2018年河南省安阳市高考数学一模试卷（文科） 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在复平面内，复数所对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限2．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}，则A∩B=（ ）A．（﹣1，+∞）B．[﹣2，+∞）C．[﹣1，2]D．（﹣1，2]3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有；②对定义域内任意x，都有f（x）=f（﹣x），则符合上述条件的函数是（ ）A．f（x）=x2+|x|+1B．C．f（x）=ln|x+1|D．f（x）=cosx4．（5分）若，则cosα﹣2sinα=（ ）A．﹣1B．1C．D．﹣1或5．（5分）已知等比数列{an}中，a1=1，a3+a5=6，则a5+a7=（ ）A．12B．10C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=0.8，则输出的n=（ ）第20页共20页,A．3B．4C．5D．67．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A．4+2πB．C．4+πD．8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（ ）A．B．C．D．9．（5分）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a3+7=2a5，则S13=（ ）A．49B．91C．98D．18210．（5分）已知函数，要得到g（x）=cosx的图象，只需将函数y=f（x）的图象（ ）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位11．（5分）已知函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点，则a的取值范围是（ ）A．B．C．D．12．（5分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），若，则椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．第20页共20页, 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）命题“∀x∈R，都有x2+|x|≥0”的否定是 ．14．（5分）长、宽、高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 ．15．（5分）已知向量=（2，3），=（x，y），且变量x，y满足，则z=•的最大值为 ．16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，﹣3），若圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+2）2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|，则实数a的取值范围是 ． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求a的取值范围．18．（12分）某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在[50，100]内，且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值．（Ⅱ）若销售量大于等于80，则称该日畅销，其余为滞销，根据是否畅销从这50天中用分层抽样的方法随机抽取5天，再从这5天中随机抽取2天，求这2天中恰有1天是畅销日的概率（将频率视为概率）．第20页共20页,19．（12分）如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥PD，PA=PD，AD=4，BC∥AD，AB=BC=CD=2，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E﹣PBC的体积．20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W，区域W中动点P（x，y）到l1，l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点，若直线l与轨迹C有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．21．（12分）已知函数，g（x）=3elnx，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）试判断曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在公共点并且在公共点处有公切线．若存在，求出公切线l的方程；若不存在，请说明理由． （二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]第20页共20页,22．（10分）设直线l的参数方程为，（t为参数），若以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时，若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，求实数a的取值范围． 第20页共20页,河南省安阳市高考数学一模试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．（5分）在复平面内，复数所对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：∵=，∴复数所对应的点的坐标为（），位于第二象限．故选：B． 2．（5分）设集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}，则A∩B=（ ）A．（﹣1，+∞）B．[﹣2，+∞）C．[﹣1，2]D．（﹣1，2]【解答】解：∵集合A={x|﹣2≤x≤2}，B={y|y=3x﹣1，x∈R}={y|y＞﹣1}，∴A∩B={x|﹣1＜x≤2}=（﹣1，2]．故选：D． 3．（5分）已知函数f（x）满足：①对任意x1，x2∈（0，+∞）且x1≠x2，都有；②对定义域内任意x，都有f（x）=f（﹣x），则符合上述条件的函数是（ ）A．f（x）=x2+|x|+1B．C．f（x）=ln|x+1|D．f（x）=cosx【解答】解：由题意得：f（x）是偶函数，在（0，+∞）递增，对于A，f（﹣x）=f（x），是偶函数，且x＞0时，f（x）=x2+x+1，f′（x）=2x+1＞第20页共20页,0，故f（x）在（0，+∞）递增，符合题意；对于B，函数f（x）是奇函数，不合题意；对于C，由x+1=0，解得：x≠﹣1，定义域不关于原点对称，故函数f（x）不是偶函数，不合题意；对于D，函数f（x）在（0，+∞）无单调性，不合题意；故选：A． 4．（5分）若，则cosα﹣2sinα=（ ）A．﹣1B．1C．D．﹣1或【解答】解：若，则1+cosα=3sinα，又sin2α+cos2α=1，∴sinα=，∴cosα=3sinα﹣1=，∴cosα﹣2sinα=﹣，故选：C． 5．（5分）已知等比数列{an}中，a1=1，a3+a5=6，则a5+a7=（ ）A．12B．10C．D．【解答】解：∵，a1=1，a3+a5=6，∴a3+a5=q2+q4=6，得q4+q2﹣6=0，即（q2﹣2）（q2+3）=0，则q2=2，则a5+a7=q4+q6=22+23=4+8=12，故选：A 6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入p=0.8，则输出的n=（ ）第20页共20页,A．3B．4C．5D．6【解答】解：第一次运行n=1，s=0，满足条件s＜0.8，s==0.5，n=2，第二次运行n=2，s=0.5，满足条件s＜0.8，s=+=0.75，n=3，第三次运行n=3，s=0.75，满足条件s＜0.8，s=0.75+=0.75+0.125=0.875，n=4，此时s=0.875不满足条件s＜0.8输出，n=4，故选：B． 7．（5分）如图所示是一个几何体的三视图，则该几何体的体积是（ ）A．4+2πB．C．4+πD．【解答】解：由几何体的三视图得：该几何体是一个长方体和一个半圆柱的组合体，其中长方体的长为4，宽为1，高为1，半圆柱的底面半径为r=1，高为h=1，如图，第20页共20页,∴该几何体的体积：V=4×1×1+=4+．故选：D． 8．（5分）在边长为a的正三角形内任取一点P，则点P到三个顶点的距离均大于的概率是（ ）A．B．C．D．【解答】解：满足条件的正三角形ABC如下图所示：边长AB=a，其中正三角形ABC的面积S三角形=•a2•sin=a2；满足到正三角形ABC的顶点A、B、C的距离至少有一个小于1的平面区域，如图中阴影部分所示，其加起来是一个半径为的半圆，∴S阴影=•π•=，∴使取到的点到三个顶点A、B、C的距离都大于的概率是：P=1﹣=1﹣π．故选：B．第20页共20页, 9．（5分）已知{an}为等差数列，Sn为其前n项和，若a3+7=2a5，则S13=（ ）A．49B．91C．98D．182【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，∵a3+7=2a5，∴a1+2d+7=2（a1+4d），化为：a1+6d=7=a7．则S13==13a7=13×7=91．故选：B． 10．（5分）已知函数，要得到g（x）=cosx的图象，只需将函数y=f（x）的图象（ ）A．向右平移个单位B．向右平移个单位C．向左平移个单位D．向左平移个单位【解答】解：将函数y=f（x）=sin（x﹣）的图象向左平移个单位，可得y=sin（x+﹣）=cosx的图象，故选：D． 11．（5分）已知函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点，则a的取值范围是（ ）A．B．C．D．【解答】解：函数与g（x）=6x+a的图象有3个不同的交点⇔第20页共20页,方程a=有3个不同的实根，即函数y=a，g（x）=的图象有3个不同的交点．g′（x）=x2+x﹣6=（x+3）（x﹣2）x∈（﹣∞，﹣3），（2，+∞）时，g（x）递增，x∈（﹣3，2）递减，函数g（x）图如下，结合图象，只需g（2）＜a＜g（﹣3）即可，即﹣＜＜，故选：B． 12．（5分）已知F1，F2分别是椭圆的左、右焦点，P为椭圆上一点，且（O为坐标原点），若，则椭圆的离心率为（ ）A．B．C．D．【解答】解：如图，取PF1的中点A，连接OA，∴2=+，=，∴+=，∵，∴•=0，∴⊥，∵，第20页共20页,不妨设|PF2|=m，则|PF1|=m，∵|PF2|+|PF1|=2a=m+m，∴m=a=2（﹣1）a，∵|F1F2|=2c，∴4c2=m2+2m2=3m2=3×4a2（3﹣2），∴=9﹣6=（﹣）2，∴e=﹣，故选：A 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分13．（5分）命题“∀x∈R，都有x2+|x|≥0”的否定是 ∃x0∈R，使得 ．【解答】解：由全称命题的否定为特称命题，可得命题“∀x∈R，都有x2+|x|≥0”的否定是“∃x0∈R，使得”．故答案为：∃x0∈R，使得． 14．（5分）长、宽、高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，则该球的表面积为 14π ．【解答】解：∵长、宽、高分别为1，2，3的长方体的顶点都在同一球面上，第20页共20页,∴球半径R==，∴该球的表面积为S=4π×R2=4=14π．故答案为：14π． 15．（5分）已知向量=（2，3），=（x，y），且变量x，y满足，则z=•的最大值为 ．【解答】解：由约束条件作出可行域如图，联立，解得A（），∵=（2，3），=（x，y），∴z=•=2x+3y，化为y=，由图可知，当直线y=过A时，直线在y轴上的截距最大，z有最小值为．故答案为：． 16．（5分）在平面直角坐标系xOy中，点A（0，﹣3），若圆C：（x﹣a）2+（y﹣a+2）2=1上存在一点M满足|MA|=2|MO|，则实数a的取值范围是 [0，3] ．第20页共20页,【解答】解：设点M（x，y），由|MA|=2|MO|，得到：，整理得：x2+y2﹣2y﹣3=0，∴点M在圆心为D（0，1），半径为2的圆上．又点M在圆C上，∴圆C与圆D有公共点，∴1≤|CD|≤3，∴1≤≤3，解得0≤a≤3．即实数a的取值范围是[0，3]．故答案为：[0，3]． 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22，23题为选考题，考生根据要求作答.（一）必考题：共60分.17．（12分）已知在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且满足a+2acosB=c．（Ⅰ）求证：B=2A；（Ⅱ）若△ABC为锐角三角形，且c=2，求a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）证明：根据题意，在△ABC中，a+2acosB=c，由正弦定理知sinA+2sinAcosB=sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB，即sinA=cosAsinB﹣sinAcosB=sin（B﹣A）．因为A，B∈（0，π），所以B﹣A∈（﹣π，π），且A+（B﹣A）=B∈（0，π），所以A+（B﹣A）≠π，所以A=B﹣A，B=2A．（Ⅱ）由（Ⅰ）知，．第20页共20页,由△ABC为锐角三角形得，得，则0＜cosB＜，由a+2acosB=2得，又由0＜cosB＜，则． 18．（12分）某公司为了准确把握市场，做好产品计划，特对某产品做了市场调查：先销售该产品50天，统计发现每天的销售量x分布在[50，100]内，且销售量x的分布频率．（Ⅰ）求a的值．（Ⅱ）若销售量大于等于80，则称该日畅销，其余为滞销，根据是否畅销从这50天中用分层抽样的方法随机抽取5天，再从这5天中随机抽取2天，求这2天中恰有1天是畅销日的概率（将频率视为概率）．【解答】解：（Ⅰ）由题知，解得5≤n≤9，n可取5，6，7，8，9，代入中，得，解得a=0.15．（Ⅱ）滞销日与畅销日的频率之比为（0.1+0.1+0.2）：（0.3+0.3）=2：3，则抽取的5天中，滞销日有2天，记为a，b，畅销日有3天，记为C，D，E，第20页共20页,再从这5天中抽出2天，基本事件有ab，aC，aD，aE，bC，bD，bE，CD，CE，DE，共10个，2天中恰有1天为畅销日的事件有aC，aD，aE，bC，bD，bE，共6个，则这2天中恰有1天是畅销日的概率为p=． 19．（12分）如图，已知在四棱锥P﹣ABCD中，平面PAD⊥平面ABCD，且PA⊥PD，PA=PD，AD=4，BC∥AD，AB=BC=CD=2，E为PD的中点．（Ⅰ）证明：CE∥平面PAB；（Ⅱ）求三棱锥E﹣PBC的体积．【解答】证明：（Ⅰ）取PA的中点F，连接BF，EF．在△PAD中，EF为中位线，则，又，故，则四边形BCEF为平行四边形，得CE∥BF，又BF⊂平面PAB，CE⊄平面PAB，故CE∥平面PAB．解：（Ⅱ）由E为PD的中点，知点D到平面PBC的距离是点E到平面PBC的距离的两倍，则．由题意知，四边形ABCD为等腰梯形，且AB=BC=CD=2，AD=4，其高为，则．取AD的中点O，在等腰直角△PAD中，有，PO⊥AD，又平面PAD⊥平面ABCD，故PO⊥平面ABCD，则点P到平面ABCD的距离即为PO=2．，第20页共20页,故三棱锥E﹣PBC的体积． 20．（12分）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线l1：y=x与直线l2：y=﹣x之间的阴影部分记为W，区域W中动点P（x，y）到l1，l2的距离之积为1．（Ⅰ）求点P的轨迹C的方程；（Ⅱ）动直线l穿过区域W，分别交直线l1，l2于A，B两点，若直线l与轨迹C有且只有一个公共点，求证：△OAB的面积恒为定值．【解答】解：（Ⅰ）由题意得，|（x+y）（x﹣y）|=2．因为点P在区域W内，所以x+y与x﹣y同号，得（x+y）（x﹣y）=x2﹣y2=2，即点P的轨迹C的方程为．（Ⅱ）设直线l与x轴相交于点D，当直线l的斜率不存在时，，，得．当直线l的斜率存在时，设其方程为y=kx+m，显然k≠0，则，把直线l的方程与C：x2﹣y2=2联立得（k2﹣1）x2﹣2kmx+m2+2=0，由直线l与轨迹C有且只有一个公共点，知△=4k2m2﹣4（k2﹣1）（m2+2）=0，第20页共20页,得m2=2（k2﹣1）＞0，得k＞1或k＜﹣1．设A（x1，y2），B（x2，y2），由得，同理，得．所以=．综上，△OAB的面积恒为定值2． 21．（12分）已知函数，g（x）=3elnx，其中e为自然对数的底数．（Ⅰ）讨论函数f（x）的单调性．（Ⅱ）试判断曲线y=f（x）与y=g（x）是否存在公共点并且在公共点处有公切线．若存在，求出公切线l的方程；若不存在，请说明理由．【解答】解：（Ⅰ）由，得，令f′（x）=0，得．当且x≠0时，f′（x）＜0；当时，f′（x）＞0．∴f（x）在（﹣∞，0）上单调递减，在上单调递减，在上单调递增；（Ⅱ）假设曲线y=f（x）与y=g（x）存在公共点且在公共点处有公切线，且切点横坐标为x0＞0，则，即，其中（2）式即．记h（x）=4x3﹣3e2x﹣e3，x∈（0，+∞），则h'（x）=3（2x+e）（2x﹣e），第20页共20页,得h（x）在上单调递减，在上单调递增，又h（0）=﹣e3，，h（e）=0，故方程h（x0）=0在（0，+∞）上有唯一实数根x0=e，经验证也满足（1）式．于是，f（x0）=g（x0）=3e，f′（x0）=g'（x0）=3，曲线y=g（x）与y=g（x）的公切线l的方程为y﹣3e=3（x﹣e），即y=3x． （二）选考题：共10分.请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）设直线l的参数方程为，（t为参数），若以直角坐标系xOy的原点O为极点，x轴的正半轴为极轴，选择相同的长度单位建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为ρsin2θ=4cosθ．（Ⅰ）将曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，并指出曲线C是什么曲线；（Ⅱ）若直线l与曲线C交于A，B两点，求|AB|．【解答】解：（Ⅰ）由于ρsin2θ=4cosθ，所以ρ2sin2θ=4ρcosθ，即y2=4x，因此曲线C表示顶点在原点，焦点在x轴上的抛物线．（Ⅱ），化为普通方程为y=2x﹣1，代入y2=4x，并整理得4x2﹣8x+1=0，所以，=，=． [选修4-5：不等式选讲]第20页共20页,23．已知函数f（x）=|x+1|+a|2x﹣1|．（Ⅰ）当时，若对任意x∈R恒成立，求m+n的最小值；（Ⅱ）若f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）当时，，∴，∴．∴，∴，当且仅当m=n时等号成立，∵m，n＞0，解得，当且仅当m=n时等号成立，故m+n的最小值为．（Ⅱ）∵f（x）≥|x﹣2|的解集包含[﹣1，2]，当x∈[﹣1，2]时，有x+1+a|2x﹣1|≥2﹣x，∴a|2x﹣1|≥1﹣2x对x∈[﹣1，2]恒成立，当时，a（1﹣2x）≥1﹣2x，∴a≥1；当时，a（2x﹣1）≥1﹣2x，∴a≥﹣1．综上：a≥1．故实数a的取值范围是[1，+∞）． 第20页共20页
