高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI1.2充分条件与必要条件、全称量词与存在量词第一章2022\n课标要求1.通过对典型数学命题的梳理,理解必要条件的意义,理解各种性质定理与必要条件的关系.2.通过对典型数学命题的梳理,理解充分条件的意义,理解各种判定定理与充分条件的关系.3.通过对典型数学命题的梳理,理解充要条件的意义,理解数学中的定义与充要条件的关系.4.通过已知的数学实例,理解全称量词与存在量词的意义.5.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.6.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.\n备考指导本节内容主要有4个考点:(1)充要条件的判断;(2)根据充要条件求参数;(3)全称(存在)量词命题的真假判断;(4)含有一个量词的命题的否定.尤其是充要条件更为重要,它可以与其他知识综合考查,备考时要注意命题的方向,合理选择方法,注意逻辑推理素养的训练.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.命题\n2.充分条件、必要条件、充要条件设与p对应的集合为A={x|p(x)},与q对应的集合为B={x|q(x)},则有如下结论:\n温馨提示由上表可知,判断充分条件、必要条件、充要条件时应采用以下方法:(1)确定条件p是什么,结论q是什么;(2)尝试从条件推结论,若p⇒q,则充分性成立,p是q的充分条件;(3)考虑从结论推条件,若q⇒p,则p是q的必要条件,必要性成立;(4)若证明命题的条件是充要的,则既要证明充分性又要证明必要性.\n3.全称量词和存在量词4.全称量词命题和存在量词命题\n5.全称量词命题与存在量词命题的否定温馨提示全称量词命题的否定是存在量词命题,存在量词命题的否定是全称量词命题.\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)“对顶角相等”是命题.()(2)“有两个角是锐角的三角形是锐角三角形”是真命题.()(3)命题“若ac2>bc2,则a>b”是假命题.()(4)若q是p的必要条件,则p是q的充分条件.()(5)“p是q的充分不必要条件”与“p的充分不必要条件是q”表达的意义相同.()√××√×\n2.若a,b均为实数,则“a>b”是“a3>b3”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.已知命题p:∀x>0,log2x<2x+3,则命题p的否定为()A.∀x>0,log2x≥2x+3B.∃x>0,log2x≥2x+3C.∃x>0,log2x<2x+3D.∀x<0,log2x≥2x+3C因为a>b能推出a3>b3,a3>b3也能推出a>b,所以“a>b”是“a3>b3”的充要条件,故选C.B根据全称量词命题的否定为存在量词命题,则命题p的否定为:∃x>0,log2x≥2x+3,故选B.\n4.若命题“∃x∈R,asinx+cosx≥2”为假命题,则实数a的取值范围为()A\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1充分条件、必要条件的判断例1设x∈R,则“”是“x3<1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件A解题心得充分条件、必要条件的判断方法:(1)定义法,根据p⇒q,q⇒p进行判断.(2)集合法,根据p,q成立对应的集合之间的包含关系进行判断.\n对点训练1设x∈R,则“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件B由x2-5x<0,得0<x<5.由|x-1|<1,得0<x<2.故“x2-5x<0”是“|x-1|<1”的必要不充分条件.\n能力形成点2充分条件、必要条件的应用D因为函数f(x)的图象过点(1,0),所以函数f(x)有且只有一个零点⇔函数y=2x-a(x≤0)没有零点⇔函数y=2x(x≤0)的图象与直线y=a无公共点,当a≤0或a>1时,函数y=2x(x≤0)的图象与直线y=a无公共点,所以函数有且只有一个零点的充要条件为a≤0或a>1,一个充分不必要条件可以为D,故选D.\n[9,+∞)因为q的充分不必要条件是p,所以p是q的充分不必要条件.由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m,则q:Q={x|1-m≤x≤1+m,m>0}.因为p是q的充分不必要条件,所以P⫋Q,即m≥9或m>9.故m≥9.\n拓展延伸例2(2)条件不变,将“q的充分不必要条件是p”改为“q是p的充分不必要条件”,则实数m的取值范围是.(-∞,3]由x2-2x+1-m2≤0(m>0),得1-m≤x≤1+m,则q:Q={x|1-m≤x≤1+m,m>0}.\n解题心得1.与充分条件、必要条件有关的参数问题的求解方法:解决此类问题一般是根据条件把问题转化为集合之间的关系,并由此列出关于参数的不等式(组)求解.2.求解参数的取值范围时,一定要注意区间端点值的检验,尤其是利用两个集合之间的关系求解参数的取值范围时,不等式是否能够取等号决定端点值的取舍,处理不当容易出现漏解或增解的现象.\n对点训练2设p:2x2-3x+1≤0,q:x2-(2a+1)x+a(a+1)≤0,若p是q的充分不必要条件,则实数a的取值范围是.\n能力形成点3全称(存在)量词命题的真假判断例3下列命题中,为真命题的是()C\n解题心得1.判定全称量词命题“∀x∈M,p(x)”是真命题,需要对集合M中的每个元素x,证明p(x)成立;要判断存在量词命题是真命题,只要在限定集合内至少找到一个x,使p(x)成立.2.不管是全称量词命题还是存在量词命题,其真假不容易正面判断时,可先判断其否定的真假.\n对点训练3在下列命题中,为真命题的是()A.∀x∈R,x2>0B.∀x∈R,-1<sinx<1C.∃x∈R,2x<0D.∃x∈R,tanx=2D∀x∈R,x2≥0,故A为假命题;∀x∈R,-1≤sinx≤1,故B为假命题;∀x∈R,2x>0,故C为假命题;D为真命题,故选D.\n能力形成点4含有一个量词的命题的否定例4(1)命题“∃x∈∁RQ,x2∈Q”的否定是()A.∃x∉∁RQ,x2∈QB.∃x∈∁RQ,x2∉QC.∀x∉∁RQ,x2∈QD.∀x∈∁RQ,x2∉QD“∃x∈∁RQ”改为“∀x∈∁RQ”,“x2∈Q”的否定为“x2∉Q”.(2)已知命题p:∃x∈R,log2(3x+1)≤0,则()A.p是假命题,命题p的否定:∀x∈R,log2(3x+1)≤0B.p是假命题,命题p的否定:∀x∈R,log2(3x+1)>0C.p是真命题,命题p的否定:∀x∈R,log2(3x+1)≤0D.p是真命题,命题p的否定:∀x∈R,log2(3x+1)>0B因为3x+1>1,所以log2(3x+1)>0恒成立,则命题p是假命题;又命题p的否定:∀x∈R,log2(3x+1)>0,故选B.\n解题心得对全称(存在)量词命题进行否定的方法是改量词、否结论.省略量词的要结合命题的含义加上量词.\n对点训练4命题“有些相互垂直的两条直线不相交”的否定是()A.有些相互垂直的两条直线相交B.有些不相互垂直的两条直线不相交C.任意相互垂直的两条直线相交D.任意相互垂直的两条直线不相交C因为存在量词命题的否定是全称量词命题,所以命题“有些相互垂直的两条直线不相交”的否定是“任意相互垂直的两条直线相交”.故选C.\n能力形成点5由命题的真假求参数的取值范围例5给定命题p:对任意实数x都有ax2+2ax+4>0成立;q:关于x的方程x2-x+a=0有实数根.(1)分别求出命题p,q为真命题时,实数a的取值范围;(2)若命题p为真命题,q为假命题,求实数a的取值范围;(3)若命题p,q中至少有一个为真命题,求实数a的取值范围.\n解(1)若p为真命题,则①当a=0时,不等式为4>0,显然恒成立;解得0<a<4.综上,若命题p为真命题,则实数a的取值范围为[0,4).若q为真命题,即关于x的方程x2-x+a=0有实数根,则Δ=1-4a≥0,\n\n\n解题心得以命题的真假为依据求参数的取值范围时,首先要对命题进行化简,然后依据题意判断出每个简单命题的真假,最后列出含有参数的不等式(组)求解即可.\n对点训练5若命题“∃x∈R,x2+(a-1)x+1<0”是真命题,则实数a的取值范围是()A.[-1,3]B.(-1,3)C.(-∞,-1]∪[3,+∞)D.(-∞,-1)∪(3,+∞)D因为命题“∃x∈R,x2+(a-1)x+1<0”是真命题等价于关于x的方程x2+(a-1)x+1=0有两个不等的实根,所以Δ=(a-1)2-4>0,即a2-2a-3>0,解得a<-1或a>3,故选D.\n第三环节 学科素养提升\n全称(存在)量词命题中参数的取值范围问题解题心得对于含量词的命题中求参数的取值范围的问题,可根据命题的含义,利用等价转化思想将条件合理转化,并利用函数值域(或最值)等解决.\n
