四川省内江市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＞0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则A∪B=（ ）A．（0，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（0，1）D．（﹣1，1）2．（5分）设i为虚数单位，a∈R，若（1+i）（1+ai）是纯虚数，则a=（ ）A．2B．﹣2C．1D．﹣13．（5分）sin20°cos40°+cos20°sin140°=（ ）A．B．C．D．4．（5分）下列说法中正确的是（ ）A．先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150…的学生，这样的抽样方法是分层抽样法B．线性回归直线不一定过样本中心（，）C．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1D．若一组数据1、a、3的平均数是2，则该组数据的方差是5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a为2，则输出的a值是（ ）第22页共22页,A．2B．1C．D．﹣16．（5分）已知数列{an}满足an+1=2an（n∈N*），a1+a3=2，则a5+a7=（ ）A．8B．16C．32D．647．（5分）已知实数x，y满足，则z=y﹣2x的最小值是（ ）A．5B．﹣2C．﹣3D．﹣58．（5分）从集合{2，3，4}中随机抽取两数x，y，则满足的概率是（ ）A．B．C．D．9．（5分）函数f（x）=x2﹣2|x|的图象大致是（ ）A．B．C．第22页共22页,D．10．（5分）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx，则（ ）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的最大值为2C．f（x）在（，）上单调递减D．f（x）的图象关于直线对称11．（5分）设a＞0，当x＞0时，不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）A．（0，1）∪（1，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（0，1）12．（5分）设n∈N*，函数f1（x）=xex，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，fn+1（x）=fn′（x），曲线y=fn（x）的最低点为Pn，则（ ）A．存在n∈N*，使△PnPn+1Pn+2为等腰三角形B．存在n∈N*，使△PnPn+1Pn+2为锐角三角形C．存在n∈N*，使△PnPn+1Pn+2为直角三角形D．对任意n∈N*，△PnPn+1Pn+2为钝角三角形 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，则= ．14．（5分）甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了．如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是 ．15．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）＞2的x的取值范围是 ．16．（5分）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，a1=1，a8=3a3，则++第22页共22页,+…+= ． 三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设Sn是数列{an}的前n项和．已知a1=1，Sn=2﹣2an+1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=（﹣1）nan，求数列{bn}的前n项和．18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+csinB=0．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若，BC的中垂线交AB于点D，求BD的长．19．（12分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[100，120）内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图．表1：甲套设备的样本的频数分布表质量指标值[95，100）[100，105）[105，110）[110，115）[115，120）[120，125]频数15181961图1：乙套设备的样本的频率分布直方图第22页共22页,（Ⅰ）将频率视为概率．若乙套设备生产了5000件产品，则其中的不合格品约有多少件；（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计（Ⅲ）根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较．附：P（K2≥k0）0.150.100.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635．20．（12分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b∈R），曲线y=f（x）在点（，f（））处的切线方程为：y=x﹣．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数g（x）=在上的最小值．21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a＞1，是否存在正实数x，使得f（x）＞0？若存在，请求出一个符合条件的x，若不存在，请说明理由． [选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为第22页共22页,（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l上一点M的极坐标为（2，θ），其中．射线OM与曲线C交于不同于极点的点N，求|MN|的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|3x﹣1|+|x﹣2|的最小值为m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设实数a，b满足2a2+b2=m，证明：2a+b≤． 第22页共22页,四川省内江市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x＞0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则A∪B=（ ）A．（0，+∞）B．（﹣1，+∞）C．（0，1）D．（﹣1，1）【解答】解：集合A={x|x＞0}，B={x|﹣1＜x＜1}，则A∪B={x|x＞﹣1}=（﹣1，+∞），故选B． 2．（5分）设i为虚数单位，a∈R，若（1+i）（1+ai）是纯虚数，则a=（ ）A．2B．﹣2C．1D．﹣1【解答】解：∵（1+i）（1+ai）=（1﹣a）+（1+a）是纯虚数，∴，解得：a=1．故选：C． 3．（5分）sin20°cos40°+cos20°sin140°=（ ）A．B．C．D．【解答】解：sin20°cos40°+cos20°sin140°=sin20°cos40°+cos20°sin40°=sin（20°+40°）=sin60°=．故选：B．第22页共22页, 4．（5分）下列说法中正确的是（ ）A．先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150…的学生，这样的抽样方法是分层抽样法B．线性回归直线不一定过样本中心（，）C．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1D．若一组数据1、a、3的平均数是2，则该组数据的方差是【解答】解：对于A，根据抽样方法特征是数据多，抽样间隔相等，是系统抽样，A错误；对于B，线性回归直线一定过样本中心点（，），B错误；对于C，两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数|r|的值越接近于1，B错误；对于D，一组数据1、a、3的平均数是2，∴a=2；∴该组数据的方差是s2=×[（1﹣2）2+（2﹣2）2+（3﹣2）2]=，D正确．故选：D． 5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a为2，则输出的a值是（ ）第22页共22页,A．2B．1C．D．﹣1【解答】解：当a=2，k=0时，执行循环a=﹣1，满足继续循环的条件，k=1；执行循环a=，满足继续循环的条件，k=2；执行循环a=2，满足继续循环的条件，k=3；执行循环a=﹣1，满足继续循环的条件，k=4；执行循环a=，满足继续循环的条件，k=5；执行循环a=2，不满足继续循环的条件，故输出的结果为2，故选：A 6．（5分）已知数列{an}满足an+1=2an（n∈N*），a1+a3=2，则a5+a7=（ ）A．8B．16C．32D．64【解答】解：∵数列{an}满足an+1=2an（n∈N*），∴此数列是等比数列，公比为2．则a5+a7=24（a1+a3）=24×2=32．故选：C． 第22页共22页,7．（5分）已知实数x，y满足，则z=y﹣2x的最小值是（ ）A．5B．﹣2C．﹣3D．﹣5【解答】解：由z=y﹣2x，则y=2x+z作出实数x，y满足对应的平面区域如图：平移直线y=2x+z，由图象知当直线y=2x+z，经过点A时，直线y=2x+z的截距最小，此时z最小，由，得A（3，1），此时z=1﹣2×3=﹣5，即z=y﹣2x的最小值﹣5，故选：D． 8．（5分）从集合{2，3，4}中随机抽取两数x，y，则满足的概率是（ ）A．B．C．D．【解答】解：集合{2，3，4}中随机抽取两数x，y，第22页共22页,则有log23，log24，log32，log34，log42，log43＞共6个，满足的只有1个，是log42=；∴所求的概率是P=．故选：D． 9．（5分）函数f（x）=x2﹣2|x|的图象大致是（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2|x|，∴f（3）=9﹣8=1＞0，故排除C，D，∵f（0）=﹣1，f（）=﹣2=0.25﹣＜﹣1，故排除A，故选：B当x＞0时，f（x）=x2﹣2x，∴f′（x）=2x﹣2xln2，故选：B 10．（5分）已知函数f（x）=sin2x+sinxcosx，则（ ）A．f（x）的最小正周期为2πB．f（x）的最大值为2C．f（x）在（，）上单调递减D．f（x）的图象关于直线对称【解答】解：f（x）=sin2x+sinxcosx=+sin2x=sin（2x﹣）+，第22页共22页,由T==π，故A错误，f（x）的最大值为1+=，故B错误；令2kπ+＜2x﹣＜2kπ+，解得：kπ+＜x＜kπ+，k∈Z，当k=0时，则f（x）在（，）上单调递减，故C正确，令2x﹣=kπ+，解得：x=+，故D错误，故选C． 11．（5分）设a＞0，当x＞0时，不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）A．（0，1）∪（1，+∞）B．（0，+∞）C．（1，+∞）D．（0，1）【解答】解：由题意，令f（x）=，则f′（x）=，令f′（x）=0，可得（x﹣a）（x+1）=0，当x∈（0，a）时，f′（x）＜0，即f（x）在（0，a）上单调递减，当x∈（a，+∞）时，f′（x）＞0，即f（x）在（0，a）上单调递增，∴f（x）min=f（a）=，∴令g（a）=a2﹣a﹣alna＞0，（a＞0）∴g（a）=a﹣lna﹣1＞0．则g′（a）=1﹣，令g′（a）=0可得：a=1．当a∈（0，1）时，g（a）递减，（1，+∞）时，g（a）递增，∴当a=1时，g（a）min=0．由函数y=a﹣1和函数y=lna可得，y=a﹣1的图象在y=lna的上方．第22页共22页,∴a＞0且a≠1．故选：A 12．（5分）设n∈N*，函数f1（x）=xex，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，fn+1（x）=fn′（x），曲线y=fn（x）的最低点为Pn，则（ ）A．存在n∈N*，使△PnPn+1Pn+2为等腰三角形B．存在n∈N*，使△PnPn+1Pn+2为锐角三角形C．存在n∈N*，使△PnPn+1Pn+2为直角三角形D．对任意n∈N*，△PnPn+1Pn+2为钝角三角形【解答】解：根据题意，函数f1（x）=xex，其导数f1′（x）=（x）′ex+x（ex）′=（x+1）ex，分析可得在（﹣∞，﹣1）上，f1′（x）＜0，f1（x）为减函数，在（﹣1，+∞）上，f1′（x）＞0，f1（x）为增函数，曲线y=f1（x）的最低点P1，（﹣1，﹣），对于函数f2（x）=f1′（x）=（x+1）ex，其导数f2′（x）=（x+1）′ex+（x+1）（ex）′=（x+2）ex，分析可得在（﹣∞，﹣2）上，f1′（x）＜0，f1（x）为减函数，在（﹣2，+∞）上，f1′（x）＞0，f1（x）为增函数，曲线y=f1（x）的最低点P1，（﹣2，﹣），…分析可得曲线y=fn（x）的最低点Pn，其坐标为（﹣n，﹣）；则Pn+1（﹣n﹣1，﹣），Pn+2（﹣n﹣2，﹣）；有==，同理=，分析可得：＞，第22页共22页,即△PnPn+1Pn+2为钝角三角形；则对任意n∈N*，△PnPn+1Pn+2为钝角三角形；故选：D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）已知正方形ABCD的边长为2，则= 4 ．【解答】解：正方形ABCD的边长为2，=•=+2•=4．故答案为：4． 14．（5分）甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了．如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是 乙 ．【解答】解：假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是甲，则甲和丙说的都是假话，乙说的是真话，不满足题意；假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙，则甲和丙说的都是真话，乙说的是假话，满足题意；假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是丙，则甲、乙、丙说的都是假话，不满足题意．故申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙．故答案为：乙． 第22页共22页,15．（5分）设函数f（x）=，则满足f（x）＞2的x的取值范围是 （﹣1，0）∪（2，+∞） ．【解答】解：函数f（x）=，当x≥0时，f（x）＞2即为x2﹣x﹣2＞0，解得x＞2；当x＜0时，f（x）＞2即为2﹣x2﹣x﹣2＞0，解得﹣1＜x＜0．则满足f（x）＞2的x的取值范围为（﹣1，0）∪（2，+∞）．故答案为：（﹣1，0）∪（2，+∞）． 16．（5分）已知Sn是等差数列{an}的前n项和，a1=1，a8=3a3，则+++…+= ．【解答】解：由a1=1，a8=3a3，得a1+7d=3（a1+2d），即1+7d=3+6d，得d=2，==﹣，则+++…+=﹣+﹣+…+﹣=﹣=1﹣=，故答案为：第22页共22页, 三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设Sn是数列{an}的前n项和．已知a1=1，Sn=2﹣2an+1．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn=（﹣1）nan，求数列{bn}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵Sn=2﹣2an+1，a1=1∴当n=1时，S1=2﹣2a2，得…（2分）当n≥2时，Sn﹣1=2﹣2an∴当n≥2时，an=2an﹣2an+1，即…（5分）又∴{an}是以a1=1为首项，为公比的等比数列…（6分）∴数列{an}的通项公式…（7分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，∴当n≥2时，∴{bn}是以b1=﹣1为首项，为公比的等比数列…（10分）∴数列{bn}的前n项和为…（12分） 18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+csinB=0．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若，BC的中垂线交AB于点D，求BD的长．第22页共22页,【解答】（本题满分为12分）解：（Ⅰ）在△ABC中，∵bcosC+csinB=0，∴由正弦定理知，sinBcosC+sinCsinB=0…（2分）∵0＜B＜π，∴sinB＞0，于是cosC+sinC=0，即tanC=﹣1…（4分）∵0＜C＜π∴．…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理知，，∴c=5，…（8分）∴，…（10分）设BC的中垂线交BC于点E，∵在Rt△BCD中，，∴==．…（12分） 19．（12分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[100，120）内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图．第22页共22页,表1：甲套设备的样本的频数分布表质量指标值[95，100）[100，105）[105，110）[110，115）[115，120）[120，125]频数15181961图1：乙套设备的样本的频率分布直方图（Ⅰ）将频率视为概率．若乙套设备生产了5000件产品，则其中的不合格品约有多少件；（Ⅱ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计（Ⅲ）根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较．附：P（K2≥k0）0.150.100.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635．【解答】解：（Ⅰ）由图1知，乙套设备生产的不合格品率约为…（2分）∴乙套设备生产的5000件产品中不合格品约为（件）…（3分）（Ⅱ）由表1和图1得到列联表：甲套设备乙套设备合计合格品484391第22页共22页,不合格品279合计5050100…（5分）将列联表中的数据代入公式计算得…（8分）∵3.05＞2.706∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关…（9分）（Ⅲ）由表1和图1知，甲套设备生产的合格品的概率约为，乙套设备生产的合格品的概率约为，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105，115）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散．因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备…（12分） 20．（12分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b∈R），曲线y=f（x）在点（，f（））处的切线方程为：y=x﹣．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）求函数g（x）=在上的最小值．【解答】解：（Ⅰ）由切线方程知，当时，y=0∴…（1分）∵f'（x）=acosx﹣bsinx…（3分）∴由切线方程知，…（4分）∴…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）=sinxcosx=sin（x﹣）…（6分）第22页共22页,∴函数，…（8分）设则u'（x）=﹣xsinx＜0，故u（x）在上单调递减∴u（x）＜u（0）=0，∴g（x）在上单调递减…（11分）∴函数g（x）在上的最小值为g（）=…（12分） 21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣ax﹣1（a∈R）．（Ⅰ）讨论f（x）的单调性；（Ⅱ）设a＞1，是否存在正实数x，使得f（x）＞0？若存在，请求出一个符合条件的x，若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）f（x）的定义域为R，f'（x）=ex﹣a…（1分）当a≤0时，f'（x）＞0，故f（x）在R上单调递增…（2分）当a＞0时，令f'（x）=0，得x=lna当x＜lna时，f'（x）＜0，故f（x）单调递减当x＞lna时，f'（x）＞0，故f（x）单调递增…（5分）综上所述，当a≤0时，f（x）在R上单调递增；当a＞0时，f（x）在（﹣∞，lna）上单调递减，在（lna，+∞）上单调递增…（6分）（Ⅱ）存在正数x=2lna，使得f（x）＞0…（8分）即f（2lna）=a2﹣2alna﹣1＞0，其中a＞1．证明如下：设g（x）=x2﹣2xlnx﹣1（x＞1），则g'（x）=2x﹣2lnx﹣2设u（x）=x﹣lnx﹣1（x＞1），则，故u（x）在（1，+∞）上单调递增∴u（x）＞u（1）=0，故g'（x）=2x﹣2lnx﹣2=2u（x）＞0第22页共22页,∴g（x）在（1，+∞）上单调递增，故g（x）＞g（1）=0∴当a＞1时，a2﹣2alna﹣1＞0∴f（2lna）=a2﹣2alna﹣1＞0…（12分） [选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l上一点M的极坐标为（2，θ），其中．射线OM与曲线C交于不同于极点的点N，求|MN|的值．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），直线的普通方程为，极坐标方程为．曲线C的普通方程为，极坐标方程为…（5分）（Ⅱ）∵点M在直线l上，且点M的极坐标为（2，θ）∴，∵∴，∴射线OM的极坐标方程为．联立，第22页共22页,解得ρ=3．∴|MN|=|ρN﹣ρM|=1． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|3x﹣1|+|x﹣2|的最小值为m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设实数a，b满足2a2+b2=m，证明：2a+b≤．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=|3x﹣1|+|x﹣2|=，∴f（x）在[）上单调递增，在（）上单调递减∴f（x）的最小值为f（）=…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2a2+b2=，∵2ab≤a2+b2，∴（2a+b）2=4a2+b2+4ab≤4（a2+b2）+2（a2+b2）=3（2a2+b2）=5，当a=b时取等∴2a+b≤…（10分） 第22页共22页
