(p+b)=2q若b奇数，则p-b，p+b偶数，则2q=(p-b)(p+b)为4的倍数，q为偶数，矛盾若b偶数，则p-b，p+b奇数，则2q=(p-b)(p+b)为奇数，矛盾，∴假设不成立，∴p，q是奇数，方程x2+2px+2q=0没有有理根．解析：设存在有理根，则x=-2p±4p2-8q2中至少有一个为有理数，可得存在有理数a使：4p2-8q=a2.设a=2b，再分类讨论，得出矛盾，即可证明结论．本题考查反证法，考查学生分析解决问题的能力，正确运用反证法是关键．
