第一章集合、常用逻辑用语、不等式\n第三讲 全称量词与存在量词\n知识梳理·双基自测考点突破·互动探究名师讲坛·素养提升\n知识梳理·双基自测\n知识点 全称量词与存在量词1．全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”、“任意一个”等在逻辑中通常叫做全称量词，用符合“_____”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”、“至少有一个”等在逻辑中通常叫做存在量词，用符号“_____”表示．∀∃\n2．全称命题和特称命题名称全称命题特称命题结构对M中的任意一个x，有p(x)成立存在M中的一个x0，使p(x0)成立简记________________________________否定∃x0∈M，¬p(x0)_________________∀x∈M，p(x)∃x0∈M，p(x0)∀x∈M，¬p(x)\n1．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．2．对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定．3．命题p和¬p的真假性相反，若判断一个命题的真假有困难时，可判断此命题的否定的真假．\n题组一 走出误区1．判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)(1)至少有一个三角形的内角和为π是全称命题．()(2)“全等三角形的面积相等”是特称命题．()(3)写特称命题的否定时，存在量词变为全称量词．()(4)“长方形的对角线相等”是特称命题．()××√×\n∀x∈N，x2>0\n－1(任意负数)\n题组三 走向高考5．(2016·浙江，5分)命题“∀x∈R，∃n∈N*，使得n≥x2”的否定形式是()A．∀x∈R，∃n∈N*，使得n<x2B．∀x∈R，∀x∈N*，使得n<x2C．∃x∈R，∃n∈N*，使得n<x2D．∃x∈R，∀n∈N*，使得n<x2[解析]根据含有量词的命题的否定的概念可知，选D．D\n考点突破·互动探究\n例1考点一含有一个量词的命题的否定——自主练透C\n(2)(2022·青岛模拟)设命题p：所有正方形都是平行四边形，则¬p为()A．所有正方形都不是平行四边形B．有的平行四边形不是正方形C．有的正方形不是平行四边形D．不是正方形的四边形不是平行四边形C\nC\n[解析](1)根据全称命题与特称命题的否定关系，可得¬p为“∀x∈R，ex－x－1>0”，故选C．(2)“所有”改为“存在”(或“有的”)，“都是”改为“不都是”(或“不是”)，即¬p为有的正方形不是平行四边形．(3)全称命题的否定为特称命题：改写量词，否定结论．∴¬p：∃f(x)∈A，|f(x)|∉B.\n否定全称命题和特称命题时，一是要改写量词，全称量词改写为存在量词，存在量词改写为全称量词；二是要否定结论，而一般命题的否定只需直接否定结论．\n例2考点二全称命题、特称命题的真假判断——师生共研BD\nB\n\n\n判断全称命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判断特称命题是真命题，只要在限定集合内找到一个x＝x0，使p(x0)成立即可．\n〔变式训练1〕(1)(多选题)下列命题中是真命题的有()A．∀x∈R，2x－1>0B．∀x∈N*，(x－1)2>0C．∃x0∈R，lgx0<1D．∃x0∈R，tanx0＝2(2)已知定义域为R的函数f(x)不是偶函数，则下列命题一定为真命题的是()A．∀x∈R，f(－x)≠f(x)B．∀x∈R，f(－x)≠－f(x)C．∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)D．∃x0∈R，f(－x0)≠－f(x0)ACDC\n[解析](1)当x＝1时，(x－1)2＝0，故B为假命题，其余都是真命题，故选ACD．(2)∵定义域为R的函数f(x)不是偶函数，∴∀x∈R，f(－x)＝f(x)为假命题，∴∃x0∈R，f(－x0)≠f(x0)为真命题．\n已知命题p：∀x∈R，x2－a≥0；命题q：∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0.若命题p，q都是真命题，则实数a的取值范围为_______________.[解析]由命题p为真，得a≤0，由命题q为真，得Δ＝4a2－4(2－a)≥0，即a≤－2或a≥1，所以a≤－2.例3考点三由命题的真假求参数的取值范围——师生共研(－∞，－2]\n已知命题的真假，可根据每个命题的真假利用结合的运算求解参数的取值范围．\n1\n名师讲坛·素养提升\n突破双变量“存在性或任意性”问题逻辑推理的关键要素是：逻辑的起点、推理的形式、结论的表达．解决双变量“存在性或任意性”问题关键就是将含有全称量词和存在量词的条件“等价转化”为两个函数值域之间的关系(或两个函数最值之间的关系)，目的在于培养学生的逻辑推理素养和良好的数学思维品质．\n例4A\n\n[引申1]把本例中“∃x2∈[1，2]”改为：“∀x2∈[1，2]”，其他条件不变，则实数m的取值范围是________.\n[引申2]把本例中，∀x1∈[0，3]改为∃x1∈[0，3]其他条件不变，则实数m的取值范围是________________.\n[引申3]把本例中，∀x1∈[0，3]，∃x2∈[1，2]改为∃x1∈[0，3]，∀x2∈[1，2]，其他条件不变，则实数m的取值范围是___________.\n对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题，可根据命题的含义，利用函数值域(或最值)解决．\n〔变式训练3〕(2020·潍坊调研)若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1，2]，∃x0∈[－1，2]，使g(x1)＝f(x0)，则实数a的取值范围是_____.
