1.3等式的性质与不等式的性质、基本不等式第一章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.梳理等式的性质,理解不等式的概念,掌握不等式的性质.2.掌握基本不等式(a,b>0).3.结合具体实例,能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题.备考指导不等式的性质贯穿于整个高中数学,是解不等式、研究不等式问题的根本.复习时要理清各条性质的应用条件,准确使用.以提升逻辑推理和数学运算素养.基本不等式是高考的重点,有时单独考查,有时与其他知识综合求最值.应用时要注意检验等号成立的条件,根据已知条件适当变形.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.两个实数比较大小的法则\n2.等式的基本性质\n3.不等式的基本性质\n问题思考若a>b,且a与b都不为0,则的大小关系确定吗?\n温馨提示1.不等式还有以下几条常用性质(1)移项法则:a+b>c⇔a>c-b.即不等式的任何一项移到不等号的另一边时一定要改变符号.2.两个重要不等式\n4.基本不等式注意:(1)基本不等式应用的条件是“一正二定三相等”.一正:一般要求a,b同为正数;二定:a+b或ab为定值;三相等:当且仅当a=b时,不等式取得等号.(2)基本不等式可叙述为:两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数.\n5.利用基本不等式求最值已知x>0,y>0,则\n\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)两个实数a,b之间,有且只有a>b,a=b,a<b三种关系中的一种.()(2)一个不等式的两边同时加上或乘同一个数,不等号方向不变.()(3)一个非零实数越大,其倒数就越小.()√×××××\n2.已知a,b∈R,下列结论正确的是()A.若a>b,则|a|>|b|B.若a>b,则C.若|a|>b,则a2>b2D.若a>|b|,则a2>b2D当a=1,b=-2时,A不正确,B不正确,C不正确;对于D,a>|b|≥0,则a2>b2.故选D.\n3.若a,b∈R,且ab>0,则下列不等式恒成立的是()D∵a2+b2-2ab=(a-b)2≥0,∴A错误;对于B,C,当a<0,b<0时,明显错误;对于D,∵ab>0,\n4.若x>0,y>0,且2(x+y)=36,则的最大值为()A.9B.18C.36D.81A由2(x+y)=36,得x+y=18,所以,当且仅当x=y=9时,等号成立.5.某公司一年购买某种货物600吨,每次购买x吨,运费为6万元/次,一年的总存储费用为4x万元.要使一年的总运费与总存储费用之和最小,则x的值是.30\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1比较两个数(式)的大小例1(1)已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是()A.M<NB.M>NC.M=ND.不确定BM-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1).∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0.∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0.∴M>N.\nA.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<cB\n解题心得比较大小常用的方法有作差法、作商法、构造函数法.(1)作差法的一般步骤:①作差;②变形;③定号;④下结论.变形常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.(2)作商法一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关键是化简变形,从而使结果能够与1比较大小.(3)构造函数法:构造函数,利用函数的单调性比较大小.提示:当两个代数式正负不确定且为多项式形式时,常用作差法比较大小;当两个代数式均为正且均为幂的乘积式时,常用作商法比较大小.\n对点训练1(1)若x∈R,y∈R,则()A.x2+y2>2xy-1B.x2+y2=2xy-1C.x2+y2<2xy-1D.x2+y2≤2xy-1A因为x2+y2-(2xy-1)=x2-2xy+y2+1=(x-y)2+1>0,所以x2+y2>2xy-1,故选A.\n(2)已知a>0,b>0,试比较aabb与abba的大小.\n能力形成点2不等式的性质及应用例2(1)如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系是()A.a2>a>-a2>-aB.a2>-a>a>-a2C.-a>a2>a>-a2D.-a>a2>-a2>aD由a2+a<0,即a(a+1)<0,解得-1<a<0.由不等式的性质,可知-a>a2>0,而a<-a2<0,所以a<-a2<0<a2<-a.故选D.\nD(方法一)由c<d<0,得cd>0.(方法二)依题意取a=2,b=1,c=-2,d=-1,代入验证知A,B,C错误,只有D正确.\n解题心得判断多个不等式是否成立的常用方法:方法一是直接使用不等式性质,逐个验证;方法二是用特殊值法,即举反例排除.而常见的反例构成方式可从以下几个方面思考:(1)不等式两边都乘一个代数式时,要注意所乘的代数式是正数、负数还是0;(2)不等式左边是正数,右边是负数,两边同时平方后不等号方向不一定保持不变;(3)不等式左边是正数,右边是负数,两边同时取倒数后不等号方向不变等.\n对点训练2(1)若a>1>b>-1,则下列不等式恒成立的是()A\n(2)下列说法正确的是()A.若a>b,c>d,则ac>bdB.若ac>bc,则a>bD.若a>b,c>d,则a-c>b-dC取a=2,b=1,c=-1,d=-2,可知A错误;当c<0时,ac>bc⇒a<b,故B错误;因为,且c≠0,所以c2>0,即a<b,C正确;取a=c=2,b=d=1,可知D错误.\n能力形成点3利用基本不等式证明不等式\n\n解题心得利用基本不等式证明不等式是证明不等式的一种情况,要从整体上把握运用基本不等式,对不满足使用基本不等式条件的可通过“变形”来转换,常见的变形技巧有:拆项,并项,也可乘上一个数或加上一个数,“1”的代换法等.\n\n\n能力形成点4利用基本不等式求最值命题角度1求不含等式条件的函数最值例4(1)下列说法正确的是()C\n3\nC命题角度2求含有等式条件的代数式的最值\nA\n命题角度3已知不等式恒成立求参数取值范围A.[-2,0)∪(0,4]B.[-4,0)∪(0,2]C.[-4,2]D.[-2,4]D\n\n解题心得1.利用基本不等式求解不含等式条件的函数最值的关注点:(1)依据:利用基本不等式求最值的依据是“积定和小”与“和定积大”.(2)定值:即和(或积)为定值,必要时需配凑、拆分出定值.如果求乘积的最值,那么就提出合适的系数,使两项之和为定值;如果求和的最值,那么就添加相同的常数,使两项之积是定值.拼凑法的实质在于代数式的灵活变形,拼系数、凑常数是关键.(3)验证:即验证等号成立时的自变量的值是否在所给范围内.\n2.求解条件最值问题的两种方法(1)常数代换法求最值,其基本步骤为:①定“值”:即根据已知条件或其变形确定定值(常数);②变“1”:即把确定的定值(常数)变形为1;③“1”代:即把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式;④求最:即利用基本不等式求解最值.(2)消元法求最值消元法,即根据条件建立两个量之间的函数关系,然后代入代数式转化为函数的最值求解.有时会出现多元的问题,解决方法是消元后利用基本不等式求解.\n3.已知不等式恒成立求参数取值范围的一般方法是分离常数,利用基本不等式求最值.若不能利用基本不等式,可考虑利用函数的单调性.a>f(x)恒成立⇔a>f(x)max,a<f(x)恒成立⇔a<f(x)min.\n4\n(2)若直线ax+by-1=0(a>0,b>0)过曲线y=1+sinπx(0<x<2)的对称中心,则的最小值为.由正弦函数的图象与性质可知,曲线y=1+sinπx(0<x<2)的对称中心为(1,1),故a+b=1.\nB\n能力形成点5基本不等式的实际应用例7某厂家拟在2022年举行某产品的促销活动,经调查测算,该产品的年销售量(即该厂的年产量)x(单位:万件)与年促销费用m(单位:万元)(m≥0)满足(k为常数).如果不搞促销活动,那么该产品的年销售量只能是1万件.已知生产该产品的固定投入为8万元,每生产1万件该产品需要再投入16万元,厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金,不包括年促销费用).(1)将2022年该产品的利润y(单位:万元)表示为年促销费用m的函数;(2)该厂家2022年的促销费用投入多少万元时,厂家的利润最大?\n\n解题心得利用基本不等式解决实际问题时,应先仔细阅读题目信息,理解题意,明确其中的数量关系,并引入变量,依题意列出相应的函数解析式,再用基本不等式求解.\n对点训练5某单位在国家科研部门的支持下,进行技术攻关,采用了新工艺,把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品.已知该单位每月的处理量最少为400吨,最多为600吨,月处理成本y(单位:元)与月处理量x(单位:吨)之间的函数关系可近似地表示为,且每处理一吨二氧化碳得到可利用的化工产品价值为100元.(1)该单位月处理量为多少吨时,才能使每吨的平均处理成本最低?(2)该单位每月能否获利?如果获利,那么求出最大利润;如果不获利,那么需要国家每月至少补贴多少元才能使该单位不亏损?\n解(1)由题意可知,二氧化碳每吨的平均处理成本为因为x∈[400,600],所以该单位月处理量为400吨时,才能使每吨的平均处理成本最低,最低平均处理成本为200元.\n(2)不获利.设该单位每月获利为S元,因为x∈[400,600],所以S∈[-80000,-40000].故该单位每月不获利,需要国家每月至少补贴40000元才能使该单位不亏损.\n第三环节 学科素养提升\n应用不等式的性质求代数式的取值范围典例设f(x)=ax2+bx,且1≤f(-1)≤2,2≤f(1)≤4,求f(-2)的取值范围.思路分析f(-1)=a-b,f(1)=a+b.思路1:由条件知1≤a-b≤2,2≤a+b≤4,因此可确定字母a,b的取值范围,进而求出f(-2)的取值范围;思路2:由f(-1),f(1)可求出,进而用f(-1),f(1)表示出f(-2),可以求出f(-2)的范围.两种思路所求结果是否相同呢?如果不同,哪方面出现了问题?下面,我们来具体研究一下.\n\n\n解题心得已知条件是多个字母相关联(如和、差、积、商等)的取值范围,求解与此类字母有关的代数式的取值范围时,一般是利用整体思想,把要求取值范围的代数式用已知代数式整体表示,通过“一次性”不等关系的运算求得整体的取值范围.\n变式训练已知-1<2a+b<2,3<a-b<4,则5a+b的取值范围是.(1,8)令5a+b=λ(2a+b)+μ(a-b)=(2λ+μ)a+(λ-μ)b,即5a+b=2(2a+b)+(a-b).∵-1<2a+b<2,∴-2<2(2a+b)<4.又3<a-b<4,∴1<2(2a+b)+(a-b)<8.故5a+b的取值范围为(1,8).
