湖北省荆州市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项正确，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．1．（3分）已知集合A={x|≥0，x∈R}，B={y|y=3x2+1，x∈R}．则A∩B=（ ）A．∅B．（1，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）2．（3分）下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是（ ）A．y=exB．y=tanxC．y=x3﹣xD．y=ln3．（3分）已知角α的终边经过点P（﹣5，﹣12），则sin（+α）的值等于（ ）A．﹣B．﹣C．D．4．（3分）若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则（ ）A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．b＞c＞a5．（3分）在等差数列{an}中，若a3+a4+a5=3，a8=8，则a12的值是（ ）A．15B．30C．31D．646．（3分）函数的零点所在区间是（ ）A．（0，1）B．（1，2）C．（3，4）D．（4，+∞）7．（3分）将函数y=sin（2x+φ）的图象向右平移个周期后，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（ ）A．B．πC．D．2π8．（3分）若，，则sinα的值为（ ）A．B．C．D．9．（3分）已知数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则的值为（ ）第17页共17页,A．B．4C．2D．10．（3分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，sinB=2sinC，则△ABC的面积是（ ）A．B．C．D．11．（3分）函数f（x）=（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A．B．C．D．12．（3分）若函数f（x）=mlnx+x2﹣mx在区间（0，+∞）内单调递增．则实数m的取值范围为（ ）A．[0，8]B．（0，8]C．（﹣∞，0]∪[8，+∞）D．（﹣∞，0）∪（8，+∞） 二、填空题：13．（3分）曲线C：f（x）=sinx+ex+2在x=0处的切线方程为 ．14．（3分）函数f（x）=x3﹣x2+2在（0，+∞）上的最小值为 ．15．（3分）已知实数x、y满足，则z=2x﹣2y﹣1的最小值是 ．16．（3分）已知等比数列{an}的公比不为﹣1，设Sn为等比数列{an}第17页共17页,的前n项和，S12=7S4，则= ． 三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数．（1）若f（x）=0，，求x的值；（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，若曲线y=h（x）与y=g（x）的图象关于直线对称，求函数h（x）在上的值域．18．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）若，△ABC的面积为，求c；（2）若，求2c﹣a的取值范围．19．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn+n=2an（n∈N*）．（1）证明：数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）若bn=nan+n，数列{bn}的前n项和为Tn，求满足不等式的n的最小值．20．已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣lnx（a∈R）．（1）若函数f（x）是单调递减函数，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）在区间（0，3）上既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．21．已知函数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在定义域内恒有f（x）≤0，求实数a的取值范围． 第17页共17页,请考生在第22、23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡将所选题号后的方框途黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．（1）求曲线C的普通方程；（2）在以O为极点，x正半轴为极轴的极坐标系中，直线l方程为，已知直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|，不等式f（x）≤3的解集为[﹣6，0]．（1）求实数a的值；（2）若f（x）+f（x+5）≥2m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围． 第17页共17页,湖北省荆州市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项正确，每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．1．（3分）已知集合A={x|≥0，x∈R}，B={y|y=3x2+1，x∈R}．则A∩B=（ ）A．∅B．（1，+∞）C．[1，+∞）D．（﹣∞，0）∪（1，+∞）【解答】解：∵集合A={x|≥0，x∈R}={x|x≤0或x＞1}，B={y|y=3x2+1，x∈R}={y|y≥1}．∴A∩B={x|y＞1}=（1，+∞）．故选：B． 2．（3分）下列函数是奇函数且在定义域内是增函数的是（ ）A．y=exB．y=tanxC．y=x3﹣xD．y=ln【解答】解：函数y=ex，不是奇函数，不满足题意；函数y=tanx是奇函数，但在定义域内图象是不连续的，不是增函数，不满足题意；函数y=x3﹣x是奇函数，当x∈（﹣，）时，y′=3x2﹣1＜0为减函数，不满足题意；函数y=ln是奇函数，在定义域（﹣2，2）上内函数为增函数，外函数y=lnt也为增函数，故函数y=ln在定义域内为增函数，满足题意；故选：D 3．（3分）已知角α的终边经过点P（﹣5，﹣12），则sin（+α）的值等于（ ）第17页共17页,A．﹣B．﹣C．D．【解答】解：∵角α的终边经过点P（﹣5，﹣12），则sin（+α）=﹣cosα=﹣=，故选：C． 4．（3分）若a=20.5，b=logπ3，c=log2sin，则（ ）A．a＞b＞cB．b＞a＞cC．c＞a＞bD．b＞c＞a【解答】解：，由指对函数的图象可知：a＞1，0＜b＜1，c＜0，故选A 5．（3分）在等差数列{an}中，若a3+a4+a5=3，a8=8，则a12的值是（ ）A．15B．30C．31D．64【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a3+a4+a5=3，a8=8，∴3a4=3，即a1+3d=1，a1+7d=8，联立解得a1=﹣，d=则a12=﹣+×11=15．故选：A． 6．（3分）函数的零点所在区间是（ ）A．（0，1）B．（1，2）C．（3，4）D．（4，+∞）【解答】解：∵连续减函数，∴f（3）=2﹣log23＞0，f（4）=﹣log24＜0，∴函数的零点所在的区间是（3，4），故选：C． 第17页共17页,7．（3分）将函数y=sin（2x+φ）的图象向右平移个周期后，所得图象关于y轴对称，则φ的最小正值是（ ）A．B．πC．D．2π【解答】解：函数y=sin（2x+φ）的图象向右平移个周期后，得到：y=sin[2（x﹣）+φ]=sin（2x﹣+φ），得到的函数的图象关于y轴对称，则：（k∈Z），解得：φ=kπ+π（k∈Z），当k=0时，φ=π．故选：B． 8．（3分）若，，则sinα的值为（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵，，可得：sinα＞0，∴cosα+sinα=，可得：cosα=+sinα，又∵sin2α+cos2α=1，可得：sin2α+（+sinα）2=1，整理可得：2sin2α+sinα﹣=0，∴解得：sinα=，或﹣（舍去）．故选：A． 9．（3分）已知数列{an}是公差不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}的连续三项，则的值为（ ）A．B．4C．2D．【解答】解：数列{an}是公差d不为0的等差数列，且a1，a3，a7为等比数列{bn}第17页共17页,的连续三项，∴=a1•a7，可得=a1（a1+6d），化为：a1=2d≠0．∴公比q====2．则==．故选：A． 10．（3分）设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，，sinB=2sinC，则△ABC的面积是（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵，，sinB=2sinC，可得：b=2c．sinA==，∴由a2=b2+c2﹣2bccosA，可得：8=4c2+c2﹣3c2，解得c=2，b=4．∴S△ABC=bcsinA=×2×4×=．故选：A． 11．（3分）函数f（x）=（其中e为自然对数的底数）的图象大致为（ ）A．B．C．第17页共17页,D．【解答】解：f（﹣x）====f（x），∴f（x）是偶函数，故f（x）图形关于y轴对称，排除B，D；又x→0时，ex+1→2，x（ex﹣1）→0，∴→+∞，排除C，故选A． 12．（3分）若函数f（x）=mlnx+x2﹣mx在区间（0，+∞）内单调递增．则实数m的取值范围为（ ）A．[0，8]B．（0，8]C．（﹣∞，0]∪[8，+∞）D．（﹣∞，0）∪（8，+∞）【解答】解：f′（x）=+2x﹣m=，若f（x）在（0，+∞）递增，则2x2﹣mx+m≥0在（0，+∞）恒成立，即m（x﹣1）≤2x2在（0，+∞）递增，①x∈（0，1）时，只需m≥在（0，1）恒成立，令p（x）=，x∈（0，1），则p′（x）==＜0，故p（x）在（0，1）递减，x→0时，p（x）→0，x→1时，p（x）→﹣∞，故p（x）＜0，m≥0；②x=1时，m≥0，第17页共17页,③x∈（1，+∞）时，只需m≤在（1，+∞）恒成立，令q（x）=，x∈（1，+∞），则q′（x）==，令q′（x）＞0，解得：x＞2，令q′（x）＜0，解得：x＜2，故q（x）在（1，2）递减，在（2，+∞）递增，故q（x）的最小值是q（2）=8，故m≤8，综上，m∈[0，8]．故选：A． 二、填空题：13．（3分）曲线C：f（x）=sinx+ex+2在x=0处的切线方程为 y=2x+3 ．【解答】解：∵f（x）=sinx+ex+2，∴f（x）′=cosx+ex，∴曲线f（x）=sinx+ex+2在点P（0，3）处的切线的斜率为：k=cos0+e0=2，∴曲线f（x）=sinx+ex+2在点P（0，3）处的切线的方程为：y=2x+3，故答案为y=2x+3． 14．（3分）函数f（x）=x3﹣x2+2在（0，+∞）上的最小值为 ．【解答】解：函数f（x）=x3﹣x2+2在（0，+∞），可得f′（x）=3x2﹣2x，令3x2﹣2x=0，可得x=0或x=，当x∈（0，）时，f′（x）＜0，函数是减函数；x∈（，+∞）时，f′（x）＞0，函数是增函数，所以x=是函数的极小值也最小值，所以f（x）min==．故答案为：． 第17页共17页,15．（3分）已知实数x、y满足，则z=2x﹣2y﹣1的最小值是 ．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（，），化目标函数z=2x﹣2y﹣1为，由图可知，当直线过点时z取得最小值，把点的坐标代入目标函数得，故答案为：． 16．（3分）已知等比数列{an}的公比不为﹣1，设Sn为等比数列{an}的前n项和，S12=7S4，则= 3 ．【解答】解：设等比数列{an}的公比为q，q≠±1，∵S12=7S4，∴=7×，化为：q8+q4﹣6=0，q4=2．则=1+q4=3．故答案为：3． 第17页共17页,三、解答题：解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤．17．已知函数．（1）若f（x）=0，，求x的值；（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）的图象，若曲线y=h（x）与y=g（x）的图象关于直线对称，求函数h（x）在上的值域．【解答】解：==．（1）由f（x）=0，得，∴，∴，或，k∈Z．又∵，∴x=或0或；（2）将函数f（x）的图象向左平移个单位，可得函数图象的解析式为y==2cos2x+1，再将图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍（纵坐标不变），得到函数g（x）=2cosx+1，又曲线y=h（x）与y=g（x）的图象关于直线对称，∴=2sinx+1，∵x∈，∴sinx∈．故函数h（x）的值域为（0，3]． 18．设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，．（1）若，△ABC的面积为，求c；第17页共17页,（2）若，求2c﹣a的取值范围．【解答】（本题满分为12分）解：（1）由三角形面积公式，，因为，，所以a=2．（4分）由余弦定理，．（6分）（2）由正弦定理，所以a=2sinA，c=2sinC．（8分）因为．于是．（10分）因为C∈∈，所以∈．故2c﹣a的取值范围为．（12分） 19．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足Sn+n=2an（n∈N*）．（1）证明：数列{an+1}为等比数列，并求数列{an}的通项公式；（2）若bn=nan+n，数列{bn}的前n项和为Tn，求满足不等式的n的最小值．【解答】（1）证明：当n=1时，a1+1=2a1，∴a1=1．∵Sn+n=2an，n∈N*，∴当n≥2时，Sn﹣1+n﹣1=2an﹣1，两式相减得：an+1=2an﹣2an﹣1，即an=2an﹣1+1，∴an+1=2（an﹣1+1），∴数列{an+1}为以2为首项，2为公比的等比数列，∴，第17页共17页,则，n∈N*；（2）解：∵，∴，∴，两式相减得：，∴，由，得，设，∵＞0，∴数列{cn}为递增数列，∵，，∴满足不等式的n的最小值为11． 20．已知函数f（x）=﹣x2+ax﹣lnx（a∈R）．（1）若函数f（x）是单调递减函数，求实数a的取值范围；（2）若函数f（x）在区间（0，3）上既有极大值又有极小值，求实数a的取值范围．【解答】解：（1），∵函数f（x）是单调递减函数，∴f'（x）≤0对（0，+∞）恒成立，（3分）∴﹣2x2+ax﹣1≤0对（0，+∞）恒成立，即，∵（当且仅当2x=，即x=时取等号），第17页共17页,∴（7分）（2）∵函数f（x）在（0，3）上既有极大值又有极小值．∴在（0，3）上有两个相异实根，即2x2﹣ax+1=0在（0，3）上有两个相异实根，（9分），即．（12分） 21．已知函数．（1）讨论函数f（x）的单调性；（2）若函数f（x）在定义域内恒有f（x）≤0，求实数a的取值范围．【解答】解：（1），（1分）当a≤0时，f'（x）＜0，则f（x）在（0，+∞）上递减；（3分）当a＞0时，令f'（x）=0，得（负根舍去）．（4分）当f'（x）＞0得，；令f'（x）＜0，得，∴上递增，在（上递减．（6分）（2）当a=0时，f（x）=﹣x2＜0，符合题意．（7分）当a＞0时，，∵a＞0，∴，∴，∴0＜a≤2．（9分）当a＜0时，在（0，+∞）上递减，且的图象在（0，+∞）上只有一个交点，设此交点为（x0，y0），则当x∈（0，x0）时，f（x）＞0，故当a＜0时，不满足f（x）≤0．（11分）第17页共17页,综上，a的取值范围[0，2]（12分） 请考生在第22、23题中任选一题作答．注意：只能做所选定的题目．如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡将所选题号后的方框途黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在直角坐标系xOy中，曲线C的参数方程为（α为参数）．（1）求曲线C的普通方程；（2）在以O为极点，x正半轴为极轴的极坐标系中，直线l方程为，已知直线l与曲线C相交于A、B两点，求|AB|．【解答】解：（1）曲线C的参数方程为（α为参数）．由已知，整理得：普通方程为，化简得x2+y2=2．（2）由ρsin（﹣θ）+=0，知，化为普通方程为x﹣y+=0圆心到直线l的距离h=，由垂径定理． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣a|，不等式f（x）≤3的解集为[﹣6，0]．（1）求实数a的值；（2）若f（x）+f（x+5）≥2m对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围．【解答】解：（1）由f（x）≤3，得|x﹣a|≤3，∴a﹣3≤x≤a+3，第17页共17页,又f（x）≤3的解集为[﹣6，0]，解得：a=﹣3；（5分）（2）∵f（x）+f（x+5）=|x+3|+|x+8|≥5．又f（x）+f（x+5）≥2m对一切实数x恒成立，∴2m≤5，m≤（10分） 第17页共17页
