广东省广州市花都区圆玄中学高考数学模拟试卷（理科） 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合A={x|y=lg（x2+4x﹣12）}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B等于（ ）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣3，2）C．（2，4）D．（﹣2，4）2．（5分）若复数z满足z+zi=3+2i，则在复平面内z对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限3．（5分）如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（ ）A．14B．21C．28D．354．（5分）有四个游戏盒，将它们水平放稳后，在上面扔一粒玻璃珠，若玻璃珠落在阴影部分，则可中奖，则中奖机会大的游戏盘是（ ）A．B．C．D．5．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为（ ）A．B．C．±1D．6．（5分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，是“算经十书”中最重要的一种，是当时世界上最简练有效的应用数字，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．其中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积=（弦×矢+矢×第20页共20页,矢），弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弧）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弦长AB等于6米，其弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则cos∠AOB=（ ）A．B．C．D．7．（5分）函数g（x）的图象是函数f（x）=sin2x﹣cos2x的图象向右平移个单位而得到的，则函数g（x）的图象的对称轴可以为（ ）A．直线x=B．直线x=C．直线x=D．直线x=8．（5分）已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=（2x﹣1）lnx，则曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线斜率为（ ）A．﹣2B．﹣1C．1D．29．（5分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．10．（5分）设函数则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（ ）A．B．C．0≤a＜1D．a≥1 二、多选题：（本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，至少有一项是符合题目要求的，请把所有的项找出来，并填写在括号内.填少或填多均不得分．）11．（5分）下列命题中真命题的个数是（ ）①函数y=sinx，其导函数是偶函数；②“若x=y，则x2=y2”的逆否命题为真命题；③“x≥2”是“x2﹣x﹣2≥0”成立的充要条件；④命题p：“∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0”，则命题p的否定为：“∀x∈R，x2﹣x+1≥0”．第20页共20页,A．0B．1C．2D．312．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），已知点P在直线BC1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A﹣D1BC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；③二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线A1D1．其中正确命题的编号是（ ）A．①③④B．①②C．①③D．①④ 三．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为 ．14．（5分）已知向量，满足||=||=2，且）=﹣6，则与的夹角为 ．15．（5分）在区间[0，1]上随机地取两个数x、y，则事件“y≤x5”发生的概率为 ．16．（5分）设抛物线y2=2px（p＞0）焦点为F，准线为l，过焦点的直线分别交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足C，D．若|AF|=2|BF|，且三角形CDF的面积为，则p的值为 ． 第20页共20页,四、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.17．（12分）已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列的前n项和为Tn，求证：Tn＜．18．（12分）如图，三棱台ABC﹣A1B1C1中，侧面A1B1BA与侧面A1C1CA是全等的梯形，若A1A⊥AB，A1A⊥A1C1，且AB=2A1B1=4A1A．（Ⅰ）若，，证明：DE∥平面BCC1B1；（Ⅱ）若二面角C1﹣AA1﹣B为，求平面A1B1BA与平面C1B1BC所成的锐二面角的余弦值．19．（12分）某科技公司生产一种手机加密芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于70为合格品，小于70为次品．现随机抽取这种芯片共120件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]芯片数量（件）82245378已知生产一件芯片，若是合格品可盈利400元，若是次品则亏损50元．（Ⅰ）试估计生产一件芯片为合格品的概率；并求生产3件芯片所获得的利润不少于700元的概率．（Ⅱ）记ξ为生产4件芯片所得的总利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望．20．（12分）已知m＞1，直线l：x﹣my﹣=0，椭圆C：+y2=1，F1、F2第20页共20页,分别为椭圆C的左、右焦点．（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．21．（12分）设函数f（x）=2（x﹣2）ex﹣ax2+2ax+3﹣b（Ⅰ）若f（x）在x=0处的法线（经过切点且垂直于切线的直线）的方程为x+2y+4=0，求实数a，b的值；（Ⅱ）若x=1是f（x）的极小值点，求实数a的取值范围． 【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）已知直线l的参数方程为．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求直线l与圆C的普通方程；（Ⅱ）若直线l分圆C所得的弧长之比为3：1，求实数a的值． 第20页共20页,广东省广州市花都区圆玄中学高考数学模拟试卷（理科）参考答案与试题解析 一、选择题：（本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．（5分）已知集合A={x|y=lg（x2+4x﹣12）}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B等于（ ）A．（﹣3，﹣2）B．（﹣3，2）C．（2，4）D．（﹣2，4）【解答】解：集合A={x|y=lg（x2+4x﹣12）}={x|x2+4x﹣12＞0}={x|x＜﹣6或x＞2}，B={x|﹣3＜x＜4}，则A∩B={x|2＜x＜4}=（2，4）．故选：C． 2．（5分）若复数z满足z+zi=3+2i，则在复平面内z对应的点位于（ ）A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限【解答】解：由z+zi=3+2i，得=，则复数z在复平面内对应的点的坐标为：（，），位于第四象限．故选：D． 3．（5分）如果等差数列{an}中，a3+a4+a5=12，那么a1+a2+…+a7=（ ）A．14B．21C．28D．35【解答】解：a3+a4+a5=3a4=12，a4=4，第20页共20页,∴a1+a2+…+a7==7a4=28故选C 4．（5分）有四个游戏盒，将它们水平放稳后，在上面扔一粒玻璃珠，若玻璃珠落在阴影部分，则可中奖，则中奖机会大的游戏盘是（ ）A．B．C．D．【解答】解：在A中，中奖概率为，在B中，中奖概率为，在C中，中奖概率为，在D中，中奖概率为．∴中奖机会大的游戏盘是D．故选：D． 5．（5分）已知抛物线y2=2px（p＞0）上一点M到焦点F的距离等于2p，则直线MF的斜率为（ ）A．B．C．±1D．【解答】解：抛物线的焦点为F（，0），准线方程为x=﹣．∵点M到焦点F的距离等于2p，∴M到准线x=﹣的距离等于2p．∴xM=，代入抛物线方程解得yM=±p．∴kMF==．故选：D． 第20页共20页,6．（5分）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表，是“算经十书”中最重要的一种，是当时世界上最简练有效的应用数字，它的出现标志中国古代数学形成了完整的体系．其中《方田》章有弧田面积计算问题，计算术曰：以弦乘矢，矢又自乘，并之，二而一．其大意是，弧田面积计算公式为：弧田面积=（弦×矢+矢×矢），弧田是由圆弧（简称为弧田弧）和以圆弧的端点为端点的线段（简称为弧田弧）围成的平面图形，公式中“弦”指的是弧田弦的长，“矢”等于弧田弧所在圆的半径与圆心到弧田弦的距离之差．现有一弧田，其弦长AB等于6米，其弧所在圆为圆O，若用上述弧田面积计算公式算得该弧田的面积为平方米，则cos∠AOB=（ ）A．B．C．D．【解答】解：如图，由题意可得：AB=6，弧田面积S=（弦×矢+矢2）=（6×矢+矢2）=平方米．解得矢=1，或矢=﹣7（舍），设半径为r，圆心到弧田弦的距离为d，则，解得d=4，r=5，∴cos∠AOD==，∴cos∠AOB=2cos2∠AOD﹣1=﹣1=．故选：D． 7．（5分）函数g（x）的图象是函数f（x）=sin2x﹣cos2x的图象向右平移个单位而得到的，则函数g（x）的图象的对称轴可以为（ ）A．直线x=B．直线x=C．直线x=D．直线x=第20页共20页,【解答】解：∵f（x）=sin2x﹣cos2x=2sin（2x﹣），∴向右平移个单位而得到g（x）=2sin[2（x﹣）﹣]=﹣2cos2x，∴令2x=kπ，k∈Z，可解得x=，k∈Z，k=1时，可得x=，故选：C． 8．（5分）已知函数f（x）是偶函数，当x＞0时，f（x）=（2x﹣1）lnx，则曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线斜率为（ ）A．﹣2B．﹣1C．1D．2【解答】解：∵当x＞0时，f（x）=（2x﹣1）lnx，∴f′（x）=2lnx+2﹣，∴f′（1）=1∵函数f（x）是偶函数，∴f′（﹣1）=﹣1，∴曲线y=f（x）在点（﹣1，f（﹣1））处的切线斜率为﹣1，故选：B． 9．（5分）已知，是单位向量，，若向量满足，则的取值范围为（ ）A．B．C．D．【解答】解：令，，，如图所示：则，又，所以点C在以点D为圆心、半径为1的圆上，易知点C与O、D共线时达到最值，最大值为+1，最小值为﹣1，所以的取值范围为[﹣1，+1]．故选A．第20页共20页, 10．（5分）设函数则满足f（f（a））=2f（a）的a的取值范围是（ ）A．B．C．0≤a＜1D．a≥1【解答】解：∵函数，若f（f（a））=2f（a），则f（a）≥1，当a＜1时，由3a﹣1≥1得：≤a＜1，当a≥1时，2a≥1恒成立，综上可得：，故选：A． 二、多选题：（本大题共2小题，每小题5分，共10分．在每小题给出的四个选项中，至少有一项是符合题目要求的，请把所有的项找出来，并填写在括号内.填少或填多均不得分．）11．（5分）下列命题中真命题的个数是（ ）①函数y=sinx，其导函数是偶函数；②“若x=y，则x2=y2”的逆否命题为真命题；③“x≥2”是“x2﹣x﹣2≥0”成立的充要条件；④命题p：“∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0”，则命题p的否定为：“∀x∈R，x2﹣x+1≥0”．A．0B．1C．2D．3第20页共20页,【解答】解：对于①，函数y=sinx，其导函数是y=cosx，为偶函数，①正确；对于②，“若x=y，则x2=y2”是真命题，则它的逆否命题也为真命题，②正确；对于③，“x≥2”时，不等式“x2﹣x﹣2≥0”成立，即充分性成立；“x2﹣x﹣2≥0”时，x≤﹣1或x≥2，必要性不成立；∴是充分不必要条件，③错误；对于④，命题p：“∃x0∈R，x02﹣x0+1＜0”，命题p的否定为：“∀x∈R，x2﹣x+1≥0”，④正确．综上，正确命题的序号是①②④，共3个．故选：D． 12．（5分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中（如图），已知点P在直线BC1上运动，则下列四个命题：①三棱锥A﹣D1BC的体积不变；②直线AP与平面ACD1所成的角的大小不变；③二面角P﹣AD1﹣C的大小不变；④M是平面A1B1C1D1内到点D和C1距离相等的点，则M点的轨迹是直线A1D1．其中正确命题的编号是（ ）A．①③④B．①②C．①③D．①④【解答】解：对于①，三棱锥A﹣D1BC的体积与P点位置无关，∴三棱锥A﹣D1BC的体积不变，故①正确；对于②，以D1为坐标原点，建立如图所示的空间坐标系，设正方体边长为1，则=（1，1，﹣1）为平面ACD1的法向量，第20页共20页,而=（0，1，0），=（﹣1，1，﹣1），∴cos＜，＞==，cos＜，＞==，∴AB，AC1与平面ACD1所成的角不相等，即当P在直线BC1上运动时，AP与平面ACD1所成的角会发生变化，故②错误；对于③，当P位置变化时，平面PAD1的位置不发生变化，故二面角P﹣AD1﹣C的大小不变，故③正确；对于④，空间中到点D和C1的距离相等的点的轨迹是线段DC1的中垂面A1D1CB，而中垂面A1D1CB与平面A1B1C1D1的交线为直线A1D1，故④正确．故选：A． 三．填空题：（本大题共4小题，每小题5分，共20分．）13．（5分）若实数x，y满足约束条件，则z=x﹣2y的最小值为 ﹣4 ．【解答】解：作表示的平面区域如下，第20页共20页,z=x﹣2y可化为y=﹣，故当过点（0，2）时，﹣有最大值，z=x﹣2y有最小值﹣4；故答案为：﹣4． 14．（5分）已知向量，满足||=||=2，且）=﹣6，则与的夹角为 ．【解答】解：设与的夹角为θ，∵向量，满足||=||=2，且）=﹣6，∴）=•﹣=||•||•cosθ﹣||2=4cosθ﹣4=﹣6，∴cosθ=﹣，∵0≤θ≤π，∴θ=π，故答案为： 15．（5分）在区间[0，1]上随机地取两个数x、y，则事件“y≤x5”发生的概率为 ．【解答】解：在区间[0，1]上随机地取两个数x、y，构成区域的面积为1；第20页共20页,事件“y≤x5”发生，区域的面积为==，∴事件“y≤x5”发生的概率为．故答案为． 16．（5分）设抛物线y2=2px（p＞0）焦点为F，准线为l，过焦点的直线分别交抛物线于A，B两点，分别过A，B作l的垂线，垂足C，D．若|AF|=2|BF|，且三角形CDF的面积为，则p的值为 ．【解答】解：如图所示，M是AC的中点，则x+=p，∴x=p，∴AB=p，∴CD=MB=p，∵三角形CDF的面积为，∴，∴，故答案为：． 四、解答题：本大题共5小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.解答写在答题卡上的指定区域内.17．（12分）已知等差数列{an}的公差d≠0，它的前n项和为Sn，若S5=70，且a2，a7，a22成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列的前n项和为Tn，求证：Tn＜．第20页共20页,【解答】解：（1）由题意得解得，∴an=4n+2；（2），∴，∴． 18．（12分）如图，三棱台ABC﹣A1B1C1中，侧面A1B1BA与侧面A1C1CA是全等的梯形，若A1A⊥AB，A1A⊥A1C1，且AB=2A1B1=4A1A．（Ⅰ）若，，证明：DE∥平面BCC1B1；（Ⅱ）若二面角C1﹣AA1﹣B为，求平面A1B1BA与平面C1B1BC所成的锐二面角的余弦值．【解答】（Ⅰ）证明：连接AC1，BC1，在梯形A1C1CA中，AC=2A1C1，∵AC1∩A1C=D，，∴，又，∴DE∥BC1，∵BC1⊂平面BCC1B1，DE⊄平面BCC1B1，第20页共20页,∴DE∥平面BCC1B1；（Ⅱ）解：侧面A1C1CA是梯形，∵A1A⊥A1C1，∴AA1⊥AC，又A1A⊥AB，∴∠BAC为二面角C1﹣AA1﹣B的平面角，则∠BAC=，∴△ABC，△A1B1C1均为正三角形，在平面ABC内，过点A作AC的垂线，如图建立空间直角坐标系，不妨设AA1=1，则A1B1=A1C1=2，AC=AC=4，故点A1（0，0，1），C（0，4，0），．设平面A1B1BA的法向量为，则有，取，得；设平面C1B1BC的法向量为，则有，取，得．∴，故平面A1B1BA与平面C1B1BC所成的锐二面角的余弦值为． 第20页共20页,19．（12分）某科技公司生产一种手机加密芯片，其质量按测试指标划分为：指标大于或等于70为合格品，小于70为次品．现随机抽取这种芯片共120件进行检测，检测结果统计如表：测试指标[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100]芯片数量（件）82245378已知生产一件芯片，若是合格品可盈利400元，若是次品则亏损50元．（Ⅰ）试估计生产一件芯片为合格品的概率；并求生产3件芯片所获得的利润不少于700元的概率．（Ⅱ）记ξ为生产4件芯片所得的总利润，求随机变量ξ的分布列和数学期望．【解答】（本小题满分12分）解：（Ⅰ）由题意芯片为合格品的概率…（2分）则利润不少于700元的情况为两件正品，一件次品或三件正品所以…（6分）（Ⅱ）ξ的所有取值为1600，1150，700，250，﹣200，，，，，，ξ16001150700250﹣200P…（10分）所以…（12分） 第20页共20页,20．（12分）已知m＞1，直线l：x﹣my﹣=0，椭圆C：+y2=1，F1、F2分别为椭圆C的左、右焦点．（Ⅰ）当直线l过右焦点F2时，求直线l的方程；（Ⅱ）设直线l与椭圆C交于A、B两点，△AF1F2，△BF1F2的重心分别为G、H．若原点O在以线段GH为直径的圆内，求实数m的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）解：因为直线l：x﹣my﹣=0，经过F2（，0），所以=，得m2=2，又因为m＞1，所以m=，故直线l的方程为x﹣y﹣1=0．（Ⅱ）解：设A（x1，y1），B（x2，y2）．由，消去x得2y2+my+﹣1=0则由△=m2﹣8（﹣1）=﹣m2+8＞0，知m2＜8，且有y1+y2=﹣，y1y2=﹣．由于F1（﹣c，0），F2（c，0），故O为F1F2的中点，由，=2，可知G（，），H（，）|GH|2=+设M是GH的中点，则M（，），由题意可知2|MO|＜|GH|即4[（）2+（）2]＜+即x1x2+y1y2＜0第20页共20页,而x1x2+y1y2=（my1+）（my2+）+y1y2=（m2+1）（）所以（）＜0，即m2＜4又因为m＞1且△＞0所以1＜m＜2．所以m的取值范围是（1，2）． 21．（12分）设函数f（x）=2（x﹣2）ex﹣ax2+2ax+3﹣b（Ⅰ）若f（x）在x=0处的法线（经过切点且垂直于切线的直线）的方程为x+2y+4=0，求实数a，b的值；（Ⅱ）若x=1是f（x）的极小值点，求实数a的取值范围．【解答】解：（Ⅰ）f'（x）=2（x﹣1）ex﹣2ax+2a；…（2分）；由题意可知：f'（0）=2；…（3分）；f'（0）=﹣2+2a=2⇒a=2；…（4分）；易得切点坐标为（0，﹣2），则有f（0）=﹣2⇒b=1；…（5分）；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：f'（x）=2（x﹣1）ex﹣2ax+2a=2（x﹣1）（ex﹣a）；…（6分）；（1）当a≤0时，ex﹣a＞0⇒f'（x）=0⇒x=1，x∈（﹣∞，1）⇒f'（x）＜0；x∈（1，+∞）⇒f'（x）＞0；x=1是f（x）的极小值点，∴a≤0适合题意；…（7分）；（2）当0＜a＜e时，f'（x）=0⇒x1=1或x2=lna，且lna＜1；x∈（﹣∞，lna）⇒f'（x）＞0；x∈（lna，1）⇒f'（x）＜0；x∈（1，+∞）⇒f'（x）＞0；x=1是f（x）的极小值点，∴0＜a＜e适合题意；…（9分）；第20页共20页,（2）当a≥e时，f'（x）=0⇒x1=1或x2=lna，且lna≥1；x∈（﹣∞，1）⇒f'（x）＞0；x∈（1，lna）⇒f'（x）＜0；x∈（lna，+∞）⇒f'（x）＞0；x=1是f（x）的极大值点，∴a≥e不适合题意；…（11分）综上，实数a的取值范围为a＜e；…（12分）； 【选修4-4：坐标系与参数方程】22．（10分）已知直线l的参数方程为．以原点为极点，x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=4cosθ．（Ⅰ）求直线l与圆C的普通方程；（Ⅱ）若直线l分圆C所得的弧长之比为3：1，求实数a的值．【解答】解：（Ⅰ）由题意知：ρ=4cosθ⇒ρ2=4ρcosθ⇒x2﹣4x+y2=0，；（Ⅱ）x2﹣4x+y2=0⇒（x﹣2）2+y2=4；直线l分圆C所得的弧长之比为3：1⇒弦长为，；或a=4． 第20页共20页
