广东省茂名市化州市高考数学二模试卷（文科） 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={﹣1，0，1}，B={x|x＞0，x∈A}，则B=（ ）A．{﹣1，0}B．{﹣1}C．{0，1}D．{1}2．（5分）设复数z=1+i，（i是虚数单位），则z2+=（ ）A．﹣1﹣iB．﹣1+iC．1+iD．1﹣i3．（5分）若角α终边经过点P（sin），则sinα=（ ）A．B．C．D．4．（5分）已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=20y的焦点重合，且其渐近线方程为3x±4y=0，则该双曲线的标准方程为（ ）A．=1B．=1C．D．=15．（5分）实数x，y满足条件，则（）x﹣y的最大值为（ ）A．B．C．1D．26．（5分）设a=log，b=（），c=（），则a，b，c的大小关系是（ ）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．b＜c＜aD．c＜a＜b7．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）（ ）第22页共22页,A．16B．20C．24D．488．（5分）函数f（x）=的部分图象大致为（ ）A．B．C．D．9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（ ）A．7B．C．D．10．（5分）已知函数，则“函数f（x）有两个零点”成立的充分不必要条件是a∈（ ）A．（0，2]B．（1，2]C．（1，2）D．（0，1]第22页共22页,11．（5分）已知F1，F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A，B，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A．B．4C．D．12．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=，若x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）≥恒成立，则实数t的取值范围是（ ）A．[﹣2，0）∪（0，1）B．[﹣2，0）∪[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪（0，1] 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|= ．14．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 ．15．（5分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，a=4，b=5，c=6，则= ．16．（5分）已知球O的正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A﹣BCD的外接球，BC=3，AB=2第22页共22页,，点E在线段BD上，且BD=3BE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的截面圆的面积是 ． 三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）设数列{an}满足：a1=1，点均在直线y=2x+1上．（1）证明数列{an+1}等比数列，并求出数列{an}的通项公式；（2）若bn=log2（an+1），求数列{（an+1）•bn}的前n项和Tn．18．（12分）某同学在生物研究性学习中，对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期4月1日4月7日4月15日4月21日4月30日温差x/℃101113128发芽数y/颗2325302616（1）从这5天中任选2天，求这2天发芽的种子数均不小于25的概率；（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=﹣．19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AC，PC⊥BC，M为PB的中点，D为AB的中点，且△AMB为正三角形（1）求证：BC⊥平面PAC（2）若PA=2BC，三棱锥P﹣ABC的体积为1，求点B到平面DCM的距离．第22页共22页,20．（12分）如图，已知椭圆C：，其左右焦点为F1（﹣1，0）及F2（1，0），过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点，且|AF1|、|F1F2|、|AF2|构成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）记△GF1D的面积为S1，△OED（O为原点）的面积为S2．试问：是否存在直线AB，使得S1=S2？说明理由．21．（12分）已知α，β是方程4x2﹣4tx﹣1=0（t∈R）的两个不等实根，函数f（x）=的定义域为[α，β]（1）当t=0时，求函数f（x）的最值（2）试判断函数f（x）在区间[α，β]的单调性（3）设g（t）=f（x）max﹣f（x）min，试证明：＜2（﹣1） 请考生在22,23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分[选修4—4：坐标系与参数方程]第22页共22页,22．（10分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ（a≠0）．（Ⅰ）求圆C的直角坐标系方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值． [选修4-5：不等式证明]23．已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=2|x|+a（1）当a=0时，求不等式f（x）≥g（x）的解集（2）若存在实数x，使得g（x）≤f（x）成立，求实数a的取值范围． 第22页共22页,广东省茂名市化州市高考数学二模试卷（文科）参考答案与试题解析 一、选择题（共12小题，每小题5分，满分60分）1．（5分）设集合A={﹣1，0，1}，B={x|x＞0，x∈A}，则B=（ ）A．{﹣1，0}B．{﹣1}C．{0，1}D．{1}【解答】解：A={﹣1，0，1}，B={x|x＞0，x∈A}，则A∩B=B，即{﹣1，0，1}∩{x|x＞0}={1}．故选：D． 2．（5分）设复数z=1+i，（i是虚数单位），则z2+=（ ）A．﹣1﹣iB．﹣1+iC．1+iD．1﹣i【解答】解：z2+==2i+=2i+1﹣i=1+i．故选：C． 3．（5分）若角α终边经过点P（sin），则sinα=（ ）A．B．C．D．【解答】解：∵角α终边经过点P（sin），即点P（，﹣），∴x=，y=﹣，r=|OP|=1，则sinα==y=﹣，故选：C． 4．（5分）已知双曲线的一个焦点与抛物线x2=20y的焦点重合，且其渐近线方程为3x±4y=0，则该双曲线的标准方程为（ ）第22页共22页,A．=1B．=1C．D．=1【解答】解：∵抛物线x2=20y中，2p=20，=5，∴抛物线的焦点为F（0，5），设双曲线的方程为﹣=1，∵双曲线的一个焦点为F（0，5），且渐近线的方程为3x±4y=0即y=x，∴，解得a=3，b=4（舍负），可得该双曲线的标准方程为：=1．．故选：B． 5．（5分）实数x，y满足条件，则（）x﹣y的最大值为（ ）A．B．C．1D．2【解答】解：画出可行域第22页共22页,令z=x﹣y，变形为y=x﹣z，作出对应的直线，将直线平移至点（4，0）时，直线纵截距最小，z最大，将直线平移至点（0，1）时，直线纵截距最大，z最小，将（0，1）代入z=x﹣y得到z的最小值为﹣1，则（）x﹣y的最大值是2，故选：D． 6．（5分）设a=log，b=（），c=（），则a，b，c的大小关系是（ ）A．a＜b＜cB．c＜b＜aC．b＜c＜aD．c＜a＜b【解答】解：a=log=log23＞1，1＞b=（）=＞c=（）=，则c＜b＜a，故选：B． 7．（5分）公元263年左右，我国数学家刘徽发现当圆内接正多边形的边数无限增加时，多边形面积可无限逼近圆的面积，并创立了“割圆术”．利用“割圆术”刘徽得到了圆周率精确到小数点后两位的近似值3.14，这就是著名的“徽率”．如图是利用刘徽的“割圆术”思想设计的一个程序框图，则输出n的值为（参考数据：sin15°=0.2588，sin7.5°=0.1305）（ ）A．16B．20C．24D．48第22页共22页,【解答】解：模拟执行程序，可得：n=6，S=3sin60°=，不满足条件S≥3.10，n=12，S=6×sin30°=3，不满足条件S≥3.10，n=24，S=12×sin15°=12×0.2588=3.1056，满足条件S≥3.10，退出循环，输出n的值为24．故选：C． 8．（5分）函数f（x）=的部分图象大致为（ ）A．B．C．D．【解答】解：函数f（x）==﹣，当x=0时，可得f（0）=0，f（x）图象过原点，排除A．当﹣＜x＜0时；sin2x＜0，而|x+1|＞0，f（x）图象在上方，排除C．当x＜﹣1，x→﹣1时，sin（﹣2）＜0，|x+1|→0，那么f（x）→∞，当x=﹣时，sin2x=﹣，y=﹣=，对应点在第二象限，排除D，B满足题意．故选：B． 9．（5分）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积的是（ ）第22页共22页,A．7B．C．D．【解答】解：由三视图可知该几何体的直观图是正方体去掉一个三棱锥，正方体的边长为2，三棱锥的三个侧棱长为1，则该几何体的体积V==8﹣=，故选：D 10．（5分）已知函数，则“函数f（x）有两个零点”成立的充分不必要条件是a∈（ ）A．（0，2]B．（1，2]C．（1，2）D．（0，1]【解答】解：∵函数，则“函数f（x）有两个零点”⇔2﹣a≥0，﹣1+a＞0，解得1＜a≤2．∴“函数f（x）有两个零点”成立的充分不必要条件是a∈（1，2）．故选：C． 第22页共22页,11．（5分）已知F1，F2是双曲线=1（a＞0，b＞0）的左，右焦点，过F1的直线l与双曲线的左右两支分别交于点A，B，若△ABF2为等边三角形，则双曲线的离心率为（ ）A．B．4C．D．【解答】解：因为△ABF2为等边三角形，不妨设AB=BF2=AF2=m，A为双曲线上一点，F1A﹣F2A=F1A﹣AB=F1B=2a，B为双曲线上一点，则BF2﹣BF1=2a，BF2=4a，F1F2=2c，由∠ABF2=60°，则∠F1BF2=120°，在△F1BF2中应用余弦定理得：4c2=4a2+16a2﹣2•2a•4a•cos120°，得c2=7a2，则e2=7⇒e=．故选：A． 12．（5分）定义域为R的函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[0，2）时，f（x）=，若x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）≥恒成立，则实数t的取值范围是（ ）A．[﹣2，0）∪（0，1）B．[﹣2，0）∪[1，+∞）C．[﹣2，1]D．（﹣∞，﹣2]∪（0，1]【解答】解：当x∈[0，1）时，f（x）=x2﹣x∈[﹣，0]当x∈[1，2）时，f（x）=﹣（0.5）|x﹣1.5|∈[﹣1，]∴当x∈[0，2）时，f（x）的最小值为﹣1第22页共22页,又∵函数f（x）满足f（x+2）=2f（x），当x∈[﹣2，0）时，f（x）的最小值为﹣当x∈[﹣4，﹣2）时，f（x）的最小值为﹣若x∈[﹣4，﹣2）时，恒成立，∴即即4t（t+2）（t﹣1）≤0且t≠0解得：t∈（﹣∞，﹣2]∪（0，l]故选D 二、填空题（共4小题，每小题5分，满分20分）13．（5分）平面向量与的夹角为60°，=（2，0），||=1，则|+2|= 2 ．【解答】解：由题意得，||=2，||=1，向量与的夹角为60°，∴•=2×1×cos60°=1，∴|+2|===2．故答案为：2． 14．（5分）如图，正方形ABCD内的图形来自宝马汽车车标的里面部分，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形对边中点连线成轴对称，在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是 ．第22页共22页,【解答】解：设正方形边长为2，则正方形面积为4，正方形内切圆中的黑色部分的面积S=×π×12=．∴在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是P=．故答案为：． 15．（5分）已知a，b，c分别是△ABC内角A，B，C的对边，a=4，b=5，c=6，则= 1 ．【解答】解：∵△ABC中，a=4，b=5，c=6，∴cosC==，cosA==，∴sinC=，sinA=，∴===1．故答案为：1． 16．（5分）已知球O的正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）A﹣BCD的外接球，BC=3，AB=2，点E在线段BD上，且BD=3BE，过点E作球O的截面，则所得的截面中面积最小的截面圆的面积是 2π ．【解答】解：如图，设△BDC的中心为O1，球O的半径为R，连接O1D，OD，O1E，OE，则O1D=3sin60°×=，AO1==3，在Rt△OO1D中，R2=3+（3﹣R）2，解得R=2，第22页共22页,∵BD=3BE，∴DE=2，在△DEO1中，O1E==1，∴OE==，过点E作圆O的截面，当截面与OE垂直时，截面的面积最小，此时截面圆的半径为=，最小面积为2π．故答案为：2π． 三、解答题（共5小题，满分60分）17．（12分）设数列{an}满足：a1=1，点均在直线y=2x+1上．（1）证明数列{an+1}等比数列，并求出数列{an}的通项公式；（2）若bn=log2（an+1），求数列{（an+1）•bn}的前n项和Tn．【解答】（1）证明：∵点均在直线y=2x+1上，∴an+1=2an+1，变形为：an+1+1=2（an+1），又a1+1=2．∴数列{an+1}等比数列，首项与公比都为2．∴an+1=2n，解得an=2n﹣1．（2）解：bn=log2（an+1）=n，∴（an+1）•bn=n•2n．数列{（an+1）•bn}的前n项和Tn=2+2×22+3×23+…+n•2n，第22页共22页,2Tn=22+2•23+…+（n﹣1）•2n+n•2n+1，相减可得：﹣Tn=2+22+…+2n﹣n•2n+1=﹣n•2n+1，∴Tn=（n﹣1）•2n+1+2． 18．（12分）某同学在生物研究性学习中，对春季昼夜温差大小与黄豆种子发芽多少之间的关系进行研究，于是他在4月份的30天中随机挑选了5天进行研究，且分别记录了每天昼夜温差与每天每100颗种子浸泡后的发芽数，得到如下资料：日期4月1日4月7日4月15日4月21日4月30日温差x/℃101113128发芽数y/颗2325302616（1）从这5天中任选2天，求这2天发芽的种子数均不小于25的概率；（2）从这5天中任选2天，若选取的是4月1日与4月30日的两组数据，请根据这5天中的另三天的数据，求出y关于x的线性回归方程=x+；（3）若由线性回归方程得到的估计数据与所选出的检验数据的误差均不超过2颗，则认为得到的线性回归方程是可靠的，试问（2）中所得的线性回归方程是否可靠？附：回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为=，=﹣．【解答】解：（1）由题意，m、n的所有取值范围有：（23，25），（23，30），（23，26），（23，16），（25，30），（25，26），（25，16），（30，26），（30，16），（26，16）共有10个；设“m、n均不小于25“为事件A，则事件A包含的基本事件有（25，30），（25，26），（30，26），所有P（A）=，故事件A的概率为；第22页共22页,（2）由数据得=12，=27，•=972，3=432；又xiyi=977，=432；==，=27﹣×12=﹣3；所有y关于x的线性回归方程为=x﹣3．（3）当x=10时，=×10﹣3=22，|22﹣23|＜2，当x=8时，=×8﹣3=17，|17﹣16|＜2．所有得到的线性回归方程是可靠的． 19．（12分）如图，在三棱锥P﹣ABC中，PA⊥AC，PC⊥BC，M为PB的中点，D为AB的中点，且△AMB为正三角形（1）求证：BC⊥平面PAC（2）若PA=2BC，三棱锥P﹣ABC的体积为1，求点B到平面DCM的距离．【解答】解：（1）证明：在正△AMB中，D是AB的中点，所以MD⊥AB．…（1分）因为M是PB的中点，D是AB的中点，所以MD∥PA，故PA⊥AB．…（2分）又PA⊥AC，AB∩AC=A，AB，AC⊂平面ABC，第22页共22页,MCBPAD所以PA⊥平面ABC．…（4分）因为BC⊂平面ABC，所以PA⊥BC．…（5分）又PC⊥BC，PA∩PC=P，PA，PC⊂平面PAC，所以BC⊥平面PAC．…（6分）（2）设AB=x，则三棱锥P﹣ABC的体积为，得x=2…（8分）设点B到平面DCM的距离为h．因为△AMB为正三角形，所以AB=MB=2．因为，所以AC=1．所以．因为，由（1）知MD∥PA，所以MD⊥DC．在△ABC中，，所以．因为VM﹣BCD=VB﹣MCD，…（10分）所以，即．所以．故点B到平面DCM的距离为．…（12分） 20．（12分）如图，已知椭圆C：，其左右焦点为F1（﹣1，0）及F2（1，0），过点F1的直线交椭圆C于A，B两点，线段AB的中点为G，AB的中垂线与x轴和y轴分别交于D，E两点，且|AF1|、|F1F2|、|AF2|构成等差数列．（1）求椭圆C的方程；（2）记△GF1D的面积为S1，△OED（O为原点）的面积为S2．试问：是否存在直线AB，使得S1=S2？说明理由．第22页共22页,【解答】解：（1）因为|AF1|、|F1F2|、|AF2|构成等差数列，所以2a=|AF1|+|AF2|=2|F1F2|=4，所以a=2．…（2分）又因为c=1，所以b2=3，…（3分）所以椭圆C的方程为．…（4分）（2）假设存在直线AB，使得S1=S2，显然直线AB不能与x，y轴垂直．设AB方程为y=k（x+1）…（5分）将其代入，整理得（4k2+3）x2+8k2x+4k2﹣12=0…（6分）设A（x1，y1），B（x2，y2），所以．故点G的横坐标为．所以G（，）．…（8分）因为DG⊥AB，所以×k=﹣1，解得xD=，即D（，0）…（10分）∵Rt△GDF1和∵Rt△ODE1相似，∴若S1=S2，则|GD|=|OD|…（11分）所以，…（12分）整理得8k2+9=0．…（13分）因为此方程无解，所以不存在直线AB，使得S1=S2．…（14分） 第22页共22页,21．（12分）已知α，β是方程4x2﹣4tx﹣1=0（t∈R）的两个不等实根，函数f（x）=的定义域为[α，β]（1）当t=0时，求函数f（x）的最值（2）试判断函数f（x）在区间[α，β]的单调性（3）设g（t）=f（x）max﹣f（x）min，试证明：＜2（﹣1）【解答】解：（1）当t=0时，方程4x2﹣1=0的两实根为…（1分），…（2分）当时，f′（x）＞0，f（x）在为单调递增函数，f（x）的最小值为，f（x）的最大值为；…（3分）（2）…（5分）由题知：x∈[α，β]时4x2﹣4tx﹣1＜0，所以f′（x）＞0，f（x）在区间[α，β]为单调递增函数；…（7分）（3）由（2）知，又由题得：，∴，∴…（10分）∴…（12分）第22页共22页, 请考生在22,23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做第一题计分[选修4—4：坐标系与参数方程]22．（10分）在平面直角坐标系中，直线l的参数方程为（t为参数），以原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，圆C的极坐标方程为ρ=asinθ（a≠0）．（Ⅰ）求圆C的直角坐标系方程与直线l的普通方程；（Ⅱ）设直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍，求a的值．【解答】解：（Ⅰ）直线l的参数方程为（t为参数），消去参数t，可得：4x+3y﹣8=0；由圆C的极坐标方程为ρ=asinθ（a≠0），可得ρ2=ρasinθ，根据ρsinθ=y，ρ2=x2+y2可得圆C的直角坐标系方程为：x2+y2﹣ay=0，即．（Ⅱ）由（Ⅰ）可知圆C的圆心为（0，）半径r=，直线方程为4x+3y﹣8=0；那么：圆心到直线的距离d==直线l截圆C的弦长为=2解得：a=32或a=故得直线l截圆C的弦长等于圆C的半径长的倍时a的值为32或． [选修4-5：不等式证明]23．已知函数f（x）=|x+1|，g（x）=2|x|+a（1）当a=0时，求不等式f（x）≥g（x）的解集（2）若存在实数x，使得g（x）≤f（x）成立，求实数a的取值范围．第22页共22页,【解答】解：（1）当a=0时，由f（x）≥g（x）得|x+1|≥2|x|，两边平方整理得3x2﹣2x﹣1≤0，解得所以原不等式的解集为…（4分）（2）由g（x）≤f（x）得a≤|x+1|﹣2|x|，令h（x）=|x+1|﹣2|x|，则，作出函数的图象，得h（x）max=h（0）=1从而实数a的取值范围为（﹣∞，1]…（10分） 第22页共22页
