1.2不等关系及简单不等式的解法\n-2-知识梳理双基自测234151.两个实数比较大小的法则>=<\n-3-知识梳理双基自测234152.不等式的性质(1)对称性:a>b⇔b<a.(2)传递性:a>b,b>c⇒.(3)可加性:a>b⇔a+cb+c;a>b,c>d⇒a+cb+d.(4)可乘性:a>b,c>0⇒acbc;a>b,c<0⇒ac<bc;a>b>0,c>d>0⇒acbd.(5)可乘方:a>b>0⇒anbn(n∈N,n≥1).a>c>>>>>>\n-4-知识梳理双基自测23415\n-5-知识梳理双基自测234154.三个“二次”之间的关系{x|x>x2或x<x1}{x|x1<x<x2}⌀⌀\n-6-知识梳理双基自测234155.(x-a)(x-b)>0或(x-a)(x-b)<0型不等式的解法{x|x≠a}{x|x<b或x>a}{x|a<x<b}⌀\n2-7-知识梳理双基自测34151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)a>b⇔ac2>bc2.()(3)若关于x的不等式ax2+bx+c<0的解集为(x1,x2),则必有a>0.()(5)若关于x的方程ax2+bx+c=0(a≠0)没有实数根,则关于x的不等式ax2+bx+c>0的解集为R.()×√××√\n-8-知识梳理双基自测234152.已知a,b∈R,下列结论正确的是()答案解析解析关闭当a=1,b=-2时,A不正确,B不正确,C不正确;对于D,a>|b|≥0,则a2>b2,故选D.答案解析关闭D\n-9-知识梳理双基自测234153.若a>b,则()A.ln(a-b)>0B.3a<3bC.a3-b3>0D.|a|>|b|答案解析解析关闭取a=2,b=1,满足a>b,但ln(a-b)=0,3a>3b,排除A,B;∵y=x3是增函数,a>b,∴a3>b3,故C正确;取a=1,b=-2,满足a>b,但|a|<|b|,排除D.故选C.答案解析关闭C\n-10-知识梳理双基自测234154.已知全集为R,集合A=,B={x|x2-6x+8≤0},则A∩(∁RB)=()A.{x|0≤x<2或x>4}B.{x|0<x≤2或x≥4}C.{x|0≤x<2}D.{x|2≤x≤4}答案解析解析关闭答案解析关闭\n-11-知识梳理双基自测23415答案解析解析关闭答案解析关闭\n-12-考点1考点2考点3考点4例1(1)已知a1,a2∈(0,1),记M=a1a2,N=a1+a2-1,则M与N的大小关系是()A.M<NB.M>NC.M=ND.不确定A.a<b<cB.c<b<aC.c<a<bD.b<a<c思考比较两个数(式)的大小常用的方法有哪些?BB\n-13-考点1考点2考点3考点4解析:(1)M-N=a1a2-(a1+a2-1)=a1a2-a1-a2+1=(a1-1)(a2-1).∵a1∈(0,1),a2∈(0,1),∴a1-1<0,a2-1<0.∴(a1-1)(a2-1)>0,即M-N>0.∴M>N.(2)(方法一)由题意可知a,b,c都是正数.易知当x>e时,f'(x)<0,即f(x)单调递减.因为e<3<4<5,所以f(3)>f(4)>f(5),即c<b<a.\n-14-考点1考点2考点3考点4解题心得比较大小常用的方法有作差法、作商法、构造函数法.(1)作差法的一般步骤:①作差;②变形;③定号;④下结论.变形常采用配方、因式分解、有理化等方法把差式变成积式或者完全平方式.(2)作商法一般适用于分式、指数式、对数式,作商只是思路,关键是化简变形,从而使结果能够与1比较大小.(3)构造函数法:构造函数,利用函数单调性比较大小.提示:当两个代数式正负不确定且为多项式形式时,常用作差法比较大小;当两个代数式均为正且均为幂的乘积式时,常用作商法比较大小.\n-15-考点1考点2考点3考点4对点训练1(1)已知实数a,b,c满足b+c=6-4a+3a2,c-b=4-4a+a2,则a,b,c的大小关系是()A.c≥b>aB.a>c≥bC.c>b>aD.a>c>b(2)已知a,b是实数,且e<a<b,其中e是自然对数的底数,则ab与ba的大小关系是.ab>baA\n-16-考点1考点2考点3考点4\n-17-考点1考点2考点3考点4例2(1)如果a∈R,且a2+a<0,那么a,a2,-a,-a2的大小关系是()A.a2>a>-a2>-aB.a2>-a>a>-a2C.-a>a2>a>-a2D.-a>a2>-a2>a(2)若a>b>0,c<d<0,则一定有()思考判断多个不等式是否成立的常用方法有哪些?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-18-考点1考点2考点3考点4解题心得判断多个不等式是否成立的常用方法:方法一是直接使用不等式性质,逐个验证;方法二是用特殊值法,即举反例排除.而常见的反例构成方式可从以下几个方面思考:(1)不等式两边都乘一个代数式时,要注意所乘的代数式是正数、负数还是0;(2)不等式左边是正数,右边是负数,两边同时平方后不等号方向不一定保持不变;(3)不等式左边是正数,右边是负数,两边同时取倒数后不等号方向不变等.\n-19-考点1考点2考点3考点4对点训练2(1)若a>1>b>-1,则下列不等式恒成立的是()答案解析解析关闭答案解析关闭\n-20-考点1考点2考点3考点4(2)下列命题正确的是()A.若a>b,c>d,则ac>bdB.若ac>bc,则a>bD.若a>b,c>d,则a-c>b-d答案解析解析关闭答案解析关闭\n-21-考点1考点2考点3考点4考向一不含参数的一元二次不等式例3不等式-2x2+x+3<0的解集为.思考如何求解不含参数的一元二次不等式?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-22-考点1考点2考点3考点4考向二分式不等式思考解分式不等式的基本思路是什么?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-23-考点1考点2考点3考点4考向三含参数的一元二次不等式例5解关于x的不等式:x2-(a+1)x+a<0.思考解含参数的一元二次不等式时,分类讨论的依据是什么?解由x2-(a+1)x+a=0得(x-a)(x-1)=0,故x1=a,x2=1.当a>1时,x2-(a+1)x+a<0的解集为{x|1<x<a},当a=1时,x2-(a+1)x+a<0的解集为⌀,当a<1时,x2-(a+1)x+a<0的解集为{x|a<x<1}.\n-24-考点1考点2考点3考点4解题心得1.不含参数的一元二次不等式的解法:当二次项系数为负时,要先把二次项系数化为正,再根据判别式符号判断对应方程根的情况,并求出相应方程的两个根,最后结合相应二次函数的图象写出不等式的解集.2.解分式不等式时,切忌直接去分母,一般先通过移项、通分,将或高次不等式.\n-25-考点1考点2考点3考点43.解含参数的一元二次不等式要分类讨论,分类讨论的依据是:(1)二次项中若含有参数应先讨论是等于0,小于0,还是大于0,再将不等式转化为一次不等式或二次项系数为正的一元二次不等式.(2)当不等式对应方程的根的个数不确定时,讨论判别式Δ与0的大小关系.(3)确定无根时可直接写出解集,确定方程有两个根时,要讨论两根的大小关系,从而确定解集形式.\n-26-考点1考点2考点3考点4答案解析解析关闭答案解析关闭对点训练3(1)已知集合A={x|x2-2x-3<0},B=,则A∩B=()A.{x|1<x<3}B.{x|-1<x<3}C.{x|-1<x<0或0<x<3}D.{x|-1<x<0或1<x<3}\n-27-考点1考点2考点3考点4(2)已知函数f(x)=则不等式f(x)>3的解集为.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-28-考点1考点2考点3考点4(3)解关于x的不等式:ax2-(a+1)x+1<0.解:若a=0,则原不等式等价于-x+1<0,解得x>1;\n-29-考点1考点2考点3考点4当a=1时,原不等式的解集为⌀;\n-30-考点1考点2考点3考点4考向一在R上恒成立求参数范围例6若一元二次不等式对一切实数x恒成立,则k的取值范围为()A.(-3,0]B.[-3,0)C.[-3,0]D.(-3,0)思考一元二次不等式在R上恒成立的条件是什么?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-31-考点1考点2考点3考点4考向二在给定区间上恒成立求参数范围例7设函数f(x)=mx2-mx-1.若对于x∈[1,3],f(x)<-m+5恒成立,求m的取值范围.思考解决在给定区间上恒成立问题有哪些方法?\n-32-考点1考点2考点3考点4当m=0时,-6<0恒成立;当m<0时,g(x)在区间[1,3]上是减函数,所以g(x)max=g(1)⇒m-6<0,所以m<6.所以m<0.\n-33-考点1考点2考点3考点4\n-34-考点1考点2考点3考点4考向三给定参数范围的恒成立问题例8已知对任意的k∈[-1,1],函数f(x)=x2+(k-4)x+4-2k的值恒大于零,则x的取值范围是.思考如何求解给定参数范围的恒成立问题?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-35-考点1考点2考点3考点4解题心得1.ax2+bx+c≥0(a≠0)对任意实数x恒成立的条件是2.不等式在某区间上恒成立问题的求解方法:设f(x)=ax2+bx+c.(1)不等式解集法:不等式在集合A中恒成立,等价于集合A是不等式解集B的子集,通过求不等式的解集,并研究集合的关系求出参数的取值范围.(2)函数最值法:已知二次函数f(x)的值域为[m,n],则f(x)≥a恒成立⇒[f(x)]min=m≥a;f(x)≤a恒成立⇒[f(x)]max=n≤a.(3)分离参数法:先将参数与变量分离,转化为f1(λ)≥f2(x)或f1(λ)≤f2(x)的形式;再求f2(x)的最大(或最小)值;通过解不等式f1(λ)≥f2(x)max或f1(λ)≤f2(x)min得参数λ的范围.\n-36-考点1考点2考点3考点43.已知参数范围求函数自变量的范围的一般思路是更换主元法.把参数当作函数的自变量,得到一种新的函数,然后利用新函数求解.确定主元的原则:知道谁的范围,谁就是主元,求谁的范围,谁就是参数.\n-37-考点1考点2考点3考点4对点训练4(1)设a为常数,∀x∈R,ax2+ax+1>0,则a的取值范围是()A.(0,4)B.[0,4)C.(0,+∞)D.(-∞,4)(2)已知函数f(x)=x2+mx-1,若对于任意x∈[m,m+1],都有f(x)<0成立,则实数m的取值范围是.(3)已知不等式xy≤ax2+2y2对任意的x∈[1,2],y∈[2,3]恒成立,则实数a的取值范围是.B[-1,+∞)\n-38-考点1考点2考点3考点4\n-39-考点1考点2考点3考点4
