1.1集合第一章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.通过实例,了解集合的含义,理解元素与集合的属于关系.2.针对具体问题,能在自然语言和图形语言的基础上,用符号语言刻画集合.3.在具体情境中,了解全集与空集的含义.4.理解集合之间包含与相等的含义,能识别给定集合的子集.5.理解两个集合的并集与交集的含义,能求两个集合的并集与交集.6.理解在给定集合中一个子集的补集的含义,能求给定子集的补集.7.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算,体会图形对理解抽象概念的作用.\n备考指导集合知识高考必考,一般为选择题第1题或第2题,偶尔也可能作为填空题第1题,难度较小.常与不等式、函数、方程结合,主要考查集合的交、并、补集运算.复习时要理解集合的表示方法,注意观察集合的代表元素,准确化简集合.要重视集合运算的多角度训练,会借助数轴和Venn图解题,提升数学抽象、逻辑推理和数学运算的素养.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】(1)集合元素的三个特征性质:确定性、无序性、互异性.(2)元素与集合的两种关系:属于,记为∈;不属于,记为∉.(3)集合的两种表示方法:列举法、描述法.(4)五个特定的常见数集记法:\n2.集合间的基本关系\n问题思考(1)什么是空集?如何表示?(2)空集与任意集合之间有什么关系?(3)你能说出⌀,{0},{⌀}的区别吗?一般地,我们把不含任何元素的集合叫做空集,用符号⌀表示.空集是任意集合的子集,是任意非空集合的真子集.⌀是空集,是一个集合,它不含任何元素;{0}是只含有一个元素0的集合;{⌀}是只含有一个元素⌀的集合.\n3.集合的基本运算\n温馨提示1.一般地,如果一个集合含有所研究问题中涉及的所有元素,那么就称这个集合为全集,通常记作U.2.讨论补集的前提是集合A是全集U的子集,没有这一前提无法求补集.补集是相对于全集而存在的,研究一个集合的补集之前一定要明确其所对应的全集.一个确定的集合A,对于不同的全集U,它的补集不同.\n4.集合的运算性质(1)并集的性质:A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔B⊆A.(2)交集的性质:A∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔A⊆B.(3)补集的性质:A∪(∁UA)=U;A∩(∁UA)=⌀;∁U(∁UA)=A;∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB);∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).\n1.若有限集合A中有n(n≥1)个元素,则A有2n个子集,有2n-1个真子集,有2n-2个非空真子集.2.A⊆B,B⊆C⇒A⊆C;A⫋B,B⫋C⇒A⫋C.3.A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B⇔(∁UA)⊇(∁UB)⇔A∩(∁UB)=⌀.\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)任何一个集合都至少有两个子集.()(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.()(3)若{x2,1}={0,1},则x=0,1.()(4){x|x≤1}={t|t≤1}.()(5)若A∩B=A∩C,则B=C.()(6)直线x=1和直线y=4的交点构成的集合为{1,4}.()×××√××\n2.(多选)若集合A={x|x≤2},,则下列结论中正确的是()A.a⊆AB.{a}⊆AC.a∈AD.{a}∈A3.(2020全国Ⅲ,文1)已知集合A={1,2,3,5,7,11},B={x|3<x<15},则A∩B中元素的个数为()A.2B.3C.4D.5BCB根据交集的定义,A∩B={5,7,11}.4.(2020全国Ⅱ,理1)已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1},B={1,2},则∁U(A∪B)=()A.{-2,3}B.{-2,2,3}C.{-2,-1,0,3}D.{-2,-1,0,2,3}A∵A∪B={-1,0,1,2},∴∁U(A∪B)={-2,3}.故选A.\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1集合的基本概念(2)已知a,b∈R,若,则a3021+b3021为()A.1B.0C.-1D.±1根据题意,知集合B={(2,1),(3,1),(4,1),(5,1),(3,2),(4,2),(5,2),(4,3),(5,3),(5,4)},共10个元素.例1(1)已知集合A={1,2,3,4,5},B={(x,y)|x∈A,y∈A,x-y∈A},则B中所含元素的个数为()A.3B.6C.8D.10D(1)(2)由已知得a≠0,则,所以b=0,于是a2=1,即a=1或a=-1,又根据集合中元素的互异性可知a=1应舍去,因此a=-1,故a3021+b3021=-1.C\n(3)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为.\n解题心得与集合中元素有关问题的四个解题策略(1)确定集合中的代表元素是什么,即确定集合是数集还是点集还是其他形式的集合;(2)看这些元素满足什么限制条件;(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数;(4)要注意检验集合的元素是否满足互异性.\n对点训练1(1)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则集合A中元素的个数为()A.9B.8C.5D.4A(方法一)将满足x2+y2≤3的整数x,y全部列举出来,即(-1,-1),(-1,0),(-1,1),(0,-1),(0,0),(0,1),(1,-1),(1,0),(1,1),共有9个.故选A.(方法二)根据集合A的元素特征及圆的方程在坐标系中作出图形,如图,易知在圆x2+y2=3中有9个整点,即为集合A的元素个数,故选A.\n(2)已知集合,则集合A中的元素个数为()A.2B.3C.4D.5C因为x∈Z,,所以2-x的取值有-3,-1,1,3,即x的值分别为5,3,1,-1,故集合A中的元素个数为4.\n能力形成点2集合的基本关系例2(1)已知集合则集合M,N的关系为()A.M∩N=⌀B.M=NC.M⊆ND.N⊆MD由题意,对于集合M,当n为偶数时,设n=2k(k∈Z),则x=k+1(k∈Z),当n为奇数时,设n=2k+1(k∈Z),则x=k+1+(k∈Z),即N⊆M,故选D.\n(2)已知集合A={x|-2≤x≤5},B={x|m+1≤x≤2m-1},若B⊆A,则实数m的取值范围为.(-∞,3]∵B⊆A,∴①若B=⌀,则2m-1<m+1,此时m<2.解得2≤m≤3.由①②可得,符合题意的实数m的取值范围为(-∞,3].\n拓展延伸例2(2)原条件不变,设“全集U=R”,并将“B⊆A”改换为“B⊆(∁UA)”,则实数m的取值范围是.(-∞,2)∪(4,+∞)因为∁UA={x|x<-2,或x>5},且B⊆(∁UA),所以①若B=⌀,则2m-1<m+1,此时m<2.解得m>4.综上所述,m的取值范围是(-∞,2)∪(4,+∞).\n解题心得1.集合间基本关系的两种判定方法和一个关键\n2.根据两个集合的关系求参数的方法已知两个集合之间的关系求参数时,要明确集合中的元素,对子集是否为空集进行分类讨论,做到不漏解.(1)若集合中元素是一一列举的,则依据集合间的关系,转化为方程(组)求解,此时注意集合中元素的互异性;(2)若集合表示的是不等式的解集,则常依据数轴转化为不等式(组)求解,此时需注意端点值能否取到.\n对点训练2(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足A⊆C⊆B的集合C的个数为()A.1B.2C.3D.4D由x2-3x+2=0得x=1或x=2,即A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},故满足条件的C可为{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个.\n(2)已知集合A={x|-1<x<3},B={x|-m<x<m}.若B⊆A,则m的取值范围为_________________.(-∞,1]当m≤0时,B=⌀,显然B⊆A.当m>0时,因为A={x|-1<x<3},B⊆A,在数轴上标出两集合,如图,综上所述,m的取值范围为(-∞,1].\n能力形成点3集合的基本运算命题角度1求交集、并集或补集例3(1)(2020天津,1)设全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,0,1,2},B={-3,0,2,3},则A∩(∁UB)=()A.{-3,3}B.{0,2}C.{-1,1}D.{-3,-2,-1,1,3}C∵U={-3,-2,-1,0,1,2,3},∴∁UB={-2,-1,1},∴A∩(∁UB)={-1,1}.故选C.\n(2)(2020山东,1)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∪B=()A.{x|2<x≤3}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4}D.{x|1<x<4}C(数形结合)在数轴上标出集合A,B,如图所示.所以A∪B={x|1≤x<4},故选C.\n(3)已知全集为R,集合,B={x|x2-6x+8≤0},则A∩(∁RB)=()A.{x|x≤0}B.{x|2≤x≤4}C.{x|0<x≤2,或x≥4}D.{x|0≤x<2,或x>4}D根据题意,得A={x|x≥0},B={x|2≤x≤4},故A∩(∁RB)={x|x≥0}∩{x|x>4,或x<2}={x|0≤x<2,或x>4}.\n命题角度2由集合的运算求参数例4(1)(2020全国Ⅰ,理2)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=()A.-4B.-2C.2D.4B\n(2)已知集合A={x|x<a},B={x|x2-3x+2<0},若A∩B=B,则实数a的取值范围是()A.a<1B.a≤1C.a>2D.a≥2D集合B={x|x2-3x+2<0}={x|1<x<2},由A∩B=B可得B⊆A,在数轴上标出集合A,B,如图,数形结合可知a≥2.\n解题心得1.集合基本运算的方法技巧(1)当集合是用列举法表示的数集时,可以通过列举集合的元素进行运算,也可借助Venn图运算;(2)当集合是用不等式表示时,可运用数轴求解.对于端点处的取舍,可以单独检验.2.集合的交、并、补运算口诀交集元素仔细找,属于A且属于B;并集元素勿遗漏,切记重复仅取一;全集U是大范围,去掉U中A元素,剩余元素成补集.\n对点训练3(1)设集合A={-1,1,2,3,5},B={2,3,4},C={x∈R|1≤x<3},则(A∩C)∪B=()A.{2}B.{2,3}C.{-1,2,3}D.{1,2,3,4}D因为A∩C={1,2},所以(A∩C)∪B={1,2,3,4}.(2)已知全集U=R,集合M={x∈R|x2-x≤0},集合N={x∈R|x=cost,t∈R},则(∁UM)∩N=()A.{x|-1≤x<0}B.{x|0<x<1}C.{x|x<0}D.⌀A∵M={x∈R|x2-x≤0}={x|0≤x≤1},N={x∈R|x=cost,t∈R}={x|-1≤x≤1},∴∁UM={x|x<0,或x>1},∴(∁UM)∩N={x|-1≤x<0}.\n(3)已知集合M={x|2x2-x-1<0},N={x|2x+a>0},U=R,若M∩(∁UN)=⌀,则a的取值范围是()A.a>1B.a≥1C.a<1D.a≤1B\n(4)设集合A={0,-4},B={x∈R|x2+2(a+1)·x+a2-1=0}.若A∪B=A,则实数a的取值范围是.(-∞,-1]∪{1}因为A∪B=A,所以B⊆A.因为A={0,-4},所以B⊆A分以下三种情况:①当B=A时,B={0,-4},由此可知,0和-4是方程x2+2(a+1)x+a2-1=0的两个根,由根与系数的关系,②当B≠⌀,且B⫋A时,B={0}或B={-4},并且Δ=4(a+1)2-4(a2-1)=0,解得a=-1,此时B={0}满足题意;③当B=⌀时,Δ=4(a+1)2-4(a2-1)<0,解得a<-1.综上所述,所求实数a的取值范围是(-∞,-1]∪{1}.\n第三环节 学科素养提升\n以集合运算为背景的集合新定义问题典例(1)如图所示,在Venn图中,A,B是两个非空集合,定义集合A⊗B为阴影部分表示的集合.若x,y∈R,},B={y|y=3x,x>0},则A⊗B为()A.{x|0<x<2}B.{x|1<x≤2}C.{x|0≤x≤1,或x≥2}D.{x|0≤x≤1,或x>2}\n(2)给定集合A,若对于任意a,b∈A,有a+b∈A,且a-b∈A,则称集合A为闭集合,给出如下三个结论:①集合A={-4,-2,0,2,4}为闭集合;②集合A={n|n=3k,k∈Z}为闭集合;③若集合A1,A2为闭集合,则A1∪A2为闭集合.其中正确结论的序号是.\n思路建立(1)先化简集合A,B,再根据图形确定A,B与A⊗B的关系.阴影表示A∪B中的元素去掉A∩B中的元素后剩余元素构成的集合.(2)新定义集合的特点是集合中任意两个元素的和与差都是该集合的元素,据此判断.答案:(1)D(2)②解析:(1)因为A={x|0≤x≤2},B={y|y>1},所以A∪B={x|x≥0},A∩B={x|1<x≤2},所以A⊗B=∁A∪B(A∩B)={x|0≤x≤1或x>2}.(2)①中,-4+(-2)=-6∉A,所以①不正确;②中,设n1,n2∈A,n1=3k1,n2=3k2,k1,k2∈Z,则n1+n2∈A,n1-n2∈A,所以②正确;③中,令A1={n|n=3k,k∈Z},A2={n|n=,k∈Z},则A1,A2为闭集合,但3k+∉A1∪A2,故A1∪A2不是闭集合,所以③不正确.\n解题心得解决以集合为背景的新定义问题的策略(1)紧扣“新”定义:分析新定义的特点,把新定义所叙述的问题的本质弄清楚,并能够应用到具体的解题过程之中,这是求解新定义型集合问题的关键所在.(2)把握“新”性质:集合的性质(概念、元素的性质、运算性质等)是求解新定义型集合问题的基础,也是突破口,在解题时要善于从试题中发现可以使用集合性质的一些因素,在关键之处用好集合的性质.(3)遵守“新”法则:准确把握新定义的运算法则,将其转化为集合的交集、并集与补集的运算即可.\n变式训练B\n2.已知集合A={x∈N|x2-2x-3≤0},B={1,3},定义集合A,B之间的运算“*”:A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},则A*B中的所有元素之和为()A.15B.16C.20D.21D由x2-2x-3≤0,且x∈N,得A={0,1,2,3}.已知A={0,1,2,3},B={1,3},A*B={x|x=x1+x2,x1∈A,x2∈B},当x1=0时,x2=1,3,此时x=1,3;当x1=1时,x2=1,3,此时x=2,4;当x1=2时,x2=1,3,此时x=3,5;当x1=3时,x2=1,3,此时x=4,6.根据集合元素的互异性可知,A*B={1,2,3,4,5,6},故A*B中所有元素之和为1+2+3+4+5+6=21.
