1.4二次函数与一元二次方程、不等式第一章2022高中总复习优化设计GAOZHONGZONGFUXIYOUHUASHEJI\n课标要求1.会结合二次函数的图象,判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数.了解函数的零点与方程根的关系.2.经历从实际情境中抽象出一元二次不等式的过程,了解一元二次不等式的现实意义.3.能够借助二次函数求解一元二次不等式,并能用集合表示一元二次不等式的解集.4.借助二次函数的图象,了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系.\n备考指导三个“二次”之间的关系是高考的重点,常与集合、函数等知识结合,尤其解一元二次不等式和二次函数更是重中之重,主要考查数学运算的核心素养和数形结合的思想.复习时要理解三个“二次”之间的联系和区别,能结合二次函数的图象和零点解一元二次不等式,并注意一元二次不等式的实际应用.\n内容索引010203第一环节 必备知识落实第二环节 关键能力形成第三环节 学科素养提升\n第一环节 必备知识落实\n【知识筛查】1.一元二次不等式我们把只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等式,称为一元二次不等式,其一般形式是ax2+bx+c>0或ax2+bx+c<0,其中a,b,c均为常数,a≠0.2.二次函数的零点一般地,对于二次函数y=ax2+bx+c,我们把使ax2+bx+c=0的实数x叫做二次函数y=ax2+bx+c的零点.\n3.三个二次之间的关系\n(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解法\n【知识巩固】1.下列说法正确的画“√”,错误的画“×”.(1)若不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.()(2)若不等式ax2+bx+c>0的解集是(-∞,x1)∪(x2,+∞),则方程ax2+bx+c=0的两个根是x1和x2.()(3)若方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则不等式ax2+bx+c>0的解集为R.()(4)若二次函数y=ax2+bx+c的图象开口向下,则不等式ax2+bx+c<0的解集一定不是空集.()√√×√\nA.[0,3]B.(0,3)C.(-∞,0]∪[3,+∞)D.(-∞,0)∪(3,+∞)A3.若不等式(a-2)x2+2(a-2)x-4<0对一切x∈R恒成立,则实数a的取值范围是()A.(-∞,2]B.(-2,2]C.(-2,2)D.(-∞,2)B当a=2时,原式化为-4<0,不等式恒成立.故-2<a≤2.\n4.设x∈R,使不等式3x2+x-2<0成立的x的取值范围为.5.若关于x的不等式ax2+bx+2>0的解集是,则a+b的值是.-14\n第二环节 关键能力形成\n能力形成点1简单不等式的解法命题角度1解不含参数的一元二次不等式例1不等式-2x2+x+3<0的解集为.拓展延伸将不等式的符号改变,解不等式-2x2+x+3≥0.\n命题角度2解含参数的一元二次不等式例2解关于x的不等式:x2-(a+1)x+a<0.解由x2-(a+1)x+a=0,得(x-a)(x-1)=0,故x1=a,x2=1.当a>1时,x2-(a+1)x+a<0的解集为{x|1<x<a},当a=1时,x2-(a+1)x+a<0的解集为⌀,当a<1时,x2-(a+1)x+a<0的解集为{x|a<x<1}.\n命题角度3解分式不等式例3不等式的解集为.[-2,3)\n解题心得1.不含参数的一元二次不等式的解法:当二次项系数为负时,要先把二次项系数化为正,再根据判别式符号判断对应方程根的情况,并求出相应方程的两个根,最后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集.2.解含参数的一元二次不等式要分类讨论,分类讨论的依据:(1)二次项中若含有参数应先讨论是等于0,小于0,还是大于0,再将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式.(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0的大小关系.(3)确定方程无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.3.解分式不等式时,切忌直接去分母,一般先通过移项、通分,将分式不等式化简为的形式,再等价转化为整式不等式f(x)g(x)>0(或f(x)g(x)<0)的形式,即转化为一次、二次或高次不等式.\nA{x|x>1}\n(3)解关于x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0.\n\n能力形成点2一元二次不等式恒成立问题命题角度1在R上恒成立求参数的取值范围例4若关于x的一元二次不等式对一切实数x恒成立,则k的取值范围为()A.(-3,0]B.[-3,0)C.[-3,0]D.(-3,0)D\n拓展延伸若关于x的不等式对一切实数x恒成立,则k的取值范围是.[-3,0]\n命题角度2在给定区间上恒成立求参数的取值范围例5设函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.\n\n\n命题角度3给定参数范围的恒成立问题例6已知对任意的k∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则x的取值范围是.(-∞,1)∪(3,+∞)对任意的k∈[-1,1],x2+(k-4)·x+4-2k>0恒成立,即g(k)=(x-2)k+(x2-4x+4)>0在k∈[-1,1]上恒成立,解得x<1或x>3.\n解题心得1.不等式在某区间上恒成立问题的求解方法:设f(x)=ax2+bx+c.(1)不等式解集法:不等式在集合A中恒成立,等价于集合A是不等式解集B的子集,通过求不等式的解集,并研究集合的关系求出参数的取值范围.(2)函数最值法:已知二次函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立⇒[f(x)]min=m≥a;f(x)≤a恒成立⇒[f(x)]max=n≤a.(3)分离参数法:先将参数与变量分离,转化为f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式;再求f2(x)的最大(或最小)值;通过解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min得参数λ的取值范围.2.已知参数范围求函数自变量的范围的一般思路是更换主元法.把参数当作函数的自变量,得到一种新的函数,然后利用新函数求解.确定主元的原则:知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.\n对点训练2(1)设a为常数,∀x∈R,ax2+ax+1>0,则a的取值范围是()A.(0,4)B.[0,4)C.(0,+∞)D.(-∞,4)B\n(2)已知不等式xy≤ax2+2y2对任意的x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,则实数a的取值范围是.[-1,+∞)\n(3)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是.作出二次函数f(x)的草图如图所示,对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0,\n能力形成点3一元二次不等式的实际应用例7某地区有100户农民,且都从事水果种植,据了解,平均每户的年收入为2万元.为了调整产业结构,当地政府决定动员部分农民从事水果加工,据估计,若能动员x(x>0)户农民从事水果加工,则剩下的继续从事水果种植的农民平均每户的年收入有望提高2x%,而从事水果加工的农民平均每户收入将为万元.(1)若动员x户农民从事水果加工后,要使从事水果种植的农民的总年收入不低于动员前从事水果种植的农民的总年收入,求x的取值范围;(2)在(1)的条件下,要使这100户农民中从事水果加工的农民的总收入始终不高于从事水果种植的农民的总收入,求a的最大值.\n解题心得解不等式应用题,一般可按四步进行:(1)审题,找出关键量和不等关系;(2)引进数学符号,用不等式表示不等关系(或表示成函数关系);(3)解不等式(或求函数的最值);(4)回归到实际问题.\n对点训练3某汽车厂上年度生产汽车的投入成本为10万元/辆,出厂价为12万元/辆,年销售量为10000辆.本年度为适应市场需求,计划提高产品质量,适度增加投入成本.若每辆车增加投入成本的百分比为x(0<x<1),则出厂价相应地提高0.75x,同时预计年销售量增加0.60x.已知年利润=(出厂价-投入成本)×年销售量.(1)写出本年度预计的年利润y与增加投入成本的百分比x的解析式;(2)为使本年度的年利润比上年度有所增加,则增加投入成本的百分比x应在什么范围内?\n解(1)由题意得y=[12(1+0.75x)-10(1+x)]×10000×(1+0.6x)(0<x<1),整理得y=-6000x2+2000x+20000(0<x<1).(2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加,必须y-(12-10)×10000>0(0<x<1),\n第三环节 学科素养提升\n简单高次不等式的解法不等式的最高次数高于2,这样的不等式称为高次不等式.解高次不等式的基本方法:在解f(x)<0(或>0)时,将多项式f(x)分解成若干个不可约因式的积,根据实数运算法则,把它等价转化为两个或多个不等式(组)(由各因式的符号所有可能的组合决定),于是原不等式的解集就是各不等式解集的并集.但这一方法在因式较多时比较繁琐.此时通常采用下面的方法:\n(1)将不等式化为标准形式:一端为0,另一端为一次因式(因式中x的系数为正)或二次不可分解因式的积.(2)求出各因式的实数根,并在数轴上依次标出.(3)自最右端上方起,用曲线自右至左依次由各根穿过数轴,遇到奇次因式根一次穿过,遇到偶次因式根穿而不过.(4)记数轴上方为正、下方为负,根据不等式的符号写出解集.这种方法叫根轴法或穿根法或穿针引线法.\n思路分析通过因式分解,将它们转化成一元高次不等式去解.解:(1)原不等式可化为(x+1)(x-1)(x+2)>0.将方程(x+1)(x-1)(x+2)=0的各个根-2,-1,1标在数轴上,并用穿针引线法依次通过每一个根,如图:所以原不等式的解集为{x|-2<x<-1,或x>1}.\n将方程x(x+1)(x-1)=0的各个根-1,0,1标在数轴上,并用穿针引线法依次通过每一个根,如图:所以原不等式的解集为{x|x<-1,或0<x<1}.解题心得1.对于数轴穿根法求解高次不等式,分解因式后x或x2的系数须为正数.2.要注意准确考察各根是否在解集内.
