四川省德阳市三校联考高考数学模拟试卷（理科） 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={y|y=3x，x≤0}，则A∩B=（ ）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（﹣1，1]D．（0，1]2．（5分）若（x，y∈R），则x+y=（ ）A．﹣1B．1C．3D．﹣33．（5分）在等差数列{an}中，a3+a7﹣a10=﹣1，a11﹣a4=21，则a7=（ ）A．7B．10C．20D．304．（5分）已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A．3π+6B．6π+6C．3π+12D．125．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度后得到g（x），则g（x）的解析式为（ ）A．B．C．D．6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入m=1，n=3，输出的x=1.75，则空白判断框内应填的条件为（ ）第22页共22页,A．|m﹣n|＜1B．|m﹣n|＜0.5C．|m﹣n|＜0.2D．|m﹣n|＜0.17．（5分）从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为（ ）A．48B．72C．90D．968．（5分）下列命题中错误的命题是（ ）A．对于命题p：∃x0∈R，使得，则￢p：∀x∈R，都有x2﹣1＞0B．若随机变量X～N（2，σ2），则P（X＞2）=0.5C．设函数f（x）=x﹣sinx（x∈R），则函数f（x）有三个不同的零点D．设等比数列{an}的前n项和为Sn，则“a1＞0”是“S3＞S2”的充分必要条件9．（5分）在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，I是△ABC的内心，若=m（m，n∈R），则=（ ）A．B．C．2D．10．（5分）已知函数f（x）=x3+2ax2+3bx+c的两个极值点分别在（﹣1，0）与（0，1）内，则2a﹣b的取值范围是（ ）A．B．C．D．11．（5分）已知函数，记函数f（x）在区间上的最大值为Mt，最小值为mt，设函数h（t）=Mt﹣mt，若，则函数h（t）的值域为（ ）A．B．C．[1，2]D．12．（5分）已知奇函数f（x）是定义在R上的连续可导函数，其导函数是f'（x），当x＞0时，f'（x）＜2f（x）恒成立，则下列不等关系一定正确的是（ ）A．e2f（1）＞﹣f（2）B．e2f（﹣1）＞﹣f（2）C．e2f（﹣1）＜﹣f（2）第22页共22页,D．f（﹣2）＜﹣e2f（﹣1） 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a1= ．14．（5分）= ．15．（5分）已知点P是椭圆上的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，已知∠F1PF2=120°，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆的离心率为 ．16．（5分）已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且﹣2a﹣b=，则的最小值是 ． 三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知等比数列{an}满足a1a6=32a2a10，{an}的前3项和．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记数列，求数列{bn}的前n项和Tn．18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=（3c﹣b）cosA．（1）求cosA的值；（2）若b=3，点M在线段BC上，=2，||=3，求△ABC的面积．19．（12分）为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）．阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯月用电范围（度）（0，210]（210，400]（400，+∞）某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：12345678910第22页共22页,居民用电户编号用电量（度）538690124132200215225300410（1）若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元？（2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；（3）以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值．20．（12分）已知函数（1）当b=﹣1时，求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在[﹣1，0]上的最大值．21．（12分）已知函数f（x）=ln（x+1）．（1）当x∈（﹣1，0）时，求证：f（x）＜x＜﹣f（﹣x）；（2）设函数g（x）=ex﹣f（x）﹣a（a∈R），且g（x）有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2），①求实数a的取值范围；②求证：x1+x2＞0． 请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线C的参数方程为为参数），直线l过点（﹣1，0），且斜率为，射线OM的极坐标方程为．（1）求曲线C和直线l的极坐标方程；第22页共22页,（2）已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长． [选修4-5：不等式选讲]23．（1）函数f（x）=|x﹣3|，若存在实数x，使得2f（x+4）≤m+f（x﹣1）成立，求实数m的取值范围；（2）设x，y，z∈R，若x+2y﹣2z=4，求x2+4y2+z2的最小值． 第22页共22页,四川省德阳市三校联考高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题（本大题共12个小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的）．1．（5分）已知集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}，B={y|y=3x，x≤0}，则A∩B=（ ）A．（﹣1，2）B．（﹣2，1）C．（﹣1，1]D．（0，1]【解答】解：集合A={x|x2﹣x﹣2＜0}={x|﹣1＜x＜2}=（﹣1，2），B={y|y=3x，x≤0}={y|0＜y≤1}=（0，1]；∴A∩B=（0，1]．故选：D． 2．（5分）若（x，y∈R），则x+y=（ ）A．﹣1B．1C．3D．﹣3【解答】解：由，得，∴x=1，y=﹣2．则x+y=﹣1．故选：A． 3．（5分）在等差数列{an}中，a3+a7﹣a10=﹣1，a11﹣a4=21，则a7=（ ）A．7B．10C．20D．30【解答】解：设等差数列{an}的公差为d，a3+a7﹣a10=﹣1，a11﹣a4=21，∴a1﹣d=﹣1，7d=21，第22页共22页,解得d=3，a1=2．则a7=2+3×6=20．故选：C． 4．（5分）已知一个简单几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ）A．3π+6B．6π+6C．3π+12D．12【解答】解：由三视图还原原几何体如图，该几何体为组合体，左边部分是四分之一圆锥，右边部分为三棱锥，则其体积V=．故选：A． 5．（5分）将函数f（x）=sin2x的图象保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来的，再向右平移个单位长度后得到g（x），则g（x）的解析式为（ ）A．B．C．第22页共22页,D．【解答】解：函数f（x）=sin2x的图象保持纵坐标不变，先将横坐标缩短为原来的，得到关系式为：f（x）=sin4x．再向右平移个单位长度后得到：g（x）=sin[4（x﹣）]=sin（4x﹣）．故选：C 6．（5分）执行如图所示的程序框图，若输入m=1，n=3，输出的x=1.75，则空白判断框内应填的条件为（ ）A．|m﹣n|＜1B．|m﹣n|＜0.5C．|m﹣n|＜0.2D．|m﹣n|＜0.1【解答】解：模拟执行如图所示的程序框图知，输入m=1，n=3，x==2，不满足22﹣3＜0，n=2，不满足条件|m﹣n|=1＜？x==1.5，满足1.52﹣3＜0，m=1.5，不满足条件|m﹣n|=0.5＜？，x==1.75，不满足1.752﹣3＜0，n=1.75，满足条件|m﹣n|=0.25＜？，输出x=1.75，则空白判断框内应填的条件为|m﹣n|＜0.5．故选：B． 7．（5分）从5名学生中选出4名分别参加数学，物理，化学，生物四科竞赛，其中甲不能参加生物竞赛，则不同的参赛方案种数为（ ）A．48B．72C．90D．96【解答】解：根据题意，从5名学生中选出4名分别参加竞赛，分2种情况讨论：①、选出的4人没有甲，即选出其他4人即可，有A44=24种情况，第22页共22页,②、选出的4人有甲，由于甲不能参加生物竞赛，则甲有3种选法，在剩余4人中任选3人，参加剩下的三科竞赛，有A43=24种选法，则此时共有3×24=72种选法，则有24+72=96种不同的参赛方案；故选：D． 8．（5分）下列命题中错误的命题是（ ）A．对于命题p：∃x0∈R，使得，则￢p：∀x∈R，都有x2﹣1＞0B．若随机变量X～N（2，σ2），则P（X＞2）=0.5C．设函数f（x）=x﹣sinx（x∈R），则函数f（x）有三个不同的零点D．设等比数列{an}的前n项和为Sn，则“a1＞0”是“S3＞S2”的充分必要条件【解答】解：对于A，对于命题p：∃x0∈R，使得，则￢p：∀x∈R，都有x2﹣1＞0，满足命题的否定形式，正确；对于B，若随机变量X～N（2，σ2），对称轴为：x=2，所以P（X＞2）=0.5，所以B正确；对于C，设函数f（x）=x﹣sinx（x∈R），因为x＞0时，x＞sinx，所以函数f（x）有1个不同的零点，所以C不正确；对于D，当公比q=1时，由a1＞0可得s3=3a1＞2a1=s2，即S3＞S2成立．当q≠1时，由于=q2+q+1＞1+q=，再由a1＞0可得＞，即S3＞S2成立．故“a1＞0”是“S3＞S2”的充分条件．当公比q=1时，由S3＞S2成立，可得a1＞0．当q≠1时，由S3＞S2成立可得＞，再由＞，可得a1＞0．故“a1＞0”是“S3＞S2”的必要条件．第22页共22页,综上：等比数列{an}的前n项和为Sn，则“a1＞0”是“S3＞S2”的充分必要条件；故选：C． 9．（5分）在△ABC中，AB=AC=5，BC=6，I是△ABC的内心，若=m（m，n∈R），则=（ ）A．B．C．2D．【解答】解：设BC中点为D，以BC为x轴，DA为y轴建立平面直角坐标系如图所示：∵AB=5，BD=BC=3，∴AD=4．∵△ABC是等腰三角形，∴内心I在线段AD上，设内切圆的半径为r，则tan∠IBD=，∴tan∠ABC===，又tan∠ABC==，∴=，解得r=或r=﹣6（舍）．∴I（0，），又B（﹣3，0），A（0，4），C（3，0），∴=（3，），=（3，4），=（6，0），∵=m，∴，解得，∴=．故选：B．第22页共22页, 10．（5分）已知函数f（x）=x3+2ax2+3bx+c的两个极值点分别在（﹣1，0）与（0，1）内，则2a﹣b的取值范围是（ ）A．B．C．D．【解答】解：由函数f（x）=x3+2ax2+3bx+c，求导f′（x）=3x2+4ax+3b，f（x）的两个极值点分别在区间（﹣1，0）与（0，1）内，由3x2+4ax+3b=0的两个根分别在区间（0，1）与（﹣1，0）内，即，令z=2a﹣b，∴转化为在约束条件为时，求z=2a﹣b的取值范围，可行域如下阴影（不包括边界），目标函数转化为z=2a﹣b，由图可知，z在A（，0）处取得最大值，在（﹣，0）处取得最小值，因为可行域不包含边界，∴z=2a﹣b的取值范围（，）．故选：A．第22页共22页, 11．（5分）已知函数，记函数f（x）在区间上的最大值为Mt，最小值为mt，设函数h（t）=Mt﹣mt，若，则函数h（t）的值域为（ ）A．B．C．[1，2]D．【解答】解：f（x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+），∴f（x）在[﹣+kπ，+kπ]上单调递增，在（+kπ，+kπ]上单调递减，k∈Z，∵，∴t+∈[，]，当上单调递增，最大值为2．则t+∈[，]上单调递减，最小值为：2sin（2t++）=2cos（2t）那么：h（t）=2﹣2cos（2t），∴2t∈[，]可得函数h（t）值域为[1，2]当上单调递减，最大值为sin（2t+），则t+∈[，]上单调递减，最小值为：2sin（2t++第22页共22页,）=2cos（2t）那么：h（t）=2sin（2t+）﹣2cos（2t）=2（2t），，∴2t∈（，]可得函数h（t）值域为[2，2]综上，可得函数h（t）值域为[1，2]．故选：D． 12．（5分）已知奇函数f（x）是定义在R上的连续可导函数，其导函数是f'（x），当x＞0时，f'（x）＜2f（x）恒成立，则下列不等关系一定正确的是（ ）A．e2f（1）＞﹣f（2）B．e2f（﹣1）＞﹣f（2）C．e2f（﹣1）＜﹣f（2）D．f（﹣2）＜﹣e2f（﹣1）【解答】解：设g（x）=，∴g′（x）=＜0恒成立，∴g（x）在（0，+∞）上单调递减，∵g（1）＞g（2），∴＞，∴e2f（1）＞f（2），∵f（x）为奇函数，∴f（﹣1）=﹣f（1），f（﹣2）=﹣f（2），∴e2f（﹣1）＜﹣f（2），故选：C． 二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）13．（5分）已知（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7，则a1= ﹣14 ．第22页共22页,【解答】解：（1﹣2x）7=a0+a1x+a2x2+…+a7x7中，通项公式为Tr+1=•（﹣2x）r，令r=1，得T2=•（﹣2x）=﹣14x，∴a1=﹣14．故答案为：﹣14． 14．（5分）= 4+2π ．【解答】解：∵dx表示以（0，0）为圆心，以2为半径的半圆，故dx=2π，∴=dx+dx=+2π=4+2π，故答案为：4+2π． 15．（5分）已知点P是椭圆上的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，已知∠F1PF2=120°，且|PF1|=3|PF2|，则椭圆的离心率为 ．【解答】解：点P是椭圆上的一点，F1，F2分别为椭圆的左、右焦点，已知∠F1PF2=120°，且|PF1|=3|PF2|，如图：设|PF2|=m，则|PF1|=3m，则：，第22页共22页,可得4c2=13×，解得e==．故答案为：． 16．（5分）已知点A在线段BC上（不含端点），O是直线BC外一点，且﹣2a﹣b=，则的最小值是 2﹣2 ．【解答】解：由﹣2a﹣b=，得=2a+b，由A，B，C共线，得：2a+b=1且a＞0，b＞0，故=﹣1+﹣1=+﹣2≥2﹣2，当且仅当a+2b=（a+b）时“=”成立，故答案为：． 第22页共22页,三、解答题（本大题共5小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17．（12分）已知等比数列{an}满足a1a6=32a2a10，{an}的前3项和．（1）求数列{an}的通项公式；（2）记数列，求数列{bn}的前n项和Tn．【解答】解：（1）等比数列{an}中，由a1a6=32a2a10得，即，由得a1=3所以数列{an}的通项公式…（6分）（2）由题知，又因为bn+1﹣bn=﹣1，所以数列{bn}是等差数列，…（12分） 18．（12分）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且acosB=（3c﹣b）cosA．（1）求cosA的值；（2）若b=3，点M在线段BC上，=2，||=3，求△ABC的面积．【解答】（本题满分为12分）解：（1）因为acosB=（3c﹣b）cosA，由正弦定理得：sinAcosB=（3sinC﹣sinB）cosA，即sinAcosB+sinBcosA=3sinCcosA，可得：sinC=3sinCcosA，在△ABC中，sinC≠0，所以．…（5分）（2）∵=2，两边平方得：=4，由b=3，||=3，，可得：，第22页共22页,解得：c=7或c=﹣9（舍），所以△ABC的面积．…（12分） 19．（12分）为了引导居民合理用电，国家决定实行合理的阶梯电价，居民用电原则上以住宅为单位（一套住宅为一户）．阶梯级别第一阶梯第二阶梯第三阶梯月用电范围（度）（0，210]（210，400]（400，+∞）某市随机抽取10户同一个月的用电情况，得到统计表如下：居民用电户编号12345678910用电量（度）538690124132200215225300410（1）若规定第一阶梯电价每度0.5元，第二阶梯超出第一阶梯的部分每度0.6元，第三阶梯超出第二阶梯的部分每度0.8元，试计算A居民用电户用电410度时应交电费多少元？（2）现要在这10户家庭中任意选取3户，求取到第二阶梯电量的户数的分布列与期望；（3）以表中抽到的10户作为样本估计全市的居民用电，现从全市中依次抽取10户，若抽到k户用电量为第一阶梯的可能性最大，求k的值．【解答】解：（1）210×0.5+（400﹣210）×0.6+（410﹣400）×0.8=227元…（2分）（2）设取到第二阶梯电量的用户数为ξ，可知第二阶梯电量的用户有3户，则ξ可取0，1，2，3故ξ的分布列是ξ0123p第22页共22页,所以…（7分）（3）可知从全市中抽取10户的用电量为第一阶梯，满足X∽B（10，），可知（k=0，1，2，3…，10），解得，k∈N*所以当k=6时，概率最大，所以k=6…（12分） 20．（12分）已知函数（1）当b=﹣1时，求函数f（x）的单调区间；（2）求函数f（x）在[﹣1，0]上的最大值．【解答】解：（1）函数的定义域为，当b=﹣1时，…（3分）由f'（x）=0得，x=0或x=1（舍去）．当x∈（﹣∞，0]时，f'（x）≥0，时，f'（x）≤0所以函数的单调减区间是（﹣∞，0]，增区间是…（5分）（2）因为，由由f'（x）=0得，x=0或，①当时，即时，在[﹣1，0]上，f'（x）≥0，即f（x）在[﹣1，0]上递增，所以f（x）max=f（0）=b②当时，即时，在上，f'（x）≤0，在上，f'（x）≥0，即f（x）在上递减，在递增；因为，所以当时，；第22页共22页,当时，f（x）max=f（0）=b③当时，即时，在[﹣1，0]上，f'（x）≤0，即f（x）在[﹣1，0]上递减，所以综上可得…（12分） 21．（12分）已知函数f（x）=ln（x+1）．（1）当x∈（﹣1，0）时，求证：f（x）＜x＜﹣f（﹣x）；（2）设函数g（x）=ex﹣f（x）﹣a（a∈R），且g（x）有两个不同的零点x1，x2（x1＜x2），①求实数a的取值范围；②求证：x1+x2＞0．【解答】解：（1）记q（x）=x﹣ln（x+1），则，在（﹣1，0）上，q'（x）＜0即q（x）在（﹣1，0）上递减，所以q（x）＞q（0）=0，即x＞ln（x+1）=f（x）恒成立记m（x）=x+ln（﹣x+1），则，在（﹣1，0）上，m'（x）＞0即m（x）在（﹣1，0）上递增，所以m（x）＜m（0）=0，即x+ln（﹣x+1）＜0恒成立，x＜﹣ln（﹣x+1）=﹣f（﹣x）…（5分）（2）①g（x）=ex﹣ln（x+1）﹣a，定义域：（﹣1，+∞），则，易知g'（x）在（﹣1，+∞）递增，而g'（0）=0，所以在（﹣1，0）上，g'（x）＜0g（x）在（﹣1，0]递减，在[0，+∞）递增，x→﹣1+，y→+∞，x→+∞，y→+∞第22页共22页,要使函数有两个零点，则g（x）极小值=g（0）=1﹣a＜0故实数a的取值范围是（1，+∞）…（7分）②由①知﹣1＜x1＜0＜x2，记h（x）=g（x）﹣g（﹣x），x∈（﹣1，0），当x∈（﹣1，0）时，由①知：x＜﹣ln（﹣x+1），则再由x＞ln（x+1）得，，故h'（x）＜0恒成立，h（x）=g（x）﹣g（﹣x）在x∈（﹣1，0）单调递减，h（x）＞h（0）=0，即g（x）＞g（﹣x），而﹣1＜x1＜0，g（x1）＞g（﹣x1）g（x1）=g（x2）=0，所以g（x2）＞g（﹣x1），由题知，﹣x1，x2∈（0，+∞），g（x）在[0，+∞）递增，所以x2＞﹣x1，即x1+x2＞0…（12分） 请考生在22，23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.[选修4-4：坐标系与参数方程]22．（10分）已知极坐标系的极点为平面直角坐标系xOy的原点，极轴为x轴正半轴，两种坐标系中的长度单位相同，曲线C的参数方程为为参数），直线l过点（﹣1，0），且斜率为，射线OM的极坐标方程为．（1）求曲线C和直线l的极坐标方程；（2）已知射线OM与圆C的交点为O，P，与直线l的交点为Q，求线段PQ的长．【解答】解：（1）∵曲线C的参数方程为为参数），第22页共22页,∴曲线C的普通方程为（x+1）2+（y﹣1）2=2，将x=ρcosθ，y=ρsinθ代入整理得ρ+2cosθ﹣2sinθ=0，即曲线C的极坐标方程为．∵直线l过点（﹣1，0），且斜率为，∴直线l的方程为，∴直线l的极坐标方程为ρcosθ﹣2ρsinθ+1=0．（2）当时，，故线段PQ的长为． [选修4-5：不等式选讲]23．（1）函数f（x）=|x﹣3|，若存在实数x，使得2f（x+4）≤m+f（x﹣1）成立，求实数m的取值范围；（2）设x，y，z∈R，若x+2y﹣2z=4，求x2+4y2+z2的最小值．【解答】解：（1）令g（x）=2f（x+4）﹣f（x﹣1），则g（x）=2|x+1|﹣|x﹣4|，即作出的图象，如图所示，易知其最小值为﹣5…（5分）所以m≥g（x）min=﹣5，实数的取值范围是[﹣5，+∞）．（2）由柯西不等式：[12+12+（﹣2）2]•[x2+（2y）2+z2]≥（x+2y﹣2z）2即6（x2+4y2+z2）≥（x+2y﹣2z）2=16，故当且仅当时，即时等号成立，所以x2+4y2+z2的最小值为．…（10分）第22页共22页, 第22页共22页
