重庆市九校联盟高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1，2}，，则A∩B=（ ）A．{0，1}B．{1，2}C．{﹣1，0}D．{﹣1，2}2．（5分）已知i为虚数单位，且（1+i）z=﹣1，则复数z对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）的值为（ ）A．﹣1B．C．D．4．（5分）已知随机事件A，B发生的概率满足条件，某人猜测事件发生，则此人猜测正确的概率为（ ）A．1B．C．D．05．（5分）双曲线的一个焦点为F，过点F作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为A，且交y轴于B，若A为BF的中点，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．2D．6．（5分）某几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图是全等的正三角形，其俯视图中，半圆的直径是等腰直角三角形的斜边，若半圆的直径为2，则该几何体的体积等于（ ）第19页共19页,A．B．C．D．7．（5分）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，则所得函数图象的解析式为（ ）A．B．C．D．8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的s=6，则N的所有可能取之和等于（ ）A．19B．21C．23D．259．（5分）已知抛物线C：y=2px2经过点M（1，2），则该抛物线的焦点到准线的距离等于（ ）A．B．C．D．110．（5分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，，当b+c=4时，△ABC面积的最大值为（ ）A．B．C．D．11．（5分）设定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）满足xf′（x）＞1，则（ ）A．f（2）﹣f（1）＞ln2B．f（2）﹣f（1）＜ln2C．f（2）﹣f（1）＞1D．f（2）﹣f（1）＜1第19页共19页,12．（5分）设m，θ∈R，则的最小值为（ ）A．3B．4C．9D．16 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量，，且，则= ．14．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=3x+y的最大值为 ．15．（5分）已知奇函数f（x）的图象关于直线x=3对称，当x∈[0，3]时，f（x）=﹣x，则f（﹣16）= ．16．（5分）半径为R的球O放置在水平平面α上，点P位于球O的正上方，且到球O表面的最小距离为R，则从点P发出的光线在平面α上形成的球O的中心投影的面积等于 ． 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，S5=35，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn．18．（12分）某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”，从辖区住户的离退休老人中随机抽取了100位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外“活动时间”（单位：小时），活动时间按照[0，0.5）、[0.5，1）、…、[4，4.5]第19页共19页,从少到多分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．（1）求图中a的值；（2）估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数；（3）在[1，1.5）、[1.5，2）这两组中采用分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率．19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1是正方形，A1B1⊥A1C1．（1）证明：AB1⊥BC1；（2）当三棱锥A﹣A1B1C1的体积为2，AA1=2时，求点C到平面AB1C1的距离．20．（12分）如图，A，B是椭圆长轴的两个端点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是kBQ，kAQ，kAP．（1）求证：；（2）若kAP=4kBQ，求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标．第19页共19页,21．（12分）设函数f（x）=ex﹣asinx．（1）当a=1时，证明：∀x∈（0，+∞），f（x）＞1；（2）若∀x∈[0，+∞），f（x）≥0都成立，求实数a的取值范围． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求直线l和圆C的直角坐标方程；（2）设点P（2，1），直线l与圆C交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|．（1）解不等式f（x）＞x+5；（2）若对于任意x，y∈R，有，，求证：f（x）＜1． 第19页共19页,重庆市九校联盟高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）已知集合A={﹣1，0，1，2}，，则A∩B=（ ）A．{0，1}B．{1，2}C．{﹣1，0}D．{﹣1，2}【解答】解：由或x＜0，即B={x|x＞1或x＜0}，∵A={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={﹣1，2}，故选D． 2．（5分）已知i为虚数单位，且（1+i）z=﹣1，则复数z对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由（1+i）z=﹣1，得z=﹣，∴复数z对应的点的坐标为（），位于第二象限，故选：B． 3．（5分）的值为（ ）A．﹣1B．C．D．【解答】解：∵，故选：B． 第19页共19页,4．（5分）已知随机事件A，B发生的概率满足条件，某人猜测事件发生，则此人猜测正确的概率为（ ）A．1B．C．D．0【解答】解：∵事件与事件A∪B是对立事件，随机事件A，B发生的概率满足条件，∴某人猜测事件发生，则此人猜测正确的概率为：．故选：C． 5．（5分）双曲线的一个焦点为F，过点F作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为A，且交y轴于B，若A为BF的中点，则双曲线的离心率为（ ）A．B．C．2D．【解答】解：根据题意，双曲线的焦点在x轴上，过点F作双曲线C的渐近线的垂线，垂足为A，且交y轴于B，如图若A为BF的中点，则OA垂直平分BF，则双曲线C的渐近线与x轴的夹角为，即双曲线的渐近线方程为y=±x，则有a=b，则c==a，则双曲线的离心率e==；故选A．第19页共19页, 6．（5分）某几何体的三视图如图所示，其正视图和侧视图是全等的正三角形，其俯视图中，半圆的直径是等腰直角三角形的斜边，若半圆的直径为2，则该几何体的体积等于（ ）A．B．C．D．【解答】解：解：由已知中的三视图可得该几何体是一个半圆锥和三棱锥的组合体，其体积为，故选D． 7．（5分）将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），再向右平移个单位，则所得函数图象的解析式为（ ）A．B．C．D．第19页共19页,【解答】解：把函数经伸长到原来的2倍（纵坐标不变），可得，再向右平移个单位，得=的图象，故选：B． 8．（5分）执行如图所示的程序框图，若输出的s=6，则N的所有可能取之和等于（ ）A．19B．21C．23D．25【解答】解：模拟程序的运行，可得程序框图的功能是计算并输出S=cos+2cos+3cos+…得值，由题意，S=cos+2cos+3cos+…=6，可得：0﹣2+4﹣6+8﹣10…=6，可得：S=cos+2cos+3cos+…+12cos，或S=cos+2cos+3cos+…+12cos+13cos，可得：N的可取值有且只有12，13，其和为25，故选：D． 9．（5分）已知抛物线C：y=2px2第19页共19页,经过点M（1，2），则该抛物线的焦点到准线的距离等于（ ）A．B．C．D．1【解答】解：根据题意，抛物线C：y=2px2经过点M（1，2），则有2=2p×12，解可得p=1，则抛物线的方程为y=2x2，其标准方程为x2=y，其焦点坐标为（0，），准线方程为y=﹣，该抛物线的焦点到准线的距离等于；故选：B． 10．（5分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，，当b+c=4时，△ABC面积的最大值为（ ）A．B．C．D．【解答】解：由：，利用正弦定理可得：sinAsinB=sinBcosA，又sinB≠0，可得：tanA=，因为：A∈（0，π），所以：A=．故，（当且仅当b=c=2时取等号），故选：C． 11．（5分）设定义在（0，+∞）上的函数f（x）的导函数f′（x）满足xf′（x）＞1，则（ ）A．f（2）﹣f（1）＞ln2B．f（2）﹣f（1）＜ln2C．f（2）﹣f（1）＞1D．f（2）﹣f（1）＜1【解答】解：根据题意，函数f（x）的定义域为（0，+∞），即x＞0，则，故，即f（2）﹣f（1）＞ln2，第19页共19页,故选A． 12．（5分）设m，θ∈R，则的最小值为（ ）A．3B．4C．9D．16【解答】解：令点P（2﹣m，2+m），Q（cosθ，sinθ）．点P在直线上，点Q的轨迹为单位圆：x2+y2=1．因此的最小值为：单位圆上的点到直线的距离的平方，故其最小值==（4﹣1）2=9．故选：C． 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）13．（5分）已知向量，，且，则= 10 ．【解答】解：向量，，且，∴1×m﹣（﹣2）×2=0，解得m=﹣4，∴=1×2+（﹣2）×（﹣4）=10．故答案为：10． 第19页共19页,14．（5分）已知实数x，y满足，则目标函数z=3x+y的最大值为 ．【解答】解：实数x，y满足作出可行域，目标函数z=3x+y，由解得A，的最优解对应的点为，故．故答案为：． 15．（5分）已知奇函数f（x）的图象关于直线x=3对称，当x∈[0，3]时，f（x）=﹣x，则f（﹣16）= 2 ．【解答】解：根据题意，函数f（x）的图象关于直线x=3对称，则有f（x）=f（6﹣x），又由函数为奇函数，则f（﹣x）=﹣f（x），则有f（x）=﹣f（6﹣x）=f（x﹣12），则f（x）的最小正周期是12，第19页共19页,故f（﹣16）=f（﹣4）=﹣f（4）=﹣f（2），即f（﹣16）=﹣（﹣2）=2；故答案为：2． 16．（5分）半径为R的球O放置在水平平面α上，点P位于球O的正上方，且到球O表面的最小距离为R，则从点P发出的光线在平面α上形成的球O的中心投影的面积等于 3πR2 ．【解答】解：∵半径为R的球O放置在水平平面α上，点P位于球O的正上方，且到球O表面的最小距离为R，∴轴截面如下图所示，，∴从点P发出的光线在平面α上形成的球O的中心投影的面积为：S=3πR2．故答案为：3πR2． 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17．（12分）已知Sn是公差不为0的等差数列{an}的前n项和，S5=35，a1，a4，a13成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）求数列的前n项和Tn．【解答】解：（1）S5=35⇒5a3=35⇒a3=7，设公差为d，a1，a4，a13成等比数列第19页共19页,（舍去d=0）．∴an=2n+1．（2），∴．∴，=． 18．（12分）某社区为了解辖区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”，从辖区住户的离退休老人中随机抽取了100位老人进行调查，获得了每人每天的平均户外“活动时间”（单位：小时），活动时间按照[0，0.5）、[0.5，1）、…、[4，4.5]从少到多分成9组，制成样本的频率分布直方图如图所示．（1）求图中a的值；（2）估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数；（3）在[1，1.5）、[1.5，2）这两组中采用分层抽样抽取7人，再从这7人中随机抽取2人，求抽取的两人恰好都在同一个组的概率．【解答】（本小题满分12分）解：（1）由频率分布直方图，可知，平均户外“活动时间”在[0，0.5）的频率为0.08×0.5=0.04．同理，在[0.5，1），[1.5，2），[2，2.5），[3，3.5），[3.5，4），[4，4.5）等组的频率分别为0.08，0.20，0.25，0.07，0.04，0.02，由1﹣（0.04+0.08+0.20+0.25+0.07+0.04+0.02）=0.5×a+0.5×a．第19页共19页,解得a=0.30．（2）设中位数为m小时．因为前5组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20+0.25=0.72＞0.5，而前4组的频率之和为0.04+0.08+0.15+0.20=0.47＜0.5，所以2≤m＜2.5．由0.50×（m﹣2）=0.5﹣0.47，解得m=2.06．故可估计该社区住户中离退休老人每天的平均户外“活动时间”的中位数为2.06小时．（3）由题意得平均户外活动时间在[1，1.5），[1.5，2）中的人数分别有15人、20人，按分层抽样的方法分别抽取3人、4人，记作A，B，C及a，b，c，d，从7人中随机抽取2人，共有21种，分别为：（A，B），（A，C），（A，a），（A，b），（A，c），（A，d），（B，C），（B，a），（B，b），（B，c），（B，d），（C，a），（C，b），（C，c），（C，d），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d），同时在同一组的有：（A，B），（A，C），（B，C），（a，b），（a，c），（a，d），（b，c），（b，d），（c，d）．共9种，故抽取的两人恰好都在同一个组的概率． 19．（12分）如图，直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，侧面ABB1A1是正方形，A1B1⊥A1C1．（1）证明：AB1⊥BC1；（2）当三棱锥A﹣A1B1C1的体积为2，AA1=2时，求点C到平面AB1C1的距离．第19页共19页,【解答】（1）证明：如图，由ABB1A1是正方形得AB1⊥BA1，在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，AA1⊥A1C1，又AA1∩A1B1=A1，∴A1C1⊥平面ABB1A1，且AB1⊂平面ABB1A1，故AB1⊥A1C1，且BA1∩A1C1=A1，故AB1⊥平面BA1C1，且BC1⊂平面BA1C1，∴AB1⊥BC1．（2）解：∵三棱锥A﹣A1B1C1的体积为2，得．如图，设AB1∩BA1=O，连接OC1，则，设点A1到平面AB1C1的距离为d，则，由对称性知：点C到平面AB1C1的距离为． 20．（12分）如图，A，B是椭圆长轴的两个端点，P，Q是椭圆C上都不与A，B重合的两点，记直线BQ，AQ，AP的斜率分别是kBQ，kAQ，kAP．（1）求证：；（2）若kAP=4kBQ，求证：直线PQ恒过定点，并求出定点坐标．【解答】证明：（1）设Q（x1，y1），第19页共19页,由椭圆，得B（﹣2，0），A（2，0），∴；（2）由（1）知：．设P（x2，y2），直线PQ：x=ty+m，代入x2+4y2=4，得（t2+4）y2+2mty+m2﹣4=0，∴，，由kAP•kAQ=﹣1得：（x1﹣2）（x2﹣2）+y1y2=0，∴，∴（t2+1）（m2﹣4）+（m﹣2）t（﹣2mt）+（m﹣2）2（t2+4）=0，∴5m2﹣16m+12=0，解得m=2或m=．∵m≠2，∴，∴直线PQ：，恒过定点． 21．（12分）设函数f（x）=ex﹣asinx．（1）当a=1时，证明：∀x∈（0，+∞），f（x）＞1；（2）若∀x∈[0，+∞），f（x）≥0都成立，求实数a的取值范围．【解答】（1）证明：由a=1知f（x）=ex﹣sinx，当x∈[0，+∞）时，f'（x）=ex﹣cosx≥0（当且仅当x=0时取等号），故f（x）在[0，+∞）上是增函数，又f（0）=1，故∀x∈（0，+∞），f（x）＞f（0）=1，即：当a=1时，∀x∈（0，+∞），f（x）＞1．（2）解：当a=0时，f（x）=ex，符合条件；第19页共19页,当a＞0时，设与y2=asinx在点（x0，y0）处有公切线，则，故；当a＜0时，设与y2=asinx在点（x0，y0）处有公切线，同法可得；综上所述，实数a的取值范围是． 请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极点与直角坐标系的原点重合，极轴与x轴的正半轴重合，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，直线l的参数方程为（t为参数）．（1）求直线l和圆C的直角坐标方程；（2）设点P（2，1），直线l与圆C交于A，B两点，求|PA|•|PB|的值．【解答】（本小题满分10分）【选修4﹣4：坐标系与参数方程】解：（1）∵直线l的参数方程为（t为参数）．∴直线l的直角坐标方程为，∵圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ，即ρ2=4ρcosθ，∴圆C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x=0．（2）将代入x2+y2﹣4x=0，第19页共19页,整理得：，∴|PA|•|PB|=|t1|•|t2|=|t1•t2|=3． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|2x+1|．（1）解不等式f（x）＞x+5；（2）若对于任意x，y∈R，有，，求证：f（x）＜1．【解答】（Ⅰ）解：f（x）＞x+5⇒|2x+1|＞x+5⇒2x+1＞x+5或2x+1＜﹣x﹣5，∴解集为{x|x＞4或x＜﹣2}．（Ⅱ）证明：． 第19页共19页
