第一章集合与常用逻辑用语\n-2-\n1.1集合的概念与运算\n-4-知识梳理双基自测234151.集合的含义与表示(1)集合元素的三个性质特征:、、.(2)元素与集合的关系是或,用符号或表示.(3)集合的表示法:、、.(4)常见数集的记法确定性互异性无序性属于不属于∈∉列举法描述法Venn图法NN*(或N+)ZQR\n-5-知识梳理双基自测234152.集合间的基本关系A⊆B(或B⊇A)A⫋B(或B⫌A)A=B\n-6-知识梳理双基自测234153.集合的运算{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A,且x∈B}{x|x∈U,且x∉A}\n-7-知识梳理双基自测234154.集合的运算性质(1)并集的性质:A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔.(2)交集的性质:A∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔.(3)补集的性质:A∩(∁UA)=⌀;A∪(∁UA)=U;∁U(∁UA)=;∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB);∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).B⊆AA⊆BA\n-8-知识梳理双基自测234155.集合关系的常用结论若有限集A中有n个元素,则A的子集有个,非空子集有个,真子集有个.2n2n-12n-1\n-9-知识梳理双基自测234151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)在集合{x2+x,0}中,实数x可取任意值.()(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.()(3)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B;(A∩B)⊆(A∪B).()(4)若A∩B=A∩C,则B=C.()(5)直线y=x+3与y=-2x+6的交点构成的集合是{1,4}.()××√××\n-10-知识梳理双基自测234152.设集合A={1,2,4},B={x|x2-4x+m=0}.若A∩B={1},则B=()A.{1,-3}B.{1,0}C.{1,3}D.{1,5}答案解析解析关闭由A∩B={1},可知1∈B,所以m=3,即B={1,3},故选C.答案解析关闭C\n-11-知识梳理双基自测234153.设全集U={x∈N*|x≤4},集合A={1,4},B={2,4},则∁U(A∩B)=()A.{1,2,3}B.{1,2,4}C.{1,3,4}D.{2,3,4}答案解析解析关闭∵A={1,4},B={2,4},∴A∩B={4}.又U={x∈N*|x≤4}={1,2,3,4},∴∁U(A∩B)={1,2,3}答案解析关闭A\n-12-知识梳理双基自测234154.已知集合A={x|x<1},B={x|3x<1},则()A.A∩B={x|x<0}B.A∪B=RC.A∪B={x|x>1}D.A∩B=⌀答案解析解析关闭∵3x<1=30,∴x<0,∴B={x|x<0},∴A∩B={x|x<0},A∪B={x|x<1}.故选A.答案解析关闭A\n-13-知识梳理双基自测234155.已知集合A={-1,0,1,2},B={x|x2≤1},则A∩B=()A.{-1,0,1}B.{0,1}C.{-1,1}D.{0,1,2}答案解析解析关闭A={-1,0,1,2},B={x|-1≤x≤1},则A∩B={-1,0,1}.故选A.答案解析关闭A\n例1(1)已知集合A={x|y=,x∈Z},B={p-q|p∈A,q∈A},则集合B中元素的个数为()A.1B.3C.5D.7思考求集合中元素的个数或求集合元素中的参数的值要注意什么?-14-考点1考点2考点3答案解析解析关闭答案解析关闭\n-15-考点1考点2考点3解题心得与集合中的元素有关问题的求解策略:(1)确定集合中的代表元素是什么,即集合是数集、点集还是其他形式的集合.(2)看这些元素满足什么限制条件.(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合中的元素是否满足互异性.\n-16-考点1考点2考点3对点训练1(1)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为()A.9B.8C.5D.4(2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-17-考点1考点2考点3考向一判断集合间的关系例2已知集合A={x|y=ln(x+3)},B={x|x≥2},则下列结论正确的是()A.A=BB.A∩B=⌀C.A⊆BD.B⊆A思考判定集合间的基本关系有哪些方法?解决集合间的基本关系的常用技巧有哪些?答案解析解析关闭∵A={x|y=ln(x+3)},∴A={x|x>-3}.又B={x|x≥2},∴B⊆A.答案解析关闭D\n-18-考点1考点2考点3考向二利用集合间的关系求参数的值或取值范围例3已知集合A={x|x<-1或x>4},B={x|2a≤x≤a+3}.若B⊆A,则实数a的取值范围为.思考已知集合间的关系,如何求参数的值或取值范围?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-19-考点1考点2考点3解题心得1.判定集合间的基本关系有两种方法.方法一:化简集合,从表达式中寻找集合的关系;方法二:用列举法(或图示法等)表示各个集合,从元素(或图形)中寻找关系.2.解决集合间的基本关系的常用技巧:(1)若给定的集合是不等式的解集,则用数轴求解;(2)若给定的集合是点集,则用数形结合法求解;(3)若给定的集合是抽象集合,则常用Venn图求解.3.已知集合间的关系,求参数时,用数形结合的方法,建立关于参数的方程(组)或不等式(组),求出参数的值或取值范围.若未指明集合非空,则应考虑空集的情况,即由A⊆B知,存在A=⌀和A≠⌀两种情况,需要分类讨论;此外,集合中含有参变量时,求得结果后还需要利用元素互异性进行检验.\n-20-考点1考点2考点3对点训练2(1)已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A.1B.2C.3D.4(2)已知集合A={x|x2-2017x+2016<0},B={x|x<a},若A⊆B,则实数a的取值范围是.D[2016,+∞)\n-21-考点1考点2考点3(2)由x2-2017x+2016<0,解得1<x<2016,故A={x|1<x<2016}.又B={x|x<a},A⊆B,如图所示,可知a≥2016.解析:(1)由x2-3x+2=0,得x=1或x=2,故A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},因此满足A⊆C⊆B的集合C有{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个.\n-22-考点1考点2考点3B\n-23-考点1考点2考点3(2)(2020全国Ⅱ,理1)已知集合U={-2,-1,0,1,2,3},A={-1,0,1},B={1,2},则∁U(A∪B)=()A.{-2,3}B.{-2,2,3}C.{-2,-1,0,3}D.{-2,-1,0,2,3}思考集合的基本运算的求解策略是什么?A(2)∵A∪B={-1,0,1,2},∴∁U(A∪B)={-2,3}.故选A.\n-24-考点1考点2考点3考向二已知集合运算求参数例5(1)设集合A={x|x2-4≤0},B={x|2x+a≤0},且A∩B={x|-2≤x≤1},则a=()A.-4B.-2C.2D.4(2)集合M={x|-1≤x<2},N={y|y<a},若M∩N≠⌀,则实数a的取值范围是()A.-1≤a<2B.a≤2C.a≥-1D.a>-1思考若集合中的元素含有参数,求集合中的参数有哪些技巧?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-25-考点1考点2考点3解题心得1.集合的基本运算的求解策略:(1)求解思路一般是先化简集合,再根据交、并、补的定义求解.(2)求解原则一般是先算括号里面的,再按运算顺序求解.(3)求解思想一般是注重数形结合思想的运用,利用好数轴、Venn图等.2.一般来讲,若集合中的元素是离散的,则用Venn图表示,根据画出的Venn图得到关于参数的一个或多个方程,求出参数后要验证是否与集合元素的互异性矛盾;若集合中的元素是连续的,则用数轴表示,根据数轴得到关于参数的不等式,解之得到参数的取值范围,此时要注意端点的情况.\n-26-考点1考点2考点3对点训练3(1)已知集合A={x|(x-1)(x-2)(x-3)=0},集合B={x|y=},则集合A∩B的真子集的个数是()A.1B.2C.3D.4(2)已知集合P={x|1≤x≤3},Q={x|x2≥4},则P∪(∁RQ)=()A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.(-∞,-2]∪[1,+∞)(3)已知集合A={x|y=},B={x|a≤x≤a+1},若A∩B=B,则实数a的取值范围是.(4)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若(∁UA)∩B=⌀,则m的值是.CB[-2,1]1或2\n-27-考点1考点2考点3解析:(1)因为集合A={1,2,3},集合B={x|x≥2},所以A∩B={2,3}.所以A∩B的真子集有⌀,{2},{3}.故选C.即-2≤a≤1.(3)因为A∩B=B,所以B⊆A.(2)因为Q={x|x≤-2或x≥2},所以∁RQ={x|-2<x<2},所以P∪(∁RQ)={x|-2<x≤3}.\n-28-考点1考点2考点3(4)由题意可知A={-2,-1}.又(∁UA)∩B=⌀,故B⊆A.因为关于x的方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,所以B≠⌀.当Δ=0时,m=1,此时B={-1};当Δ>0时,由B⊆A,得B={-1,-2},可知m=(-1)×(-2)=2.经检验知m=1和m=2都符合条件.故m=1或m=2.
