广东省茂名市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（ ）A．{﹣1，0，1，2}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1}2．（5分）已知复数z满足zi=2+i，i是虚数单位，则|z|=（ ）A．B．C．2D．3．（5分）在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是（ ）A．B．C．D．4．（5分）已知变量x，y满足约束条件则z=3x+y的最小值为（ ）A．11B．12C．8D．35．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a8=10，则S9=（ ）A．20B．35C．45D．906．（5分）已知抛物线y2=8x的准线与x轴交于点D，与双曲线交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△ADF为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）A．B．C．D．7．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜），f（x1）=1，f（x2）=0，若|x1﹣x2|min=，且f（）=，则f（x）的单调递增区间为（ ）A．B．．C．D．8．（5分）函数的部分图象大致为（ ）第24页共24页,A．B．C．D．9．（5分）《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（ ）盏灯．A．24B．48C．12D．6010．（5分）执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是（ ）A．2018B．﹣1C．D．211．（5分）如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：①AF⊥GC；②BD与GC成异面直线且夹角为60°；③BD∥MN；④BG与平面ABCD所成的角为45°．其中正确的个数是（ ）第24页共24页,A．1B．2C．3D．412．（5分）定义在R上函数y=f（x+2）的图象关于直线x=﹣2对称，且函数f（x+1）是偶函数．若当x∈[0，1]时，，则函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数为（ ）A．2017B．2018C．4034D．4036 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．（5分）已知=（2，1），﹣2=（1，1），则= ．14．（5分）曲线y=ln（x+1）在点（1，ln2）处的切线方程为 ．15．（5分）从原点O向圆C：x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为 ．16．（5分）如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB=，∠ACB=60°，∠BCD=90°，AB⊥CD，CD=，则该球的体积为 ． 三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB﹣b=2a．第24页共24页,（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）设角A的平分线交BC于D，且AD=，若b=，求△ABC的面积．18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，平面PAC⊥平面ABCD，AB=AD=DC=1，∠ABC=∠DCB=60°，E是PC上一点．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面PAC；（Ⅱ）若△PAC是正三角形，且E是PC中点，求三棱锥A﹣EBC的体积．19．（12分）一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如表：温度x/°C212324272932产卵数y/个61120275777经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，e8.0605≈3167，其中xi，yi分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1，2，3，4，5，6．（Ⅰ）若用线性回归模型，求y关于x的回归方程=x+（精确到0.1）；（Ⅱ）若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=0.06e0.2303x，且相关指数R2=0.9522．（i）试与（Ⅰ）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好．（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35°C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）．第24页共24页,附：一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线=x+的斜率和截距的最小二乘估计为，=﹣；相关指数R2=．20．（12分）已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C（﹣1，0）的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若，求△OAB的面积取得最大值时直线l的方程．21．（12分）已知函数（a∈R）．（Ⅰ）讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）若．证明：当x＞0，且x≠1时，． 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣2，0），其倾斜角为α，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；第24页共24页,（Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求的取值范围． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范围． 第24页共24页,广东省茂名市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，有且只有一项是符合题目要求的.1．（5分）若集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，则A∩B=（ ）A．{﹣1，0，1，2}B．{x|﹣1＜x＜3}C．{0，1，2}D．{﹣1，0，1}【解答】解：∵集合A={x|﹣1＜x＜3}，B={﹣1，0，1，2}，∴A∩B={0，1，2}．故选：C． 2．（5分）已知复数z满足zi=2+i，i是虚数单位，则|z|=（ ）A．B．C．2D．【解答】解：由zi=2+i，得，∴|z|=，故选：D． 3．（5分）在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，则数字2是这三个不同数字的平均数的概率是（ ）A．B．C．D．【解答】解：在1，2，3，6这组数据中随机取出三个数，基本事件总数有4个，分别为：（1，2，3），（1，2，6），（1，3，6），（2，3，6）数字2是这三个不同数字的平均数所包含的基本事件只有（1，2，3），共1个．∴数字2是这三个不同数字的平均数的概率是．第24页共24页,故选：A． 4．（5分）已知变量x，y满足约束条件则z=3x+y的最小值为（ ）A．11B．12C．8D．3【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（2，2），化目标函数z=3x+y为y=﹣3x+z，由图可知，当直线y=﹣3x+z过A时，直线在y轴上的截距最小，z有最小值为z=3×2+2=8．故选：C． 5．（5分）设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a2+a8=10，则S9=（ ）A．20B．35C．45D．90【解答】解：由等差数列的性质得，a1+a9=a2+a8=10，S9=．故选：C． 第24页共24页,6．（5分）已知抛物线y2=8x的准线与x轴交于点D，与双曲线交于A，B两点，点F为抛物线的焦点，若△ADF为等腰直角三角形，则双曲线的离心率是（ ）A．B．C．D．【解答】解：抛物线y2=8x的准线方程为x=﹣2，准线与x轴的交点为D（﹣2，0），由△ADF为等腰直角三角形，得|AD|=|DF|=4，故点A的坐标为（﹣2，4），由点A在双曲线上，可得，解得，即，∴，∴双曲线的离心率．故选：D． 7．（5分）已知函数f（x）=sin（ωx+ϕ）（ω＞0，0＜ϕ＜），f（x1）=1，f（x2）=0，若|x1﹣x2|min=，且f（）=，则f（x）的单调递增区间为（ ）A．B．．C．D．【解答】解：设f（x）的周期为T，由f（x1）=1，f（x2）=0，|x1﹣x2|min=，得，由f（）=，得sin（π+ϕ）=，即cosϕ=，第24页共24页,又0＜ϕ＜，∴ϕ=，f（x）=sin（πx）．由，得．∴f（x）的单调递增区间为．故选：B． 8．（5分）函数的部分图象大致为（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵f（﹣x）=﹣f（x），可得f（x）为奇函数，排除B，∵＜1，排除A．当x＞0时，，，∴在区间（1，+∞）上f（x）单调递增，排除D，故选C． 9．（5分）《算法统宗》是明朝程大位所著数学名著，其中有这样一段表述：“远看巍巍塔七层，红光点点倍加增，共灯三百八十一”，其意大致为：有一栋七层宝塔，每层悬挂的红灯数为上一层的两倍，共有381盏灯，则该塔中间一层有（ ）盏灯．第24页共24页,A．24B．48C．12D．60【解答】解：由题意可知从上至下每层灯盏数构成公比为2的等比数列，设首项为a，则，解之得a=3，则该塔中间一层灯盏数有3×23=24．故选：A． 10．（5分）执行如图所示的程序框图，那么输出S的值是（ ）A．2018B．﹣1C．D．2【解答】解：依题意，执行如图所示的程序框图可知：初始S=2，当k=0时，S0=﹣1，k=1时，S1=，同理S2=2，S3=﹣1，S4=，…，可见Sn的值周期为3．∴当k=2017时，S2017=S1=，k=2018，退出循环．输出S=．故选：C． 11．（5分）如图为一正方体的平面展开图，在这个正方体中，有下列四个命题：①AF⊥GC；②BD与GC成异面直线且夹角为60°；③BD∥MN；第24页共24页,④BG与平面ABCD所成的角为45°．其中正确的个数是（ ）A．1B．2C．3D．4【解答】解：将正方体纸盒展开图还原成正方体，在①中，如图知AF与GC异面垂直，故①正确；在②中，BD与GC成异面直线，连接EB，ED．则BM∥GC，在等边△BDM中，BD与BM所成的60°角就是异面直线BD与GC所成的角，故②正确；在③中，BD与MN异面垂直，故③错误；在④中，GD⊥平面ABCD，所以在Rt△BDG中，∠GBD是BG与平面ABCD所成的角，Rt△BDG不是等腰直角三角形．所以BG与平面ABCD所成的角不是为45°，故④错误．故选：B． 第24页共24页,12．（5分）定义在R上函数y=f（x+2）的图象关于直线x=﹣2对称，且函数f（x+1）是偶函数．若当x∈[0，1]时，，则函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数为（ ）A．2017B．2018C．4034D．4036【解答】解：函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数⇔函数的图象与y=e﹣|x|的图象交点个数．由y=f（x+2）的图象关于直线x=﹣2对称，得f（x）是偶函数，即f（﹣x）=f（x）．又∵函数f（x+1）是偶函数，∴f（x+1）=f（﹣x+1），故f（x+2）=f（﹣x）=f（x），因此，f（x）是周期为2的偶函数．∵当x∈[0，1]时，，作出y=f（x）与图象如下图，可知每个周期内有两个交点，所以函数g（x）=f（x）﹣e﹣|x|在区间[﹣2018，2018]上零点的个数为2018×2=4036．故选：D． 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡的相应位置.13．（5分）已知=（2，1），﹣2=（1，1），则= 1 ．【解答】解：根据题意，设=（x，y），则﹣2=（2﹣2x，1﹣2y）=（1，1），第24页共24页,则有2﹣2x=1，1﹣2y=1，解可得x=，y=0，则=（，0），则=2×+1×0=1；故答案为：1 14．（5分）曲线y=ln（x+1）在点（1，ln2）处的切线方程为 x﹣2y﹣1+2ln2=0 ．【解答】解：根据题意，曲线y=ln（x+1），则有y′=，则由所求切线斜率，又由f（1）=ln（1+1）=ln2，则曲线在点（1，ln2）处的切线方程为，即x﹣2y﹣1+2ln2=0．故答案为：x﹣2y﹣1+2ln2=0 15．（5分）从原点O向圆C：x2+y2﹣12y+27=0作两条切线，则该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为 ．【解答】解：把圆的方程化为标准方程为x2+（y﹣6）2=9，得到圆心C（0，6），圆的半径r=3，由圆切线的性质可知，∠CBO=∠CAO=90°，且AC=BC=3，OC=6，则有∠ACB=∠ACO+∠BCO=60°+60°=120°，∴该圆被两切点所分的劣弧与优弧之比为．故答案为：．第24页共24页, 16．（5分）如图，三棱锥的所有顶点都在一个球面上，在△ABC中，AB=，∠ACB=60°，∠BCD=90°，AB⊥CD，CD=，则该球的体积为 ．【解答】解：以△ABC所在平面为球的截面，则由正弦定理得截面圆的半径为，依题意得CD⊥平面ABC，故球心到截面的距离为，则球的半径为．所以球的体积为．故答案为：． 第24页共24页,三、解答题：本大题共5小题，共70分.其中17至21题为必做题，22、23题为选做题.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.17．（12分）已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且2c•cosB﹣b=2a．（Ⅰ）求角C的大小；（Ⅱ）设角A的平分线交BC于D，且AD=，若b=，求△ABC的面积．【解答】解：（Ⅰ）根据题意，若2c•cosB﹣b=2a，则有，整理得a2+b2﹣c2=﹣ab，，又在△ABC中，0＜C＜π，∴，即角C的大小为；（Ⅱ）由（Ⅰ），在△ADC中，AC=b=，AD=，由正弦定理得，∵在△ADC中，0＜∠CDA＜π，C为钝角，∴，故．∵在△ABC中，AD是角A的平分线，∴，∴△ABC是等腰三角形，，故△ABC的面积． 18．（12分）在四棱锥P﹣ABCD中，AD∥BC，平面PAC⊥平面ABCD，AB=AD=DC=1，∠ABC=∠DCB=60°，E是PC上一点．（Ⅰ）证明：平面EAB⊥平面PAC；（Ⅱ）若△PAC是正三角形，且E是PC中点，求三棱锥A﹣EBC的体积．第24页共24页,【解答】证明：（Ⅰ）依题意得四边形ABCD是底角为60°的等腰梯形，…（1分）∴∠BAD=∠ADC=120°..…（2分）∵AD=DC，∴∠DAC=∠DCA=30°．…（3分）∴∠BAC=∠BAD﹣∠DAC=120°﹣30°=90°，即AB⊥AC．…（4分）∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，∴AB⊥平面PAC，…（5分）又平面AB⊂平面EAB，∴平面EAB⊥平面PAC．…（6分）解：（Ⅱ）解法一：由（Ⅰ）及已知得，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AB=1，∴AC=AB∙tan60°=，BC=2AB=2，且AB⊥平面PAC，…（7分）∴AB是三棱锥B﹣EAC的高，正△PAC的边长为…（8分）∵E是PC的中点，∴S△EAC=S△PAC=．…（10分）∴三棱锥A﹣EBC的体积为…（12分）（Ⅱ）解法二：过P作PO⊥AC于点O，∵平面PAC⊥平面ABCD，平面PAC∩平面ABCD=AC，∴PO⊥平面ABC，过E作EF⊥AC于点F，同理得EF⊥平面ABC，∴EF是三棱锥E﹣ABC的高，且PO∥EF，…（7分）又E是PC中点，∴EF是△POC的中位线，故．由（Ⅰ）及已知得，在Rt△ABC中，∠ABC=60°，AB=1，∴BC=2AB=2，AC=AB∙tan60°=，即正△PAC的边长为，…（8分）第24页共24页,∴PO=，故EF=…（9分）在Rt△ABC中，S△ABC=．…（10分）∴三棱锥A﹣EBC的体积为…（12分） 19．（12分）一只药用昆虫的产卵数y与一定范围内的温度x有关，现收集了该种药用昆虫的6组观测数据如表：温度x/°C212324272932产卵数y/个61120275777经计算得：，，，，，线性回归模型的残差平方和，e8.0605≈3167，其中xi，yi分别为观测数据中的温度和产卵数，i=1，2，3，4，5，6．（Ⅰ）若用线性回归模型，求y关于x的回归方程=x+（精确到0.1）；（Ⅱ）若用非线性回归模型求得y关于x的回归方程为=0.06e0.2303x，且相关指数R2=0.9522．（i）试与（Ⅰ）中的回归模型相比，用R2说明哪种模型的拟合效果更好．（ii）用拟合效果好的模型预测温度为35°C时该种药用昆虫的产卵数（结果取整数）．附：一组数据（x1，y1），（x2，y2），…，（xn，yn），其回归直线=x+第24页共24页,的斜率和截距的最小二乘估计为，=﹣；相关指数R2=．【解答】解：（Ⅰ）依题意，n=6，，…．…（2分）≈33﹣6.6×26=﹣138.6，…（3分）∴y关于x的线性回归方程为=6.6x﹣138.6…（4分）（Ⅱ）（i）利用所给数据，，得，线性回归方程=6.6x﹣138.6的相关指数R2=．…（6分）∵0.9398＜0.9522，…（7分）因此，回归方程=0.06e0.2303x比线性回归方程=6.6x﹣138.6拟合效果更好…..…（8分）（ii）由（i）得温度x=35°C时，=0.06e0.2303×35=0.06×e8.0605…..…..…（9分）又∵e8.0605≈3167，…（10分）∴≈0.06×3167≈190（个）…（11分）所以当温度x=35°C时，该种药用昆虫的产卵数估计为190个…（12分） 第24页共24页,20．（12分）已知椭圆C1以直线所过的定点为一个焦点，且短轴长为4．（Ⅰ）求椭圆C1的标准方程；（Ⅱ）已知椭圆C2的中心在原点，焦点在y轴上，且长轴和短轴的长分别是椭圆C1的长轴和短轴的长的λ倍（λ＞1），过点C（﹣1，0）的直线l与椭圆C2交于A，B两个不同的点，若，求△OAB的面积取得最大值时直线l的方程．【解答】解：（Ⅰ）所给直线方程变形为，可知直线所过定点为．∴椭圆焦点在y轴，且c=，依题意可知b=2，∴a2=c2+b2=9．则椭圆C1的方程标准为；（Ⅱ）依题意，设椭圆C2的方程为，A（x1，y1），B（x2，y2），∵λ＞1，∴点C（﹣1，0）在椭圆内部，直线l与椭圆必有两个不同的交点．当直线l垂直于x轴时，（不是零向量），不合条件；故设直线l为y=k（x+1）（A，B，O三点不共线，故k≠0），由，得．由韦达定理得．∵，而点C（﹣1，0），∴（﹣1﹣x1，﹣y1）=2（x2+1，y2），则y1=﹣2y2，即y1+y2=﹣y2，故．∴△OAB的面积为S△OAB=S△AOC+S△BOC====第24页共24页,．上式取等号的条件是，即k=±时，△OAB的面积取得最大值．∴直线的方程为或． 21．（12分）已知函数（a∈R）．（Ⅰ）讨论g（x）的单调性；（Ⅱ）若．证明：当x＞0，且x≠1时，．【解答】（Ⅰ）解：由已知得g（x）的定义域为（0，+∞），…（1分）方程2x2+x﹣a=0的判别式△=1+8a．…（2分）①当时，△≤0，g'（x）≥0，此时，g（x）在（0，+∞）上为增函数；…（3分）②当时，设方程2x2+x﹣a=0的两根为，若，则x1＜x2≤0，此时，g'（x）＞0，g（x）在（0，+∞）上为增函数；…（4分）若a＞0，则x1＜0＜x2，此时，g（x）在（0，x2]上为减函数，在（x2，+∞）上为增函数，…..…（5分）综上所述：当a≤0时，g（x）的增区间为（0，+∞），无减区间；当a＞0时，g（x）的减区间为（0，x2]，增区间为（x2，+∞）．…（6分）（Ⅱ）证明：由题意知，…（7分）∴，…（8分）考虑函数，第24页共24页,则…（9分）所以x≠1时，h'（x）＜0，而h（1）=0…（10分）故x∈（0，1）时，，可得，x∈（1，+∞）时，，可得，…（11分）从而当x＞0，且x≠1时，．…（12分） 请考生在第22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时，请用2B铅笔在答题卡上把所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l经过点P（﹣2，0），其倾斜角为α，在以原点O为极点，x轴非负半轴为极轴的极坐标系中（取相同的长度单位），曲线C的极坐标方程为ρ﹣4cosθ=0．（Ⅰ）若直线l与曲线C有公共点，求倾斜角α的取值范围；（Ⅱ）设M（x，y）为曲线C上任意一点，求的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）由曲线C的极坐标方程得ρ2﹣4ρcosθ=0，又x=ρcosθ，y=ρsinθ，∴曲线C的直角坐标方程为x2+y2﹣4x=0，即（x﹣2）2+y2=4…（1分）∴曲线C是圆心为C（2，0），半径为2的圆．∵直线l过点P（﹣2，0），当l的斜率不存在时，l的方程为x=﹣2与曲线C没有公共点，∴直线l的斜率存在，设直线l：y=k（x+2），即kx﹣y+2k=0．直线l与圆有公共点，则圆心C到直线l的距离，得，α∈[0，π），第24页共24页,∴α的取值范围是．（Ⅱ）法一：由（Ⅰ）曲线C的直角坐标方程为（x﹣2）2+y2=4，故其参数方程为（θ为参数）．∵M（x，y）为曲线C上任意一点，∴，，∴，因此，的取值范围是[﹣2，6]． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x﹣3|﹣|x+5|．（Ⅰ）求不等式f（x）≥2的解集；（Ⅱ）设函数f（x）的最大值为M，若不等式x2+2x+m≤M有解，求m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当x≥3时，f（x）=﹣8，此时f（x）≥2无解；…（1分）当﹣5＜x＜3时，f（x）=﹣2x﹣2，由f（x）≥2解得﹣5＜x≤﹣2；…（3分）当x≤﹣5时，f（x）=8，此时f（x）≥2恒成立．…（4分）综上，不等式f（x）≥2的解集是{x|x≤﹣2}．…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）可知…（6分）易知函数f（x）的最大值M=8，…（7分）若x2+2x+m≤8有解，得m≤﹣x2﹣2x+8有解．…（8分）即m≤[﹣（x+1）2+9]max=9．…（9分）第24页共24页,因此，m的取值范围是m≤9．…（10分） 第24页共24页
