四川省内江市高考数学一模试卷（理科） 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x2＜1}，B={x|2x＞1}，则A∪B=（ ）A．（0，1）B．（﹣1，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）2．（5分）设i为虚数单位，a∈R，若是纯虚数，则a=（ ）A．2B．﹣2C．1D．﹣13．（5分）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）A．，B．，C．，D．，4．（5分）下列说法中正确的是（ ）A．先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150…的学生，这样的抽样方法是分层抽样法B．线性回归直线不一定过样本中心点C．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1D．设随机变量X服从正态分布N（10，0.01），则5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a为2，则输出的a值是（ ）第23页共23页,A．2B．1C．D．﹣16．（5分）若函数f（x）=sin（2x+φ）在上单调递减，则φ的值可能是（ ）A．2πB．πC．D．7．（5分）已知α是锐角，若，则cos2α=（ ）A．B．C．D．8．（5分）设{an}是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）A．若a1=1，a5=4，则a3=﹣2B．若a1+a3＞0，则a2+a4＞0C．若a2＞a1，则a3＞a2D．若a2＞a1＞0，则a1+a3＞2a29．（5分）函数f（x）=x2﹣2|x|的图象大致是（ ）A．B．C．第23页共23页,D．10．（5分）已知实数a，b满足，则当时，的最大值是（ ）A．5B．2C．D．11．（5分）当x＞0时，不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）A．[0，1）∪（1，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0]∪（1，+∞）D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）12．（5分）设n∈N*，函数f1（x）=xex，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，fn+1（x）=fn′（x），曲线y=fn（x）的最低点为Pn，△PnPn+1Pn+2的面积为Sn，则（ ）A．{Sn}是常数列B．{Sn}不是单调数列C．{Sn}是递增数列D．{Sn}是递减数列 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（1+x）（1﹣x）6的展开式中，x3的系数是 ．（用数字作答）14．（5分）甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了．如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是 ．15．（5分）设函数，则满足f（x）+f（x﹣1）＜2的x的取值范围是 ．16．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，P是线段BD上一点，则的最小值是 ．第23页共23页, 三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设数列{an}满足a1+2a2+4a3+…+2n﹣1an=n．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an+log2an}的前n项和．18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+csinB=0．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若，点D在边AB上，CD=BD，求CD的长．19．（12分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[100，120）内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图．表1：甲套设备的样本的频数分布表质量指标值[95，100）[100，105）[105，110）[110，115）[115，120）[120，125]频数14192051图1：乙套设备的样本的频率分布直方图（Ⅰ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计（Ⅱ）根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较；第23页共23页,（Ⅲ）将频率视为概率．若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为X，求X的期望E（X）．附：P（K2≥k0）0.150.100.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635．20．（12分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b∈R），曲线y=f（x）在点处的切线方程为：．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）设k∈R，求函数在上的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣2，其中e≈2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）证明：当x＞0时，f（x）＞x﹣1≥lnx；（Ⅱ）设m为整数，函数g（x）=f（x）﹣lnx﹣m有两个零点，求m的最小值． [选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；第23页共23页,（Ⅱ）已知直线l上一点M的极坐标为（2，θ），其中．射线OM与曲线C交于不同于极点的点N，求|MN|的值． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|3x﹣1|+|x﹣2|的最小值为m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设实数a，b满足2a2+b2=m，证明：2a+b≤． 第23页共23页,四川省内江市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的．1．（5分）已知集合A={x|x2＜1}，B={x|2x＞1}，则A∪B=（ ）A．（0，1）B．（﹣1，+∞）C．（1，+∞）D．（﹣∞，﹣1）∪（0，+∞）【解答】解：集合A={x|x2＜1}={x|﹣1＜x＜1}，B={x|2x＞1}={x|x＞0}，则A∪B={x|x＞﹣1}=（﹣1，+∞），故选B． 2．（5分）设i为虚数单位，a∈R，若是纯虚数，则a=（ ）A．2B．﹣2C．1D．﹣1【解答】解：∵=是纯虚数，∴，解得a=1．故选：C． 3．（5分）下列各组向量中，可以作为基底的是（ ）A．，B．，C．，D．，【解答】解：对于A，，，是两个共线向量，故不可作为基底．对于B，，是两个不共线向量，故可作为基底．第23页共23页,对于C，，，是两个共线向量，故不可作为基底．．对于D，，，是两个共线向量，故不可作为基底．故选：B． 4．（5分）下列说法中正确的是（ ）A．先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150…的学生，这样的抽样方法是分层抽样法B．线性回归直线不一定过样本中心点C．若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的值越接近于1D．设随机变量X服从正态分布N（10，0.01），则【解答】解：在A中，先把高三年级的2000名学生编号：1到2000，再从编号为1到50的50名学生中随机抽取1名学生，其编号为m，然后抽取编号为m+50，m+100，m+150…的学生，这样的抽样方法是系统抽样法，故A错误；在B中，线性回归直线一定过样本中心点，故B错误；在C中，若两个随机变量的线性相关性越强，则相关系数r的绝对值越接近于1，故C错误；在D中，设随机变量X服从正态分布N（10，0.01），则由正态分布性质得，故D正确．故选：D． 5．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入的a为2，则输出的a值是（ ）第23页共23页,A．2B．1C．D．﹣1【解答】解：当a=2，k=0时，执行循环a=﹣1，满足继续循环的条件，k=1；执行循环a=，满足继续循环的条件，k=2；执行循环a=2，满足继续循环的条件，k=3；执行循环a=﹣1，满足继续循环的条件，k=4；执行循环a=，满足继续循环的条件，k=5；执行循环a=2，不满足继续循环的条件，故输出的结果为2，故选：A 6．（5分）若函数f（x）=sin（2x+φ）在上单调递减，则φ的值可能是（ ）A．2πB．πC．D．【解答】解：函数f（x）=sin（2x+φ）在上单调递减，第23页共23页,则，可得φ，k∈Z．∴φ=故选：C 7．（5分）已知α是锐角，若，则cos2α=（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵已知α是锐角，若，∴cos（α﹣）==，则cos2α=sin（﹣2α）=﹣sin（2α﹣）=﹣2sin（α﹣）cos（α﹣）=﹣2××=﹣，故选：D． 8．（5分）设{an}是等比数列，则下列结论中正确的是（ ）A．若a1=1，a5=4，则a3=﹣2B．若a1+a3＞0，则a2+a4＞0C．若a2＞a1，则a3＞a2D．若a2＞a1＞0，则a1+a3＞2a2【解答】解：A．由等比数列的性质可得：=a1•a5=4，由于奇数项的符号相同，可得a3=2，因此不正确．B．a1+a3＞0，则a2+a4=q（a1+a3），其正负由q确定，因此不正确；C．若a2＞a1，则a1（q﹣1）＞0，于是a3﹣a2=a1q（q﹣1），其正负由q确定，因此不正确；D．若a2＞a1＞0，则a1q＞a1＞0，可得a1＞0，q＞1，∴1+q2＞2q，则a1（1+q2）＞2a1q，即a1+a3＞2a2，因此正确．故选：D． 第23页共23页,9．（5分）函数f（x）=x2﹣2|x|的图象大致是（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵函数f（x）=x2﹣2|x|，∴f（3）=9﹣8=1＞0，故排除C，D，∵f（0）=﹣1，f（）=﹣2=0.25﹣＜﹣1，故排除A，故选：B当x＞0时，f（x）=x2﹣2x，∴f′（x）=2x﹣2xln2，故选：B 10．（5分）已知实数a，b满足，则当时，的最大值是（ ）A．5B．2C．D．【解答】解：当时，=asin2θ+bcos2θ=sin（2θ+φ），取值tanφ=，作出实数a，b满足的可行域如图：由可行域可知|AO|的距离是最大值，由，解得A（3，1），第23页共23页,=，当时，2θ∈[0，]，=，时，tanφ==，所以的最大值是：．故选：B． 11．（5分）当x＞0时，不等式恒成立，则a的取值范围是（ ）A．[0，1）∪（1，+∞）B．（0，+∞）C．（﹣∞，0]∪（1，+∞）D．（﹣∞，1）∪（1，+∞）【解答】解：由题意令f（x）=x2+（1﹣a）x﹣alnx﹣2a+a2，则f′（x）=x+（1﹣a）x﹣=，a＜0时，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）递增，x→0时，f（x）→﹣∞，故不合题意，a=0时，f（x）=x2+x＞0，符合题意，a＞0时，令f′（x）＞0，解得：x＞a，令f′（x）＜0，解得：0＜x＜a，故f（x）在（0，a）递减，在（a，+∞）递增，故f（x）min=f（a）=a（a﹣1﹣lna），第23页共23页,令h（a）=a﹣1﹣lna，（a＞0），故h′（a）=1﹣=，令h′（a）＞0，解得：a＞1，令h′（a）＜0，解得：0＜a＜1，故h（a）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增，故h（a）≥h（1）=0，故a﹣1﹣lna≥0，故a＞0时，只要a≠1，则h（a）＞0，综上，a∈[0，1）∪（1，+∞），故选：A． 12．（5分）设n∈N*，函数f1（x）=xex，f2（x）=f1′（x），f3（x）=f2′（x），…，fn+1（x）=fn′（x），曲线y=fn（x）的最低点为Pn，△PnPn+1Pn+2的面积为Sn，则（ ）A．{Sn}是常数列B．{Sn}不是单调数列C．{Sn}是递增数列D．{Sn}是递减数列【解答】解：根据题意，函数f1（x）=xex，其导数f1′（x）=（x）′ex+x（ex）′=（x+1）ex，分析可得在（﹣∞，﹣1）上，f1′（x）＜0，f1（x）为减函数，在（﹣1，+∞）上，f1′（x）＞0，f1（x）为增函数，曲线y=f1（x）的最低点P1，（﹣1，﹣），对于函数f2（x）=f1′（x）=（x+1）ex，其导数f2′（x）=（x+1）′ex+（x+1）（ex）′=（x+2）ex，分析可得在（﹣∞，﹣2）上，f1′（x）＜0，f1（x）为减函数，在（﹣2，+∞）上，f1′（x）＞0，f1（x）为增函数，曲线y=f1（x）的最低点P1，（﹣2，﹣），…分析可得曲线y=fn（x）的最低点Pn，其坐标为（﹣n，﹣）；第23页共23页,则Pn+1（﹣n﹣1，﹣），Pn+2（﹣n﹣2，﹣）；∴|PnPn+1|==，直线PnPn+1的方程为，即为（e﹣1）x+en+1y+e﹣n=0，故点Pn+2到直线PnPn+1的距离d=，∴Sn=|PnPn+1|•d=，设g（n）=，易知函数g（n）为单调递减函数，故{Sn}是递减数列，故选：D 二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）（1+x）（1﹣x）6的展开式中，x3的系数是 ﹣5 ．（用数字作答）【解答】解：（1﹣x）6展开式的通项公式为Tr+1=•（﹣x）r，∴（1+x）（1﹣x）6的展开式中，x3的系数是•（﹣1）3+•（﹣1）2=﹣20+15=﹣5．故答案为：﹣5． 14．（5分）甲、乙、丙三位同学中有一人申请了北京大学的自主招生考试，当他们被问到谁申请了北京大学的自主招生考试时，甲说：丙没有申请；乙说：甲申请了；丙说：甲说对了．如果这三位同学中只有一人说的是假话，那么申请了北京大学的自主招生考试的同学是 乙 ．【解答】解：假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是甲，第23页共23页,则甲和丙说的都是假话，乙说的是真话，不满足题意；假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙，则甲和丙说的都是真话，乙说的是假话，满足题意；假设申请了北京大学的自主招生考试的同学是丙，则甲、乙、丙说的都是假话，不满足题意．故申请了北京大学的自主招生考试的同学是乙．故答案为：乙． 15．（5分）设函数，则满足f（x）+f（x﹣1）＜2的x的取值范围是 （﹣∞，2） ．【解答】解：当x＜0时，f（x）=﹣f（﹣x）=﹣[﹣x（﹣x﹣1）]=﹣x（x+1），①若x＜0，则x﹣1＜﹣1，由f（x）+f（x﹣1）＜2得﹣x（x+1）﹣（x﹣1）x＜2，即﹣2x2＜2，即x2＞﹣1，此时恒成立，此时x＜0．②若x≥1，则x﹣1≥0，由f（x）+f（x﹣1）＜2得x（x﹣1）+（x﹣1）（x﹣2）＜2，即x2﹣2x＜0，即0＜x＜2，此时1≤x＜2，③若0≤x＜1，则x﹣1＜0，则由f（x）+f（x﹣1）＜2得x（x﹣1）﹣（x﹣1）x＜2，即0＜2，此时不等式恒成立，此时0≤x＜1，综上x＜2，即不等式的解集为（﹣∞，2），故答案为：（﹣∞，2） 第23页共23页,16．（5分）已知菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，P是线段BD上一点，则的最小值是 ．【解答】解：建立平面直角坐标系，如图所示，菱形ABCD的边长为2，∠DAB=60°，可设P（0，b），且﹣1≤b≤1；∴A（﹣，0），C（，0），D（0，1），∴=（﹣，﹣b），=（，﹣b），=（0，1﹣b），∴+=（，1﹣2b），∴=﹣3﹣b（1﹣2b）=﹣3﹣b+2b2=2﹣，当且仅当b=时，取得最小值﹣．故答案为：﹣． 三、解答题：本大题共5小题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（12分）设数列{an}满足a1+2a2+4a3+…+2n﹣1an=n．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）求数列{an+log2an}的前n项和．【解答】解：（Ⅰ）∵数列{an}满足∴当n≥2时，…（2分）∴当n≥2时，2n﹣1an=1，第23页共23页,即…（4分）当n=1时，an=1满足上式∴数列{an}的通项公式…（6分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，…（7分）∴（a1+log2a1）+（a2+log2a2）+（a3+log2a3）+…+（an+log2an），=…（9分）=…（12分） 18．（12分）△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知bcosC+csinB=0．（Ⅰ）求C；（Ⅱ）若，点D在边AB上，CD=BD，求CD的长．【解答】解：（Ⅰ）∵bcosC+csinB=0∴由正弦定理知，sinBcosC+sinCsinB=0，∵0＜B＜π∴sinB＞0，于是cosC+sinC=0，即tanC=﹣1，∵0＜C＜π∴，（Ⅱ）由（Ⅰ）和余弦定理知，∴c=5，∴，∵在△BCD中，CD=BD第23页共23页,∴，∴． 19．（12分）某企业有甲、乙两套设备生产同一种产品，为了检测两套设备的生产质量情况，随机从两套设备生产的大量产品中各抽取了50件产品作为样本，检测一项质量指标值，若该项质量指标值落在[100，120）内，则为合格品，否则为不合格品．表1是甲套设备的样本的频数分布表，图1是乙套设备的样本的频率分布直方图．表1：甲套设备的样本的频数分布表质量指标值[95，100）[100，105）[105，110）[110，115）[115，120）[120，125]频数14192051图1：乙套设备的样本的频率分布直方图（Ⅰ）填写下面列联表，并根据列联表判断是否有90%的把握认为该企业生产的这种产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；甲套设备乙套设备合计合格品不合格品合计（Ⅱ）根据表1和图1，对两套设备的优劣进行比较；（Ⅲ）将频率视为概率．若从甲套设备生产的大量产品中，随机抽取3件产品，记抽到的不合格品的个数为X，求X的期望E（X）．附：P（K2≥k0）0.150.100.0500.0250.010k02.0722.7063.8415.0246.635．第23页共23页,【解答】解：（Ⅰ）根据表1和图1得到列联表：甲套设备乙套设备合计合格品484391不合格品279合计5050100…（3分）将列联表中的数据代入公式计算得；…（5分）∵3.053＞2.706，∴有90%的把握认为产品的质量指标值与甲、乙两套设备的选择有关；…（6分）（Ⅱ）根据表1和图1可知，甲套设备生产的合格品的概率约为，乙套设备生产的合格品的概率约为，甲套设备生产的产品的质量指标值主要集中在[105，115）之间，乙套设备生产的产品的质量指标值与甲套设备相比较为分散；因此，可以认为甲套设备生产的合格品的概率更高，且质量指标值更稳定，从而甲套设备优于乙套设备；…（9分）（Ⅲ）由题知，不合格品的概率为P==，且X～B（3，），…（11分）∴X的数学期望为．…（12分） 20．（12分）已知函数f（x）=asinx+bcosx（a，b∈R），曲线y=f（x）在点处的切线方程为：．第23页共23页,（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）设k∈R，求函数在上的最大值．【解答】解：（Ⅰ）由切线方程知，当时，y=0，∴，∵f'（x）=acosx﹣bsinx，∴由切线方程知，，∴；（Ⅱ）由（Ⅰ）知，，∴g（x）=kx﹣sinx，g'（x）=k﹣cosx，当k≤0时，当时，g'（x）≤0，故g（x）单调递减，∴g（x）在上的最大值为g（0）=0；②当0＜k＜1时，∵g'（0）=k﹣1＜0，，∴存在，使g'（x0）=0，当x∈[0，x0）时，g'（x）＜0，故g（x）单调递减，当时，g'（x）＞0，故g（x）单调递增．∴g（x）在上的最大值为g（0）或，又g（0）=0，，∴当时，g（x）在上的最大值为g（0）=0，当时，g（x）在上的最大值为，当k≥1时，当时，g'（x）≥0，故g（x）单调递增，∴g（x）在上的最大值为．综上所述，当时，g（x）在上的最大值为g（0）=0第23页共23页,当时，g（x）在上的最大值为． 21．（12分）已知函数f（x）=ex﹣2，其中e≈2.71828…是自然对数的底数．（Ⅰ）证明：当x＞0时，f（x）＞x﹣1≥lnx；（Ⅱ）设m为整数，函数g（x）=f（x）﹣lnx﹣m有两个零点，求m的最小值．【解答】解：（Ⅰ）证明：设h（x）=ex﹣x﹣1，则h'（x）=ex﹣1，令h'（x）=0，得x=0，当x∈（﹣∞，0）时，h'（x）＜0，h（x）单调递减，当x∈（0，+∞）时，h'（x）≥0，h（x）单调递增，∴h（x）≥h（0）=0，当且仅当x=0时取等号，∴对任意x∈R，ex≥x+1…（2分）∴当x＞0时，f（x）＞x﹣1∴当x＞﹣1时，x≥ln（x+1）∴当x＞0时，f（x）＞x﹣1≥lnx…（4分）（Ⅱ）函数g（x）的定义域为（0，+∞）当m≤0时，由（Ⅰ）知，g（x）=ex﹣lnx﹣2﹣m＞﹣m≥0，故g（x）无零点…（6分）当m=1时，g（x）=ex﹣lnx﹣3，∵g'（1）=e﹣1＞0，，且g'（x）为（0，+∞）上的增函数∴g'（x）有唯一的零点当x∈（0，x0）时，g'（x）＜0，g（x）单调递减当x∈（x0，+∞）时，g'（x）＞0，g（x）单调递增∴g（x）的最小值为…（8分）第23页共23页,由x0为g'（x）的零点知，，于是∴g（x）的最小值由知，，即g（x0）＜0…（10分）又g（2）=e2+ln2﹣3＞0，∴g（x）在上有一个零点，在（x0，2）上有一个零点∴g（x）有两个零点…（11分）综上所述，m的最小值为1…（12分） [选修4-4：极坐标与参数方程]22．（10分）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（α为参数）．以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系．（Ⅰ）求直线l和曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）已知直线l上一点M的极坐标为（2，θ），其中．射线OM与曲线C交于不同于极点的点N，求|MN|的值．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），直线的普通方程为，极坐标方程为．曲线C的普通方程为，极坐标方程为…（5分）（Ⅱ）∵点M在直线l上，且点M的极坐标为（2，θ）∴，∵第23页共23页,∴，∴射线OM的极坐标方程为．联立，解得ρ=3．∴|MN|=|ρN﹣ρM|=1． [选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）=|3x﹣1|+|x﹣2|的最小值为m．（Ⅰ）求m的值；（Ⅱ）设实数a，b满足2a2+b2=m，证明：2a+b≤．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=|3x﹣1|+|x﹣2|=，∴f（x）在[）上单调递增，在（）上单调递减∴f（x）的最小值为f（）=…（5分）（Ⅱ）由（Ⅰ）知，2a2+b2=，∵2ab≤a2+b2，∴（2a+b）2=4a2+b2+4ab≤4（a2+b2）+2（a2+b2）=3（2a2+b2）=5，当a=b时取等∴2a+b≤…（10分） 第23页共23页
