第一章集合与常用逻辑用语\n-2-\n1.1集合的概念与运算\n-4-知识梳理双基自测234151.集合的含义与表示(1)集合元素的三个性质特征:、、.(2)元素与集合的关系是或,用符号或表示.(3)集合的表示法:、、.(4)常见数集的记法确定性互异性无序性属于不属于∈∉列举法描述法Venn图法NN*(或N+)ZQR\n-5-知识梳理双基自测234152.集合间的基本关系A⊆B(或B⊇A)A⫋B(或B⫌A)A=B\n-6-知识梳理双基自测234153.集合的运算{x|x∈A或x∈B}{x|x∈A,且x∈B}{x|x∈U,且x∉A}\n-7-知识梳理双基自测234154.集合的运算性质(1)并集的性质:A∪⌀=A;A∪A=A;A∪B=B∪A;A∪B=A⇔.(2)交集的性质:A∩⌀=⌀;A∩A=A;A∩B=B∩A;A∩B=A⇔.(3)补集的性质:A∩(∁UA)=⌀;A∪(∁UA)=U;∁U(∁UA)=;∁U(A∪B)=(∁UA)∩(∁UB);∁U(A∩B)=(∁UA)∪(∁UB).B⊆AA⊆BA\n-8-知识梳理双基自测234155.集合关系的常用结论若有限集A中有n个元素,则A的子集有个,非空子集有个,真子集有个.2n2n-12n-1\n-9-知识梳理双基自测234151.下列结论正确的打“√”,错误的打“×”.(1)在集合{x2+x,0}中,实数x可取任意值.()(2){x|y=x2+1}={y|y=x2+1}={(x,y)|y=x2+1}.()(3)A⊆B⇔A∩B=A⇔A∪B=B;(A∩B)⊆(A∪B).()(4)若A∩B=A∩C,则B=C.()(5)(教材习题改编P5T2(3))直线y=x+3与y=-2x+6的交点构成的集合是{1,4}.()××√××\n-10-知识梳理双基自测234152.(2020浙江,1)已知集合P={x|1<x<4},Q={x|2<x<3},则P∩Q=()A.{x|1<x≤2}B.{x|2<x<3}C.{x|3≤x<4}D.{x|1<x<4}B\n-11-知识梳理双基自测234153.设集合A={1,2,3},B={2,3,4},则A∪B=()A.{1,2,3,4}B.{1,2,3}C.{2,3,4}D.{1,3,4}答案解析解析关闭因为A={1,2,3},B={2,3,4},所以A∪B={1,2,3,4},故选A.答案解析关闭A\n-12-知识梳理双基自测234154.已知集合A={x|x<2},B={x|3-2x>0},则()答案解析解析关闭答案解析关闭\n-13-知识梳理双基自测234155.(2020全国Ⅲ,文1)已知集合A={1,2,3,5,7,11},B={x|3<x<15},则A∩B中元素的个数为()A.2B.3C.4D.5B\n-14-知识梳理双基自测23415自测点评1.若集合中的元素含有参数,则要注意集合元素的取值受互异性的限制.2.⌀是任何集合的子集;任意的非空集合至少有两个子集,但⌀只有一个子集.3.求解集合问题时,一定要弄清楚集合元素的属性(是点集、数集还是其他情形).4.对集合运算问题,首先要确定集合类型,然后化简集合.若集合中的元素是离散的,则紧扣集合运算的定义求解;若集合中的元素是连续的,则常结合数轴进行集合运算;若集合中的元素是抽象的,则常用Venn图法进行求解.\n-15-考点1考点2考点3例1(1)设集合A={1,2,3},B={4,5},M={x|x=a+b,a∈A,b∈B},则M中的元素个数为()A.3B.4C.5D.6思考求集合中元素的个数或求集合元素中的参数的值要注意什么?答案解析解析关闭答案解析关闭\n-16-考点1考点2考点3解题心得与集合中的元素有关问题的求解策略:(1)确定集合中的代表元素是什么,即集合是数集、点集还是其他形式的集合.(2)看这些元素满足什么限制条件.(3)根据限制条件列式求参数的值或确定集合中元素的个数,但要注意检验集合是否满足元素的互异性.\n-17-考点1考点2考点3对点训练1(1)已知集合A={(x,y)|x2+y2≤3,x∈Z,y∈Z},则A中元素的个数为()A.9B.8C.5D.4(2)已知集合A={m+2,2m2+m},若3∈A,则m的值为.答案解析解析关闭答案解析关闭\n-18-考点1考点2考点3例2已知集合A={x|y=ln(x+3)},B={x|x≥2},则下列结论正确的是()A.A=BB.A∩B=⌀C.A⊆BD.B⊆A思考判定集合间的基本关系有哪些方法?解决集合间的基本关系的常用技巧有哪些?答案解析解析关闭∵A={x|y=ln(x+3)},∴A={x|x>-3}.又B={x|x≥2},∴B⊆A.答案解析关闭D\n-19-考点1考点2考点3解题心得1.判定集合间的基本关系有两种方法.方法一:化简集合,从表达式中寻找集合的关系;方法二:用列举法(或图示法等)表示各个集合,从元素(或图形)中寻找关系.2.解决集合间的基本关系的常用技巧有:(1)若给定的集合是不等式的解集,用数轴求解;(2)若给定的集合是点集,用数形结合法求解;(3)若给定的集合是抽象集合,常用Venn图求解.\n对点训练2已知集合A={x|x2-3x+2=0,x∈R},B={x|0<x<5,x∈N},则满足条件A⊆C⊆B的集合C的个数为()A.1B.2C.3D.4-20-考点1考点2考点3答案解析解析关闭由x2-3x+2=0得x=1或x=2,故A={1,2}.由题意知B={1,2,3,4},因此满足A⊆C⊆B的集合C有{1,2},{1,2,3},{1,2,4},{1,2,3,4},共4个.答案解析关闭D\n-21-考点1考点2考点3考向一求交集、并集或补集例3(1)(2020山东,1)设集合A={x|1≤x≤3},B={x|2<x<4},则A∪B=()A.{x|2<x≤3}B.{x|2≤x≤3}C.{x|1≤x<4}D.{x|1<x<4}(2)(2020天津,1)设全集U={-3,-2,-1,0,1,2,3},集合A={-1,0,1,2},B={-3,0,2,3},则A∩(∁UB)=()A.{-3,3}B.{0,2}C.{-1,1}D.{-3,-2,-1,1,3}思考集合的基本运算的求解策略是什么?CC\n-22-考点1考点2考点3解析:(1)(数形结合)由数轴可知∴A∪B={x|1≤x<4},故选C.(2)∵U={-3,-2,-1,0,1,2,3},∴∁UB={-2,-1,1},A∩(∁UB)={-1,1}.故选C.\n-23-考点1考点2考点3考向二利用集合间的关系求参数的值(范围)例4(1)已知集合A={1,3,},B={1,m},A∪B=A,则m等于()A.0或B.0或3C.1或D.1或3(2)集合M={x|-1≤x<2},N={y|y<a},若M∩N≠⌀,则实数a的取值范围是()A.-1≤a<2B.a≤2C.a≥-1D.a>-1(3)已知集合A={x|x<-1或x>4},B={x|2a≤x≤a+3}.若B⊆A,则实数a的取值范围为.思考若集合中的元素含有参数,求集合中的参数有哪些技巧?BD(-∞,-4)∪(2,+∞)\n-24-考点1考点2考点3解析:(1)由A∪B=A得B⊆A,则m∈A,又由集合中元素的互异性知m≠1,故选B.(2)M={x|-1≤x<2},N={y|y<a},且M∩N≠⌀,如图,只要a>-1即可.\n-25-考点1考点2考点3(3)当B=⌀时,2a>a+3,即a>3.当B≠⌀时,根据题意作出数轴,如图所示,综上可得,实数a的取值范围为(-∞,-4)∪(2,+∞).\n-26-考点1考点2考点3解题心得1.集合的基本运算的求解策略:(1)求解思路一般是先化简集合,再根据交、并、补的定义求解.(2)求解原则一般是先算括号里面的,再按运算顺序求解.(3)求解思想一般是注重数形结合思想的运用,利用好数轴、Venn图等.2.一般来讲,若集合中的元素是离散的,则用Venn图表示,根据画出的Venn图得到关于参数的一个或多个方程,求出参数后要验证是否与集合元素的互异性矛盾;若集合中的元素是连续的,则用数轴表示,根据数轴得到关于参数的不等式,解之得到参数的范围,此时要注意端点的情况.3.若未指明集合非空,则应考虑空集的情况,即由A⊆B知存在A=⌀和A≠⌀两种情况,需要分类讨论;此外,集合中含有参变量时,求得结果后还需要利用元素互异性进行检验.\n-27-考点1考点2考点3(3)已知集合A={x|y=},B={x|a≤x≤a+1},若A∩B=B,则实数a的取值范围是.(4)设U=R,集合A={x|x2+3x+2=0},B={x|x2+(m+1)x+m=0},若(∁UA)∩B=⌀,则m的值是.对点训练3(1)设集合A={1,2,6},B={2,4},C={1,2,3,4},则(A∪B)∩C=()A.{2}B.{1,2,4}C.{1,2,4,6}D.{1,2,3,4,6}(2)已知集合P={x∈R|1≤x≤3},Q={x∈R|x2≥4},则P∪(∁RQ)=()A.[2,3]B.(-2,3]C.[1,2)D.(-∞,-2]∪[1,+∞)BB[-2,1]1或2\n-28-考点1考点2考点3解析:(1)∵A={1,2,6},B={2,4},C={1,2,3,4},∴A∪B={1,2,4,6},(A∪B)∩C={1,2,4}.故选B.(2)∵Q={x∈R|x2≥4}={x∈R|x≤-2,或x≥2},∴∁RQ={x∈R|-2<x<2}.∴P∪(∁RQ)={x∈R|-2<x≤3}=(-2,3].故选B.(3)∵A∩B=B,∴B⊆A.又A={x|-2≤x≤2},B={x|a≤x≤a+1},\n-29-考点1考点2考点3(4)由题意可知A={-2,-1}.又(∁UA)∩B=⌀,故B⊆A.∵关于x的方程x2+(m+1)x+m=0的判别式Δ=(m+1)2-4m=(m-1)2≥0,∴B≠⌀.当Δ=0时,m=1,此时B={-1};当Δ>0时,由B⊆A,得B={-1,-2},可知m=(-1)×(-2)=2.经检验知m=1和m=2都符合条件.故m=1或m=2.\n-30-考点1考点2考点3解答集合问题时应注意五点:(1)注意集合中元素互异性的应用,解答时注意检验.(2)注意用描述法给出的集合的元素.如{y|y=2x},{x|y=2x},{(x,y)|y=2x}表示不同的集合.(3)注意⌀的特殊性.在利用A⊆B解题时,应对A是否为⌀进行讨论.(4)注意数形结合思想的应用.在进行集合运算时要尽可能借助Venn图和数轴使抽象问题直观化,一般地,集合元素离散时用Venn图表示,集合元素连续时用数轴表示.(5)注意补集思想的应用.在解决A∩B≠⌀时,可以利用补集思想,先研究A∩B=⌀的情况,再取补集.
